Statica e Sismica. delle Costruzioni Murarie. Cerchio di Mohr

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1 Uiversità degli Studi di Messia Facoltà di Igegeria A.A. 006/007 Statica e Sisica delle Costruzioi Murarie Docete: Ig. Alessadro Paleri Lezioe. 3: Circofereze di Mohr τ t P Sia P u puto geerico del cotiuo e z ua geerica retta passate per esso. Fissato u riferieto cartesiao {,, z}, siao =[ 0] T ed =[ 0] T due versori ortogoali el piao {, }. z Il cerchio di Mohr cosete di cooscere la tesioe orale e la copoete della tesioe tageziale τ su uo qualuque degli eleeti piai del fascio di sostego z; ciò ua volta ote le suddette tesioi su due qualuque piai ortogoali al fascio.

2 Se la coppia di versori {, } si sovrappoe alla coppia di versori {i, j} degli assi ed ediate la rotazioe oraria ϕ, le copoeti del versore si possoo espriere coe segue: = cos( ϕ) = ; = si( ϕ) = ; = 0 = z z Si ricavao così le equazioi paraetriche del cerchio di Mohr el piao delle tesioi {, τ }: = = cos ( ϕ) + si ( ϕ) + τ si( ϕ)cos( ϕ) T = [ + ] + [ ]cos( ϕ) + τ si( ϕ) 1 1 T τ = = [ ]si( ϕ)cos( ϕ) + τ cos ( ϕ) si ( ϕ) = [ ]si( ϕ) + τ cos( ϕ) 1 avedo utilizzato le idetità: 1 cos( ϕ) 1+ cos( ϕ) ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϕ = si( )cos( ) si( ) ; si ( ) ; cos ( ) 3 Dopo seplici passaggi, si può ricavare ache l equazioe i fora iplicita del cerchio di Mohr: + τ τ + = + τ da cui si possoo evicere le coordiate del cetro O: O r + O,0 { } ed la isura del raggio r: r + τ 4

3 I puti del cerchio di Mohr rappresetao tutti i possibili stati di tesioe sulle giaciture aveti orale apparteete al piao {, }. Nel rappresetare il cerchio di Mohr si adottao le segueti covezioi: 1. la tesioe orale è positiva se di trazioe;. la copoete della tesioe tageziale τ è positiva se tede a far ruotare i seso orario l eleeto di volue a cui è applicata. Così facedo alla rotazioe oraria ϕ della giacitura di orale corrispode sul cerchio di Mohr ua rotazioe oraria ϕ del puto A rappresetativo dello stato di tesioe su tale giacitura. + τ ϕ + ϕ = 0 τ + + τ ϕ = π 5 Costruzioe del cerchio di Mohr Note le copoeti, e τ il cerchio di Mohr corrispodete al fascio di piai aveti per sostego l asse z si può costruire coe segue: 1. Nel piao {, τ } si idividua il puto X {, τ }, rappresetativo dello stato di tesioe el piao ortogoale all asse.. Si idividua il puto Y {, τ }, rappresetativo dello stato di tesioe el piao ortogoale all asse. 3. Si traccia il diaetro XY. Si idividua, quidi, il puto edio O (all itersezioe co l asse delle ascisse), cetro del cerchio di Mohr. 4. La retta orizzotale passate per il puto X e la retta verticale passate per il puto Y si itersecao el puto N del cerchio di Mohr, detto polo delle orali. 5. Il puto M, diaetralete opposto sul cerchio di Mohr, è detto polo delle giaciture e si trova all itersezioe tra la retta verticale passate per il puto X e la retta orizzotale passate per il puto Y. 6

4 Polo delle orali L idividuazioe del polo delle orali N cosete di valutare la tesioe orale e la copoete della tesioe tageziale τ su ua geerica giacitura di orale =[cos(ϕ) si(ϕ) 0] T, icliata dell agolo ϕ rispetto all asse. Ifatti, coducedo da N ua retta icliata dell agolo ϕ rispetto all orizzotale si itercetta sul cerchio di Mohr il puto A {, τ }, rappresetativo dello stato di tesioe sulla giacitura ad essa ortogoale (di orale ). Polo delle giaciture Aalogaete, coducedo da M ua retta icliata dell agolo ϕ rispetto alla verticale si itercetta sul cerchio di Mohr il puto A {, τ }, rappresetativo dello stato di tesioe sulla giacitura ad essa parallela. 7 τ j Y {, τ } A {, τ } O ϕ τ N ϕ X {,- τ } i 8

5 τ j Y {, τ } M ϕ O ϕ A {, τ } N X {,- τ } i 9 Direzioi delle tesioi orali estree È possibile deteriare graficaete le giaciture su cui, al variare dell agolo ϕ, si hao le tesioi orali assia 1 e iia. Queste giaciture, i cui risulta τ =0, soo ortogoali ai segeti che cogiugoo il polo delle orali N co i puti A 1 { 1, 0} ed A {, 0} i cui il cerchio di Mohr iterseca l asse delle ascisse. Direzioi delle tesioi tageziali assie È ache possibile deteriare le giaciture su cui si ha la tesioe tageziale assia τ a =r/. Queste giaciture soo ortogoali ai segeti che cogiugoo il polo delle orali N co i puti A 3 {( + )/, τ a } ed A 4 {( + )/, τ a }. 10

6 τ 1 Y {, τ } 1 A {,0} O A {,0} 1 1 N X {,- τ } 11 τ 3 Y {, τ } + { τ a} A, 3 τ a O N X {,- τ } + { τ a} A, 4 4 1

7 ϕ z z τ τ Se la retta z, sostego del fascio di piai di orale, coicide co ua direzioe pricipale di tesioe, allora le tesioi orali assia 1 e iia forite dal cerchio di Mohr al variare dell agolo ϕ, soo tesioi pricipali. Solo così, ifatti, risulta τ z =0: ella giacitura di orale, cioè, risulta ulla la copoete della tesioe tageziale parallela alla retta z. Si defiiscoo, quidi, cerchi pricipali di Mohr quelli relativi ai fasci di piai che si appoggiao alle direzioi pricipali di tesioe. I questo caso le tesioi e τ descrivoo copletaete il vettore tesioe: t = + τ. 13 Siao ξ, η, e ζ le tre tesioi pricipali el geerico puto P del cotiuo. È possibile costruire el piao {, τ } i tre cerchi pricipali di Mohr, ciascuo dei quali relativo alle tre direzioi pricipali di tesioe ξ, η, e ζ. I tre cerchi hao cetro ei puti: O 1 { ξ + η,0}, O { η + ζ,0} ed O 3 { ζ + ξ,0} e, rispettivaete, hao raggio: r 1 ξ η /, r η ζ / ed r 3 ζ ξ /. L area deliitata dai tre cerchi pricipali di Mohr si chiaa arbelo di Mohr (dal oe di u atico attrezzo artigiaale greco per la lavorazioe del cuoio, che aveva la laa di fora siile). Si diostra che lo stato tesioale i terii di tesioe orale e di tesioe tageziale τ su ua giacitura di orale couque orietata ello spazio, risulta descritto da u puto itero a questa regioe. 14

8 τ r 1 r ζ O η O O 3 1 ξ r 3 15 Stato tesioale piao Stato tesioale idrostatico = ζ 0 η ξ = = ξ η ζ 0 Stato tesioale ooassiale Stato tesioale cilidrico η = = 0 ξ = 0 ξ ζ η ζ 16

9 z h b Si voglioo tracciare i cerchi pricipali di Mohr per ua parete uraria soggetta a: peso proprio; carichi verticali trasessi dalle strutture orizzotali (solai e copertura). I paraeti laterali soo scarichi. La parete è sella, el seso che lo spessore b è piccolo rispetto all altezza h: b h. Si assiila la parete ad u cotiuo oogeeo. 17 Co buoa approssiazioe si può assuere che i tutti i puti della uratura la tesioe sul piao di orale sia ulla: =τ =τ zz =0. Le copoeti di tesioe o ulla soo, quidi, le tesioi orali e z, oché la tesioe tageziale τ z. Essedo τ =τ zz =0, la tesioe = ξ è tesioe pricipale. Ioltre, essedo =0, lo stato tesioale è piao. Di cosegueza, il cerchio di Mohr tracciato attraverso le copoeti di tesioe, z, e τ z è u cerchio pricipale, e cosete la deteriazioe delle altre due tesioi pricipali η e ζ. Il disego degli altri due cerchi pricipali è iediato, dovedo passare per i puti A η { η,0} e A ζ { ζ,0} e per A ξ {0,0}, coicidete co l origie degli assi. Ifie, spesso le copoeti di tesioe, e τ z risultao trascurabili rispetto alla tesioe orale z : questo perché i carichi soo o geere verticali e pressoché costati ad ua data quota. 18

10 Sulla base delle precedeti cosiderazioi, lo stato tesioale ella parete uraria i esae si preseta i pria approssiazioe coe ooassiale, copletaete defiito dalla sola copoete orale di copressioe z <0. Due cerchi pricipali di Mohr soo coicideti: essi soo copresi ei quadrati di tesioe orale di copressioe e passao per l origie degli assi. Il terzo cerchio pricipale di Mohr degeera i u puto e coicide co l origie degli assi. 19