Il corpo nero e la crisi della fisica classica
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- Gilberto Raimondi
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1 Il corpo ro l crisi dll fisic clssic Emissio d ssorbimto dll rdizio lttromgtic di corpi Ogi corpo c si trov d u tmprtur mggior dllo zro ssoluto mtt u rdizio dtt rdizio trmic. Qust rdizio, d u puto di vist clssico, è ttribuit ll cric cclrt dl solido, quidi è costituit d uo spttro cotiuo. Ioltr è fcil immgir c ll umtr dll tmprtur l itgrl dllo spttro trmico msso umti proporziolmt. Qust crttristic di corpi cldi è stt mpiricmt dscritt dll lgg di Stf (879): 4 è l costt di Stf-Boltzm I tot ET L qutità E è u costt c si cim missività o potr missivo dl corpo. Qust costt può ssumr vlori comprsi fr d dipd dll tur dl corpo stsso d è u fuzio di di T. Si può dfiir c u potr ssorbt c rpprst il rpporto fr l dsità di rgi ssorbit qull icidt: E( v, T) A(, T) ST E E i E T
2 Mtrili o mtllici Mtlli Mtril Emissività Mtril Emissività Acqu.9 Acciio Amito.95 Ossidto.7-.9 Argill.95 Lmito frddo.7-.9 Asflto.95 Crboio Bslto.7 No ossidto.8-.9 Clcr.98 Grfit.7-.8 Clcstruzzo.95 Crborudum.9 Crt (qulsisi color).95 Frro Ossidto Arruggiito Crmic.95 Lg A Gsso Ossidto. Giccio Otto Giccio (bgo di).95 Bruito. Ossidto.5 Gii.95 Gomm.95 Piombo Lgo turl Ruvido.4 Mtto.95 Nv.9 Plstic (opc >5mils).95 Sbbi.9 Suolo Tssuto.95 Vric (o llumiio) Vtro (lstr di).95
3 L immgi IR corrispod ll rdizio trmic dl soggtto iqudrto L trmocmr vd l rdizio mss i tutt l dirzioi dll oggtto dll mbit circostt L immgi c si otti dipd dll combizio tr l tmprtur l missività dll oggtto i lisi
4 U smpio prtico molto sigifictivo. L diffrz di tmprtur tr l prt dstr siistr dll oggtto è solo pprt. I rltà solo l missività cmbi!! 4
5 Torm di Kircoff: F( v, T ) E( v, T) E( v, T) F( v, T) A ( v, T) A ( v, T) È u fuzio uivrsl U corpo i grdo di ssorbir tutt l rdizio icidt, (cioè pr il qul risult =), è dtto corpo ro. U corpo di qusto gr è cotmpormt il miglior ssorbitor m c il miglior mttitor di rdizio lttromgtic, ioltr è vidt c lo studio dll rdizio mss d u tl Lgg dllo spostmto di Wi: corpo divg uivrsl ssdo i tl cso F(,T)= E(,T) λmt = cost. = C 5
6 L tori di Rylig-Js Cosidrimo u sctol cubic prti prfttmt riflttti d tmprtur T, suppoimo c su u dll prti si prticto u piccolo foro, u od lttromgtic c lo colpiss b difficilmt potrbb riuscir, quidi il forllio si comport com u corpo ro. Ricorddo il torm di Kirkoff, è itrsst studir l distribuzio i rgi dl cmpo EM msso dl corpo ro. A tl scopo dobbimo prim di tutto clcolr il umro di modi c possoo soprvvivr ll cvità, si trtt vidtmt dll cosiddtt od stziori, cioè di qull od pr cui i odi dl cmpo si trovo sull prti dll sctol. Nl cso più grl è cssrio cosidrr tr possibili dirzioi di propgzio dl cmpo idividut dgli goli,,g. L distz fr i odi ll dirzioi di propgzio è => L tr compoti dl cmpo lttrico si possoo scrivr com : E(, t) E( y, t) E( z, t) Asi( Asi( Asi( y z / / / z y )si( )si( )si( t) t) t) cos y cos z cos g 6
7 7 Il cmpo così dscritto soddisf implicitmt ll codizio di vr u odo i =y=z=, S l ostr sctol i lti di dimsio, l codizio pr cui il cmpo è stziorio prst u odo i è : ) cos( ) cos( ) cos( g z y Dov: =,,,..; y=,,,, ; z=,,,.. Elvdo l qudrto trmbi i mmbri di qust ugugliz, poi sommdol mmbro mmbro ricorddo c, pr dfiizio, l somm di qudrti di cosi dirttori è, si otti: cos cos cos g z y z y c c z y 4 z y
8 Si dvoo dsso cotr il umro di od co frquz comprs fr d +d. Pr fr ciò psimo llo spzio dfiito dll isim dgli prmssi, ogi tr di umri rpprst u modo prmsso, quidi il umro di modi comprsi fr d +d è ugul l umro di puti comprso fr l clott sfric di rggio comprso fr r d r+dr dov : r y z r c Il umro di oscilltori, N( r ) dr, quidi ltro o è c il volum rcciuso fr l clott sfric. Limitdo prò l vlutzio l solo ottt positivo si trov: N( r) dr r dr 4r dr 8 N( ) d c d Il clcolo dl umro di modi è formlmt corrtto, cctto pr il ftto c si è trscurto il cotributo dovuto l ftto c du modi polrizzti ortogolmt fr di loro soo c idipdti. Quidi il umro di modi co frquz comprs fr +d è : 8 d N( ) d c 8
9 Pr vlutr l dsità di rgi cotut ll cvità si dv dsso clcolr l rgi mdi dl sigolo oscilltor c moltiplict pr il umro di oscilltori forisc il risultto crcto. Scodo l fisic clssic ogi oscilltor può vr quluqu vlor dll rgi, m pr u sistm popolto d u gr umro di oscilltori ll quilibrio trmico fr di loro, l mccic sttistic suggrisc c l rgi dgli oscilltori sio distribuiti scodo u probbilità di distribuzio P(,T) c dipd c dll tmprtur. L qutità P(,T)d rpprst l probbilità di trovr u oscilltor co rgi comprs fr d +d i u sistm ll quilibrio trmico cott u gr umro di oscilltori. P(, T) M, d P! P( ) d P( ) d P P d d podo y d dy d d Ossrvdo c: =,!= d d y Si trov: d y dy 9
10 L itgrl l domitor si otti dirttmt co l posizio : y d dy Si trov: d y y dy d y dy Quidi: P( ) d P( ) d d d
11 L dsità di rgi si otti moltiplicdo il umro di oscilltori pr l loro rgi mdi dividdo pr il volum. Si otti: d 8 c T d Ricorddo c : E cosidrdo c si possoo cottr du itrvlli rispttivmt di frquz lugzz d od c sio fr di ssi quivlti pr i quli vl l rlzio: Quidi: c / c d d T d T d c d d d Td T T 8K T 5 Qust ultim è l lgg di Rylig Js c pprtmt soddisf l lgg grl di Wi c prvd u dipdz proporziol ll quit potz gtiv dll lugzz d od.
12 Clcoldo l rgi totl pr ctimtro cubo l sistm utilizzdo l lgg di Rylig-Js si otti : d 8 T d 8 lim 4 Si può fcilmt ossrvr c qust ultim sprssio è divrgt pr c v zro. Qusto dmto irrlistico è oto com ctstrof ultrvioltt d è l ivitbil cosguz dll vr utilizzto u sttistic clssic pr l vlutzio dll rgi mdi dgli oscilltori.
13 L tori di Plk Nl 9 Plk postulò c l rgi possdut dgli oscilltori o potss ssr quluqu, m dovss soddisfr l rlzio : Dov è u itro positivo, l frquz di oscillzio d u costt uivrsl. Ovvimt qust ssuzio implic c il clcolo dl vlor mdio dll rgi ssocit gli oscilltori o può più ssr sguito utilizzdo l sttistic clssic. Iftti i qusto cso è cssrio sostituir ll itgrl l sommtori, così si otti: A A P P ) ( ) ( / /
14 4 l d d Tuttvi, poicé il modulo di è mior di uo, l sri covrg:... Quidi l / d d
15 Usdo qust ultimo vlor pr l rgi mdi possimo dsso clcolr l dsità di rgi ll cvità, si otti: T T d d N 8c 5 d 8 c d c/ d / Qust ultim riproduc b i dti sprimtli. è dtt costt di Plk vl 6.6X -7 rg.sc 5
dell'intervallo in cui si hanno discontinuità di prima o terza specie. Supponiamo, per semplicità (ma b ed ivi continua b h lim c h b ] e si pone
![dell'intervallo in cui si hanno discontinuità di prima o terza specie. Supponiamo, per semplicità (ma b ed ivi continua b h lim c h b ] e si pone](/thumbs/88/116569794.jpg "dell'intervallo in cui si hanno discontinuità di prima o terza specie. Supponiamo, per semplicità (ma b ed ivi continua b h lim c h b ] e si pone")
INTEGRALI IMPROPRI L tori dll'itgrzio di u fuzio f cotiu i u itrvllo ciuso itto [ ] si può stdr sostitudo l'ipotsi di cotiuità i [ ] dll fuzio f co qull dll ittzz I tl cso si ffrot il prolm dll'itgrzio
x ; sin x log 1 x ; 4 0 0,0.
.. Pr quli vlori dl prmtro l sri S (i uzio dl prmtro ). q ch covrg s solo s q. q Ricordimo ch pr q è q q q q q h soluzio pr tli vlori l sri covrg S E' u sri gomtric di rgio covrg? Pr tli vlori sprimi l
Successioni numeriche
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( a) 1 a + Es. Data la funzione:
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1) L unità l SI pr l tmprtur l mss sono, rispttivmnt gri grmmi klvin kilogrmmi Clsius milligrmmi Clsius kilogrmmi klvin grmmi 2) Qul mtril ffon nll olio ( = 0,94 g/m 3 )? ghiio ( = 0,92 g/m 3 ) sughro
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tx P ty P 1 + t(z P 1)
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04//205 Clcolo itegrle per fuzioi di u vriile Clcolo itegrle Itegrle defiito Si f:[,] R, limitt ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 0 = 2 3 4 5 = Costruimo l somm di Cuchy-Riem S f f Dove l suddivisioe dell itervllo [,]
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Progressioi geometriche Comicimo co due esempi: Esempio Cosiderimo l successioe di umeri:, 6,, 4, 48, 96 L successioe è tle che si pss d u termie l successivo moltiplicdo il precedete per. Si dice che
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. La n a indica il valore assoluto della radice.
RADICALI Defiizioe: U umero irrziole è u umero decimle illimitto o periodico. Esempio:, 0, π Per clcolre il vlore pprossimto di u espressioe coteete rdici coviee mipolre l espressioe per ridurre l mssimo
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