ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I Sessione suppletiva

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1 ESAME DI STAT DI LIE SIENTIFI RS SPERIMENTALE P.N.I. 7 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRLEMA Si consideri la funzione integrale: f () (e t e t e t )dt.. Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico, su un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali ().. Si scriva l equazione della normale alla curva nel punto di ascissa ln.. Si calcoli l area della superficie piana, delimitata dalla curva, dall asse delle ascisse e dalla retta di equazione ln. 4. Tenuto conto che ln d, si calcoli un valore approssimato di ln, utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati. PRLEMA Rispetto a un sistema di assi cartesiani ortogonali () si consideri il punto A(; ).. Si scriva l equazione del luogo dei punti del piano che verificano la condizione: P PA 8, controllando che si tratta di una circonferenza di cui si calcolino le coordinate del centro e il raggio.. Si determini l ampiezza dell angolo acuto formato dalla retta con la tangente alla circonferenza in, essendo il punto della curva avente la stessa ascissa di A e ordinata positiva.. Si scriva l equazione della parabola cubica a b c d che presenta, nell origine, un flesso con tangente orizzontale e passa per ; si studi tale funzione e si tracci il suo grafico. 4. Si calcoli l area della regione finita di piano limitata dal segmento e dall arco della suddetta parabola cubica. Zanichelli Editore, 8

2 QUESTINARI Si calcoli il volume del solido generato in una rotazione completa attorno all asse delle della regione finita di piano delimitata dalla curva e dalla retta di equazione Si calcoli il valore medio della funzione sen, nell intervallo. Data la funzione k k, nell intervallo chiuso [; ], si determini il valore di k per il quale sia a essa applicabile il teorema di Rolle e si trovi il punto in cui si verifica la tesi del teorema stesso. Si consideri la seguente proposizione: «In ogni triangolo isoscele la somma delle distanze di un punto della base dai due lati uguali è costante». Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta. Si dimostri che l equazione e ha un unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte. Si scelga a caso un punto P all interno di un cerchio. Si determini la probabilità che esso sia più vicino al centro che alla circonferenza del cerchio. Servendosi in maniera opportuna del principio di avalieri nel piano, si dimostri che l area di un ellisse di semiassi a, b è S ab. sen Si calcoli il limite della funzione, quando tende a. ( cos ) Si verifichi che la curva di equazione è simmetrica rispetto al suo punto di flesso. Si risolva la disequazione 5. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 8

3 SLUZINE DELLA PRVA D ESAME RS SPERIMENTALE P.N.I. 7 Sessione suppletiva PRLEMA. Data la funzione f () (e t e t e t )dt, risolviamo l integrale al secondo membro: (e t e t e t )d e t e t e t e e e. Ponendo a e, il numeratore dell ultimo termine diventa il polinomio a a 9a 5, il quale si scompone, utilizzando la regola di Ruffini, in (a ) (a 5). In conclusione la funzione da studiare è la seguente: f () (e ) (e 5). Essa ha come campo di esistenza l insieme dei numeri reali; si annulla per e altrove è sempre positiva. I limiti agli estremi del campo di esistenza valgono: lim (e ) (e 5) e lim f ( ), lim (e ) (e 5) 5. Ne segue che non vi sono asintoti obliqui, mentre la retta 5 è asintoto orizzontale. onsideriamo la derivata prima. Essendo f () (e t e t e t )dt, per il teorema fondamentale del calcolo integrale vale: f () e e e e (e e ) e (e )(e ). Poiché il prodotto e (e ) è sempre positivo, segue che: f () e. Pertanto la funzione ammette un minimo in corrispondenza dell origine degli assi, è decrescente per e cre- scente per (figura ). f() min Studiamo infine la derivata seconda: Figura. f () e 4e e e (e 4e ) e e e. Essa si annulla solo se e, cioè per ln, mentre è positiva per ln, negativa per ln. Pertanto la funzione ha concavità rivolta verso l alto per ln, rivolta verso il basso per ln e un flesso in ln (figura ). f'() f''() f() e e 9e 5 ln flesso + + Figura. Zanichelli Editore, 8

4 Indicato con F il punto di flesso di coordinate ln ; , il grafico della curva è rappresentato in figura.. Per definizione, la normale alla curva nel punto di ascissa ln è la retta perpendicolare alla tangente alla curva nel punto stesso. Tale punto ha ordinata: = (e ) (e + 5) F 5 f (ln ) ( ) ( 5) 7. Il coefficiente angolare della retta tangente in questo punto vale: Figura. f (ln ) ( )( ), quindi il coefficiente della retta a essa perpendicolare è m. Pertanto l equazione della retta normale alla curva nel punto ln ; 7 è: 7 ( ln ) l n 7.. In figura 4 è evidenziata l area della superficie piana da calcolare. La retta ln e la curva si intersecano nel punto P ln ;. L area di tale superficie vale: A ln f ()d ln e e 9e 5 d ln e e e 5 d n7 e e e 5 9 ln e l e ln ln ln. ln9 4. Per il calcolo approssimato di ln utilizziamo il metodo dei rettangoli. Dividendo, ad esempio, l intervallo [; ] in parti uguali e indicata con g la funzione g(), si ottiene: ln d g() g 9,76. g g 9 Si osserva che il valore di ln calcolato tramite calcolatrice è ln,69. P ln = ln Figura 4. 4 Zanichelli Editore, 8

5 PRLEMA. Sia P(; ) un generico punto del piano cartesiano. Utilizzando la formula della distanza tra due punti si ricava: P, PA ( ) 4 4, pertanto risulta: P PA 8 ( 4 4) L equazione è del tipo a b c. Essa rappresenta una circonferenza se a b c. Nel no- 4 4 P P + PA = 8 stro caso si ha a b c 6. Pertanto il luogo trovato è una circonferenza, con centro 4 ; e raggio r (figura 5).. Per trovare l ordinata di, punto della circonferenza avente la stessa ascissa di A e ordinata positiva, sostituiamo nell equazione della circonferenza il valore a. tteniamo: t Poiché l ordinata di è positiva, il punto ha coordinate ;. Tracciamo la retta t, tangente alla circonferenza nel punto e la retta (figura 6). α Per calcolare l ampiezza dell angolo rappresentato A in figura, determiniamo i coefficienti angola- 4 ri delle rette e t. La retta ha coefficiente angolare m. Figura 6. onsiderata la retta tangente t passante per il punto ;, il suo coefficiente angolare m t è l antireciproco del coefficiente angolare della retta passante per il raggio, ovvero: m, 4 pertanto m t. Figura 5. 4 A 5 Zanichelli Editore, 8

6 L angolo acuto, formato dalla retta con la tangente t, ha tangente goniometrica: m mt tg tg. m mt Risulta allora che 6.. Affinché il grafico della funzione f () a b c d passi per l origine e qui presenti un flesso con tangente orizzontale, devono essere verificate le seguenti condizioni: f(), f (), f (). Poiché f () a b c e f () 6a b, tali condizioni sono verificate rispettivamente se d, c, b. L equazione si riduce a a. Determiniamo il coefficiente a sostituendo le coordinate di ; alla funzione: a a 8. 4 L equazione della parabola cubica è quindi. 4 Essa è definita in tutto R, interseca gli assi nell origine che è anche l unico punto di flesso. È positiva nell intervallo ]; [, negativa in ] ; [ e sempre crescente. La concavità è rivolta verso l alto in ];[, verso il basso in ]; [. Il suo grafico è rappresentato in figura 7. Figura In figura 8 è indicata la regione finita di piano di cui si richiede di calcolare l area. La retta ha equazione, pertanto: Area 4 d 4 6. = Figura 8. 6 Zanichelli Editore, 8

7 QUESTINARI Determiniamo le intersezioni tra l iperbole di equazione e la retta risolvendo il seguente sistema: Indicate con A e tali intersezioni, nella figura 9 è rappresentato il solido di rotazione richiesto. Il corrispondente volume vale: V ( ) d d Per definizione, il valore medio di una funzione f(), continua nell intervallo [a; b], è: M b b f()d. a a Se f() sen, nell intervallo [; ] risulta: M sen d sen sen d (sen sen cos )d cos co sen ( cos )d s Una funzione f() soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle in un intervallo [a; b] se è continua in [a; b], se è derivabile nei suoi punti interni e se f(a) f(b). In tal caso esiste un punto c nell intervallo ]a; b [ tale che f (c). Se consideriamo f() k k nell intervallo [; ], le prime due ipotesi sono verificate in quanto la funzione è di tipo polinomiale per ogni k reale. È allora necessario imporre la condizione f() f(). Poiché risulta: f() k k 4, f() 8 4k k k, allora vale: = A = + 4. Figura 9. f() f() k 4 k 7. Pertanto il valore di k cercato è k 7. In sua corrispondenza si ottiene la funzione f() 7 7, la cui derivata è f () 7 7, che si annulla per Il punto che soddisfa il teorema di Rolle nell intervallo ]; [ è quindi Zanichelli Editore, 8

8 4 onsideriamo un triangolo isoscele A di base A, dove H è l altezza relativa al lato obliquo A (figura ). Sia D un qualsiasi punto sulla base ed ED e DF le sue distanze dai lati obliqui. onsideriamo la somma delle distanze ED DF. Sia l angolo alla base del triangolo isoscele. Ne segue che ED AD sen e DF D sen. Risulta pertanto: ED DF (AD D) sen A sen. Ma anche l altezza H ha lunghezza H A sen. Poiché in un triangolo isoscele la lunghezza dell altezza relativa al lato obliquo è univocamente determinata, ne segue che la somma delle distanze di un qualsiasi punto della base dai due lati obliqui è anch essa univocamente determinata, perciò costante. L affermazione è pertanto vera. A E α H D F Figura. 5 Il testo del quesito è errato poiché si dimostra che l equazione e ammette più di una radice reale nel suo campo di esistenza R. onsideriamo infatti la funzione f() e. Essa è continua in R; inoltre f() e ed f() e 8. Pertanto, per il teorema degli zeri esiste almeno una radice reale nell intervallo ]; [. Ma risulta anche: f(4) e 4 64 e f(5) e 5 5. Dunque esiste anche un altra radice reale nell intervallo ]4; 5[. Un esempio, invece, di funzione che ammette un unica radice reale è g() e. Infatti essa è continua e risulta: g( ) e,6, g() e. La sua derivata è g () e che è positiva in R. La funzione suddetta è strettamente crescente e ammette un unica radice che è interna all intervallo [ ; ]. Per completare comunque il quesito, calcoliamo un valore approssimato con due cifre decimali esatte della radice della funzione f() e nell intervallo ]; [. Utilizzando il metodo di bisezione otteniamo la seguente tabella. f( ) f( ),7,6,5,5,5,,6,75,5,75,4,6,875,5,75,875,4,7,85,65,85,875,7,7,848,5,848,875,5,7,8595,56,8595,875,9,7,867,8 La soluzione appartiene all intervallo [,8595;,875] e una sua approssimazione con due cifre decimali esatte è:,867. n 8 Zanichelli Editore, 8

9 6 Un punto P, interno a un cerchio di centro e raggio r, è più vicino al centro che alla circonferenza del cerchio stesso se esso è interno al cerchio di centro e r raggio (figura ). Il rapporto tra l area del cerchio e quella del cerchio fornisce la probabilità richiesta, che vale: r ' P r r P 4. r Figura. 7 Il principio di avalieri nel piano afferma che se un fascio di rette parallele stacca su due figure piane coppie di segmenti uguali o proporzionali, allora anche le aree delle due figure sono uguali o proporzionali con lo stesso rapporto di proporzionalità. onsideriamo in un sistema cartesiano ortogonale un ellisse di semiassi a e b, di equazione A A' ' b =k a, e una circonferenza di raggio b, a b di equazione b (figura ). onsideriamo la retta parallela all asse delle di equazione k, con k ] b ; b[. Essa interseca l ellisse nei punti A e, le cui coordinate si trovano risolvendo il seguente sistema: k a b a b pertanto risulta: A a b b k ; k e a b b k ; k. k b k a a b b k, sserviamo che la corda A intercettata sull ellisse ha lunghezza: A a b b k a b b k. Intersechiamo ora la retta k con la circonferenza: k b k b k ; b i punti di intersezione sono: A ( b k ; k) e (b k ; k). La corda intercettata ha lunghezza: A b k b k. sserviamo che, al variare di k nell intervallo ] b; b[, il rapporto tra la lunghezza delle due corde intercettate rispettivamente sull ellisse e sulla circonferenza è costante: A A a b b k a b. b k Figura. 9 Zanichelli Editore, 8

10 Ne segue, per il principio di avalieri, che anche il rapporto delle rispettive aree deve valere a b, cioè: A a b A ellisse a b A circonferenza a ellisse b b ab. Acirconferenza In conclusione l area di un ellisse di semiassi a e b è ab. 8 9 Il limite si presenta nella forma indeterminata. Procediamo applicando più volte il teorema di De L Hospital: sen lim lim ( cos ) n lim lim sen se cos lim cos lim. cos sen Determiniamo il flesso della funzione f () studiando il segno della sua derivata seconda: f''() + f () 6, f () 6 6. Quest ultima si annulla per, è positiva per e f() flesso negativa altrove (figura ). Figura. La funzione ha un flesso nel punto, il quale ha immagine f ( ). Indichiamo con F ( ; ) il punto di flesso del grafico corrispondente. La simmetria centrale di centro F (; ) ha equazioni:, da cui. cos ( cos ) sen Trasformiamo l equazione f () secondo questa simmetria: ( ) ( ). Togliendo gli apici e svolgendo i calcoli, si ricava: F 8 6 Ritrovando l equazione della curva di partenza, possiamo concludere che essa è simmetrica rispetto al punto F. Il suo grafico è rappresentato nella figura 4. La disequazione assume significato solo se è un numero naturale tale che:. cos cos cos sen sen sen sen cos Figura 4. Risolviamo la disequazione utilizzando la formula del coefficiente binomiale:! 5 ( )! 5 5( )( ) ( )( ). ( )!!!( )! Essendo, pertanto positivo, possiamo dividere per : 5( )( ) ( )( ) = + Zanichelli Editore, 8

11 Tale disequazione è verificata per 4. Poiché l equazione di partenza ammette come soluzioni accettabili solo i numeri naturali tali che, le sue soluzioni sono pertanto e 4. Per esercitarti ancora sugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema Problema pag. W 7 (punti a, c) Esercizio 47 pag. V 75 Esercizio 59 pag. W Esercizio 5 pag. 54 Quesito 8 pag. 6 Problema Problema 5 pag. L 68 Esercizio 6 pag. Quesito 9 pag. W 67 Esercizio 4 pag. V 4 Esercizio 9 pag. W 8 Quesito Esercizio 69 pag. W 4 Problema 8 pag. W 5 Quesito Esercizio 76 pag. W 4 Quesito Esercizio pag. V 5 Quesito 5 Quesito 5 pag. W 67 Quesito pag. Quesito 6 Test 9 pag. 9 Quesito 8 Quesito 9 pag. W 69 Esercizio 5 pag. V 9 Quesito 9 Esercizio 48 pag. V 87 Esercizio 5 pag. J 7 Quesito Quesito 6 pag. 7 Zanichelli Editore, 8

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