Rapporti e proporzioni numeriche

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1 Rpporti e proporzioni numeriche Rpporti. Per rpporto tr due numeri e b, di cui il secondo diverso d zero, s intende il quoziente estto dell divisione dei due numeri dti, cioè :b oppure /b. Ad esempio dire che 8 è il rpporto tr 56 e 7 equivle dire che: 56 7 = 8 Dti due numeri e b, si dice rpporto inverso il rpporto ottenuto invertendo l ordine dei termini. Ad esempio dti nell ordine i numeri 3 e 4, il loro rpporto è 3/4 e il loro rpporto inverso è 4/3. Proporzioni. Un proporzione è l uguglinz tr due rpporti. Dti quttro numeri, b, c, d si dice che essi formno un proporzione, nell ordine n cui sono dti, se: Che si legge: st b come c st d. : b = c: d e d sono detti estremi, b e c medi e c sono gli ntecedenti, b e d e conseguenti d è detto qurto proporzionle dopo, b, c. Un proporzione si dice continu qundo i medi sono uguli, cioè : b = b: d In tl cso b è detto medio proporzionle tr e c mentre c è detto terzo proporzionle dopo e b. Proprietà fondmentle delle proporzioni. In un proporzione il prodotto dei medi è ugule l prodotto degli estremi. Inftti considert l proporzione E riducendo le frzioni llo stesso denomintore bbimo d b c = b d b d Avendo le due frzioni lo stesso denomintore vrnno, in virtù dell loro uguglinz, ugule nche il numertore, cioè d = b c 1

2 Termine incognito Si può presentre il problem di dover determinre un termine incognito di un proporzione essendo dti gli ltri tre. Tle problem si risolve pplicndo l proprietà fondmentle e precismente Se il termine incognito è un estremo si determin dividendo il prodotto dei medi per l estremo conosciuto. Se il termine incognito è un medio si determin dividendo il prodotto degli estremi per il medio conosciuto Esempi 2: 3 = x: 9 x = x = 6 2: 6 = 6: x x = x = 18 2: x = x: 8 x 2 = 16 x = 16 x = 4 Altre proprietà delle proporzioni. In un proporzione continu il qudrto del medio proporzionle è ugule l prodotto degli estremi Se in un proporzione si scmbino fr loro i medi o gli estremi, si h ncor un proporzione (proprietà del permutre) Se in un proporzione si inverte ogni ntecedente con il proprio conseguente, si h ncor un proporzione (proprietà dell invertire). In un proporzione l somm del primo e del secondo termine st l primo o l secondo termine, come l somm del terzo e del qurto st l terzo o l qurto rispettivmente (proprietà del comporre) Inftti Inverdendo si h b = d c Aggiungimo d entrmbi i membri b = 1 + d c Sostituimo 1 rispettivmente e c c 2

3 Dl quest ultim, fcendo il m.c.m. si ottiene + b = c c + d c ( + b): = (c + d): c In un proporzione, se ogni ntecedente è mggiore del conseguente, l differenz tr il primo e il secondo termine st l primo o l secondo come l differenz tr il terzo e il qurto st l terzo o l qurto (proprietà dello scomporre) Inftti Inverdendo e cmbindo di segno si h b = d c Aggiungimo d entrmbi i membri 1 1 b = 1 d c Sostituimo 1 rispettivmente e c c Dl quest ultim, fcendo il m.c.m. si ottiene b = c c d c ( b): = (c d): c In un proporzione l somm o l differenz degli ntecedenti st ll somm o ll differenz dei conseguenti come ogni ntecedente st l proprio conseguente. Cioè dt l proporzione : b = c : d, pplicndo tle proprietà, si ottiene ( + c) : (b + d) = : b oppure ( + c) : (b + d) = c : d ( - c) : (b - d) = : b oppure ( - c) : (b - d) = c : d Esempio Dt l proporzione 5 : 10 = 2 : 4 permutndo i medi 3

4 5 : 2 = 10 : 4 permutndo gli estremi 4 : 10 = 2 : 5 invertendo ogni ntecedente con il proprio conseguente 10 : 5 = 4 : 2 si ottiene sempre un proporzione. Applicndo quest ultim proporzione le proprietà del comporre e dello scomporre ottenimo sempre un proporzione (10 + 5) : 5 = (4 + 2) : 2 (10-5) : 5 = (4-2) : 2 Cten di rpporti Dicesi cten o serie di rpporti uguli, l uguglinz di tre o più rpporti. Anche l serie di rpporti uguli gode delle proprietà del comporre e dello scomporre; si può quindi dire che in un cten di rpporti uguli, l somm (differenz) degli ntecedenti st ll somm (dfferenz) dei conseguenti, come ogni ntecedente st l proprio conseguente. Esempio 1 Dt l serie di rpporti uguli 20: 30 = 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 Componendo si h ( ): ( ) = 20: 30 = 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 Ossi 90: 135 = 20: 30 = 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 Esempio 2 Dt l serie di rpporti uguli 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 Scomponendo si h ( ): ( ) = 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 Ossi 30: 45 = 50: 75 = 6: 9 = 14: 21 4

5 Bibliogrfi: C. Bettell A. Mrri: Corso di mtemtic vol 1- Pccgnell editore S.p.. - Bologn 5

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }

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