Lezione 4: Il prodotto vettoriale e applicazioni

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1 Lezione 4: Il prodotto vettoriale e applicazioni Questa lezione sarà dedicata a introdurre un ulteriore, importante, operazione tra vettori che ora abbiamo gli strumenti per calcolare. Vi ho già fatto notare che mentre nel piano, dato un vettore c è un unica direzione a questo ortogonale (ed è anche molto facile determinarla fruttando il fatto che due vettori ortogonali devono avere il prodotto scalare nullo), questo non è vero se stiamo considerando un vettore nello spazio. Dato un vettore nello spazio, ci sono infatti infinite direzioni ad esso ortogonali (sono tutte parallele a uno stesso piano, il piano che ha il vettore che stiamo considerando come vettore ortogonale). P P O Figura : Il piano ortogonale al vettore Se ora fisso due vettori dello spazio, secondo voi, è ben determinata la direzione ortogonale a entrambi i vettori?...proviamo a visualizzare la situazione: beh, se i due vettori sono paralleli abbiamo già notato che la risposta è NO (perchè abbiamo sono una direzione nello spazio). Ma se i due vettori non sono paralleli, ossia i due punti che li determinano non sono allineati con l origine, allora la risposta è ovviamente SI!. Per l origine e questi due punti passa un solo piano e quindi la direzione ortogonale ai due vettori sarà quella della retta ortogonale a questo piano. 5

2 Lezione 4 6 Esempio Vogliamo determinare la direzione ortogonale al piano passante per i punti P = (,, ), P = (,, ) e P = (,, 4). È chiaro che se P, P e P appartengono a questo piano, allora i vettori u = P P = e v = P P = saranno vettori paralleli al piano. Quindi rispondere al problema proposto coincide con dare una risposta alla seguente richiesta: determinare un vettore w che sia ortogonale ai vettori u e v. Facciamolo esplicitamente: scegliamo un nome per le coordinate del vettore che stiamo cercando, per esempio a w = b, c e determiniamo a, b, c R che risolvono il problema. È chiaro che basta imporre che il prodotto scalare tra w e u sia nullo e così anche il prodotto scalare tra w e v. Questo quindi si traduce nel seguente sistema di due equazioni nelle incognite (a, b, c) w,u = b + c = w,v = a + b + c =. Questo sistema si può risolvere facilmente esplicitamente per esempio scrivendo c in funzione di b nella prima equazione e sostituendola nella seconda, fatelo! Allora vedrete che le soluzioni dipendono da b e sono tutte le terne del tipo ( b, b, b) (per ogni scelta del valore che diamo a b otteniamo una terna soluzione, cioè un vettore che soddisfa le condizioni richieste), ossia ci sono infinite solozioni. Questo è giusto, sono tutti vettori proporzionali e quindi hanno tutti la stessa direzione. Per esempio potremmo scegliere il vettore. Se ora volessimo risolvere in generale il problema di determinare un vettore ortogonale a due vettori dati u = u u u v = v v v basterebbe imporre le condizioni di ortogonalità tra il vettore { au + bu + cu = av + bv + cv = a b e i due vettori: c e tutte le soluzioni di questo sistema darebbero un vettore ortogonale a u e a v. Potete verificare senza difficoltà che una possibile soluzione di questo sistema è il vettore u v u v u v u v u v u v

3 Lezione 4 7 (fate la prova! mettete le tre componenti di questo vettore al posto di a, b e c nel sistema e vedrete che è soddisfatto!). Diamo un nome a questa operazione che ai vettori u e v associa un terzo vettore ortogonale a entrambi, che determiniamo a partire da u e v come questo che abbiamo appena scritto: u v Definizione Dati due vettori di E, u = u e v = v, si chiama prodotto u v vettoriale l operazione che a u e v associa un terzo vettore che indichiamo con u v ed è ottenuto come segue u v u v u v = u v u v u v u v Detta così sembra non facile da ricordate. Per ora impariamola, più in là vedremo che ci sono vari modi per ricordarsi l ordine dei vari termini. Notazione: Il vari testi troverete anche un altra indicazione per il prodotto vettoriale: u v. Se applichiamo questa definizione ai due vettori dell esempio appena visto otteniamo = 9 = +, esattamente uno dei vettori che avevamo già ottenuto facendo i conti esplicitamente. Attenzione: L operazione prodotto vettoriale a due vettori associa un terzo vettore (per questo si chiama vettoriale ), mentre l operazione prodotto scalare a due vettori associa uno scalare (cioè un numero!) che, come ricorderete, ha una sua interpretazione geometrica che abbiamo visto e più volte usato. Ancora più attenzione: Il prodotto vettoriale è un operazione definita SOLO tra vettori di E (ossia dello spazio). Definito in questo modo, il prodotto vettoriale verifica alcune proprietà molto facili da verificare. Proprietà del prodotto vettoriale Siano u, v e w tre vettori di E e sia λ un numero reale:. u v = v u (antisimetrica). u u =. λu v = λ(u v)=u λv 4. u (v + w) = u v + u w (distributiva rispetto alla somma) 5. u v,u = e u v,v = (!!!!) 6. se α è l angolo compreso tra u e v u v = u v sinα (!!!!)

4 Lezione 4 8 Non voglio soffermarmi più di tanto su queste proprietà. Fate mente locale e vedrete che almeno le prime cinque sono tutte piuttosto chiare (si verificano immediatamente). Anche l ultima proprietà si può verificare a partire dalla definizione, ma richiede un po più di lavoro. Solo qualche osservazione: la proprietà. ci dice che questa operazione non è commutativa. Se cambiamo l ordine dell operazione il risultato a verso opposto. La proprietà. insieme con la proprietà. ci dice che se prendiamo due vettori u e v paralleli, allora il loro prodotto vettoriale è il vettore nullo (ossia con tutte le componenti nulle). Infatti il parallelismo ci dice che sono proporzionali, ossia v = λu e quindi v u = λ(u u) =. Vi capiterà di usare questa operazione tra vettori in varie applicazioni e vedrete che ha delle interpretazioni fisiche molto importanti, come il momento angolare o il momento di una forza che saranno molto usati nei corsi che dovrete seguire e capire più avanti. Per il momento mi limito a sottolinearvi le applicazioni geometriche del prodotto vettoriale. A questo scopo le ultime due proprietà (che ho evidenziato con punti escalmativi) ci danno due informazioni importanti: la proprietà 5. risponde proprio al problema da cui eravamo partiti, cioè ci dice che il prodotto vettoriale fornisce un vettore ortogonale a entrambi i vettori di cui sto facendo il prodotto. Esempio 4 Prendiamo due vettori dello spazio a caso u = 6 v = e applichiamo la regola che abbiamo descritto sopra per calcolarne il prodotto vettoriale 6 π = π 6π. π Ora verifichiamo che vale la proprietà 5., cioè che il risultato è ortogonale sia a v che a u. Infatti, 6π = π + π = sono ortogonali! 6 π e π, 6π = π + 6π + 4π =, π funziona! Questa verifica ci rassicura sul fatto che non abbiamo fatto errori nel calcolarlo. Per concludere, vediamo cosa ci dice la proprietà 6. Ci dice che il prodotto vettoriale è un vettore la cui lunghezza è uguale all area del parallelogramma di lati u e v. Guardate la figura

5 Lezione 4 9 u α O base del parallelogramma = v altezza del parallelogramma = u sin α Vi convince? Una volta che sappiamo che l area del parallelogramma è data da base per altezza, questa è una semplice applicazione di trigonometria. Domanda: Le proprietà 5 e 6 bastano a determinare il prodotto vettoriale? Cioè ci danno tutte le informazione per individuare univocamente il risultato del prodotto vettoriale?... NO, manca qualcosa. Infatti le proprietà 5 e 6 ci dicono quale deve essere la direzione del prodotto vettoriale tra u e v (quella ortogonale ai due vettori) e ci dicono quanto deve essere lungo questo vettore (uguale all area del parallelogramma formato da u e v). Ma noi sappiamo che questo non basta! Sappiamo che per individuare un vettore ci serve conoscerne anche il verso. Il verso del prodotto vettoriale è dato dalla seguente regola: u v u v se voi siete il prodotto vettoriale (cioè state in piedi in modo che i vostri piedi siano nel punto O e la testa sulla freccia del vettore u v) dovete vedere i vettori u e v in modo che se fate ruotare u per sovrapporlo a v, lo vedete ruotare in senso antiorario. Troverete che nei libri questa regola è detta regola della mano destra (dipende dal fatto che l ordine con cui sono messi u, v e u v si ricorda identificandoli rispettivamente con il medio, il pollice e l indice della mano destra una volta che cerchiamo di tenerli tra di loro ortogonali...ma senza una figura non si capisce). Notate che un altro modo per ricordarsi questa regola è di controllare che =. Ossia, se u e v sono i vettori della base canonica che giacciono sull asse x e sull asse y, il risultato del prodotto vettoriale è il terzo vettore della base canonica e quindi giace sull asse z e punta verso l alto.

6 Lezione 4 4 Concludiamo questa lezione con lo svolgimento di un esercizio in cui vediamo un altro semplice problema geometrico in cui possiamo usare il prodotto vettoriale. Esercizio 5 Determinare l area del triangolo di vertici P = (, ), P = (, 4) e P = (5, ) Ve lo svolgo con tutti dettagli, perchè nello svolgimento ci sono vari passaggi istruttivi e per sottolineare che questo problema con un po di ragionamento e l uso del prodotto vettoriale si riduce a un operazione molto semplice. È infatti chiaro che l area del triangolo non è altro che la metà dell area del parallelogramma che ha i lati paralleli ai vettori P P e P P. Ma questo lo sappiamo calcolare con una sola operazione: il prodotto vettoriale. Ma questo richiede qualche accortezza. Prima calcoliamo i vettori P P e P P e questo lo sappiamo fare: P P = ( ) ( ) = 4 e P P = ( ) ( ) 5 =. 4 Poi, visto che questi due vettori sono nel piano (cioè scritto così sono elementi di E ), per poter fare il prodotto vettoriale (che si può fare solo tra vettori dello spazio) devo scriverli come vettori di E che giacciono sul piano xy, ossia devo aggiungere uno zero come terza componente. Quindi considero e Allora per calcolare l area del parallelogramma basta calcolare il prodotto vettoriale e poi calcolarne la norma.. Facciamolo = 8.,. Vedete? Come prevedibile il prodotto vettoriale giace sull asse z. Ma allora la norma è facile, è semplicemente 8 (ossia il modulo della terza componente). In conclusione l area del triangolo è 4 (cioè la metà di 8!). È chiaro che quello che abbiamo fatto in questo caso è veroin generale: l area del triangolo di vertici P = (x, y ), P = (x, y ) e P = (x, y ) non è altro che (x x )(y y ) (x x )(y y ), senza doversi calcolare base e altezza (che richiede un po di lavoro se il triangolo non è rettangolo).

7 Lezione 4 4 Esercizio 6 Fate la verifica di questa formula quando i vettori sono messi bene rispetto agli assi, ossia P coincide con l origine, e P sta sull asse x Con questa formula è facile calcolare l area di un qualsiasi poligono piano. Provate a fare questo esercizio. Esercizio 7 Calcolare l area del poligono di vertici P = (, ), P = (, ), P = (, 4), P 4 = (, 5) e P 5 = (, 5). Suggerimento: Disegnatelo e dividetelo in triangoli.