OLIMPIADI ITALIANE DI ASTRONOMIA. Angoli e Coordinate

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1 Corso di preparazione alle Olimpiadi INAF Osservatorio Astronomico di Teramo Scuola Secondaria di I Grado «F. Savini» Teramo OLIMPIADI ITALIANE DI ASTRONOMIA Angoli e Coordinate Mauro Dolci INAF - Osservatorio Astronomico di Teramo SAIt Società Astronomica Italiana Comitato Nazionale per le Olimpiadi Italiane di Astronomia

2 Elementi di algebra e geometria PROPORZIONI Proprietà: a : b = c : d 1) Conservazione del rapporto degli estremi: a*d = b*c 2) Proprietà commutativa: a : b = c : d => a : c = b : d => d : b = c : a 3) Proprietà distributiva: a : b = c : d => (a+b) : b = (c+d) : d

3 Elementi di algebra e geometria PROPORZIONI Problema. Qual è la distanza angolare percorsa dal Sole in un ora? Soluzione. Ponendo a = 24 ore, b= 360, c = 1 ora, x = spazio percorso dal Sole in un ora (incognita), utilizziamo la proporzione a:b=c:x nella forma 24 ore : 360 = 1 ora : x da cui, per la proprietà (1), si ha ovvero 24 ore * x = 360 * 1 ora x = 360 * 1 ora / 24 ore = 15

4 Elementi di algebra e geometria ANGOLI Si definisce angolo la porzione di piano compresa fra due semirette. Il punto in cui le due semirette si incontrano è detto vertice dell angolo. Alcune nozioni: Angolo giro Angolo piatto Angolo retto Angoli adiacenti Angoli complementari Angoli supplementari

5 Elementi di algebra e geometria LA MISURA DEGLI ANGOLI Gli angoli si misurano in gradi e in radianti. Un grado è la 360ma parte di un angolo giro. Un angolo retto misura dunque 90, un angolo piatto 180 e un angolo giro 360. Il radiante è l ampiezza dell angolo che intercetta un arco di circonferenza di lunghezza pari al raggio. In generale, l ampiezza in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza dell arco di circonferenza intercettato dall angolo, e quella del raggio della circonferenza stessa : = l r Per un angolo giro la lunghezza dell arco è l = 2 r per cui l ampiezza in radianti è 2. Per un angolo piatto è e per un angolo retto è /2.

6 Elementi di algebra e geometria LA MISURA DEGLI ANGOLI Problema. Convertire in radianti un angolo di 76. Soluzione. Impostiamo la proporzione, sapendo che a 360 corrispondono 2 radianti: da cui 2 : 360 = x : 76 x * 360 = 2 * 76 ovvero x = 2 * = 1,326 rad

7 Elementi di algebra e geometria LA MISURA DEGLI ANGOLI Al contrario dei radianti, i gradi hanno sottomultipli: 1 = 60 arcmin (= 60 ) 1 arcmin (= 1 ) = 60 arcsec (= 60 ) Per poter convertire da gradi in radianti un angolo che non abbia un ampiezza pari ad un numero intero di gradi, occorre prima di tutto riportare tutto ai gradi. Problema. Esprimere in soli gradi l angolo di Soluzione. Occorre convertire gli arcsec in arcminm quindi il totale di arcmin in gradi e sommare ai gradi. Ovvero: = = 76 ( /60) = 76 23,933 = = ( ,933 / 60) = 76,39888 = 76,399

8 Elementi di algebra e geometria LA MISURA DEGLI ANGOLI Problema. Convertire in radianti l angolo di Soluzione. Si applica la proporzione vista prima all angolo 76,399. Si ottiene: x = 2 * 76, = 1,333 rad Ovviamente si può pensare ad un «fattore di conversione» per il quale moltiplicare l angolo da convertire: tale fattore è pari a 2 /360 per passare da gradi a radianti, e 360/2 per passare da radianti a gradi. In astronomia è utile anche sapere quanti arcsec sono compresi in un radiante: facendo i calcoli, si trova , che costituisce un fattore di conversione per passare rapidamente da radianti ad arcosecondi.

9 Elementi di algebra e geometria LA MISURA DEGLI ANGOLI Per piccole lunghezze l dell arco (non superiori ad 1/100 del raggio r), il tratto circolare può essere considerato rettilineo. Questo permette di calcolare in modo soddisfacentemente approssimato gli angoli sotto cui vengono visti gli oggetti celesti, come ad esempio le stelle doppie. Problema. Due stelle A e B distano tra loro 1 anno-luce e sono distanti dalla Terra 340 anni-luce. Calcolare la loro distanza angolare, in arcosecondi, vista dalla Terra. Soluzione. La distanza tra le due stelle è ben inferiore a 1/100 della distanza dalla Terra (che è il vertice dell angolo), per cui possiamo approssimare = 1 / 340 = 2, rad ovvero = 2, rad * /rad = 606,419 = 10,107.

10 LATITUDINE E LONGITUDINE LATITUDINE ( o LAT): distanza angolare di un dato punto dall equatore. Ha segno positivo nell emisfero Nord e negativo nell emisfero Sud. Va da 90 a +90. LONGITUDINE ( o LON): distanza angolare di un dato punto dal meridiano di riferimento, assunto per convenzione come il meridiano passante per il Royal Observatory di Greenwich (Inghilterra). Ha segno positivo verso Est e negativo verso Ovest. Va da 180 o a +180 o.

11 LA SFERA CELESTE Così come ogni punto della superficie terrestre può essere individuato tramite due coordinate (latitudine e longitudine), allo stesso modo ogni punto della volta celeste può essere individuato con una coppia di coordinate. Nel fare questo, si suppone dunque che la volta celeste sia rappresentata come la superficie di una sfera, detta SFERA CELESTE, al cui centro si trova la Terra, e che noi dunque osserviamo dall interno. La SFERA CELESTE ha dunque centro nella Terra, e viene caratterizzata da una griglia di coordinate del tutto simili alla latitudine e alla longitudine: sono in particolare individuati un equatore celeste (dato dall intersezione della sfera celeste con il piano dell equatore terrestre) e due poli celesti (dati dall intersezione della sfera con l asse di rotazione terrestre).

12 L ECLITTICA Nel corso dell anno la Terra orbita intorno al Sole. Noi vediamo dunque il Sole spostarsi rispetto allo sfondo costituito dalle cosiddette stelle fisse. Il Sole si trova ovviamente sempre sul piano dell eclittica, che tuttavia è inclinato rispetto al piano equatoriale terrestre. Pertanto l ECLITTICA, che è la linea risultante dall intersezione tra il piano dell eclittica e la sfera celeste, è costituita da un cerchio massimo della sfera celeste inclinato di 23 o 27 rispetto all equatore celeste.

13 LE COORDINATE EQUATORIALI Ora siamo pronti a definire le due coordinate, equivalenti a longitudine e latitudine, con cui individuare ogni possibile punto sulla sfera celeste. L equivalente della latitudine è la DECLINAZIONE ( o DEC): essa è la distanza angolare del punto considerato dall equatore celeste. È positiva verso Nord e negativa verso Sud, e varia tra 90 o e +90 o. L equivalente della longitudine è l ASCENSIONE RETTA ( o RA): essa è la distanza angolare del punto considerato dal meridiano celeste passante per il punto. Si misura SOLO da Ovest verso Est e si misura in ore. Varia dunque tra 0 h e 23 h 59 m 59 s.9999! QUESTE COORDINATE NON DIPENDONO DAL LUOGO DI OSSERVAZIONE.

14 LE COORDINATE ALTAZIMUTHALI In qualsiasi punto della Terra, la nostra visualizzazione del cielo ha in realtà due riferimenti che NON sono l equatore e l asse terrestre, bensì l ORIZZONTE DEL LUOGO e la VERTICALE DEL LUOGO. Quest ultima è una retta ideale passante per il luogo in questione e perpendicolare al piano dello orizzonte. Essa interseca la sfera celeste in due punti: lo ZENITH, al di sopra dell osservatore, ed il NADIR, dalla parte opposta. Di particolare importanza è infine il meridiano della sfera celeste che passa per lo zenith: esse prende il nome di MERIDIANO CENTRALE DEL LUOGO.

15 LE COORDINATE ALTAZIMUTHALI Quyesti concetti ci portano in modo naturale a definire le COORDINATE ALTAZIMUTHALI: L AZIMUTH (a) di un punto della sfera celeste è la distanza angolare di quel punto dal meridiano centrale del luogo, misurata lungo l orizzonte. È positiva verso Ovest e negativa verso Est, e varia tra 180 o e +180 o. L ALTEZZA (h) di un punto della sfera celeste è la distanza angolare di quel punto dall orizzonte, misurata lungo il meridiano passante per quello stesso punto. È sempre positiva e varia tra 0 o e +90 o. QUESTE COORDINATE DIPENDONO DAL LUOGO DI OSSERVAZIONE!

16 CULMINAZIONE SUPERIORE E INFERIORE Quando un oggetto raggiunge la massima altezza in cielo, si dice che si trova nella sua Culminazione Superiore. N Polo Nord celeste (stella polare) ( ) CULM. INF. ( ) CULM. SUP. Viceversa, quando raggiunge la minima altezza in cielo (eventualmente anche al di sotto dell orizzonte), si dice che si trova nella sua Culminazione Inferiore. S equatore ( > )

17 CULMINAZIONE SUPERIORE E INFERIORE Quando un oggetto raggiunge la massima altezza in cielo, si dice che si trova nella sua Culminazione Superiore. N ( ) CULM. INF. ( ) CULM. SUP. Viceversa, quando raggiunge la minima altezza in cielo (eventualmente anche al di sotto dell orizzonte), si dice che si trova nella sua Culminazione Inferiore. S equatore ( < )

18 CULMINAZIONE SUPERIORE E INFERIORE N PNC h CI 90 CI 90 CS EC 90 h CS Le altezze nel caso > : h CS = 90 o + h CI = 90 o + S

19 CULMINAZIONE SUPERIORE E INFERIORE PNC N CI h CI h CS CS EC 90 Le altezze nel caso < : h CS = + 90 o h CI = 90 o + S

20 CULMINAZIONE SUPERIORE E INFERIORE Ricapitoliamo: Se > : h CS = 90 o + = 90 o ( ) h CI = 90 o + = + 90 o Se > : h CS = + 90 o = 90 o ( ) h CI = 90 o + = + 90 o L espressione per h CI è la stessa. Per quanto riguarda h CS invece si nota che il termine fra parentesi è sempre positivo, per cui lo si può scrivere in generale come. In conclusione le formule valide per tutte le latitudini sono: h CS = 90 o h CI = + 90 o

21 Esercizio. Verificare che h CS h CI sempre, ovvero per qualsiasi scelta di e. Dimostrazione. Dobbiamo verificare la condizione 90 o + 90 o ovvero 180 o + + Ora, com è noto, valgono le espressioni (relative al valore assoluto): + se + > 0 + = se + < 0 = se > 0 + se < 0 Quindi abbiamo quattro situazioni: 180 o o 2 90 o 180 o o 2 90 o 180 o o 2 90 o 180 o o 2 90 o e si vede dall ultima colonna che sono tutte e quattro verificate per la definizione di latitudine e di declinazione.

22 Problema. Calcolare l altezza (massima) di Sirio, avente coordinate = 06 h 45 m 08 s.917, = , quando viene osservata da Teramo ( = +42 o , = 13 o ), da San Pietroburgo ( = +59 o 56, = 30 o 20 ) e da Buenos Aires ( = 34 o 36 30, = +58 o ). Soluzione. Per il calcolo in realtà le longitudini delle tre città e l ascensione retta di Sirio NON servono! Bastano infatti le latitudini e la declinazione. Si ha: ovvero h TE = 90 TE = h SPB = 90 SPB = h BA = 90 BA = h TE = = = (verso Sud) h SPB = = = (verso Sud) h BA = = = (verso Nord)

23 S L ALTEZZA DEL POLO NORD CELESTE E DELL EQUATORE CELESTE Un modo per determinare la latitudine del luogo! N Polo Nord celeste (stella polare) h PNC = h EQC = 90 o 90 - h = Equatore celeste equatore

24 OGGETTI CIRCUMPOLARI E OGGETTI NON OSSERVABILI Da QUASI TUTTI I LUOGHI DELLA TERRA, gli oggetti celesti sono in genere visti sorgere e poi tramontare. Un oggetto celeste NON OSSERVABILE è quello che, in un dato luogo, non sorge mai, ovvero la cui culminazione superiore non avviene mai al di sopra dell orizzonte: h CS 0 o 90 o 0 o ovvero 90 o È chiaro che per rispettare questa condizione, e avranno segni opposti! Quindi dall emisfero nord terrestre non si vede parte dell emisfero sud celeste, e viceversa. Esercizio. Verificare quale fra le stelle -Centauri ( = 60 o 50 ), Sirio ( = 16 o 43 ) e Canopo ( = 52 o 42 ) è visibile da Milano ( = 45 o 28 ). Soluzione. Nei tre casi si ha: -Cen: =106 o 18 >90 o ; Sirio: =62 o 11 <90 o Canopo: =98 o 10 >90 o quindi solo Sirio è visibile da Milano.

25 OGGETTI CIRCUMPOLARI E OGGETTI NON OSSERVABILI Un oggetto celeste CIRCUMPOLARE è invece quello che, in un dato luogo, non tramonta mai, ovvero la cui culminazione inferiore non avviene mai al di sotto dell orizzonte: h CI 0 o + 90 o 0 o ovvero + 90 o Per rispettare questa condizione, e avranno segni concordi. Dall emisfero nord terrestre sarà possibile osservare come circumpolari solo oggetti dell emisfero nord celeste, e analogamente accade nell emisfero sud! Esercizio. Verificare quali fra le stelle Vega ( = +38 o 47 ), Algol ( = +40 o 57 ) e Mirfak ( = +49 o 52 ) sono circumpolari da Parigi ( = 48 o 51 ). Soluzione. Nei tre casi si ha: Vega: + =87 o 28 <90 o ; Algol: + =89 o 48 <90 o Mirfak: + =98 o 43 >90 o quindi solo Mirfak è circumpolare da Parigi.

26 PASSAGGIO ALLO ZENITH Culminano allo zenith tutti (e solo) gli oggetti aventi declinazione pari alla latitudine del luogo di osservazione N Polo Nord celeste (stella polare) ZENITH = equatore S

27 CULMINAZIONI E PASSAGGI DEL SOLE ALLO ZENITH: LUOGHI NOTEVOLI DELLA TERRA Abbiamo visto che, muovendosi lungo l eclittica, il Sole ha una declinazione variabile tra e Viene spontaneo chiedersi in quali punti della Terra il Sole passa allo zenith. Sono evidentemente tutti i punti nella fascia di latitudine compresa tra le latitudini CAP = (TROPICO DEL CAPRICORNO) e CAN = (TROPICO DEL CANCRO). Nei punti di questa fascia (detta FASCIA TROPICALE e centrata sull equatore terrestre), il Sole passa allo zenith due volte, ad eccezione dei tropici nel quali passa allo zenith solo una volta (nel solstizio d inverno al tropico del capricorno, e nel solstizio d estate al tropico del cancro).

28 CULMINAZIONI E PASSAGGI DEL SOLE ALLO ZENITH: LUOGHI NOTEVOLI DELLA TERRA All equatore, in particolare, il Sole passa allo zenith due volte all anno, in corrispondenza dei due equinozi. Poi, durante l estate il Sole passerà a nord dello zenith mentre durante l inverno passerà a sud dello zenith. È superfluo rimarcare che per tutti i punti dell equatore terrestre lo zenith giace sull equatore celeste! In tutti gli altri punti al di fuori della fascia tropicale, il Sole NON passa mai allo zenith, ma ha una culminazione superiore ed una culminazione inferiore. Esercizio. Calcolare la massima e la minima altezza del Sole di giorno, durante l anno, a Parigi ( =48 51 ). Soluzione. Poiché si chiede di giorno, vanno considerate solo le culminazioni superiori. Essendo le declinazioni massima e minima del Sole, MAX = e MIN = 23 27, si ha: h CS,MAX = = (solstizio d estate) h CS,MIN = = (solstizio d inverno).