Tabella dei dati individuali. Unità Statistiche Sesso Comune di residenza Altezza in cm...

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1 Rappresentazioni dei Dati I Dati successivamente alla loro raccolta, per meglio essere rappresentati, vengono sistemati in tabelle oppure rappresentati mediante grafici che descrivono l'andamento del fenomeno oggetto di studio. 1 Tabelle Le tabelle nelle quali sono trascritti i dati raccolti, si diranno Tabelle dei dati individuali o Matrici dei dati, esse sono costituite da più righe e più colonne ed hanno un formato simile a quello che segue e riferita all'universo statistico degli studenti che nell'anno 2001 si sono iscritti al 1 anno del corso di laurea in matematica dell'università della Calabria. Tabella dei dati individuali Caratteri rilevati Unità Statistiche Sesso Comune di residenza Altezza in cm... Rossi Francesco M Cosenza Bianchi Emanuela F Rende Carli Giuseppe M Rende Guidi Antonio M Catanzaro De Marchi Anna F Castrovillari Franchi Roberta F Cosenza Ogni riga della Tabella dei dati individuali individua una Unità Statistica con tutti i Caratteri rilevati relativi a quella Unità statistica. La prima colonna elenca tutte le Unità statistiche costituenti l'universo statistico oggetto di studio mentre le altre colonne rappresentano i vari caratteri con tutte le modalità rilevate. Dalla Tabella dei dati individuali o Tabella dei dai grezzi, si costruiscono altre tabelle dette tabelle derivate mediante elaborazioni effettuate sulla Tabella dei dati grezzi. Tra le tabelle derivate hanno particolare importanza le tabelle semplici di frequenza dette anche serie statistiche e le tabelle a doppia entrata di frequenza. Notiamo esplicitamente che per una corretta esposizione dei dati, le tabelle devono essere chiare, leggibili, autoesplicative ed il lettore deve poter interpretare i dati senza dover ricorrere al testo in cui, in genera, vengono ripresi e riportati gli approfondimenti interpretativi. Più in particolare devono possedere le seguenti caratteristiche di qualità: - Essere individuata da un numero d'ordine che la collochi all'interno di un contesto e che la renda facilmente richiamabile; - Possedere una intestazione chiara, dettagliata ed esauriente; - I totali delle frequenze devono essere evidenziati mediante opportune scelte dei caratteri; - Indicazione dell'eventuale fonte da cui i dati sono stati estratti. 1.1 Tabelle semplici di frequenza Le tabelle semplici di frequenza sono tabelle derivate dalla Tabella dei dati grezzi mediante la selezione di un solo carattere sono articolate in due colonne dove nella prima colonna sono riportate

2 le modalità del carattere considerato e nella seconda colonna viene indicata la frequenza di ogni singola modalità. Le tabelle che seguono, (Serie statistiche) rappresentano le Tabelle semplici di frequenza dell'universo statistico degli studenti che nell'anno 2001 si sono iscritti al 1 anno del corso di laurea in matematica dell'università della Calabria relativamente ai caratteri "Sesso" e "Comune di residenza" Tabella X Distribuzione per sesso degli studenti Modalità Frequenza Maschio 30 Femmina 38 Totale 68 Tabella Distribuzione per Comune di residenza degli studenti Modalità Frequenza Cosenza 9 Rende 7 Rossano 6 Catanzaro 2 Castrovillari Totale Seriazioni La seriazione statistica è una forma di rappresentazione tabellare per le osservazioni di una variabile quantitativa. I valori della variabile possono essere raggruppati in classi o intervalli disgiunti e ad ogni intervallo viene associato il numero dei casi (frequenza ) i cui valori sono ricompresi nell'intervallo. 1.3 Tabelle a doppia entrata di frequenza Le tabelle a doppia entrata di frequenza sono tabelle derivate dalla Tabella dei dati grezzi mediante la selezione di due caratteri sono articolate in N colonne dove N indica le modalità del primo carattere ed M righe dove M indica le modalità del secondo carattere. La tabella che segue è la tabella a doppia entrata dei caratteri Sesso e Comune di residenza. Maschio Femmine Totali di riga Cosenza Rende Rossano Catanzaro Castrovillari Totali di colonna Totale 68

3 Nello schema che segue è riportata la nomenclatura delle varie parti costituenti una tabella a doppia entrata di frequenza. Distribuzione condizionata di riga Distribuzione congiunta Distribuzione condizionata di colonna Totali marginali delle righe Totali marginali delle colonne Totale generale delle frequenze 2 Interpretazione dei risultati 2.1 Diagrammi Cartesiani I diagrammi cartesiani sono usati soprattutto per rappresentare serie storiche e seriazioni discrete. Le unità di misura sui due assi cartesiani sono generalmente diverse. La scelta delle unità di misura è molto importante per una corretta rappresentazione. Per le serie storiche si riportano sull asse delle ascisse gli anni (o i mesi) e sulle ordinate le intensità corrispondenti. Esempio: Importazioni ed esportazioni dall Italia negli anni dal 1972 al Anni Importazioni (in miliardi di lire) Esportazioni (in miliardi di lire) Si può rappresentare graficamente così:

4 Nei diagrammi cartesiani si è soliti collegare con una spezzata i punti rappresentativi delle coppie di valori, soprattutto nel caso di grafici di serie storiche; tale spezzata mette in evidenza l evoluzione del fenomeno nel tempo. Nel caso di rappresentazione di seriazioni si segnano con un tratto marcato le ordinate dei punti (diagramma a segmenti). Ad esempio, una seriazione si può rappresentare nel modo seguente: Nel grafico, l ultimo valore è stato posto in corrispondenza del sei anche se, in realtà, l ultimo valore comprende le abitazioni di sei e più stanze. In questo caso collegare i punti estremi dei segmenti non avrebbe alcun significato in quanto il numero delle stanze delle abitazioni è un numero intero; talvolta, tuttavia, si traccia egualmente una spezzata, per rendere più facile la lettura. Se il campo di variazione del fenomeno considerato è molto grande, risulta difficile rappresentare i valori effettivi nel diagramma cartesiano; usando una scala logaritmica, su uno solo o su entrambi gli assi, si possono ridurre le proporzioni del grafico. Se si usa una scala logaritmica semplice, sull asse delle ordinate saranno rappresentati i logaritmi decimali delle quantità considerate; se si usa una scala logaritmica doppia, su entrambi gli assi saranno indicati i logaritmi decimali dei valori effettivi. 2.2 Diagrammi a barre o a colonne I diagrammi a barre sono costituiti da rettangoli (o barre) aventi larghezza arbitraria, ma costante, e altezza proporzionale alla caratteristica che si vuole rappresentare. Normalmente un diagramma a barre presenta sull asse orizzontale le etichette che identificano le classi in cui è stata suddivisa la popolazione oggetto di studio e sull asse verticale viene conteggiata la caratteristica contenuta dalle varie classi. Esempio : nel grafico seguente le altezze delle barre sono proporzionali alla densità demografica (cioè al numero di abitanti per Kmq) di ogni circoscrizione del Comune di Torino. Grazie a questa

5 rappresentazione si capisce in modo veloce quale sia il distretto torinese con una concentrazione maggiore o minore di residenti. Si noti, inoltre, come il diagramma è stato costruito mettendo sull asse orizzontale le classi individuate (in questo caso le circoscrizioni) e sull asse verticale il valore corrispondente alla densità demografica registrata in ogni zona. In generale, si utilizza questo tipo di diagramma quando si hanno grandezze relative ad entità simili e confrontabili: in questo caso sono le circoscrizioni, ma possono anche essere città differenti, nazioni, ecc. a seconda del tipo di fenomeni si vogliano analizzare. A volte, per comodità o per scelta espositiva, si opta per diagrammi a barre orizzontali. In questo caso è la base del rettangolo (o della barra) ad essere proporzionale alla grandezza che si sta misurando, mentre sull asse verticale vengono riportate i nominativi delle varie classi o oggetti pesati. Ad esempio, se si devono confrontare la lunghezza di alcuni fiumi si può adottare questo tipo di diagramma. Nulla vieta, comunque, di utilizzarlo anche in altri casi. In certi casi può essere utile rappresentare nello stesso grafico più serie di dati. Nel grafico seguente si vuole evidenziare il confronto tra due diversi contesti territoriali per i quali si hanno informazioni sulle stesse variabili.

6 Invece di costruire cinque diagrammi separati per ogni classe (1 componente, 2 componenti, 3 componenti, 4 componenti, oltre 4 componenti), si possono raggruppare i vari istogrammi in due gruppi relativi uno al Comune di Torino e l altro all Italia. In questo tipo di diagramma diventa indispensabile inserire la legenda per far comprendere al lettore a cosa corrispondono i vari colori delle barre. Si possono anche aggiungere ulteriori informazioni, inserendo, per esempio, una linea che rappresenti il valore medio della grandezza in esame, come proposto nel grafico seguente: oppure si può scegliere di adottare un diagramma a ideogrammi:

7 In quest ultimo caso, al posto dei rettangoli, compaiono delle immagini che occupano le stesse superfici e che richiamano l ambito tematico cui si riferiscono le informazioni. Si possono costruire anche diagrammi a barre sovrapposte. In questo caso, l altezza di ogni sezione delle barre sarà proporzionare alle varie caratteristiche che si sono misurate per ogni grandezza o classe. Ad esempio, se si fa riferimento al grafico seguente:. l accorgimento adottato permette di avere tre informazioni, per ogni anno considerato: 1. la quantità di rifiuti pro capite che vengono differenziati; 2. la quantità di rifiuti pro capite che finiscono direttamente in discarica; 3. la quantità totale di rifiuti pro capite prodotta (si ottiene quest ultima informazione considerando il rettangolo complessivamente, come somma dello due figure parziali). Si faccia però attenzione che i rettangoli gialli, cioè quelli posti in sommità, presentano le basi a livelli differenti.

8 2.3 Diagrammi a torta Un diagramma a torta mette in relazione i dati delle categorie con i corrispondenti valori numerici e permette di rappresentare una sola serie di valori numerici. La rappresentazione grafica di un diagramma a torta mostra un cerchio diviso a fette; ogni fetta ha un'ampiezza angolare proporzionale al valore numerico che rappresenta, calcolata in modo tale che la somma di tutte le ampiezze dia luogo a un angolo giro. Esempio : una "indagine di mercato" sulle caramelle M&M's ha avuto come obiettivo quello di scegliere alcune confezioni di caramelle dello stesso tipo (stesso peso, stessa confezione,...), ordinarle e classificarne il contenuto. I dati sono stati raccolti in un foglio elettronico: Dividendo l'area del cerchio in settori proporzionali alle frequenze delle rispettive categorie si ottiene il seguente diagramma a torta: 2.4 Istogrammi Gli istogrammi si usano per rappresentare seriazioni continue con i dati raggruppati in classi. Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali, sull asse delle ascisse si riportano tanti intervalli consecutivi quante sono le classi; su questi intervalli si costruiscono dei rettangoli le cui aree sono proporzionali alle frequenze. Si noti che se le classi hanno la stessa ampiezza, o modulo, basterà riportare altezze proporzionali alle frequenze; in caso contrario le altezze si ottengono dividendo la relativa frequenza per l ampiezza della classe, in modo che l area rappresenti la frequenza. Con gli istogrammi la somma delle aree di tutti i rettangoli è proporzionale alla somma delle frequenze. Esempio: Si consideri la seguente tabella: ripartizione delle autovetture italiane prodotte nell anno 1981 secondo la cilindrata.

9 Cilindrata (in cm3) N. autovetture oltre Totale Le classi hanno tutte la stessa ampiezza, eccetto l ultima che è aperta. In caso di classi aperte (la prima o l ultima), o si chiudono indicando un valore estremo logico, oppure si trascurano, quando il rapporto espresso in percentuale fra la frequenza di tale classe e il valore totale delle frequenze è relativamente piccolo. La precedente dà origine al seguente grafico. L ultima classe, che è aperta, si può chiudere alla cilindrata di 3000 cm3 e allora l altezza del rettangolo risulta: : 2 = perché la base di tale rettangolo è doppia delle basi dei rettangoli precedenti. Nell ambito della rappresentazione grafica con diagrammi cartesiani vediamo ancora la rappresentazione di distribuzioni di frequenze relative cumulate. Nel caso di seriazioni con valori discreti, riportando i dati della tabella si ottiene il seguente grafico: Se invece si ha una seriazione a valori continui suddivisi in classi, si collegano i valori delle frequenze cumulate mediante una spezzata, supponendo che nell intervallo di ciascuna classe vi sia una distribuzione uniforme delle frequenze. Si ottiene la cosiddetta poligonale delle frequenze cumulate.

10 2.5 Rappresentazione a gambo-foglie Una utile rappresentazione di un numero limitato di dati è il grafico a gambo-foglie. Esso: ha una forte somiglianza con l'istogramma ed ha lo stesso scopo; fornisce informazioni riguardanti il range dell'insieme dei dati; mostra la posizione della concentrazione delle misure più elevate; mette in evidenza la presenza o l'assenza di simmetria; mantiene l'informazione contenuta nelle misure individuali; elimina il passo intermedio di preparazione di una tabella ordinata. Per la sua costruzione dividiamo ciascun valore numerico in due parti: la prima parte è chiamata gambo e la seconda parte foglia. Il gambo è costituito da una o più cifre iniziali del valore numerico e la foglia è formata da una o più delle rimanenti cifre. Tutti i numeri suddivisi vengono riportati insieme in un singolo grafico; i gambi formano una colonna ordinata con il più piccolo gambo all'inizio ed il più grande alla fine della colonna. Il seguente esempio illustra la costruzione di un grafico gambo-foglia. Le righe del grafico contengono le foglie, ordinate ed elencate a destra dei rispettivi gambi. Quando le foglie sono formate da più di una cifra, tutte le cifre dopo la prima possono essere eliminate. Stem-and-leaf plot for altezza Altezza rounded to nearest Multiple of.1 Plot in units of.1 44* 45 45* 46* * * * * * * * 048

11 54* * 0 56* Rappresentazione a scatola (box-plot) Il grafico a scatola, altrimenti detto box-plot, è una tipologia di rappresentazione grafica proposta dallo statistico americano J. W. Tukey; essa si ottiene da una serie di dati o da un grafico a ramofoglia, da cui ricava i dati significativi trascurando quelli non importanti. Il grafico è costruito nel modo seguente: 1. si calcolano i tre quartili della distribuzione: Q1 (primo quartile), Q2 = Me (secondo quartile che coincide con la mediana), Q3 (terzo quartile). Quindi, i suoi valori minimo (xmin = Q0) e massimo (xmax = Q4); 2. su un asse orientato, si individua un rettangolo (scatola/box) i cui estremi sono costituiti, rispettivamente, dal primo e dal terzo quartile, e la cui lunghezza è rappresentata, evidentemente, dalla differenza interquartile; 3. dalla scatola si traccia un segmento verticale che delimita la posizione della mediana; 4. si tracciano due linee esterne alla scatola, dette baffi (whiskers), per questo motivo il diagramma è detto anche box and whiskers plot. I baffi sono delimitati, rispettivamente, dai valori minimo e massimo della distribuzione. Per una distribuzione di frequenza il grafico in questione consente di evidenziare la misura della dispersione, la presenza di eventuali valori anomali (outliers) e la sua simmetria o asimmetria. A tal proposito si consideri che se una distribuzione è: simmetrica, allora la media aritmetica coincide con la mediana e, solo in questa ipotesi, è possibile evincere il valore della media aritmetica dal grafico; asimmetria, allora la media aritmetica è minore o maggiore della mediana a seconda che si tratti di asimmetria negativa o asimmetria positiva, rispettivamente. Di seguito riportiamo i box plot rappresentativi di tre distribuzioni di frequenza Dal grafico si evince che solo l ultima distribuzione presenta maggiore simmetria, per cui la media aritmetica è approssimativamente uguale alla mediana, rappresentata dal triangolino in giallo. Di seguito uno schema riassuntivo con il significato assunto da ogni valore in un grafico box-plot:

12 2.7 Diagrammi di dispersione Le relazioni tra variabili quantitative possono essere messe in evidenza attraverso una opportuna rappresentazione grafica. Un diagramma a dispersione aiuta a studiare la relazione tra due variabili quantitative rilevate sulle stesse unità. Consideriamo un riferimento cartesiano in cui i valori di una variabile compaiono sull asse orizzontale e quelli dell altra variabile sull asse verticale. I dati riferiti a ciascuna unità vengono rappresentati sul grafico come un punto di coordinate pari alle modalità delle due variabili rilevate su quella unità. Esempio : Il grafico rappresenta un diagramma di dispersione in cui sono riportati l altezza ed il peso di un gruppo di 26 ragazzi, a ciascun ragazzo corrisponde un punto P(x,y) nel diagramma cartesiano che ha come ascissa x l altezza in cm e come ordinata y il peso in kg dell individuo preso in considerazione. Analizzando il grafico ci si può rendere conto di quale sia la relazione tra il peso e l altezza nel gruppo in esame. Ipotizzando che le linee rosse rappresentino il limite inferiore e superiore corrispondente al peso di un individuo normale si può immediatamente verificare quali siano gli individui sovrappeso o sottopeso.

13 2.9 Diagrammi polari o a stella Un diagramma polare è un diagramma circolare che consente di tracciare le coordinare polari rilevando relazioni tra le grandezze associate ad un fenomeno diverse rispetto a quelle evidenziate da grafici cartesiani. Un esempio di diagramma polare è il seguente.