proiezione geometrica modalità di propagazione dei raggi di luce incidenti il sistema ottico

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1 Capitolo 4 Sistema ottico 4.1 Introduzione Nel processo di formazione dell immagine, il sistema ottico genera in un piano (il piano immagine) l immagine bidimensionale degli oggetti 3D del mondo la cui superficie è normalmente illuminata da luce propria e dalla luce dell ambiente. Il sistema ottico di un qualunque sistema di acquisizione delle immagini (macchine fotografiche, telecamera, ecc.) caratterizza fortemente la qualità dell immagine generata, in termini di: risoluzione geometrica capacità di riprodurre dettagli geometrici degli oggetti proiezione geometrica modalità di propagazione dei raggi di luce incidenti il sistema ottico intensità di luce proiettata nitidezza dell immagine. I raggi di luce provenienti dagli oggetti nella scena attraversano il sistema ottico, il quale, modifica in modo adeguato il loro cammino ottico. Infine, generano l immagine della scena proiettata nel piano immagine perpendicolare all asse ottico. Il processo di formazione dell immagine è schematizzato in figura 6.1. Dal sistema ottico, la superficie visibile degli oggetti può essere vista come decomposta in superfici elementari S che si comportano come tante piccole sorgenti di luce ciascuna delle quali emette onde sferiche elettromagnetiche che propagano la luce radialmente in tutte le direzioni. In questo scenario, alcuni raggi di luce emergenti da un elemento di superficie S Figura 4.1: Sistema ottico per la formazione dell immagine 87

2 88 CAPITOLO 4. SISTEMA OTTICO dell oggetto, colpiscono il sistema ottico, il quale li converge in un punto P noto come punto focale del fascio di raggi di luce emergenti dal punto S dell oggetto. Un sistema ottico con questa caratteristica è detto di essere stigmatico per i due punti S e P, e l energia luminosa che raggiunge P genera una perfetta immagine del punto S. La luce proveniente da altri punti S dell oggetto possono produrre l immagine di S anche non perfetta, ossia il sistema ottico può convergere raggi di luce risultando non completamente a fuoco e generando intorno a P uno spot luminoso. Figura 4.2: Sezioni trasversali di lenti semplici sferiche. La prima interfaccia da sinistra ha raggio di curvatura R 1, mentre quella destra R 2. Figura 4.3: Pupilla e diaframma in un sistema ottico con tre lenti semplici sferiche. In questo schema di formazione dell immagine, non si considerano alcuni fenomeni di propagazione della luce come la riflessione, dispersione, assorbimento che possono attenuare l intensità del punto immagine P, ed il fenomeno della diffrazione dovuto alla propagazione ondulatoria della luce invece della propagazione con raggi rettilinei assunta nello schema

3 4.2. LENTI SOTTILI 89 precedente. Gli effetti della diffrazione sono trascurabili quando la lunghezza d onda della luce considerata è molto piccola rispetto alle dimensioni del sistema ottico. Nel contesto dell ottica geometrica la lunghezza d onda λ si assume con valore zero e conseguentemente si considerano totalmente trascurabili i fenomeni della diffrazione e della interferenza. In analogia al sistema visivo umano che utilizza una coppia di lenti (i due cristallini), anche i sistemi ottici artificiali impiegano gruppi di lenti opportunamente sagomate (con superficie sferica) per focalizzare correttamente l immagine acquisita. 4.2 Lenti sottili Un sistema ottico che consiste solo di una lente, ossia presenta un elemento con due superfici di rifrazione è chiamato lente semplice. Quando gli elementi ottici sono più di uno si parla di sistema ottico con lenti composte. Una lente è definita lente sottile quando lo spessore della lente è trascurabile. La figura 6.2 mostra lenti semplici convesse e concave e la figura 6.3 mostra un sistema ottico composto di tre elementi. Generalmente la sagoma delle lenti sono sferiche e caratterizzati dal raggio di curvatura R 1 ed R 2 e dall asse ottico che è simmetrico rispetto alle due interfacce della lente. Si definisce interfaccia della lente la superficie di separazione tra i due mezzi di propagazione della luce che, nel caso di una lente sottile risultano aria-vetro oppure vetro-aria, e nel caso di lente composta si aggiungono anche le interfacce vetro-vetro. Le lenti convesse (o convergenti o positive) hanno lo spessore più grande in corrispondenza dell asse ottico e tendono a decrescere il raggio di curvatura dei raggi di luce incidente, ossia tendono a far convergere i raggi luminosi che la attraversano assumendo che l indice di rifrazione della stessa lente sia più grande di quello dell aria dove generalmente è immersa (n 2 >n 1 ). Le lenti concave (o divergenti oppure negative), al contrario, hanno uno spessore minimo sull asse ottico e tendono a far divergere i raggi luminosi che l attraversano. Le lenti concave hanno la funzione di modificare la forma di un fascio di luce che li attraversa in modo controllato sulla base dei suoi parametri caratteristici (asse ottico, raggi di curvatura e sagoma della lente). Una buona lente deve convergere la luce proveniente dagli oggetti generando un immagine nitida. Normalmente l immagine formatasi, presenta delle deformazioni ed errori causati da alcuni difetti delle lenti, noti come aberrazioni, dovuti per esempio alla non sfericità o imperfetta simmetria della lente. Tali aberrazioni possono essere controllate correggendo adeguatamente le lenti, mentre rimangono quelli dovuti al fenomeno della diffrazione. θ r θ A i l o h R l i S V ϕ θ i P p q n 2 n 1 Figura 4.4: Rifrazione su un interfaccia sferica. Vediamo ora cosa accade (vedi figura 6.4) quando un raggio di luce proveniente dal

4 90 CAPITOLO 4. SISTEMA OTTICO Figura 4.5: Raggi incidenti con lo stesso angolo. punto S dell oggetto colpisce la superficie sferica della lente che ha un raggio di curvatura R e centrata in C. Sia A il punto di incidenza relativo al raggio SA che viene rifratto (n 2 > n 1 ) intersecando in P l asse ottico. Per avere in P una immagine nitida di S ogni raggio di luce emesso da S deve convergere in P nello stesso intervallo di tempo come proposto da Huygens, oppure per il principio di Fermat applicato alla rifrazione, qualunque raggio proveniente da S esegue un cammino ottico più corto per raggiungere P. Se S è immerso in un mezzo con indice di rifrazione n 1 e P in un mezzo più denso con indice di rifrazione n 2 (ossia n 2 > n 1 ) si ha la seguente relazione: l o n 1 + l i n 2 = pn 1 + qn 2 (4.1) dove p è la distanza del punto S (oggetto) dal vertice V, q è la distanza da V del punto P (l immagine di S), l 0 è la lunghezza del segmento SA, ed l i è la lunghezza del segmento AP. La figura 6.4 evidenzia come i raggi che entrano in un mezzo con più alto indice di rifrazione si rifrangono verso la normale della superficie incidente e verso l asse ottico. Si assume anche che nello stesso punto P converge ogni altro raggio luminoso incidente, avente lo stesso angolo θ i come mostrato in figura 6.5. L asse ottico è dato da SP ed i punti S e P sono chiamati punti coniugati ossia anche P può diventare sorgente e la sua immagine diventa S. In generale, dato un sistema ottico si chiamano punti coniugati il punto oggetto (in questo caso S) ed il corrispondente punto immagine (nell esempio il punto P ) dato dal sistema ottico. Dal punto di vista fisico la (4.1) si spiega come segue. La luce proveniente dall oggetto S attraversando la lente che è un materiale più denso dell aria, viaggia con velocità minore rispetto a quando viaggiava nell aria. Quando da S i raggi di luce simultaneamente passano dal vertice V e dal punto A viaggiando nello stesso mezzo n 1, si verifica che arriva prima (con velocità c/n 1 ) il raggio in V propagandosi poi con una minore velocità c/n 2 nel mezzo più denso (ricordiamo che n 2 > n 1 ). Il raggio che arriva in A invece, percorre nello stesso tempo un cammino più lungo (l o + l i > p + q) ma convergendo in P nello stesso tempo. Definiti i valori di p e q, la relazione (4.1) diventa: l o n 1 + l i n 2 = costante = cammino ottico stazionario (4.2) Si può concludere che se una sorgente puntiforme è posizionata nel punto S, sull asse ottico di una lente, i raggi di luce convergono nel punto coniugato P ottenendo una immagine nitida (a fuoco) della sorgente S che si può osservare ponendo in P uno schermo perpendicolare all asse ottico della lente convessa. L immagine della sorgente S ottenuta è chiamata immagine reale. Se la sorgente è considerata localizzata all infinito, i raggi incidenti su una lente concava arrivano paralleli ed emergono divergendo. Tali raggi appaiono provenienti dal punto P ma non si osserva nessuna immagine nitida su uno schermo posto

5 4.2. LENTI SOTTILI 91 F 1 F 2 a) F 2 b) Figura 4.6: a) Lente doppia iperbolica e b) lente piana concava iperbolica. in P. In questo caso si parla di immagine virtuale analogamente all immagine generata da uno specchio piano. La distanza q tra l immagine virtuale in P (che appare alla sinistra del vertice V ) ed il vertice V risulterà negativa (figura 6.4). Ritornando al processo di rifrazione della luce incidente sulla lente sferica, considerando il lato vicino alla sorgente S (vedi figura 6.4), possiamo affermare che tutti i raggi con lo stesso angolo di incidenza θ i convergono in P avendo lo stesso cammino ottico. Se il punto di incidenza A si sposta verso V assumendo pertanto valori di ϕ molto piccoli con l 0 p ed l i q, si dimostra, con buona approssimazione, valida la seguente relazione dei punti coniugati S e P : n 1 p + n 2 q = n 2 n 1 R (4.3) dove R è il raggio di curvatura della lente del lato vicino alla sorgente. Questa relazione risulta valida per raggi poco inclinati rispetto all asse ottico e sono chiamati raggi parassiali che generano normalmente una immagine nitida in P alla distanza q. Analizziamo tre casi speciali. Nel primo caso (vedi figura 6.7a), l immagine si forma all infinito ossia q = e dalla equazione (4.3) considerato che il termine n2 si annulla, si ricava la distanza singolare dell oggetto chiamata lunghezza focale dell oggetto f 0 risultando: f 0 = p = n 1 n 2 n 1 R (4.4) ed il punto S è chiamato primo fuoco o fuoco dell oggetto. Nel secondo caso (vedi figura 6.7b), l oggetto si considera all infinito. Nella equazione (4.3) il primo termine n1 si annulla e l immagine si forma in P alla distanza chiamata lunghezza focale dell immagine f i data da: f i = q = n 2 n 2 n 1 R (4.5)

6 92 CAPITOLO 4. SISTEMA OTTICO Figura 4.7: Figura 4.8: Rifrazione su una interfaccia sferica. ed il punto P sull asse ottico è chiamato secondo fuoco o fuoco dell immagine. Analogamente si ha per l immagine virtuale (i raggi divergono dal fuoco dell immagine come evidenziato in figura 6.7c) e per l oggetto virtuale dove i raggi convergono verso il fuoco dell oggetto (vedi figura 6.7d). L oggetto virtuale si forma alla destra del vertice V, la distanza p diventa negativa e l immagine virtuale si forma alla sinistra di V con raggio R negativo come richiesto dalla (4.4) con la distanza focale f 0 negativa. Nel terzo caso, se si assume p molto grande, per un fissato valore costante di n 2 n 1 /R per la (4.3) risulterebbe associato un valore di q molto piccolo. Se p decresce, la distanza q aumenta, ossia l immagine P di S si allontana dal vertice V (θ i e θ t aumentano, vedi figura 6.4), fino a quando p diventa uguale ad f 0 ed f i =. In questo caso n 1 /p = (n 2 n 1 )/R e conseguentemente, se p diventa ancora più piccolo il fuoco dell immagine si forma a sinistra di V con il valore di q negativo e con la (4.3) che risulterebbe ancora valida (vedi figura 6.8). I punti coniugati per una lente convessa con indice di rifrazione n l immersa nell aria che ha indice di rifrazione n a (con n l > n a ) possono essere localizzati considerando ancora valida l equazione (4.3). In figura 6.9 è visualizzato il processo di rifrazione quando un raggio attraversa entrambe le due interfacce della lente sferica. Un raggio incidente la prima faccia della lente viene rifratto entrando nella lente ed inclinato verso la normale alla superficie della lente nel punto di incidenza, e quando emerge dalla seconda faccia subisce un ulteriore rifrazione, e giacché n l > n a, si propaga in modo inclinato verso l asse ottico allontanandosi dalla normale alla seconda faccia. Nell ipotesi di raggi parassiali che attraversano la prima faccia della lente della sorgente S localizzata alla distanza p 1 dal vertice V 1, si forma l immagine in P 1 alla distanza q 1 da V 1 e la relazione dei punti coniugati diventa: n a p 1 + n l q 1 = n l n a R 1 (4.6)

7 4.2. LENTI SOTTILI 93 P 1 P n a n l n a C 1 C 2 S C 2 V 1 n l V 2 C 1 n a n a R 2 R 1 p 1 d q 2 q1 P 2 Figura 4.9: Rifrazione in una lente sferica sottile e geometria dei punti coniugati. La seconda superficie vede i raggi (propagandosi nella lente con indice di rifrazione n l ) provenienti da P 1, che lo considera come un oggetto alla distanza p 2 dal vertice V 2, formando l immagine in P alla distanza q 2. Inoltre, i raggi che arrivano sulla seconda superficie sono immersi nel mezzo con indice di rifrazione n l, e lo spazio oggetto per questa superficie che contiene P 1 ha indice di rifrazione n l. Infatti, i raggi luminosi provenienti da P 1 sono rettilinei senza subire rifrazione come se la prima superficie della lente non esistesse. In tale contesto la relazione dei punti coniugati ricordando la (4.3) diventa: n l + n a = n a n l (4.7) p 2 q 2 R 2 considerando p 2 = -q 1 + d, R 2 <0 e n l >n a (vedi figura 6.9). Si osserva che l equazione (4.7) rimane valida considerando che la distanza q 1 risulta negativa dato che P 1 si trova a sinistra di V 1. Combinando la (4.6) e (4.7) si ha la relazione dei punti coniugati per una lente sottile: n a + n ( l 1 = (n l n a ) 1 ) n l d + (4.8) p 1 q 2 R 1 R 2 (q 1 d) q 1 Per una lente sottile, con lo spessore della lente trascurabile (d 0), l ultimo termine della (4.8) è trascurabile e considerando l indice di rifrazione dell aria n a = 1, l equazione dei punti coniugati per la lente sottile diventa: 1 p + 1 ( 1 q = (n l 1) 1 ) R 1 R 2 (4.9) Per una lente sottile i vertici V 1 e V 2 possono coincidere con V ossia il centro della lente e le distanze p e q sono considerate calcolate rispetto al centro V della lente. Ricordiamo che anche per una lente sottile se l oggetto è all infinito l immagine è focalizzata alla distanza f i ed analogamente se l immagine è focalizzata all infinito il fuoco dell oggetto è alla distanza f 0 che per l equazione precedente risulta f i = f 0 e pertanto possiamo definire un unica distanza focale (per l immagine e per l oggetto) come: ( 1 1 f = (n l 1) 1 ) R 1 R 2 La relazione dei punti coniugati per la lente sottile diventa: (4.10) 1 p + 1 q = 1 f (4.11) nota anche come la formula della lente Gaussiana.

8 94 CAPITOLO 4. SISTEMA OTTICO Esempio Utilizziamo l equazione (4.10) per calcolare la lunghezza focale di una lente avente una faccia piana (ossia con R 1 = ) e l altra faccia sferica con raggio R 2 di -50mm (vedi figura 6.2). Sia l indice di rifrazione n l uguale a 1.5 applicando la (4.10) la lente risulterebbe avere una lunghezza focale di 100mm considerando la luce entrante dalla faccia piana e la lente immersa nell aria (n a = 1). La stessa focale si avrebbe se la prima faccia della lente risultasse sferica (ossia R 1 = 50 mm) e la seconda faccia fosse piana. Si può inoltre osservare che ponendo un oggetto a diverse distanze 600, 200, 150, 100 e 50 con la (2) si calcola che l immagine si forma alla distanza di ( 1 q = 1/ f 1 ) ( 1 = 1/ p ) = 120mm (4.12) 600 Per le altre distanze p le immagini si formano rispettivamente alle seguenti distanze 200mm, 300mm, e 100mm. Quando p = si ha che q = f. All avvicinarsi di S verso la lente, ossia p diminuisce, il valore di q aumenta positivamente fino a quando p = f e conseguentemente q risulta negativo. Si può sperimentare direttamente con una lente convessa ed avvicinando una lampadina piccola accesa verso di essa, quindi ponendo un foglio di carta bianca nel piano di formazione dell immagine si proietterà la lampadina in modo chiaro o sfocato in relazione alla sua distanza dalla lente. Nel caso di p < f l immagine svanisce ossia si forma una immagine virtuale. Formalizziamo ora il piano focale dove si forma l immagine. Nell ipotesi della teoria parassiale, raggi di luce paralleli incidenti sulla superficie di una lente sottile convessa (R 1 > 0 ed R 2 < 0, con n l > n a ) sono rifratti e convergono in un unico punto di un piano perpendicolare all asse ottico della lente e passante per il fuoco dell immagine. Tale piano si chiama piano focale di formazione dell immagine. Fasci di luce paralleli all asse ottico sono rifratti e convergono nel punto focale, mentre fasci paralleli leggermente inclinati rispetto all asse ottico convergono in un punto del piano focale ottenuto dall intersezione del raggio non deviato (ossia passante per il centro della lente sottile) ed un raggio deviato. Le dimensioni dell immagine prodotta da una lente sottile sono determinate conoscendo la posizione dei punti focali della lente e considerando i raggi che soddisfano ad alcune proprietà: 1. due raggi passando attraverso un punto focale devono emergere dalla lente paralleli all asse ottico (figura 6.10a); 2. viceversa raggi parassiali paralleli incidenti la lente convergono nel punto focale (figura 6.10b); 3. il raggio incidente passante per il centro della lente emerge senza subire nessuna deviazione (figura 6.10c); 4. due raggi sono sufficienti a localizzare l immagine P di un punto S dell oggetto (figura 6.11). Le informazioni di orientazione, localizzazione e dimensione dell immagine rispetto ai parametri noti dalla lente (distanza focale f ) e dell oggetto (distanza p dalla lente e altezza y 0 rispetto all asse ottico) sono facilmente determinati osservando (vedi figura 6.11) che i triangoli AOF i e PQF i sono simili e consegue la relazione seguente: y 0 y i = f (q f) Dalla similitudine dei triangoli SRO e PQO segue la relazione: y 0 y i = p q (4.13) (4.14)

9 4.2. LENTI SOTTILI 95 Figura 4.10: Cammino ottico di un raggio luminoso attraverso una lente positiva e negativa. Figura 4.11: Posizione dell oggetto e dell immagine per una lente sottile. Dalle relazioni (4.13) e (4.14) si ricava facilmente l equazione gaussiana per le lenti sottili: 1 f = 1 p + 1 q Ed infine, dalla similitudine dei triangoli SRF 0 e BOF 0 si ottiene la relazione: (4.15) f (p f) = y i (4.16) y 0 che combinando con la (4.13) e considerando le distanze Z e z dai fuochi, possiamo derivare le seguente relazione: Z z = f 2 (4.17) dalla quale è possibile determinare la distanza del piano focale z = f 2 /Z. L equazione (4.17) è la formulazione di Newton dell equazione fondamentale delle lenti. Per convenzione si assumono valori positivi di Z se l oggetto è a sinistra del fuoco F 0, mentre z è considerato positivo se l immagine è formata alla destra di F i (vedi figura 6.11). Va ricordato pertanto, che oggetto ed immagine devono trovarsi ai lati opposti dei rispettivi fuochi, affinché le distanze Z e z risultino positive. L inversione dell immagine (ossia l immagine capovolta) è considerata valutando il segno di y i, che se negativo, significa oggetto capovolto nell immagine. Il rapporto tra le distanze verticali del punto immagine P e del punto oggetto S rispetto all asse ottico, rispettivamente indicato con P Q ed RS, è chiamato fattore di ingrandimento M introdotto dal sistema ottico (vedi figura 6.11), ossia: M = P Q SR = q p (4.18) Il segno meno indica che l immagine è stata invertita. Le distanze p e q sono sempre entrambe positive per oggetti e immagini reali. Questo implica che l immagine formata da una lente sottile è sempre invertita.

10 96 CAPITOLO 4. SISTEMA OTTICO Figura 4.12: Formazione dell immagine con una lente sottile convessa. Considerando equazioni le equazioni (4.13), (4.15), (4.16) e (4.17) si possono derivare alcune relazioni utili all analisi del sistema ottico: M = z f (4.19) M = f Z (4.20) f = p M M + 1 (4.21) q = f (M + 1) (4.22) (M + 1) p = f M (4.23) Il valore di M assume valore 1 (nessun ingrandimento) quando l oggetto e l immagine hanno uguale distanza e dall equazione (4.15) dei punti coniugati si osserva che questo accade quando p = q = 2f. In questa configurazione l oggetto e l immagine si trovano ad una distanza di 4f che è la più vicina possibile. In figura 6.12 sono mostrate le altre possibili configurazioni variando la distanza dell oggetto rispetto alla lente sottile. Si osserva che avvicinando l oggetto alla lente si produce un immagine reale che si allontana da essa, e quando si avvicina alla lente con distanza inferiore a f l immagine prodotta risulta: ingrandita, dalla(4.20) con Z < f M > 1; non invertita,dalla (4.20) con Z < 0 M positivo; virtuale,dalla (4.19) con M > 0 si ha che z < 0. Quando l oggetto si allontana dalla lente ( > Z > 2f) si ottiene un immagine reale, invertita, rimpicciolita (M < 1) e localizzata alla distanza z nell intervallo (f, 2f). La situazione singolare con la produzione di nessuna immagine (z = ) si verifica con l oggetto localizzato alla distanza focale (Z = f). Nelle realtà, non esiste una lente sottile ma una lente convessa con uno spessore molto piccolo che si comporta otticamente come una lente sottile. I sistemi ottici commerciali si compongono invece con un gruppo assemblato di lenti convesse e concave. Un sistema ottico con N lenti aventi focali f 1, f 2,..., f N può essere visto come tante lenti a contatto che costituiscono un unica lente spessa e con lunghezza focale effettiva f tale che soddisfa la seguente relazione: 1 f = 1 f f f N. (4.24)

11 4.3. ABERRAZIONI OTTICHE 97 Figura 4.13: (concava). Sistema ottico composto di lente positiva (convessa) e di lente negativa 4.3 Aberrazioni ottiche I sistemi ottici realizzati con un gruppo di lenti producono immagini non perfette in quanto la luce si propaga attraverso le lenti spesse violando le leggi di propagazione (riflessione e rifrazione) della luce, assunte per una lente sottile con la teoria parassiale. Per avere una misura quantitativa di come il sistema ottico introduce delle deformazioni nell immagine si analizzano tali difetti che in ottica sono chiamate aberrazioni ottiche. Si hanno pertanto: aberrazioni monocromatiche, che si verificano per qualunque tipo di luce (colore o singola frequenza) e producono immagini poco chiare per effetto delle aberrazioni sferiche, l astigmatismo, il coma, la curvatura del campo, la distorsione; aberrazioni cromatiche sono dovute al diverso indice di rifrazione delle lenti rispetto alle diverse radiazioni monocromatiche che le attraversano (figura 6.15a). La distanza focale di una lente è funzione della lunghezza d onda della luce incidente che viene rifratta dagli elementi ottici, formando tante immagini diverse di una stessa sorgente luminosa per quante sono le componenti cromatiche dominanti di cui è composta. Questa aberrazione si elimina con componenti ottici acromatici. L aberrazione sferica si ha nei sistemi ottici con simmetria circolare (specchi sferici, lenti normali, ecc.) per i quali i raggi provenuti dalle zone periferiche e dalle zone centrali di una lente o di uno specchio (detta zona parassiale ossia vicina all asse della lente) non convergono in un punto, ma il loro inviluppo presenta una figura di rivoluzione chiamato caustica di rifrazione per lenti convesse e caustica di riflessione per lenti concave. Per attenuare gli effetti dell aberrazione sferica normalmente si diaframma adeguatamente il sistema ottico (figura 6.15b). L aberrazione di astigmatismo si ottiene quando l oggetto puntiforme (o sorgente) non giace sull asse ottico. L oggetto ed il sistema ottico non hanno una simmetria rotazionale rispetto all asse ottico, ne consegue che anche il fascio emergente del sistema ottico non è più conico, ma presenta un solo piano di simmetria rappresentato dall oggetto e dall asse ottico. Le sezioni del fascio non sono più circolari, ma si presentano ellittiche con dimensioni sempre più piccole man mano che ci si allontana dal sistema ottico sino a ridursi ad un segmento. Questo fenomeno si evidenzia restringendo adeguatamente il diaframma circolare. Una volta formatosi il segmento, il fascio continua ad aumentare di dimensione e la sua forma ellittica si allarga in modo indefinito (figura 6.15c). L aberrazione del coma (una forma particolare di astigmatismo) si ha quando l oggetto ed il diaframma sono spostati rispetto all asse ottico (figura 6.15da). Le sezioni del fascio emergente non sono di forma ellittica ma assumono la configurazione di una cometa 1 (figura 6.15db). L aberrazione di curvatura del campo generalizza l aberrazione di astigmatismo. Si evidenzia disponendo un oggetto non più puntiforme, ma piano, e per ogni punto dell oggetto 1 Il termine coma deriva dal nome cometa.

12 98 CAPITOLO 4. SISTEMA OTTICO Figura 4.14: Aberrazioni ottiche. si hanno due linee focali. Le due superfici inviluppate corrispondenti sono ricurve e costituiscono i luoghi delle immagini sfumate corrispondenti ai punti dell oggetto. Il nome di curvatura di campo deriva dalla curvatura di queste superfici che non sono piane. Per ridurre questa aberrazione si tenta di far coincidere le superfici curve su un piano (figura 6.15c). L aberrazione di distorsione si genera nei sistemi ottici per i quali l ingrandimento trasversale lineare non è costante, ma può variare in funzione della distanza dell oggetto dall asse ottico. Per esempio, per un segmento rettilineo (non passante per l asse ottico) l immagine prodotta è distorta poiché ogni elemento del segmento subisce diversi ingrandimenti. Si hanno distorsioni a cuscinetto quando l ingrandimento aumenta col crescere della distanza dell oggetto dall asse, viceversa l ingrandimento diminuisce quando l oggetto si avvicina all asse ottico generando la distorsione a barile. L aberrazione cromatica extra-assiale si ha quando l ingrandimento trasversale lineare varia anche in funzione della lunghezza d onda della luce utilizzata Parametri di un sistema ottico I primi due parametri, già discussi, che caratterizzano un sistema ottico sono la lunghezza focale f ed il diametro D che determina la quantità massima di luce che può raggiungere il piano immagine. La quantità di luce che colpisce il piano immagine, definita come energia luminosa per unità di area per unità di tempo (densità di flusso luminoso) è inversamente proporzionale all area dell immagine. I parametri diametro D e focale f di una lente ne caratterizzano il suo campo di vista. In altre parole determinano l angolo di campo di una lente delimitando il cono di vista del mondo 3D che può essere osservabile (figura 4.15). Per un sistema ottico di diametro D,

13 4.3. ABERRAZIONI OTTICHE 99 Figura 4.15: l energia luminosa è proporzionale al quadrato di D. L area immagine varia anche con il quadrato della dimensione trasversale che risulta per l equazione (4.18) proporzionale ad f 2. Conseguentemente nel piano immagine la densità di flusso luminoso varia in funzione di (D/ f) 2. Il rapporto D/f tra il diametro D e la focale f è chiamato apertura relativa ed il suo inverso è chiamato apertura del diaframma a, dato da: a = f D Nella letteratura anglosassone è indicato anche con il simbolo f/# (che si legge f - number). Il diaframma è un meccanismo per limitare la quantità di luce che attraversa il sistema ottico per raggiungere il piano immagine dove si trovano gli elementi sensibili (fotorecettori di una telecamera CCD oppure emulsione fotografica). Il diaframma si compone di tante lamelle incernierate su un anello che in modo sincronizzato ruotano facendo variare le dimensioni dell apertura circolare limitando in questo modo il passaggio della luce. L apertura a varia da un valore minimo quando il diaframma è completamente aperto (corrispondente al diametro D dell ottica) ad un valore massimo ottenuto diaframmando al massimo ossia riducendo al minimo il diametro del diaframma. La scala di valori dell apertura a varia secondo una progressione geometrica di ragione 2 il cui primo valore è 1 e prosegue con i valori 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 32, 45, 60,... Questa scala di valori è stata standardizzata a livello internazionale e tutti i sistemi ottici commerciali hanno le stesse scale di diaframma come sopra indicato. Tutti gli obiettivi in commercio riportano sugli anelli esterni incisa la grandezza focale (esempio f=50mm) espressa in millimetri ed il valore della apertura massima dell obiettivo stesso (per esempio a=2) che definisce la sua luminosità. Gli obiettivi più costosi a parità di focale hanno una maggiore luminosità ossia l apertura massima con valore di a molto piccolo. La scala è motivata dal fatto che tra un valore dell apertura e quello successivo si dovrebbe poter diaframmare per far passare una quantità di luce dimezzata rispetto al valore corrente (esempio a=2 ). Questo si ottiene riducendo il diametro del foro, attraverso cui passa la luce, di un fattore 2 = 1.4 che come è noto la sezione circolare è proporzionale al quadrato del foro stesso. Normalmente il sistema ottico è configurato dinamicamente per proiettare una determinata quantità di luce sulla superficie sensibile di un sistema di acquisizione immagini, indipendentemente dalla tipologia di dispositivo sensibile utilizzato, film oppure fotorecettori di una telecamera. Questo è realizzato variando il diaframma f/# e compensando con il tempo di esposizione impostato adeguatamente dall otturatore. Per esempio, la stessa quantità di luce è ottenuta impostando il sistema di acquisizione con f/2 e 1/1000 sec., f/2.8

14 100 CAPITOLO 4. SISTEMA OTTICO Figura 4.16: Macchina fotografica con modello pinhole: Immagine acquisita con valori diversi del diametro del foro ottenendo diversi gradi di sfocamento. e 1/500 sec., f/4 e 1/250 sec., ecc. Si osserva come passando da un valore di diaframma al successivo si dimezza la luce che passa ma si raddoppia il tempo di esposizione dell area sensibile del sistema per proiettare sempre la stessa quantità di luce. In relazione alla tipologia e dinamica della scena viene selezionata adeguatamente la coppia diaframma e tempo di esposizione. Una scena con oggetti in movimento è acquisita selezionando la coppia di parametri con tempo di esposizione molto piccolo se si vuole evitare l effetto sfocamento nell immagine. Al contrario è selezionato un diaframma molto grande se si vuole aumentare la profondità di campo ossia aumentare l intervallo fra distanza minima e massima di oggetti che risultano ancora a fuoco nel piano immagine del sistema di acquisizione. 4.4 Acquisizione dell immagine Fin qui abbiamo analizzato le teorie fondamentali alla base dei meccanismi di formazione dell immagine: la teoria parassiale dei sistemi ottici e l interazione luce-materia. La natura attraverso i sistemi visivi degli esseri viventi offre uno spettro ampio di sistemi di acquisizione delle immagini con diversi livelli di complessità. Quasi tutti gli animali mostrano una particolare sensibilità alla radiazione luminosa, persino quelli non dotati di organi fotorecettori (Protozoi). Esistono organi visivi dalle forme più semplici che si limitano a distinguere il buio dalla presenza di luce, fino ad arrivare a quelli più evoluti capaci di percepire la forma ed il movimento degli oggetti. Per esempio gli organi visivi di alcuni animali determinano solo l intensità di luce. In altri, gli organi visivi sono costituiti (Meduse) da più cellule localizzate in una cavità che vengono stimolate in tempi diversi dalla luce esterna a causa del movimento di un oggetto. Quando si ha una cavità più profonda con una fessura molto stretta senza lente (modello pinhole) si può avere la formazione di una immagine sulla parete opposta come avviene nella cosiddetta camera oscura (prototipo di una macchina fotografica). Si osserva (vedi figura 4.16) lo sfocamento dell immagine in corrispondenza del foro grande per effetto della non convergenza dei raggi luminosi. Analogo sfocamento si verifica nel foro molto piccolo a causa del fenomeno della diffrazione. Questo principio di formazione dell immagine era noto sin dai tempi di Aristotele. Leonardo Da Vinci lo descrive nei suoi appunti e Giovanni della Porta lo descrive dettagliatamente in Magic Naturalis. Una evoluzione degli organi visivi si ha quando in corrispondenza della fessura si formano mezzi diottrici, ossia una lente, come si riscontra nei vertebrati ottenendo in tal modo una immagine più luminosa e di qualità. Una ulteriore evoluzione si riscontra negli organi visivi composti degli Artropodi costituiti da una molteplicità di piccoli occhi ciascuno composto di propri mezzi diottrici (cornea, cono cristallino) e da elementi fotorecettori (retina). Nei

15 4.5. IL SISTEMA OTTICO UMANO 101 Figura 4.17: Sistema visivo di un vertebrato. vertebrati il sistema visivo diventa ancora più evoluto. La figura 4.17b mostra uno schema dell occhio elementare chiamato ommatidio che assemblati come evidenziato in 4.17a formano l occhio composto di molti Artropodi. L occhio è costituito da una lente corneale bi-convessa di chitina trasparente, sotto la quale quattro cellule formano una seconda lente, il cono cristallino, omogeneo e trasparente. Segue la retinula costituita da 7-8 celle fotorecettori a forme allungate e sottili. Ciascuna di queste ultime celle trasmettono gli stimoli al dendrite della cellula conducente tramite il nervo ottico al cervello. Si riscontra un globo oculare, con retina, una sclerotica robusta, una cornea trasparente, una coroide pigmentata ed un cristallino (lente convergente). Sono inoltre sviluppate le strutture muscolari portanti per garantire le funzionalità di adattamento degli elementi ottici per ciascuna tipologia di animale (pesci, rettili, uccelli, cetacei, ecc.). I sistemi visivi biologici esistenti sulla terra anche se presentano differenti soluzioni nel sistema ottico, presentano processi elettro-chimici dei meccanismi di trasduzione dell immagine molto simili. 4.5 Il sistema ottico umano Il sistema visivo umano può essere pensato come costituito da una lente doppia convergente che forma una immagine reale nella zona sensibile alla luce (retina). Il sistema visivo umano (vedi figura 4.18) si integra con le seguenti componenti: sistema ottico, nervo ottico e corteccia cerebrale. Nell uomo il sistema ottico (l occhio) ha una struttura consistente ed elastica, ed è tenuto in posizione oltre che dai muscoli, da fasce, nervi e vasi che in esso penetrano. Nella parte anteriore presenta all esterno la cornea che è trasparente, nel cui centro sono visibili l iride, variamente colorata, e la pupilla, il foro attraverso cui passa la luce, e vengono recepite le immagini. La pupilla si dilata o si restringe (2 8mm) a seconda della minore o maggiore intensità degli stimoli luminosi. La parte posteriore della struttura sferica è formata dalla sclera, ed è sede della componente convessa del sistema ottico. Da questa sede della sclera emerge il nervo ottico avvolto da materiale fibroso che impedisce la riflessione e rifrazione dei raggi luminosi. I raggi di luce incidente penetrano nell occhio dall interfaccia aria-cornea subendo la massima deviazione (l indice di rifrazione della cornea è n c =1.376 ). Nelle immersioni subacquee la vista diminuisce proprio perché i raggi di luce non vengono adeguatamente rifratti a causa dell indice di rifrazione dell acqua (n a =1.33 ) molto vicino a quello della cornea. La luce, superando la cornea, entra in uno spazio cavo contenente l umor acqueo (n ua =1.336 ), un liquido incolore e trasparente, viene solo leggermente deviata nell interfaccia cornea umor acqueo poiché quest ultimo ha un indice di rifrazione quasi identico a quello della cornea. L iride si trova anche immersa nel liquido acquoso ed espleta le funzioni di diaframma che

16 102 CAPITOLO 4. SISTEMA OTTICO Figura 4.18: Il sistema ottico umano controlla la quantità di luce che entra nell occhio attraverso la pupilla. I muscoli radiali e circolare dell occhio consentono all iride di aprirsi in pessime condizioni di luce e di chiudersi in buone condizioni di luce. Adiacenti all iride verso l interno del bulbo è localizzata la lente cristallina di 9 mm di diametro e 4 mm di spessore, costituita da una massa fibrosa multistrato (22000 strati) e trasparente, ed avvolta da una membrana sottile ed elastica. Abbiamo già analizzato l architettura biologica del sistema visivo umano. Analizziamo ora alcune sue caratteristiche più dal punto di vista di sistema ottico di acquisizione delle immagini. A differenza delle lenti artificiali realizzate in vetro, il cristallino per la caratteristica della sua struttura lamellare può aumentare di dimensioni e presenta un indice di rifrazione che varia da 1.406, nel nucleo centrale, a circa nelle parti meno dense. La lente cristallina, variando in forme e dimensioni, permette un eccellente meccanismo di messa a fuoco fine variando la sua lunghezza focale. Dal punto di vista ottico, il sistema cornea-cristallino può essere pensato come un sistema ottico a due lenti con il fuoco dell oggetto di circa 15.6mm (dal lato della cornea) ed il fuoco immagine di circa 24.3mm dietro la retina. Per semplificare si può considerare il sistema ottico come un unica lente avente il centro ottico a 17.1mm davanti la retina e posizionato subito dopo la lente cristallina. Dopo il cristallino si trova il corpo vitreo e il corpo ciliare. Il corpo vitreo consiste in una massa trasparente e gelatinosa che riempie lo spazio esistente tra l interfaccia posteriore della lente cristallina e la membrana interna del globo oculare. Questa massa è denominata umor vitreo: liquido gelatinoso trasparente (indice di rifrazione n uv =1.337 ) formato da sostanza amorfa, fibre e cellule, tenute assieme dalla membrana ialoidea. Nella zona più interna aderente alla sclera si trova una membrana fibrosa sottile chiamata coroide o corioride di natura vascolare e pigmentata con melanina. Uno strato sottile ( mm) di celle fotorecettori coprono una zona estesa della superficie interna della coroide che è denominata retina dal latino rete. La luce focalizzata è assorbita attraverso un processo elettrochimico in questa struttura multistrato. Nei paragrafi precedenti abbiamo evidenziato che il sistema visivo umano presenta due tipologie di fotorecettori: coni e bastoncelli. La retina è considerata come una espansione del nervo ottico, che come una membrana, si applica sulla coroide fino all ora serrata. L area dove esce il nervo ottico dall occhio non contiene fotorecettori ed è insensibile alla luce. La piccola zona di contatto tra nervo e retina è chiamata pupilla ottica. Il meccanismo di messa a fuoco (potere di accomodazione) delle immagini sulla retina per il sistema visivo umano, è realizzato dalla lente cristallina che, grazie alla sua natura elastica, può essere più o meno stirata dai muscoli ciliari. Più grande è la stiratura tanto maggiore diventa la curvatura delle sue facce (diminuisce il raggio R della lente) e conseguentemente diminuisce la sua lunghezza focale (come previsto dall equazione (4.10)) con la diminuzione del suo potere diottrico (unità di misura della convergenza di un sistema ottico centrato). Il potere diottrico di una lente è una misura della capacità di una lente a convergere i raggi luminosi incidenti. E noto che una lente grandangolare (con lunghezza focale corta)

17 4.5. IL SISTEMA OTTICO UMANO 103 Figura 4.19: Accomodamento dell occhio. a)muscoli ciliari rilassati; b)muscoli ciliari contratti. ha la capacità di convergere i raggi incidenti meglio di una lente con grande lunghezza focale. Consegue che il potere diottrico è inversamente proporzionale alla lunghezza focale. La grandezza fisica associata alla misura della convergenza è chiamato potere diottrico ed è definito come l inverso della distanza focale di un sistema ottico centrato. La distanza focale è misurata in metri e la convergenza in diottria. Se vi sono più lenti la convergenza è data dalla somma algebrica delle singole convergenze di ciascuna lente. Per una lente con focale f di 1 metro la diottria è definita con l inverso della focale di un metro o diottria indicata con 1D=1m 1. Se una lente divergente ha focale di -2m, le diottrie sono -1/2D. Per una lente convergente con f=100mm il valore di diottria è 1/0.1D ossia 10D. L equazione (4.10) è utilizzata per il calcolo delle diottrie di una lente, noti i raggi di curvatura e gli indici di rifrazione. Il grado di miopia, presbiopia si misura in diottria, riferendosi alla convergenza delle lenti correttrici. Il potere diottrico del cristallino del sistema visivo umano considerato immerso nell aria è di +19D mentre per la cornea fornisce circa +43D per un totale di 59.6D considerato l occhio con i muscoli rilassati. Tale valore è stimato considerando il sistema ottico come una lente composta (cristallino + cornea) il centro della quale dista 17.1 mm dalla retina (1/f=1/ =59D). Normalmente quando i muscoli dell occhio sono rilassati, il cristallino non subisce nessun stiramento ed opera con la massima lunghezza focale e la luce di oggetti che si trovano all infinito sono ben focalizzati sulla retina. Man mano che l oggetto si avvicina all occhio i muscoli ciliari si contraggono, generano un forte stiramento sulla lente cristallina (processo di accomodamento) per la messa a fuoco sulla retina dell oggetto vicino. La minima distanza di un oggetto per essere visto correttamente varia con l età. Per i giovani adolescenti, per un occhio normale, la distanza minima è di 70mm, per i giovani adulti è di 120mm e per età sempre maggiore la distanza varia da 250mm a 1000mm. La perdita progressiva del potere di accomodamento è detta presbiopia. Molti animali hanno la stessa capacità di accomodamento dell uomo. Altri muovono solo la lente avanti ed indietro rispetto alla retina giusto per mettere a fuoco l immagine come viene fatto nelle comuni macchine fotografiche. I molluschi invece effettuano l adattamento contraendo o espandendo completamente il corpo dell occhio per allontanare o avvicinare la lente dalla retina. Alcuni uccelli rapaci invece che focalizzare costantemente la preda, mentre si muovono velocemente anche per una considerevole distanza, per la loro sopravvivenza, hanno sviluppato un meccanismo di accomodamento in un modo molto diverso cambiando la curvatura della cornea. Il sistema ottico garantisce il processo di formazione dell immagine sulla retina. Il processo di percezione dell immagine (visione) è il risultato dell attività sinergica e congiunta dell occhio e del cervello. Tale attività si sviluppa in frazioni di secondi e comprende le seguenti fasi: 1. la formazione dell immagine reale rimpicciolita e capovolta sulla retina in analogia a quanto avviene in uno strumento di acquisizione immagini (telecamera, macchina fotografica, ecc.);

18 104 CAPITOLO 4. SISTEMA OTTICO 2. stimolazione dei fotorecettori localizzati sulla retina in relazione all energia luminosa della scena osservata; 3. trasmissione attraverso il nervo ottico degli impulsi prodotti dai fotorecettori al cervello; 4. la ricostruzione della scena 3D partendo dalle immagini 2D prodotte capovolte sulla retina; 5. la interpretazione degli oggetti della scena. Nel paragrafo Sistema visivo umano sono stati descritti le capacità sensoriali di esso compreso gli aspetti di percezione del colore. 4.6 Sistemi di acquisizione immagini Diversi sono i dispositivi disponibili per acquisire le immagini digitali. Le caratteristiche di tali dispositivi variano in relazione alle modalità di formazione delle immagini. Il primo dispositivo di acquisizione delle immagini, noto già ad Aristotele, è la camera oscura. Consiste in un ambiente impermeabile alla luce, di dimensioni variabile tra quelle di una piccola scatola a quelle di una stanza, su una parete delle quali è praticato un piccolo foro (foro stenopeico) attraverso cui una immagine capovolta, degli oggetti che si trovano all esterno, è generata e proiettata sulla parete opposta (vedi figura 4.16). Leonardo da Vinci suggerì di sostituire il foro stenopeico con una lente per migliorare la qualità dell immagine in termini di nitidezza e luminosità. Per diversi secoli, rimase l unico dispositivo per l acquisizione delle immagini e successivamente, inserendo alla parete di proiezione una superficie fotosensibile ed introducendo obiettivi di buona qualità, la camera oscura diventa il prototipo delle moderne macchine fotografiche e delle telecamere con lo sviluppo della microelettronica. Tali dispositivi hanno entrambi le ottiche con lunghezza focale fissa e per mettere a fuoco l immagine dell oggetto l ottica deve essere avvicinata o allontanata dal piano immagine (area sensibile del film o dei fotorecettori). Ricordiamo che ciò è controllato dai parametri del sistema di acquisizione delle immagini relazionati tra loro dalle equazioni (4.14), (4.15) e (4.18) già discusse nel paragrafo Sistema ottico. Riscriviamo la relazione dei punti coniugati 1 f = 1 p + 1 q (4.25) e la relazione di ingrandimento M = Dim vert i Dim vert o = q p (4.26) dove f è la lunghezza focale dell ottica, p è la distanza dell oggetto dal centro lente, q è la distanza del piano immagine dal centro della lente, M è il fattore di ingrandimento o di rimpicciolimento dell immagine rispetto all oggetto, Dim vert i e Dim vert o sono le altezze misurate rispetto all asse ottico rispettivamente dell immagine e dell oggetto. Il segno negativo indica che l immagine è capovolta. Della scena osservata, il sistema ottico ne acquisisce solo una sua porzione circolare, nota come campo angolare di vista α. La scena osservata, compresa in corrispondenza del campo angolare di vista, è proiettata attraverso la lente nel piano immagine 2D rappresentato in figura 4.20 con l area circolare. Considerando l oggetto all infinito per la (7.26) l immagine si forma alla distanza q che coincide con la distanza focale. Man mano che l oggetto si avvicina

19 4.6. SISTEMI DI ACQUISIZIONE IMMAGINI 105 Figura 4.20: Angolo di campo del sistema ottico e piano immagine. alla lente l immagine si allontana dalla lente formandosi a distanze q maggiori di f per essere a fuoco, come spiegato in dettaglio nel paragrafo Sistema ottico. Normalmente tutti i dispositivi di acquisizione delle immagini hanno l area sensibile rettangolare e soltanto una porzione di tale area circolare è acquisita. Le dimensioni dell area sensibile, dove è focalizzata in modo uniforme l immagine, è caratterizzata geometricamente dalla diagonale maggiore dell area sensibile rettangolare. In genere, la diagonale maggiore dell area sensibile è scelta approssimativamente uguale alla focale dell obiettivo. Consegue che α 2 = 1/tg 1 2 ed α corrisponde a circa 53. Un obiettivo cosiddetto normale per una macchina fotografica con area sensibile di 24 36mm ha una lunghezza focale intorno a 50mm ed un angolo di campo di circa 50. E chiamato normale in quanto le caratteristiche dell immagine create con queste ottiche sono molto simili in senso di resa prospettica a quelle generate dal sistema ottico umano. Con focale più corte si ha un angolo di campo più ampio che da 50 può raggiungere valori superiori a 180 (fish-eye con f < 6 mm). Tali obiettivi si chiamano grandangolari che quando molto spinti possono produrre immagini molto distorte. Obiettivi con lunghezza focale maggiore di 50mm riducono l angolo di campo fino a qualche grado in corrispondenza di focali di 1000mm (teleobiettivi). La qualità dei moderni obiettivi è tale da produrre immagini qualitativamente eccellenti per tutte le lunghezze focali e luminosità espressa con il simbolo f/# introdotto nel paragrafo Sistema ottico. L area sensibile delle moderne telecamere è normalmente di 10 10mm 2 e conseguentemente gli obiettivi standard hanno una lunghezza focale intorno a 15mm. I sistemi ottici dei dispositivi considerati, macchina fotografica e telecamera, producono una immagine ottica degli oggetti della scena osservata. In altre parole il sistema ottico produce una immagine fisica che è la distribuzione spaziale dell intensità di energia luminosa. Quando l immagine fisica è osservabile dagli umani si dice che è una immagine nel visibile. Immagini fisiche che non sono nel visibile potrebbero essere per esempio le immagini per rappresentare grandezze come l altezza del terreno, la temperatura, l umidità, ecc. generate normalmente da sistemi di acquisizione non ottici. Senza perdere in generalità, consideriamo tra le immagini fisiche quelle generate da una macchina fotografica e da una telecamera Vidicon (dispositivo basato su tubo elettronico). I dispositivi di acquisizione delle immagini (telecamera e macchina fotografica) realizzano una corrispondenza tra gli oggetti della scena e le immagini fisiche generate (figura 4.21). Il film di una macchina fotografica è il supporto fisico che cattura il negativo dell immagine corrispondente all immagine ottica. Il tubo elettronico Vidicon è il supporto fisico che

20 106 CAPITOLO 4. SISTEMA OTTICO Figura 4.21: Componenti di un sistema di acquisizione immagini. Figura 4.22: Sistema di digitalizzazione a scansione elettronica. cattura elettronicamente l immagine corrispondente all immagine ottica della telecamera. A differenza del film della macchina fotografica (sul quale si produce una immagine negativa dopo il suo sviluppo attraverso un processo fisico-chimico), una telecamera Vidicon produce una immagine elettronica dell immagine ottica formatasi. Attraverso il processo di scansione elettronica, l immagine ottica (disponibile sotto forma di energia luminosa), formata sulla zona detta target del tubo Vidicon, è trasdotta sotto forma di variazione di corrente, dai dispositivi elettronici che producono un segnale video standard (per esempio, RS170) per riprodurre simultaneamente su monitor monocromatici televisivi l immagine acquisita. Ricordiamo che il nostro obbiettivo primario, una volta acquisita l immagine, è quello di analizzare gli oggetti della scena. Abbiamo visto come il sistema visivo umano elabora l immagine acquisita sulla retina propagando, attraverso il nervo ottico, le informazioni di intensità luminosa ed elaborandole con un modello neurale per la percezione completa (riconoscimento, localizzazione e dinamica) degli oggetti osservati. In analogia al sistema umano, abbiamo la necessità di elaborare il contenuto informativo delle immagini ottiche acquisite per esempio dalla telecamera Vidicon e quelle registrate sul film. I sistemi di elaborazione possibili sono i calcolatori elettronici digitali che sono capaci di elaborare informazioni solo di tipo numerico. Risulta necessario perciò tradurre in formato numerico, ossia in formato digitale, il contenuto informativo della scena acquisita attraverso il processo di formazione dell immagine con i vari dispositivi disponibili. Se si considera l immagine registrata su film fotografico, è necessario un processo di scansione meccanico oppure elettronico che, muova un pennello di luce punto per punto sul film trasparente e misurare la luce trasmessa o riflessa come stima dell intensità di luce corrispondente al punto della scena osservato durante il processo di acquisizione dell immagine. Un fotosensore misura la luce trasmessa o riflessa punto per punto ed il segnale elettrico prodotto è adeguatamente trasdotto dal dispositivo di digitalizzazione che converte il segnale analogico sotto forma numerica (figura 4.22). Se si considera l immagine acquisita dalla telecamera Vidicon, è necessaria una conversione in forma numerica del segnale video generato con la completa scansione elettronica della superficie sensibile del vidicon. In particolare, lo standard europeo RS-170 prevede la scansione dell intera immagine (frame) in 625 linee orizzontali con una frequenza di 25 frame al secondo (figura 4.23). In figura 4.24 è rappresentata l immagine analogica (continua) acquisita come video frame ed il segnale analogico video corrispondente ad una linea orizzontale (figura 4.24b). Per la conversione del segnale video analogico in formato digitale, gestibile dal computer, è

21 4.6. SISTEMI DI ACQUISIZIONE IMMAGINI 107 Figura 4.23: Telecamera con tubo Vidicon. Figura 4.24: Segnale video standard RS170. necessario un dispositivo hardware chiamato frame-grabber. Quest ultimo converte il segnale video analogico in immagine digitale campionando il segnale continuo con un intervallo temporale costante. In figura 4.25 è schematizzato il processo di campionamento di una linea del segnale video campionato attraverso la misura istantanea del valore del segnale elettrico ad intervalli di tempo costanti. Il valore del segnale elettrico, per ciascun intervallo di tempo, è convertito in un valore numerico e memorizzato. Tale valore è correlato al valore di intensità luminosa dell immagine in quel punto. Questo processo è ripetuto per ciascuna linea del segnale video dell intero frame ed al termine si ottiene l immagine digitale che può essere elaborata direttamente dal computer. I valori di intensità luminosa campionati sono inoltre quantizzati in valori digitali per soddisfare le esigenze di accuratezza numerica. Tale accuratezza dipende dal numero di bit assegnati per rappresentare l informazione di intensità luminosa per ciascun punto campionato. Normalmente sono assegnati 8 bit generando così 256 livelli di intensità luminosa. L intervallo dei livelli di intensità è chiamato anche intervallo dinamico e nel caso di immagini digitali quantizzate a 8 bit si ha un range dinamico da 0 a 255. Una immagine digitale dopo l elaborazione può essere ulteriormente visualizzata. Si rende necessario un processo inverso a quello di digitalizzazione che si propone di ricostruire l immagine continua partendo dall immagine numerica precedentemente digitalizzata ed elaborata. A tal scopo è necessario un dispositivo hardware di conversione da digitale ad analogico. La figura 4.26 mostra lo schema completo di conversione dell immagine da digitale

22 108 CAPITOLO 4. SISTEMA OTTICO Figura 4.25: Conversione in digitale del segnale video. Figura 4.26: Sistema di visualizzazione immagini. ad analogico. Nei paragrafi seguenti verranno analizzati gli effetti introdotti dal processo di digitalizzazione per valutare qualitativamente e quantitativamente eventuali perdite di informazioni rispetto all immagine originale. Si può anticipare che tali effetti sono ormai minimi considerando la buona qualità dei dispositivi di digitalizzazione oggi disponibili. Le telecamere più recenti sono realizzate con sensori di acquisizione immagini di tipo a stato solido con l elettronica di scansione contenuta in un vettore o matrice di sensori. Le più diffuse hanno una matrice di sensori del tipo charge-coupled device (CCD) ed a matrice di fotodiodi. I fotosensori sono integrati in un singolo chip che comprende l elettronica necessaria per determinare la carica elettrica generata nel piano immagine incidente. Il processo di campionamento avviene direttamente nel punto ove è localizzato ciascun sensore nella matrice sensoriale mono o bidimensionale. Il processo di digitalizzazione è completato con la quantizzazione dei valori di intensità luminosa nel caso di telecamere digitali oppure è generato un segnale video standard (segnale analogico) ed in questo caso le informazioni spaziali di campionamento relativo a ciascun sensore sono perse. In appendice saranno approfonditi alcuni aspetti della tecnologia dei moderni sistemi di acquisizione delle immagini. 4.7 Rappresentazione dell immagine digitale Nei paragrafi precedenti abbiamo descritto i fondamenti del processo di formazione dell immagine analizzando come l energia luminosa dell ambiente interagisce con il sistema ottico che genera una immagine fisica 2D degli oggetti 3D della scena osservata. Si è descritto inoltre, come dall immagine fisica continua, che contiene le varie tonalità di intensità luminosa dei punti corrispondenti della scena, attraverso il processo di digitalizzazione, si perviene ad una immagine discreta digitale (vedi figura 4.27). L immagine fisica continua f(x,y) generata dal sistema ottico o in generale da qualunque altro sistema di acquisizione (radar, raggi x, infrarosso, sonar, chimico, ecc.) rappresenta l informazione di intensità luminosa (o livelli di grigio) in ciascun punto (x,y) del piano bidi-

23 4.8. RISOLUZIONE E FREQUENZA SPAZIALE 109 Figura 4.27: Immagine digitale. mensionale g(i,,j), che rappresenta i valori dell intensità luminosa derivata dall immagine fisica continua f(x,y) in corrispondenza della griglia di campionamento definita da (i x,j y), dove x e y rappresentano gli intervalli di campionamento rispettivamente lungo l asse delle x e l asse delle y. Dal processo di quantizzazione è generata l immagine digitale I(i,j) con i valori digitali dell intensità luminosa g(i,j) riportati per ciascun elemento (i,j) dell immagine, chiamato pixel (dall inglese picture element). Il valore di ciascun pixel I(i,j) rappresenta l elemento discreto digitale dell immagine digitalizzata. Il valore del pixel I(i,j) rappresenta il valore medio dell intensità luminosa corrispondente ad una cella della griglia con superficie rettangolare di dimensioni x y. L insieme dei pixel I(i, ) rappresenta la colonna i-ma dell immagine digitale, mentre la riga j-ma è rappresentata dai pixel I(,j). L immagine digitale I risulta una buona approssimazione dell immagine continua originale f se sono scelti in modo adeguato i seguenti parametri: gli intervalli di campionamento x e y, e l intervallo dei valori di intensità I assegnati a ciascun pixel nella fase di quantizzazione. Da questi parametri dipende quello che è definito come qualità dell immagine ossia la risoluzione spaziale e la risoluzione radiometrica (o di intensità luminosa o di colore). Un altro parametro che definisce la qualità dell immagine è rappresentato dalla risoluzione temporale come l abilità di catturare la dinamica della scena nel caso di oggetti in movimento. In questo caso è considerato il parametro frame rate che definisce la velocità di acquisizione di una o più sequenze di immagini (numero di frame al secondo). 4.8 Risoluzione e frequenza spaziale L immagine digitale acquisita è il risultato del processo di digitalizzazione realizzato partendo dall immagine ottica generata dal sistema ottico. Possiamo allora affermare che la risoluzione dell immagine digitale, che indica come l intero sistema di acquisizione sia capace di risolvere i più piccoli dettagli degli oggetti della scena osservata, dipende dalle varie componenti del sistema di acquisizione complessivo: ambiente, sistema ottico, sistema di digitalizzazione. Per semplificare possiamo affermare che la risoluzione dell immagine digitale dipenda dalla risoluzione dell immagine ottica e dalla risoluzione del sistema di digitalizzazione. Ipotizziamo di avere una immagine ottica di buona qualità nel senso che risolve bene le strutture spaziali della scena originale e valutiamo gli effetti del processo di digitalizzazione sulla risoluzione spaziale. Quando osserviamo una foto di buona qualità abbiamo un esempio di immagine con livelli di colore continuo ed osservando col sistema visivo umano gli oggetti della scena appaiono con una buona risoluzione geometrica con tutti i dettagli geometrici e senza discontinuità. Questo avviene per due motivi. Il primo è che la macchina fotografica utilizzata ed il supporto cartaceo su cui è stata riprodotta l immagine, hanno una buona risoluzione spaziale ed una buona riproduzione cromatica. Il secondo motivo riguarda l alta risoluzione spaziale del

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