Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale

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1 Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone Collaboratori: Dott. Giuseppe ombino - Ing. Demetrio Zema Lezione n. 6: Teorema di ernoulli moto in condotta dei liquidi perfetti nno ccademico

2 Indice Teorema di ernoulli Termini del trinomio di ernoulli Interpretazioni geometrica ed energetica del teorema di ernoulli Correnti lineari Teorema di ernoulli per le correnti lineari Il moto in condotta dei liquidi perfetti - applicazioni: Condotta a diametro costante e variabile collegante due serbatoi Condotta a diametro variabile condotta in depressione Sbocco in atmosfera Sbocco con ugello Sifoni

3 Slides delle lezioni frontali Materiale didattico Citrini-Noseda (pagg. 04-3) 3) 3

4 Enunciato Teorema di ernoulli Nel moto permanente di un fluido: ideale (o perfetto) (privo cioè di sforzi viscosi ed agitazione turbolenta, che determinano la dissipazione dell energia energia meccanica) pesante (ossia sottoposto al campo gravitazionale) incomprimibile (ossia avente ρ = costante) il trinomio (detto trinomio di trinomio di ernoulli) z p + + γ V g si mantiene costante lungo la traiettoria particella di una 4

5 Termini del trinomio di ernoulli z è la quota geodetica p/γ è l altezza piezometrica v /g è l altezza cinetica H = z + p + γ v g è il carico totale 5

6 Interpretazione geometrica del teorema di ernoulli v /g p/ γ H=cost v /g p/ γ Linea dei carichi totali v /g 3 Piezometrica p/ γ 3 Traiettoria z z z3 z=0 6

7 Interpretazione energetica del teorema di ernoulli L energia potenziale posseduta dalla bottiglia e associata al campo gravitazionale ed all azione azione della pressione cui essa è soggetta è Energia posizionale essendo: E p = P (z + p/γ) P = mg + energia di pressione 7

8 Interpretazione energetica del teorema di ernoulli L energia cinetica sarà E C = m v L energia complessiva posseduta dalla massa di fluido in moto permanente è p E t = P z + + γ m v 8

9 Interpretazione energetica del teorema di ernoulli Se non vi sono perdite di energia (per attrito o per urto), questa rimane costante lungo la traiettoria P z p + + m v = γ cost e, dividendo per il peso P, si ha: z + p γ + v g = cost Teorema di ernoulli 9

10 Interpretazione energetica del teorema di ernoulli Il trinomio z + p/γ + v /g rappresenta l energia dell unit unità di peso I tre termini hanno le dimensioni di una lunghezza: z p/γ [L] [M L - T - ] / [M L T - L -3 ] = [L] v /g [L T - ] / [L T - ] = [L] 0

11 Interpretazione energetica del teorema di ernoulli Il carico totale z + p/γ + v /g rappresenta dunque l energia meccanica totale dell unit unità di peso di fluido in movimento (energia specifica) I tre termini hanno le dimensioni di una lunghezza: z p/γ [L] [M L - T - ] / [M L T - L -3 ] = [L] v /g [L T - ] / [L T - ] = [L]

12 Correnti lineari Una corrente si dice lineare o gradualmente variata quando i valori dei raggi di curvatura delle singole traiettorie sono molto grandi: in tal caso i filetti fluidi della corrente sono rettilinei e paralleli p/ γ 0 z0 La quota piezometrica (z + p/γ) ) rimane costante nella sezione trasversale della corrente; ; pertanto in essa può ipotizzarsi una distribuzione idrostatica della pressione z=0

13 Teorema di ernoulli per le correnti lineari Si ipotizza che la velocità della corrente abbia una distribuzione uniforme nella sezione trasversale e pertanto un valore costante pari al valore medio nella sezione v m Pertanto il carico totale assume la seguente espressione z + p vm + α γ g = cost α prende il nome di coefficiente di Coriolis e tiene conto dell errore errore che si commette sostituendo alla distribuzione effettiva della velocità nella sezione trasversale il suo valore medio nella sezione v m 3

14 Teorema di ernoulli per le correnti lineari I valori di α nella pratica sono dell ordine di.,, salvo casi particolari Spesso, poiché l errore indotto é modesto, se l altezza l cinetica é piccola, si può porre α = 4

15 Il moto in condotta dei liquidi perfetti: applicazioni 5

16 Condotta a diametro costante collegante due serbatoi p/ γ Carichi totali Piezometrica v /g H z p/ γ h z z=0 Per il teorema di ernoulli applicato ai punti e si avrà: H = z p v + + = z + + γ g p γ v g 6

17 Condotta a diametro costante collegante due serbatoi p/ γ Carichi totali Piezometrica v /g H z p/ γ h z z=0 v = 0 z + p γ = ; H per cui: v g = z + p γ z + p γ 7

18 Ponendo: Condotta a diametro costante collegante due serbatoi z + p γ z + p γ = H h si ha: v = g ( H h) e quindi per la portata: Q = v Σ 8

19 p/ γ Carichi totali Piezometrica v /g H z Condotta a diametro costante collegante due serbatoi p/ γ h La linea dei carichi totali si traccia da monte ed è l orizzontale passante per la superficie libera del serbatoio di monte Nella sezione di sbocco la quota piezometrica è rappresentata dalla superficie libera del liquido presente nel serbatoio Poiché la condotta è a diametro costante ed è costante la portata, anche l altezza l cinetica è costante; pertanto la linea piezometrica si può tracciare da valle: essa è l orizzontale passante per la quota z + p /γ 9 z z=0

20 Condotta a diametro variabile collegante due serbatoi v /g Carichi totali Piezometrica v /g H D D h Per il teorema di ernoulli applicato tra i punti e, come nel caso di condotta a diametro costante, risulta: v = g ( H h) z=0 Q = v Σ 0

21 Condotta a diametro variabile collegante due serbatoi v /g Carichi totali Piezometrica v /g H D D h Poiché la portata Q è costante lungo la tubazione possiamo calcolare le velocità media della corrente nei due tronchi : z=0 v = 4Q π D ; v = 4Q π d

22 Condotta a diametro variabile condotta in depressione Carichi totali v /g Piezometrica v /g H d d d h z=0 La linea dei carichi totali si traccia dal serbatoio ; la piezometrica si traccia da valle con la convenzione che il punto rappresentativo della quota piezometrica in una sezione è riportato sulla verticale passante per il baricentro della sezione stessa

23 Condotta a diametro variabile condotta in depressione Carichi totali v /g Piezometrica v /g H d d d h z=0 Dal teorema di ernoulli si ha: v = g ( H h) Q = v Σ partire dall equazione di continuità Q = v S = v S, si può ricavare v 3

24 H Condotta a diametro variabile condotta in depressione d v /g Carichi totali Piezometrica d d v /g h z=0 Il tratto in cui la piezometrica è al di sotto dell asse della condotta e pertanto il fluido è in depressione; ; in nessun punto però dovrà risultare p < 0,33 m γ 4

25 Sbocco in atmosfera Dal teorema di ernoulli si ha: v = g ( H ) Si traccia la linea dei carichi totali da monte e la piezometrica da valle z s La soluzione è corretta se in tutti i punti risulta: p > 0,33 m γ 5

26 Sbocco in atmosfera Se invece da un certo punto a monte dello sbocco si trova: p γ < 0,33m bisogna procedere diversamente 6

27 Sbocco in atmosfera Sia z la quota del punto in cui la piezometrica si trova a 0,33 m al di sotto dell asse; z -0,33 m è la quota piezometrica in quel punto La piezometrica si mantiene parallela alla condotta 7

28 Sbocco in atmosfera ll imbocco sarà (dal teorema di ernoulli applicato fra serbatoio ed imbocco i ): v i ( ) = g h + 0,33 8

29 Sbocco in atmosfera La portata è quindi Q = v i Σ llo sbocco s la velocità è e il carico totale è H s v = s v i vi vs = zs + = zs + = zs + h g g + 0,33 9

30 Sbocco in atmosfera Dallo sbocco si può tracciare la linea dei carichi totali fino alla sezione, in cui p = 0,33m γ 30

31 Sbocco in atmosfera Nel tratto in depressione le altezze cinetiche vanno progressivamente aumentando e quindi, poiché la portata è costante, ne deriva che l area l della corrente va progressivamente diminuendo: la corrente si distacca dalla generatrice superiore del tubo In questo caso il moto si dice moto a canaletta 3

32 Sbocco in atmosfera Nella sezione a quota z ΔH = H H s pari a si ha una perdita di carico ΔH = z i + h ( z + h + 0,33) = z z 0, 33 s i s 3

33 Sbocco in atmosfera In realtà,, nel passaggio dal moto a canaletta al moto a sezione piena, nella sezione di quota z vengono a mancare le condizioni per l applicazione l del teorema di ernoulli alla corrente: infatti i filetti liquidi non sono affatto rettilinei e paralleli, ma subiscono una brusca deviazione 33

34 Sbocco in atmosfera In questo caso non ha più senso ritenere che l energia l si conservi: anche se il liquido è perfetto, nella sezione esiste una perdita di carico dovuta alla brusca deviazione dei filetti liquidi 34

35 Sbocco con ugello Sia σ la sezione dell ugello, C C il coefficiente di contrazione e z C la quota della sezione contratta pplicando il teorema di ernoulli fra un punto nel serbatoio e la sezione contratta, si ottiene: v C ( z z ) = g C Q = v C C C σ 35

36 Sbocco con ugello La velocità in condotta è: v = Q Σ 36

37 Sifone C Carichi totali p/ γ C v /g C v /g H zc Piezometrica p/ γ z z=0 Tubazione che collega due serbatoi passando al di sopra del piano dei carichi totali di quello posto a quota maggiore 37

38 Sifone C Carichi totali p/ γ C v /g C v /g H zc Piezometrica p/ γ z z=0 Dal teorema di ernoulli,, applicato fra (serbatoio di monte) e (serbatoio a valle): v p g z z + = γ = gh Q = v Σ 38

39 Sifone C Carichi totali p/ γ C v /g C v /g H zc Piezometrica p/ γ z z=0 Ci sono punti della condotta a quota superiore alla linea dei carichi totali: per fare arrivare l acqua l in tali punti, è necessario creare una depressione nella condotta 39

40 Sifone C Carichi totali p/ γ C v /g C v /g H zc Piezometrica p/ γ z z=0 L altezza massima sul pelo libero (corrispondente a 0.33 m), a cui il liquido può giungere per effetto della diminuzione di pressione nel sifone, è quella che si ottiene per una pressione relativa nulla all interno del sifone 40

41 Sifone C Carichi totali p/ γ C v /g C v /g H zc Piezometrica p/ γ z z=0 La portata addotta dal sifone, una volta innescato il moto, dipende dal dislivello fra i peli liberi nei due serbatoi Vi è un limite al tale portata, in quanto in nessun punto della tubazione la piezometrica potrà trovarsi a 0,33 m dalla quota geometrica 4

42 Sifone M ΔH v/g Piezometrica 0,33 M' 0,33 Carichi totali v/g ΔH Nel caso rappresentato in figura (cioè se la piezometrica tracciata da valle arriva a -0,33 m dalla tubazione), da tale punto a monte la piezometrica si manterrà parallela alla tubazione stessa; essa quindi passerà dal punto M M a distanza di -0,33 m dal punto M più alto del sifone 4

43 Sifone M ΔH v/g Piezometrica 0,33 M' 0,33 Carichi totali v/g ΔH Da qui a monte sarà rettilinea ed orizzontale (liquido perfetto); questa posizione determina la velocità,, perché il segmento v / g è la distanza dalla linea dei carichi totali, orizzontale per il livello di 43

44 Sifone M ΔH v/g Piezometrica 0,33 M' 0,33 Carichi totali v/g ΔH Dal livello di si traccia la linea piezometrica verso monte seguendo l orizzontale l finché la distanza dalla generatrice superiore del tubo non tocca i -0,33 m Da qui fino al punto M M essa rimane parallela alla generatrice superiore del tubo 44

45 Sifone M ΔH v/g Piezometrica 0,33 M' 0,33 Carichi totali v/g ΔH Nel tratto in depressione il moto è a canaletta e la corrente è accelerata pplicando il teorema di ernoulli tra il serbatoio di monte () ed il punto più elevato della tubazione (M), si ha: v ( ) Q = v = g z z M + 0,33 M Σ 45

46 Sifone M ΔH v/g Piezometrica 0,33 M' 0,33 Carichi totali. v/g ΔH La perdita di carico risulta: ΔH = z z + v g = z z z + z M 0,33 = z M z 0,33 46

47 Sifone M Carichi totali assoluti Carichi totali p / γ a t m E spesso utile tracciare la linea dei carichi totali assoluta e la piezometrica assoluta: esse non sono altro che le linee più alte di 0,33 m rispetto alle corrispondenti linee dei carichi totali e piezometrica relative e fanno quindi riferimento alle pressioni assolute 47

48 Sifone CSO : punto più alto del sifone (M) a quota superiore alla linea dei carichi totali assoluta M Carichi totali assoluti Carichi totali p / γ a t m Non vi può essere nessuna particella liquida nel punto M, quindi non si può verificare il moto 48

49 Sifone CSO : punto più alto del sifone (M) soggiacente alla linea dei carichi totali assoluta Carichi totali assoluti p / γ a t m Piezometrica assoluta M v/g 0,33 0,33 Carichi totali Piezometrica M' v/g In tal caso si può verificare il moto del fluido 49