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1 Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. 1b) Supponendo che la varianza non sia nota e che la varianza campionaria è s 2 = 1., calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. 1c) Verificare con livello di significatività α = % l ipotesi H 0 : µ = 0 contro l ipotesi H 1 : µ 0. 1d) Supponendo che la varianza non sia nota e che la varianza campionaria sia s 2 = 1., verificare con livello di significatività α = 1% l ipotesi H 0 : µ = 0 contro l ipotesi H 1 : µ > 0. 1e) Supponendo nota la varianza, al fine di verificare le seguenti ipotesi: è stata proposta la seguente regione critica H 0 : µ = 0.2, H 1 : µ > 0.2 R : {(x 1,..., x ) : x 1.} Calcolare la probabilità di errore di primo tipo. Soluzione 1 1a) ( ; ) = (1.27; 2.733) 1b) ( ; ) = (0.832; 3.17) 1c) La zona di rifiuto è z 1.9. La statistica z è = quindi si rifiuta H 0. 1d) La zona di rifiuto è t (4) > La statistica t è t = = 3.1 1e) P (R H 0 ) = P (X 1. µ = 0.2) = P (Z ) = 1 φ(2.79) = = / Esercizio 2 Da una popolazione X normale con media µ e varianza σ 2 viene estratto il seguente campione (1, 4,, 10, 30). 1

2 2a) Supponendo che la varianza σ 2 non sia nota, calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. 2b) Supponendo che la varianza σ 2 non sia nota, verificare con livello di significatività α = 1% l ipotesi H 0 : µ = 13 contro l ipotesi H 1 : µ 13. 2c) Supponendo nota la varianza σ 2 = 9, calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 9% in corrispondenza del campione osservato 2d) Supponendo nota la varianza σ 2 = 9, verificare con livello di significatività α = % l ipotesi H 0 : µ = 13 contro l ipotesi H 1 : µ > 13. 2e) Considerando nota la varianza σ 2 = 9 e dato il sistema di ipotesi con livello di significatività α = % l ipotesi H 0 : µ = 13 contro l ipotesi H 1 : µ = 1, calcolare la potenza del test. Soluzione 2 x = 10, s = a) ( ; ) = ( 1.098; ) 2b) La zona di rifiuto è t (4) > 4.04 t (4) < La statistica t è t = = c) ( ; ) = (7.3704;.29) 2d) La zona di rifiuto è z > 1.4. La statistica z è = e) La potenza del test è π = P (T R H 1 ) = P (X > x α H 1 ). Si ha che il valore critico x α = = 1.2 e quindi la potenza è P (Z > / ) = = Esercizio 3 Da un indagine effettuata tra gli iscritti alla facoltà di economia risulta che su intervistati 48 hanno la maturità scientifica, 3 la maturità classica. 3a) Proporre uno stimatore ˆp S per la proporzione di iscritti con maturità scientifica e calcolarne la stima. Calcolare la stima anche per la proporzione ˆp C di coloro che hanno la maturità classica. 3b) Calcolare l intervallo di confidenza al 90% per la proporzione p S di iscritti con maturità scientifica. 2

3 3c) Calcolare l intervallo di confidenza al 9% per la proporzione p C di iscritti con maturità classica. 3d) Ad un livello di significatività del 10% accettereste o rifiutereste l ipotesi nulla che la proporzione p S di iscritti con maturità scientifica sia uguale al 4% contro l ipotesi l alternativa che sia diversa dal 4%?. 3e) Ad un livello di significatività del % accettereste o rifiutereste l ipotesi nulla che la proporzione p C di iscritti con maturità classica sia uguale al 4% contro l ipotesi l alternativa che sia diversa dal 4%? Soluzione 3 3a) ˆp S = 48 = 0.04, ˆp C = 3 = b) Intervallo di confidenza per p S. ( ; c) Intervallo di confidenza per p C. ( ; ) = (0.0307; ) ) = ( ; ) 3d) H 0 : p S = 0.04, H 1 : p S La zona di rifiuto è (z > 1.4 z < 1.4). La statistica z sotto H 0 è e) H 0 : p C = 0.04, H 1 : p C La zona di rifiuto è (z > 1.9 z < 1.9). La statistica z sotto H 0 è = 0 = Esercizio 4 Da un indagine effettuata tra gli stranieri residenti in Grecia risulta che su intervistati 48 sono italiani e 3 sono spagnoli. 4a) Proporre uno stimatore ˆp I non distorto per la proporzione di italiani residenti in Grecia e calcolarne la stima. Calcolare la stima anche per la proporzione ˆp S di spagnoli residenti in Grecia. 4b) Calcolare l intervallo di confidenza al 90% per la proporzione p I di italiani residenti in Grecia. 4c) Calcolare l intervallo di confidenza al 9% per la proporzione p S di spagnoli residenti in Grecia. 4d) Ad un livello di significatività del 10% accettereste o rifiutereste l ipotesi nulla che la proporzione p I di italiani residenti in Grecia sia uguale al 4% contro l ipotesi l alternativa che sia diversa dal 4%?. 3

4 4e) Ad un livello di significatività del % accettereste o rifiutereste l ipotesi nulla che la proporzione p S di spagnoli residenti in Grecia sia uguale al 4% contro l ipotesi l alternativa che sia diversa dal 4%? Soluzione 4 4a) ˆp I = 48 = 0.04, ˆp I = 3 = b) Intervallo di confidenza per p I. ( ; c) Intervallo di confidenza per p S. ( ; ) = (0.0307; ) ) = ( ; ) 4d) H 0 : p I = 0.04, H 1 : p I La zona di rifiuto è (z > 1.4 z < 1.4). La statistica z sotto H 0 è e) H 0 : p S = 0.04, H 1 : p S La zona di rifiuto è (z > 1.9 z < 1.9). La statistica z sotto H 0 è = 0 = Esercizio Le votazioni degli esami di Statistica in due corsi di laurea diversi possono essere rappresentati da due variabili casuali normali X e Y rispettivamente come media µ X e µ Y e con varianza σx 2 e σ2 Y. Al primo appello nei due corsi di laurea si sono presentati due campioni casuali indipendenti di studenti che hanno superato l esame riportando i seguenti voti: x = (18, 2, 30, 19, 23), y = (2, 18, 18, 30, 21, 20). a) Non essendo nota σ 2 X, calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ X al 99% in corrispondenza del campione osservato. b) Supponendo nota la varianza σ 2 X = 22, verificare l ipotesi che H 0 : µ X = 2 contro l ipotesi H 1 : µ X < 2 ad un livello di significatività α = %. c) Supponendo nota la varianza σy 2 = 24, calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ Y al 9% in corrispondenza del campione osservato. d) Non essendo nota σy 2, verificare l ipotesi che H 0 : µ Y = 20 contro l ipotesi H 1 : µ Y > 20 ad un livello di significatività α = 10%. e) Supponendo note le varianze σx 2 = 22 e σ2 Y = 24, verificare con livello di significatività α = 10% l ipotesi H 0 : µ X µ Y = 0 contro l ipotesi H 1 : µ X µ Y 0. 4

5 Soluzione a) ( x = 23, y = 22.17, s 2 X = 23., s 2 Y = ; ) = (13.02; 32.98) b) La zona di rifiuto è z < 1.4. La statistica z è = 0.9 c) ( ; ) = (18.2; 2.09) d) La zona di rifiuto è t > La statistica t è = 1.10 e) La zona di rifiuto è z < 1.4. La statistica z è = 0.29 Esercizio Si considerino due popolazioni X e Y che rappresentano la durata (in minuti) di due differenti tipi di lampadine e si supponga che X e Y siano indipendenti e normalmente distribuite con valori attesi µ X e µ Y. Si considerano due campioni estratti da X e da Y, (X 1, X 2,..., X 1 ) e (Y 1, Y 2,..., Y ) che hanno dato luogo alle realizzazioni: 1 x i = 2, 1 (x i x) 2 = 21000, y i = 4344, (y i y) 2 = a) Supponendo nota varianza σy 2 = 1000, calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ Y al 99% in corrispondenza del campione osservato. b) Supponendo che la varianza σx 2 non sia nota, calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ X al 99% in corrispondenza del campione osservato. c) Supponendo che le varianze σx 2 e σ2 Y non sono note, ma sono uguali, verificare con livello di significatività α = 10% l ipotesi H 0 : µ X µ Y = 0 contro l ipotesi H 1 : µ X µ Y 0. d) Supponendo che le varianze σx 2 = 0 e σ2 Y = 1000 sono note, calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ X µ Y al 99% in corrispondenza del campione osservato. e) Supponendo che le varianze σx 2 = 0 e σ2 Y = 1000 sono note, verificare con livello di significatività α = 10% l ipotesi H 0 : µ X µ Y = 0 contro l ipotesi H 1 : µ X µ Y > 0.

6 Soluzione a) ( b) ( x = 37, y = 32, s 2 p = 14400, s 2 X = 1429, s 2 Y = ; ) = ( ; ) ; ) = ( ; ) c) La zona di rifiuto è t (2) > t (2) < La statistica t è t = = d) [(37 32) ; (37 32) e) La zona di rifiuto è z > La statistica z è = ] = ( ; 9.317)

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