IL PROBLEMA DELLE TRE CASE

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1 IL PROBLEMA DELLE TRE CASE L qustioni post in qust u sh rigurno un prolm lssio, h spsso si trov sotto il nom i prolm ll tr s o prolm ll tr s i tr srvizi : fissti u gruppi i tr punti nl pino, i si hi s è possiil onnttr isuno i tr punti l primo gruppo on isuno gli ltri tr mint i mmini h non si inroino. Dl punto i vist i grfi, i si omn quini s il grfo ostituito si vrtii (A,B,C,1,2,3) nov spigoli (A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3) è un grfo plnr, ovvro s si può isgnr sul pino snz h gli spigoli si inroino (l i fuori i vrtii). L rispost è ngtiv nll prim sh si r i fr rrivr i rgzzi ll onspvolzz i qust impossiilità, mntr nll son si splor l possiilità i isgnr lo stsso grfo su suprfii ivrs l pino. Mtril oorrnt: pr l prim sh stno l pintin h si possono stmpr l CD (è suffiint un pintin pr ogni gruppo i rgzzi, oorr prò h l pintin vngno stmpt olori); pr l son sh è util suggrir i rgzzi i fr qulh sprimnto sui tori i polistirolo h si trovno nl kit (ov possono sgnr i prorsi on i fili i si punti i rifrimnto on ll puntin) su nstri i Moius h si possono ostruir rtiginlmnt on rt soth. Allo sopo solo i visulizzr om è ftto un nstro i Moius, si può utilizzr un qulsisi pzzo i rt; s, inv, si vuol usr il mollo pr provr isgnrvi l soluzion l prolm, suggrimo i usr i rttngoli trsprnti omprsi nl kit: qusto mtril inftti, prmttno i vr il trtto i pnnrllo sui u lti, vit il prolm h si vr sull rt i ritrovrsi ll ltr prt quno on un trtto i pnn si è ftto l intro giro l nstro. D1 IL PROBLEMA DELLE TRE CASE I Avt isposizion un pintin i Prigi su ui sono sgnt tr importnti mt turistih, ovvro l torr Eiffl (E), il muso l Louvr (L) l Géo l pro ll Villtt (G) tr stzioni, ovvro l gr u Nor (1), l gr Lyon (2) l gr Montprnss (3); si vuol progttr un mtropolitn lggr i suprfii h ollghi irttmnt isuno i tr punti initi (E, G, L) on isun ll tr stzioni (1, 2, 3). Non i import l lunghzz o il trgitto ll lin, m nturlmnt qust non vono intrsrsi. È possiil? Provt riformulr il prolm fno rifrimnto un grfo. È fil h opo un po i tnttivi i rgzzi ino l imprssion (orrtt) h il prolm potr non vr soluzion: l omn sussiv rhrnno i guirli vrso un possiil rgomntzion pr imostrr qust impossiilità. L rihist spliit i riformulr il prolm in trmini i grfi h snso nturlmnt solo nl so sino stt già trttt lun ll sh rltiv i gruppi A, B, C può ssr omss in so ontrrio. QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 25

2 Tuttvi, può omunqu ssr util fr notr h, on l ipotsi ftt sul prolm, non h lun importnz l uizion i punti quini si può nh ignorr l rtin i Prigi shmtizzr il prolm on si punti h vnno ollgti in un n trmint mnir: s om in figur nll pgin sgunt s n inino tr on pllini nri (l tr stzioni) tr on pllini olorti (l torr Eiffl, il Louvr l Géo), si hi i ollgr isuno i pllini nri on isuno i pllini olorti, in moo h i prorsi non si inroino. (In fftti, l ipotsi ftt sul prolm, in prtiolr l ipotsi i ignorr l lunghzz ll lin, sono ipotsi rtmnt ssi poo rlistih: s qusto ftto non mrg spontnmnt i rgzzi, può vlr l pn fr loro ossrvr h si trtt qui i un prolm più i fntsinz h i mtmti pplit!) Sull rtin, provt isgnr solo si ll nov lin h oorrono, ioè ll lin h ongiungno (snz inroirsi): l torr Eiffl on l gr u Nor (E 1) l gr u Nor on l Géo (1 G) l Géo on l gr Lyon (G 2) l gr Lyon on il muso l Louvr (2 L) il muso l Louvr on l gr Montprnss (L 3) l gr Montprnss on l torr Eiffl (3 E) Ch tipo i urv formno qusti si mmini? In qunt rgioni qust urv ivi il pino? Qusto numro i rgioni ipn sono voi om sono stt trit l lin? Prhè il prolm to ll inizio si risoluil, ogni nuovo mmino v ssr tutto intrno o tutto strno ll urv, pr ompltr l soluzion oorrr ggiungr i tr mmini l muso l Louvr ll gr u Nor (L 1) ll torr Eiffl ll gr Lyon (E 2) ll Géo ll gr Montprnss (G 3) Provt usr qusto risultto pr giustifir il ftto h il prolm non h soluzion. Provt nh sglir tr punti i rifrimnto ivrsi sull pintin i Prigi (pott sizzrrirvi progttr un viggio Prigi: il Buourg, pl s Vosgs, Nôtr-Dm, Montmrtr... llrgno un po l pintin pott insrir nh l Grn Arh o i prhi l Bois Boulogn l Bois Vinnns...) s volt nh tr stzioni ivrs: vi immgint h l impossiilità i un soluzion ipn ll posizion i punti slti h minoli si poss trovr un situzion in ui il prolm è risoluil? Lo sopo i qust omn è qullo i fornir un tri pr giustifir l impossiilità l prolm. I primi si mmini, s si ur i fr in moo 26 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

3 h non si inroino, formno un urv smpli (ioè snz inroi) hius; è importnt ossrvr h qusto ipn solo l moo in ui sono onnssi i si vrtii, non ll loro posizion o istnz, nppur l prorso slto pr l ivrs lin (purhé qust non si intrshino l i fuori i vrtii). G 1 L E 2 3 Un qulunqu urv smpli hius ivi il pino in u rgioni, un limitt ll intrno un illimitt ll strno, ntrm h hnno om oro l urv in qustion: qusto ftto ll pprnz osì innouo rtmnt molto intuitivo ostituis l nunito l torm i Jorn è in rltà ssi omplito imostrr (è molto smpli imostrrlo usno strumnti sofistiti non lmntri; inv, un imostrzion h usi solo strumnti lmntri è ssi involut). Non pnsimo h si util in qust fs soffrmrsi fr rgionr i rgzzi su qusto nunito, h non vrnno lun iffioltà prnr pr uono. Evntulmnt, si può sottolinr on opportun omn l importnz ll ipotsi ftt sull urv (è fil rnrsi onto h il torm non vl s l urv non è smpli, o s l urv non è hius). Può piuttosto ssr util tornri sopr in un sono momnto, quno i rgzzi vrnno visto smpi i suprfii su ui il torm i Jorn non vl: in fftti l sussiv sh mirno proprio rnrli onspvoli l ftto h l proprità sprss l torm i Jorn rttrizz in un rto snso l topologi l pino. Ammttno il torm i Jorn, è stnz fil, sguno l tri t, onlur h il prolm proposto non h soluzion: in fftti isuno i tr mmini h rstno insrir (L1, E2, G3) è tutto intrno o tutto strno risptto ll urv smpli hius ostituit i si mmini E1-1G-G2-2L-L3-3E. Trino uno i qusti tr mmini ll intrno ll urv, qusto impirà il pssggio pr l intrno gli ltri u (to h i mmini non possono inroirsi); trino uno i tr mmini ll strno ll urv, pr lo stsso motivo qusto impirà il pssggio pr l strno gli ltri u. Il trzo mmino è quini omunqu loto. Di nuovo, è n fr fr i rgzzi ivrsi tnttivi (sull rtin, m nh su un foglio i rt on i si punti isposti nll mnir più svrit) in moo h quisisno l onspvolzz l ftto h qusto rgionmnto non i- QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 27

4 1 G pn ll posizion i punti o l prorso i mmini h li onnttono. D2 IL PROBLEMA DELLE TRE CASE II In qust sh vi proponimo lo stsso prol- E E E L L L G 2 G 2 m h vt isusso nll sh prnt introuno prò lun rgol h portrnno tr iffrnti situzioni. Il prolm è: Avt isposizion un pintin i Prigi su ui sono sgnti l torr Eiffl (E), il muso l Louvr (L), l Géo l pro ll Villtt (G) tr stzioni: l gr u Nor (1), l gr Lyon (2) l gr Montprnss (3); si vuol ostruir un mtropolitn lggr i suprfii h ollghi irttmnt isuno i tr punti initi (E, L, G) on isun ll tr stzioni (1, 2, 3). 1.Provt risolvr il prolm sull pintin on quttro lti olorti, on l rgol h è possiil usir un lto rispuntr ll ltro nl punto llo stsso olor. Ci sit riusiti? S sì, om? Pott fr un isgno qui sotto. 2.Provt risolvr il prolm sull pintin on u lti olorti (qulli str sinistr) on l rgol h è possiil usir un lto rispuntr ll ltro nl punto llo stsso olor. Ci sit riusiti? S sì, om? Pott fr un isgno qui sotto. 3.Provt risolvr il prolm sull pintin on u lti olorti, (qulli in lto in sso) on l rgol h è possiil usir 28 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

5 un lto rispuntr ll ltro nl punto llo stsso olor. Ci sit riusiti? S sì, om? Pott fr un isgno qui sotto. Ni primi u si il prolm h soluzion, è fil h i rgzzi prim o poi l trovino pr tnttivi. Qui sotto si trov un smpio h prt i primi si mmini isgnti nll isussion ll im- G 1 E L 2 3 possiilità nl so pino sfrutt l nuov rgol pr ggiungr gli ltri tr mmini. È fil h i rgzzi qusto punto sino onvinti h nh il trzo so h soluzion, prhé è possiil pssr pr itro : inv no, nl trzo so il prolm è impossiil om nl so l pino; il punto ruil, inftti, non è tnto il potr pssr pr itro, m proprio il torm i Jorn: om l omn sussiv rhrnno i portr ll lu, i primi u si quivlgono risolvr il prolm su un toro o su un nstro i Moius (suprfii su ui è possiil trovr un urv smpli hius h non ivi l suprfii in u prti), mntr il trzo so quivl risolvrlo su un ilinro, su un ilinro, om sul pino, qulunqu urv smpli hius sonntt l suprfii. 4.Risolvr il prolm sull pintin on i lti olorti è quivlnt risolvrlo su un suprfii ivrs l pino. Provt sri- E 3 L 1 G 2 vr qust suprfii, ni tr ivrsi si. Risolvr il prolm nl primo so quivl risolvrlo su un toro (o imll), l suprfii h si ottin ll rtin inollno i lti olorti in moo tl h i punti llo stsso olor si sovrppongno. Nll pgin sgunt vt un fs l prosso on ui l rttngolo pino si vin formr un toro vviinno i lti opposti on l stss olorzion. QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 29

6 Risolvr il prolm nl sono so quivl risolvrlo su un nstro i Moius, l suprfii h si ottin ll rtin inollno i lti olorti in moo tl h i punti llo stsso olor si sovrppongno. Risolvr il prolm nl trzo so quivl risolvrlo su un ilinro, l suprfii h si ottin ll rtin inollno i lti olorti in moo tl h i punti llo stsso olor si sovrppongno. Qui sotto vt un fs l prosso on ui l rttngolo pino si vin formr un ilinro vviinno i lti on lo stsso olor. 30 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

7 5.Riusit frvi un i l motivo pr ui su u ll suprfii ivrs l pino h vt onsirto il prolm h soluzion inv nll ltro so no? Sul nstro i Moius sul toro è possiil trir un urv smpli hius snz ivir l suprfii in u rgioni. In figur si v un smpio. Nturlmnt, qusto giustifi soltnto il ftto h non si ppli qust u situzioni il rgionmnto h i h portto imostrr l impossiilità nl so pino, non str ir h il prolm è risoluil: prltro è proil h i rgzzi sino omunqu già rrivti pr tnttivi trovr un soluzion. Nl so l ilinro, inv, un giustifizion rigoros è più ripost, prhé pss ttrvrso il ftto h nh sul ilinro, om sul pino, ogni urv hius smpli sonntt l suprfii, nh s qust volt non si può più prlr i intrno strno i sono u situzioni possiili: l urv può ivir il ilinro in u ilinri (om nll figur ll prossim pgin sinistr) oppur in un iso un ilinro uto (om nll figur sull str). Pr risponr ll omn 4., si può suggrir QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 31

8 i rgzzi i vviinr i lti olorti ll pintin in moo tl h `punti llo stsso olor si sovrppongno. Si h osì un i ll suprfii h si vngono formr. Con l rt si ris visulizzr molto n ( nh ostruir) il ilinro il nstro i Moius, nh s, pr qul h rigur il nstro i Moius, è opportuno prtir (non l rttngolo ostituito ll pintin, m) un rttngolo strtto lungo (on il lto lungo h si lmno 5 volt il lto orto). Risult, inv, nturlmnt insoisfnt l ostruzion l toro, nh s è possiil frsn un i. Pr mostrr il pssggio l mollo pino ll suprfii, risultno strmmnt suggstiv l nimzioni nl CD-rom Visioni (non) suprfiili. Con tli nimzioni, si vono n nh gli smpi i urv hius snz inroi trit sul nstro i Moius sul toro h non li iviono in u prti. Nl so l nstro i Moius, si può hir gli stunti i riprnr in mno il mollo l nstro i rt trsprnt i iniviur su i sso un urv hius snz inroi h non lo ivi in u (prim i vr visto l nimzioni pr ongtturr opo vrl vist pr onfrmr l ipotsi ftt). Si può nh hir loro os rimn in mno opo vr tglito il nstro i Moius lungo tl urv in moo invoglirli fr l ttività propost nll sh sussiv Cilinri nstri i Moius. Non è nssrio h tutti gli stunti i un gruppo ostruisno un nstro i Moius on l rt: n stno u o tr pr gruppo. Su uno i ssi si può hir i trir i prorsi risolvr il prolm; sull ltro, si può hir i iniviur un urv hius snz inroi h lo ivi in u rgioni sul trzo un urv hius snz inroi h non lo ivi in u rgioni. Pr i tori, pott hir i risolvr il prolm non solo sull rtin, m nh sui tori i polistirolo on l puntin (pr inir l stzioni i punti i rifrimnto) i fili pr trir i prorsi. Può ssr util hir loro i iniviur u mmini formti i prorsi triti: uno h ivi il toro in u uno h non lo ivi in u. 32 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

9 SUPERFICI I prolmi posti in qust tr sh rigurno l suprfii. Lo sopo h i si propon è soprttutto qullo i portr i rgzzi fr qulh srizio i immginzion : l immginzion è un foltà przios pr gli stui i mtmti ( non solo i mtmti!), non smpr trov un mnir gut i strinsrsi. Nll prim sh i si rilli qunto visto nl prolm ll tr s, h in moo nturl port rionosr h prtno un rttngolo ompino rt intifizioni sui lti si ottngono volt volt ivrs suprfii (un ilinro, un nstro i Moius, un toro...): i si sizzrris quini su ltr intifizioni prtno ltri poligoni. Con un rto stupor imo ossrvto prt i rgzzi un rispost positiv qusto prolm: hnno imostrto un grn ntusismo nl trffir on rt forii soth fino frsi un i i os si potv ottnr... Nll son sh si sminno l suprfii sritt ni postr h ompgnno il kit si utilizz il mtril isposizion pr ostruirn ltr: lo sopo è qullo i rrivr vr un i intuitiv l torm i lssifizion ll suprfii. Nll trz sh i si propon i fr rionosr ilinri nstri i Moius immrsi nllo spzio triimnsionl in vri moi, fno ossrvr l ironfrnz h formno il loro oro (qunt sono om sono ispost) os si ottin tglinoli mtà. Mtril oorrnt: pr l prim sh: forii, rt, soth o uitri, oltr l mollo i tringolo in stoff omprso nl kit; pr l son sh: i tui i rori forniti nl kit; i postr; luni oggtti i uso omun; pr l trz sh: i rttngoli i noprn i nuovo forii, rt, soth o uitri; pr l trz omn possono ssr utili i rttngoli i rt olorti. E1 DAI POLIGONI ALLE SUPERFICI TOPOLOGICHE Avt visto om prtno un rttngolo si possno ostruir un ilinro, un nstro i Moius un toro, inollno i lti sono l inizioni i olori. Or provt utilizzr l stss tni pr ostruir ltr suprfii, prtno ll intifi- 1 è un sfr 2 è un iso 3 è un ilinro 4 è un nstro i Moius QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 33

10 zioni h trovt nll sgunti figur. Qust volt inihimo l intifizioni on fr on l stss orintzion, vntulmnt ggiungno un lttr quno è nssrio. Non è un mtoo stnr pr risolvr qusto 5 è un nstro i Moius 6 è un toro 7 è un toro on un uo 8 è un itoro 9 è un nstro i Moius 10 è un iso f tipo i prolmi. In luni si è stnz fil vr l rispost, smpio è rto più fil pr i primi si poligoni proposti i qunto non lo si pr gli ultimi si. In luni si si può trovr un vlio supporto nll nimzioni fornit nl CD-rom Visioni (non) suprfiili: qusto CD suggris - smpi nloghi h iutno l fntsi svilupprsi nh s non ontin l spifi nimzion h mostr il poligono h qui si propon ivntr l suprfii quno si tthino i lti qul moo. Potr in qusto snso ssr intrssnt proporr qusti srizi i immginzion i rgzzi in u puntt, un prim un opo i un inontro in ui si mostrno loro l nimzioni ontnut nl CD. Qulh ommnto spifio sull singol ostruzioni: 2 i rgzzi irnno h si trtt i un ono, l rispost è orrtt. Si può fr loro ossrv- 11 è un toro 12 è un itoro f 34 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

11 r h un ono è l stss os i un iso, smpio pnsno i ffttur l intifizioni on un mtril non rigio in moo potrl rlizzr rstno su un pino: vi figur. 3,4,5,6 sono sostnzilmnt si già sminti on il prolm ll tr s l pintin: si trtt i rnrsi onto h non import l form l poligono ui si prt. 7 l figur sgunt può iutr visulizzr h si trtt i un toro on un uo, riportno il prolm un ltro già sminto. inollr) è n fr loro prsnt h l oprzioni tgli--ui sono onsntit PURCHÉ, quno si riinoll, si i ur i frlo ttno insim punti h rno intifiti fr loro prim l tglio. 8 può ssr util immginr i suivir il poligono in u prti, un h ontin i lti su ui sono trit l fr l ltr su ui sono trit l fr. Nll suivision si rno u nuovi lti (uno su ogni prt) h ll fin i ovrmo riorr i inollr nuovmnt. L u prti ottnut on il tglio ppn ftto sono u tori uti (è proprio il so 7) i u lti gnrti on il tglio ivntno l u ironfrnz i oro in isun toro uto. Rst or inollr tli ironfrnz, si ottin osì un itoro. S i rgzzi sollvno ui sull liità i qust oprzion (opo tutto si è tto h in topologi si può formr finhé si vuol, m non si può tglir 9 Un moo pr rnrsi onto h si trtt i un nstro i Moius è qullo i immginr i tglir il tringolo lungo l ltzz poi rinollr i u tringoli ottnuti lungo l fri ross (rispttno il vrso!): si ottin QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 35

12 llor il nstro i Moius nll posizion fmilir i rttngolo on lti opposti intifiti, h i rgzzi hnno già imprto rionosr. Il tringolo i stoff on lo zip isposizion nl kit prmtt in qusto so i rlizzr mtrilmnt l intifizion rihist. 10 i rgzzi irnno h è un rttngolo pigto mtà, il h v nissimo, m è fr loro rionosr h un rttngolo pigto mtà è, l punto i vist ll topologi, l stss os i un iso. Il prolm è nlogo qullo l numro 2. figur qui sotto iutno qusto srizio i immginzion. f f f f 11 un mnir pr rionosr h si trtt i un toro, rionunosi uno gli smpi già visti, è qullo i ffttur l oprzioni i tgli ui sritt nll figur qui nto. 12 Si può ominir pr smpio immginr i intifir l 4 oppi i lti,,. Si ottin un spi i ro 4 ri oimo nor intifir fr loro u u l 4 ironfrnz (u u f) h figurno om oro: si ottin un itoro. L Du prol pr qul h rigur i mtrili: l rt, nturlmnt, ssno rigi, si prst fino un rto punto pr qust ostruzioni: lun i qust si possono irttmnt ffttur on l rt, ltr si possono ffttur ptto i mir l proporzioni risptto ll figur qui prsntt ( smpio, nl so l mollo 9, pr ottnr fisimnt un mollo on l rt oorr prtir un tringolo isosl sso lrgo, ovvro on l s h si lmno 5 volt l ltzz), ltr nor si possono solo immginr, m non rlizzr fisimnt. 36 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

13 Tuttvi (o fors proprio us i qust limitzioni) imo sprimntto ssr molto util qusto misuglio i mnipolzion i immginzion. I rgzzi vnno vvrtiti h l ostruzioni h ffttuno on l rt sono solo un supporto ll immginzion, h vono pnsr i potr stirhir l rt qunto vogliono: spsso llor h un prim mnipolzion oi molli rli i rt fi vr il risultto mzz str h l immginzion poi fi il rsto. Al posto ll rt, possono nh ssr utili molli in stoff, in ui l intifizioni sino rpprsntt zip uit sull stoff (fno ttnzion i uirl in moo tl h l intifizion si ffttui nl vrso inito). Nl kit è insrito un mollo i qusto tipo, h orrispon ll smpio l numro 9. E2 RICONOSCERE SUPERFICI TOPOLOGICHE Prim i inizir l ttività, può ssr util ommntr rvmnt i postr isposizion. Nl postr Cimll si trovno illustrt ivrs suprfii h ssomiglino imll on tnti uhi : nto ogni suprfii è inito un numro (g=...) h è molto nturl intrprtr om il numro i uhi. Nl sono postr Mnii si trovno illustrt ll suprfii h si possono intrprtr om un sfr ui sino ttti un rto numro i mnii; i nuovo è un numro (g=...) nto ogni suprfii è nturl qust volt intrprtrlo om il numro i mnii. Il trzo postr Mnii imll suggris il ftto h l punto i vist topologio mnii imll sino u ivrs intrprtzioni ll stss situzion, illustr un formzion h ovr r l i i om ttr un mnio un suprfii orrispon ggiungr un uo nll imll. In fftti, om suggrito l trzo postr, ogni suprfii l postr Mnii è formil in un i qull l postr Cimll (, prismnt, in qull ssoit llo stsso numro) quini l u fmigli sono l stss os l punto i vist ll topologi. Di più, si può imostrr ( qusto è il ontnuto l torm i lssifizion ll suprfii) h QUALUNQUE suprfii (onnss, omptt, orintil snz oro) 1 è formil in un 1 Dir h l suprfii è onnss signifi h non è l union i u pzzi stti; ir h è orintil signifi h non ontin un nstro i Moius; ir h è snz oro signifi h intorno ogni punto è un intro ishtto nll suprfii (non si sono quini ftti i fori: un punto sul oro i qusti fori non vr intorno un iso, m un smiiso); ir h è omptt signifi imporr un ipotsi più tni h nl so h i intrss (suprfii nllo spzio triimnsionl) quivl rihir h l suprfii si limitt h non i sino i fori om qulli h si potrro ottnr toglino un suprfii un punto, o un iso hiuso. Quini, smpio, un iso o un ilinro non fnno prt i qust list: né s li si pns omprnno l ironfrnz i oro (in tl so sono suprfii omptt, m on oro), né s li si pns sluno l ironfrnz i oro (in tl so sono suprfii non omptt). Si può poi imostrr nh h ogni suprfii omptt onnss orintil è formil in un sfr g mnii ui sino stti prtiti un rto numro k 0 i fori, toglino i ishi prti: si ritrov osì il iso (un sfr on un foro) il ilinro (un sfr on u fori). QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 37

14 sfr on g mnii o, quivlntmnt, in un imll g uhi. Nturlmnt non è il so i fr i rgzzi un trttzion su qusti rgomnti: l ossrvzion i postr vuol solmnt suggrir il risultto, l mnipolzion ostruzion i suprfii ovr iutr quisir l onspvolzz h si è ottnut osì un mnir pr ostruir un qulunqu suprfii. Inoltr, il postr vuol ominir mttr in vinz il ftto h il numro g è un invrint ruil pr istingur l suprfii: g si i il gnr ll suprfii, si può finir om il mssimo numro i urv smplii hius, fr loro isgiunt, h si possono isgnr sull suprfii snz tglirl in u pzzi. Nl so i suprfii ispost nllo spzio om un sfr on un rto numro i mnii, g rpprsnt proprio il numro i mnii; nl so ll imll rpprsnt il numro i uhi: isogn prò ssr onspvoli l ftto h qust intrprtzioni sono utili SOLO nl so i suprfii ispost nllo spzio nlogmnt qull sritt ni postr. Ci possono ssr ll suprfii h sono sì topologimnt l stss os i un imll (qusto vl in fftti pr tutt l suprfii), m sono ispost nllo spzio in moo tl h non si osì ovvio pir os sono i uhi. 1. Ossrvt l suprfii sui rtlloni Mnii Cimll. Con il mtril h vt isposizion. Con qusto provt ostruir lmno u oggtti h sono voi ssomiglino lun ll suprfii isgnt sui rtlloni. Provt poi fr uno shizzo ll'oggtto h vt ostruito, fino, isgnt l imll h sono voi gli ssomigli. Quno istriuit l sh, vi suggrimo i spigr vo os si intn qui pr ssomiglir: pr qullo h qui i intrss, è suffiint spr h l oprzioni topologih onsntit sono solo l formzioni gli oggtti (om s fossro i gomm) i tgli gli inollmnti, on l utl h ogni riinollmnto vng ftto sttmnt in orrisponnz l tglio. Sr n suggrir i rgzzi i ominir ostruir suprfii on g piolo (inizir 0, 1, 2.). Un imll on un (solo) uo: ov è il uo? 2. Gurt l immgini l postr Gurimoi intorno. Provt riostruir 38 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

15 ll suprfii h ssomiglino ll suprfii rpprsntt utilizzno il mtril h vt isposizion. Qusto vi iut intifir (nl postr Mnii o nl postr Cimll) un suprfii h ssomigli qull rpprsntt? Init pr isun so il numro g ll suprfii h sono voi ssomigli qull smint nl postr Mnii (o nl postr Cimll). Pott ontinur qusto srizio utilizzno ltr immgini h trovt nl CD Visioni (non) suprfiili, o nh gli oggtti i uso omun h trovt in lss. g=1 g=11 g=2 g=0 g=2 g=1 Com nl so prnt, è n inizir onsirno oggtti immgini i suprfii on gnr sso. Pr qul h rigur gli oggtti potrt sizzrrirvi on tzz (mgri un tzz snz mnii, un on un solo mnio, un on u mnii...), portpnn, zini, forii,... Ci srà smpr hirir h noi intrss l suprfii (quini non l oggtto triimnsionl, m l ui i qusto oggtto). Pr qul h rigur l prol ovvimnt migu rionosr, tnimo prsnt h stimo qui lvorno in moo informl: nl momnto in ui si volss formlizzr, rionosr l suprfii signifihr trminrn il gnr (, usno il torm i lssifizion ll suprfii, qusto i grntir h l suprfii è omomorf, ovvro topologimnt quivlnt, qull ni postr on lo stsso gnr); in qusto ontsto, iò h si hi i rgzzi è smplimnt, i nuovo, un srizio i immginzion, ovvro i immginr un formzion tr l oggtto h stnno onsirno un ll suprfii sui postr. Un miguità h può filmnt mrgr, spilmnt on oggtti molto sottili, è lgt ll imnsion. Si pnsi smpio ll pltt on uhi qui sotto in figur: g=6 g=1 g=4 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 39

16 L os fors più immit è ir h si trtt i un iso on 6 fori ( om tl non si ritrov fr l suprfii i u postr Cimll Mnii, h omprnono solo suprfii snz oro). Qusto prò orrispon intrprtr l oggtto om ompltmnt privo i spssor. S tnimo prsnt h ogni oggtto h omunqu un suo spssor, h iò h noi qui intrss è l ui ll oggtto triimnsionl, llor vimo h si trtt i un sfr on 6 mnii, ovvro i un imll 6 uhi. E3 CILINDRI E NASTRI DI MOEBIUS 1. Avt isposizion vri rttngoli i rt lunghi strtti, forii soth. Provt ostruir un nstro i Moius ossrvrlo: st unir i u lti orti i un rttngolo opo vr to l rttngolo un mzz torsion. Convin ostruir nh un ilinro pr fr il onfronto. Un ilinro h pr oro u ironfrnz; om è ftto il oro i un nstro i Moius? (può srvir sguir ol ito il oro ll oggtto h vt ostruito, opo vr sgnto un punto i prtnz) S si tgli mtà un ilinro lungo l ironfrnz ntrl si ottngono u ilinri i ltzz mtà; s si tgli mtà un nstro i Moius lungo l ironfrnz ntrl si ottin I rgzzi non vrnno prolmi rionosr h il oro i un nstro i Moius è formto un sol ironfrnz. Si possono mttr loro isposizion i nstri i noprn su ui si può rionosr l ironfrnz i oro sguno il suggrimnto to. Mglio nor s isuno stunt ostruis irttmnt un nstro i Moius on rt soth, in moo vrn isposizion un grn numro pr gli sprimnti sussivi, potrli quini nh tglir mtà (os h ovvimnt NON si può fr on il mollo in noprn h v rstr pr i sussivi utilizzi!). Dst omunqu stupor il ftto h tglino il 40 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

17 oro sono llit (mntr nl ilinro norml non lo sono). Suggrimo prò i soprssr pr il momnto su qusto prolm, rimnno l isussion opo h si sono visti gli smpi sussivi (rttngoli on i ori inollti opo u, tr, o più mzz torsioni). Anh l nimzioni ontnut nl CD Visioni (non) suprfiili possono ssr przios qusto sopo. S si tgli un ilinro lungo un ironfrnz 1/3 ll ltzz si ottngono u ilinri, uno i ltzz 1/3 l ltro i ltzz 2/3 risptto ll ltzz l ilinro i prtnz; s si f l stss os on un nstro i Moius si ottin nstro i Moius mtà si ottng un solo oggtto: è n quini h ogni rgzzo lo sprimnti su un nstro i Moius i rt h h ostruito. È un prolm più lito, inv, qullo i istingur, un volt tglito il nstro i Moius ottnuto un solo oggtto, i qul oggtto si trtt: in fftti si trtt i un ilinro (si può onsttr, sgunolo on un ito, h il oro onsist i u ironfrnz), m è un ilinro immrso nllo spzio triimnsionl in un moo inusul. Pr r snso qust ffrmzion, si può ossrvr h l u ironfrnz i Oprno il tglio rihisto si ottin un nstro i Moius llito un ilinro, l tipo i qullo h r stto ottnuto nll omn prnt. Convin suggrir i isgnr sull strisi i rt (prim i ostruir il nstro i Moius) u QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 41

18 lin h ivino l strisi in tr prti uguli. In un sono tmpo, si possono inollr i lti on un mzz torsion poi tglir il nstro ottnuto lungo l lin trit, ossrvno qunti oggtti rimngono, om sono isposti fr loro s i sono ll rlzioni on gli oggtti ottnuti in prnz. 2. Ottnimo un ilinro ttno insim i u lti orti i uno i rttngoli h vt isposizion snz introurr torsioni, mntr ottnimo un nstro i Moius s li tthimo opo vr to un mzz torsion. Pott ontinur qust ingin, provno ostruir ltr suprfii nll stss mnir m on 2, o 3, o 4 o mzz torsioni su isun i qust ontrollr pr smpio om è ftto il oro os su tglinol mtà. Rgistrt l vostr ossrvzioni nll tll qui sotto. nstro i Moius (nl snso h spifihrmo nll rispost ll omn sussiv). Nl so i un numro pri i mzz torsioni, il oro è formto u ironfrnz, mntr nl so i un numro ispri i mzz torsioni il oro è formto un sol ironfrnz. Tglino mtà i ilinri (numro pri i mzz torsioni) si ottngono smpr u oggtti tglino mtà i nstri i Moius (numro ispri i mzz torsioni) si ottin smpr un solo oggtto. Tutti qusti oggtti sono poi loro volt i ilinri. In h snso sono voi possimo ir h tutti gli oggtti h si ottngono in qust mnir on un numro pri i mzz torsioni sono i ilinri tutti qulli ottnuti on un numro ispri i mzz torsioni sono i nstri i Moius? Aumntno il numro i mzz torsioni, lo shm on ui si ltrnno l rispost non mi. Con un numro pri i mzz torsioni si ottin smpr un ilinro, mntr on un numro ispri i mzz torsioni si ottin smpr un Non è fil risponr qust omn, nh s nturlmnt simo qui su un pino intuitivo i ossrvzion sprimntl non prtnimo rto i rgzzi un rispost forml. In ogni so un mnir può ssr qull i fr mzz torsioni oro tglino mtà 0 ilinro u ironfrnz u ilinri 1 Moius un ironfrnz un solo oggtto 2 ilinro u ironfrnz u oggtti 3 Moius un ironfrnz un solo oggtto 42 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

19 rifrimnto ll oprzioni mmss in topologi, ovvro formzioni oprzioni l tipo tgli ui, ovvro tglir poi rinollr vno ur i inollr sttmnt sguno l intifizioni h vvmo prim l tglio. Possimo fr un oprzion tgli ui pr riportr in un nstro i Moius uno qulunqu i qusti oggtti on un numro ispri i mzz torsioni nl moo h è illustrto nll figur sgunti: si tgli l oggtto lungo un lin h ongiung u punti uno sopr l ltro sull uni ironfrnz i oro, opo vr sgnto i punti i rifrimnto h srvirnno poi pr riinollr- lo; si liminno l mzz torsioni in sso si riinollno poi l u strmità, vno ur i rispttr i punti i rifrimnto fissti. In qusto moo, si v h si può ritornr un nstro i Moius (nll form usul). Allo stsso moo, prtno un oggtto on un numro pri i mzz torsioni, si ris fr un oprzion tgli ui h lo riport un ilinro (nll form usul). È importnt h i rgzzi prò si rnno onto h NON si può inv, on lo stsso tipo i QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 43

20 oprzion, riportr un ilinro (o un qulsisi ilinro ) in un nstro i Moius, o vivrs. L nimzioni ontnut nl CD Visioni (non) suprfiili ( ui qust figur sono trtt) possono iutr in qusto rionosimnto. Riusit vr qulos h istingu il ilinro norml (snz torsioni) qullo ottnuto on u mzz torsioni? E il nstro i Moius norml (qullo ottnuto on un mzz torsion) qullo ottnuto on tr mzz torsioni? (Suggrimnto: ossrvt il oro) Anlogmnt, il oro l nstro i Moius ottnuto on un mzz torsion è formto un urv non nnot (om nll figur qui sotto sinistr), mntr il oro l nstro i Moius ottnuto on tr mzz torsioni è un ironfrnz nnot (om nll figur qui sotto str). Sguno il suggrimnto, ossrvimo h nl ilinro norml, risptto qullo ottnuto on u mzz torsioni, mi il moo in ui sono ispost l ironfrnz i oro. Inftti, nl ilinro ottnuto snz torsioni l u ironfrnz sono slit, mntr in qullo on u mzz torsioni sono llit. Si può nh qusto punto ritornr sul prolm i intifir l oggtto ottnuto tglino 44 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

21 mtà un nstro i Moius, rionosr h si trtt i un ilinro (on u mzz torsioni). 3. Prnt sso tr rttngoli uguli, fr qulli h vt isposizion, possiilmnt i tr olori ivrsi; ispontli uno sopr l ltro poi inollt insim i lti più orti. S non introut ll torsioni ottnt tr ilinri, i tr olori ivrsi, uno ntro l ltro, h si possono prò sfilr l uno ll ltro. Ft or l stss oprzion opo vr to un mzz torsion i tr rttngoli (insim): s i tr rttngoli sono uno rosso, uno lu, uno gillo (uno sull ltro in qusto orin), ovrt llor inollr un lto orto l rttngolo rosso un lto orto l rttngolo gillo, i u lti orti l rttngolo lu fr i loro, l ltro lto orto l rttngolo gillo ll ltro lto orto l rttngolo rosso. Qunti oggtti ottnt? Ch os sono: si trtt i ilinri o i nstri i Moius? Gli oggtti sono lliti fr loro o si possono sfilr l uno ll ltro? Sprst lorr un strtgi pr prvr qullo h su, nh snz rlizzrlo ffttivmnt on rt soth? Si ottngono u oggtti, uno è un nstro i Moius, l ltro è un ilinro, gli oggtti sono lliti fr loro. Convin istriuir isun gruppo si rttngoli i tr olori ivrsi (u pr ogni olor) in moo h i rgzzi possno rlizzr u mollini. Potrnno osì onsrvr inttto uno i u mollini usr l ltro pr fr ll prov l fin i rionosr gli oggtti oinvolti. NotBn. Pr tutt qust sh è prtiolrmnt przios l sprimntzion: rt, soth, forii, spirito i ossrvzion un pizzio i immginzion. Più gli stunti srnno in gro i sprimntr i prson più inizirnno pir om risponr ll ivrs omn (in prtiolr om ompltr l tll). A ogni psso, ogni nuov ostruzion, pott stimolr il loro spirito i ossrvzion, riprnno i ivrsi punti h nll sh vin histo i notr. Può ssr util, ll nostr sprinz on i lortori ftti, hir l gruppo (piuttosto h ogni singolo stunt) i risponr ll omn. S il gruppo è formto quttro/inqu stunti, pott pr smpio hir u/tr i loro i vr os su pr un numro pri i mzz torsioni gli ltri omponnti l gruppo os su pr un numro ispri i mzz torsioni. All fin ll vri prov, i rgzzi si spighrnno vin i risultti ottnuti poi pssrnno ompilr l tll. Pott nh suggrir loro i smir i ruoli (hi si oupv i un numro pri i mzz torsioni si inizi oupr i un numro ispri QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 45

22 i mzz torsioni vivrs) onfrontr poi i risultti ottnuti. 46 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

23 CARATTERISTICA DI EULERO Qust u sh possono ostituir un osion pr tirr l fil l lvoro ftto, nh, pr hi vss ftto il prorso omplto, pr gttr un pont fr i prolmi h si sono visti sui grfi qulli sull suprfii. Lo sopo ll sh è qullo i introurr l rttristi i Eulro, un numro intro, filmnt lolil, h si può ssoir ogni suprfii h, om il gnr, è un invrint h prmtt i istingur u suprfii topologimnt non quivlnti. Si prt nll prim sh grfi plnri (ioè h si possono isgnr su un pino) poliri (gli smpi usti, nh s qui non lo si i spliitmnt, sono tutti smplimnt onnssi, ovvro formili in un sfr); si rriv quini ll rlzion i Eulro V-S+F=2 (ov V, S, F inino il numro i vrtii, spigoli f i un grfo plnr, ovvro i un poliro). Nll son sh (h v onsgnt gli stunti soltnto quno tutto il gruppo h finito i ompilr isutr l prim) si prt proprio ll rlzion i Eulro, pr stuir quno non vl più: si sminno quini ltri smpi i poliri strni (ovvro non formili in un sfr, m piuttosto in un imll uno o più uhi) i si org i om si moifi in qusto so l rlzion i Eulro: rst vro h il numro V-S+F (h è l ositt rttristi i Eulro) non ipn l prtiolr poliro, m solo ll topologi ll suprfii rpprsntt l poliro; qusto numro prò non è più ugul 2, m vl 0 pr un imll, -2 pr un imll u uhi,..., in gnrl 2-2g pr un imll g uhi. Mtril oorrnt: pr il lvoro sui poliri può ssr util non rgionr soltnto sull figur, m fr prim ostruir i rgzzi luni poliri on il mtril h hnno isposizion. Possono opir l figur insrit nll sh, o (mglio!) possono sizzrrirsi ostruir poliri loro piimnto. Altr figur i poliri pr mplir gli smpi isposizion si possono trovr nl nl CD-rom Visioni (non) suprfiili. Pr l son sh può ssr util nh utilizzr i tori i polistirolo, su ui i rgzzi possono isgnr, on fili puntin, luni grfi non plnri i ui ontr poi i numri i vrtii, spigoli, f. F1 UN NUMERO PER DISTINGUERE LE SUPERFICI - I Avt inontrto vri smpi i grfi h si possono isgnr su un foglio i rt, (snz h i loro spigoli si intrshino l i fuori i vrtii) (grfi plnri) lmno un smpio i grfo h NON si può isgnr su un foglio i rt (il grfo rltivo l prolm ll tr s). Nturlmnt qust prim frs vl solo pr hi h ffttuto il prorso omplto. A hi h ffttuto un prorso riotto si può ir smplimnt i ignorrl. Qui sotto vt qulh smpio i grfi pl- QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 47

24 nri. Nll prim righ ll tll imo insrito pr isuno i ssi il numro i vrtii (V) il numro gli spigoli (S). Provt or ontr il numro ll rgioni in ui il grfo ivi il pino insritlo nll tll ll olonn F (h st pr f). Attnzion: fr qust rgioni è omprs nh l rgion strn, illimitt. Ossrvt qulh rlzion fr V, S, F? grfo A grfo B Vrtii (V) Spigoli (S) F (F) Grfo A Grfo B Grfo C Grfo D Grfo E Pott usr l ultim olonn inh pr provr ominr qusti numri fino zzrr un ipotsi. Qui sotto trovt nh luni isgni i poliri. Provt ontrn il numro ll f insrirlo nll stss tll (nh in qusto so il numro i vrtii gli spigoli è già stto insrito); provt frlo pr ltri poliri h pott ostruir ol mtril isposizion, o immginr nh snz il mollo o l l figur, pr smpio un uo, o un pirmi h i pr s un n-gono, o un prism h i pr s un n-gono, o... grfo C grfo D grfo E poliro A poliro B 48 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

25 poliro C poliro D poliro E Vrtii (V) Spigoli (S) F (F) Poliro A Poliro B Poliro C Poliro D Poliro E Un uo Un pirmi n+1 2n n+1 Un prism 2n 3n 2+n Rivst un rto intrss, nh l i fuori ll topologi, il prolm i fr ontr i rgzzi il numro i vrtii, spigoli f i un poliro: inftti i si rn prsto onto h, s non si orgnizz il onto in qulh mnir, è filissimo prr il filo sglir: si è quini ostrtti, nh prim i ssrn onspvoli, sminr l struttur ll oggtto in onsirzion, pr smpio utilizzno l simmtri l poliro pr filitr il ontggio. Tuttvi qusti onti, nh s istruttivi, possono ssr nh ssi noiosi, qusto è il motivo pr ui si sono rimpit l prim u olonn on il numro i vrtii gli spigoli, lsino i rgzzi solo il ompito i ompltr l olonn ll f. L oittivo prinipl i qust sh è h i rgzzi rrivino (pr tnttivi) ll rlzion V- S+F=2;, insim, h rionosno il prlllismo fr un grfo plnr l struttur i spigoli vrtii in un poliro; in rltà, om vrnno nll sh sussiv, non i un poliro qulsisi, m i un poliro on rt rttristih (h fnno sì, pr l ppunto, h il grfo ostituito vrtii spigoli l poliro si un grfo plnr). M qusto può in prim ttut ssr ignorto, pr fr mrgr l sorprs on l sh sussiv. F2 UN NUMERO PER DISTINGUERE LE SUPERFICI - II Un torm profono i topologi ffrm h pr qulsisi grfo plnr V-S+F=2. E quini l stss os su nh pr qulsisi poliro pr ui il grfo i suoi vrtii spigoli si un grfo plnr. Prhé? (Attnzion ll rgion illimitt...!) QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 49

26 I vrtii gli spigoli l poliro orrisponono i vrtii gli spigoli i un grfo plnr. L f l poliro orrisponono ll f l grfo plnr s si inlu fr qust ultim nh l rgion illimitt. Un moo h si può suggrir i rgzzi pr vr qusto ftto è qullo i pnsr i ottnr il grfo plnr gurno il poliro un punto i vist h si viino l ntro i un fi pnsno i proittrlo su un pino; in qusto moo, un fi l poliro vin in qulh moo nsost ll proizion, pr onsirrl, si ontggi l rgion illimitt ll strno l grfo. Si fi rifrimnto smpio l grfo in D h rpprsnt il igrmm h si ottrr prtir un uo: il oro i un fi vin proittto nl profilo pprnt, ovvro nl qurto strno, mntr l ltr 5 f vngono proittt nll 5 rgioni limitt in ui il grfo ivi il pino. gli spigoli, ll f (ovvro ll rgioni in ui il grfo ivi il toro). Provt rifr lo stsso onto pr ltri grfi isgnti su un toro. E provt ontr V, S, F pr qusti ltri poliri: Pott nh fr lo stsso onto pr ltri poliri h vrt ostruito ol mtril vostr isposizion. Ch os ossrvt? poliro A poliro B Tutti i poliri hnno qust proprità? E os si può ir pr i grfi non plnri? Provt isgnr il grfo l prolm ll tr s su un toro ontr il numro i vrtii, poliro C Vrtii (V) Spigoli (S) F (F) V-S+F Grfo tr s Poliro A Poliro B Poliro C QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

27 Dopo il lvoro ffttuto on l sh prnt, i rgzzi srnno proilmnt rrivti ll onlusion h V-S+F vlg smpr 2, mntr qust omn mirno mttr in risi qust onvinzion fr sì h i rgzzi si rnno onto h il numro V-S+F può vrir. Riusir proittr su un pino il grfo i vrtii spigoli i un poliro in moo h gli spigoli non si inontrino ( quini ottnno un grfo plnr) quivl rihir h il poliro si smplimnt onnsso, ovvro topologimnt quivlnt un sfr. Snz introurr trminologi prtiolri, qust onizion si può smplimnt srivr immginno i gonfir il poliro, om s foss un pllonino: tutti i poliri ll sh prnt si gonfirro in un sfr, mntr i poliri ABC si gonfirro in un slvgnt, o in un slvgnt u pizz : ritrovimo quini mnii imll! Eo llor h l rttristi i Eulro (ovvro il numro V-S+F) intrvin slr tutto il lvoro ftto: qullo sui grfi (è un numro h prmtt i istingur s il grfo è plnr oppur no, quini si lg l prolm h si è onsirto on l pintin i Prigi) qullo sull suprfii (è un numro h, sttmnt om il gnr ui in fftti è lgto, prmtt i istingur suprfii h non sono topologimnt quivlnti). Può ssr istruttivo, qusto punto, tornr sul prolm ll impossiilità l prolm ll tr s sul pino instrr i rgzzi su un ltr imostrzion (più tori, quini più iffiil) i qust impossiilità h oinvolg l rttristi i Eulro: s il prolm foss risoluil, il grfo si potr isgnr sul pino quini vrmmo V-S+F=2; m sppimo h V=6 S=9, quini ovr ssr F=5; qusto signifi h lmno un fi è un tringolo (un tringolo topologio, ossi è ostituit tr rhi). Inftti s tutt l f vssro sttmnt 4 lti si vr 4F=2S prhé moltiplino pr 4 il numro ll f si ottrr il numro totl gli spigoli ontto u volt ( qusto non torn prhé 4F=20 2S=18); s poi tutt l f vssro 4 o più lti, sr omunqu 4F 2S, h pur non torn; onluimo quini h lmno un fi è un tringolo. M nh qusto non torn: inftti ogni lto ollg un stzion (i punti nri) on uno gli ltri tr punti i rifrimnto slti (i punti olorti); punti nri punti olorti si ltrnno quini nl oro i un fi, il h signifi h ogni fi h un numro pri i lti ( i vrtii). In fftti si può qusto punto nh onsirr il poliro h si ottin un soluzion l prolm ll tr s isgnto sul toro ossrvr h qusto onsist i tr f sgonli. Tornno ll rttristi i Eulro, un rifrimnto ov si può trovrn un imostrzion, nl so i grfi plnri, può ssr il liro i Cournt Roins Ch os è l mtmti,. Boringhiri. In gnrl, pr un suprfii qulsisi, si può imostrr h il numro V-S+F non è mi mg- QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 51

28 gior i u, è u solo nl so ll sfr, è lgto l gnr ll rlzion V-S+F = 2-2g. Vl l pn, pr qust sh pr l prnt, lsir i rgzzi il tmpo nssrio prhé si sizzrrisno ostruir poliri loro piimnto ( ontrn i numri i vrtii, spigoli f). È fil h i rgzzi non si immginino lontnmnt l vrità i form h si possono ottnr ostruno poliri in lirtà h ssoino il nom poliro solo tgori molto ristrtt i oggtti: ui, prlllpipi, prismi, pirmii, fors i poliri rgolri, m null i più. Può ssr util h vno, mglio nor h sprimntino in prim prson, l grn vrità i oggtti h si possono ostruir om su qusti oggtti possno mrgr i prolmi signifitivi (nh l i là l lolr volumi suprfii, h è proilmnt l unio sptto sotto ui li hnno già inontrti). Il mtril isposizion prmtt i ostruir tutti i poliri rpprsntti nll prim sh, m soprttutto i rgzzi nrro stimolti splorr ltr possiilità, provno nh ostruir poliri i gnr mggior. Mostrimo qui un pio i foto i poliri i gnr 1 2 rispttivmnt h si possono ottnr ol mtril isposizion. Un miguità h on qusti molli si può prsntr nl ontggio i vrtii, spigoli f ( h è il motivo pr ui non imo proposto qust foto nll sh pr i rgzzi) è il ftto h volt nll ostruzion può ssr omoo usr u poligoni omplnri potrmmo in qusto so ssr in uio sul om ontr (si trtt i un sol fi o i u? C è o non è lo spigolo lungo ui si sono uniti i u poligoni omplnri?). Suggrimo i r qui l inizion i ontr om f isuno i poligoni h vngono usti om mttoni : qusto prhé ltrimnti si potr rrivr ontggir om fi un poligono (om qullo i s ni u poli- 52 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii

29 ri qui fotogrfti) h non è un iso, m un iso on uno o più fori; oppur (om nl so l rttngolo vr formto tr qurti nl itoro in figur) si potr vr un fi in ui luni spigoli ovrro ssr ontggiti in moo multiplo: smpio, nl rttngolo inito, lo spigolo in lto l rttngolo v ssr ontto om tr spigoli (introuno nh i vrtii rltivi) prhé onfin on tr f ivrs. Tutti qusti prolmi si risolvono s si ssum l rgol h un fi è uno i poligoni utilizzti (h è un rgol stnz nturl ttr in qusto ontsto, nh s u f inti possono risultr omplnri). QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA Grfi suprfii 53

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