anna montemurro PUNto matematica

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1 anna montemurro PUNto MATCorso di matematica CON CD-ROM INTERATTIVO

2 indice IL NUMERO UNITÀ FRAZIONI E NUMERI DECIMALI. Frazioni decimali. Numeri decimali limitati. Le operazioni con i numeri decimali limitati 6. Numeri decimali periodici semplici. Numeri decimali periodici misti.6 Frazioni generatrici di numeri decimali. Operazioni ed espressioni con i numeri decimali periodici. Troncamento e arrotondamento 6 applicazione riepilogo e consolidamento recupero e ripasso sviluppo delle competenze test per l invalsi UNITÀ ESTRAZIONE DI RADICE. La radice quadrata. Quadrati perfetti 6. Proprietà delle radici quadrate. Radice quadrata approssimata 0. Uso delle tavole numeriche.6 Algoritmo della radice quadrata. Radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0, 0,0 0,00 6. Radice quadrata di un numero decimale Radice quadrata di una frazione. Numeri irrazionali assoluti 60 Radice quadrata di un espressione 60. La radice cubica 6 applicazione 6 riepilogo e consolidamento recupero e ripasso sviluppo delle competenze test per l invalsi 6 UNITÀ RAPPORTI E PROPORZIONI. Rapporto tra due numeri. Rapporto tra grandezze omogenee 0. Rapporto tra grandezze non omogenee. Riduzione e ingrandimento in scala. La proporzione e la proprietà fondamentale 6.6 Proprietà dell invertire Proprietà del permutare. Proprietà del comporre 0 Proprietà dello scomporre 0. Calcolo del termine incognito. Proporzioni continue Ricerca del medio proporzionale incognito. Applicazioni delle proprietà delle proporzioni 6. Proporzioni particolari Lezioni animate e mappe interattive Lezioni animate e mappe interattive Lezioni animate e mappe interattive IV Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

3 indice. Catena di rapporti applicazione riepilogo e consolidamento recupero e ripasso sviluppo delle competenze test per l invalsi UNITÀ FUNZIONI E PROPORZIONALITÀ. Grandezze costanti e grandezze variabili Concetto di funzione. Funzioni empiriche 6. Funzioni mtematiche. Grandezze direttamente proporzionali 60. Rappresentazione grafica della proporzionalità diretta 6.6 Grandezze inversamente proporzionali 6. Rappresentazione grafica della proporzionalità inversa 66. Risolvere problemi del tre semplice 6. Risolvere problemi del tre composto. Risolvere problemi di ripartizione applicazione riepilogo e consolidamento recupero e ripasso 0 sviluppo delle competenze 0 test per l invalsi 06 UNITÀ PERCENTUALE, INTERESSE SEMPLICE, SCONTO 0. Percentuale 0. Rappresentazione grafica delle percentuali. Interesse semplice Formule inverse Montante. Sconto commerciale 6 applicazione riepilogo e consolidamento 0 recupero e ripasso sviluppo delle competenze test per l invalsi 6 GEOMETRIA E MISURA UNITÀ 6 IL CALCOLO DELLE AREE 6. Figure piane equivalenti 6. Il principio di equiscomponibilità 0 6. La misura di una superficie 6. Area del rettangolo 6. Area del quadrato Area del parallelogrammo 6. Area del triangolo 0 6. Area del triangolo rettangolo La formula di Erone 6. Area del rombo Lezioni animate e mappe interattive Lezioni animate e mappe interattive Lezioni animate e mappe interattive Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara V

4 indice 6. Area di un quadrilatero con le diagonali perpendicolari 6 6. Area del trapezio 6. Area di una qualsiasi figura piana 60 applicazione 6 riepilogo e consolidamento recupero e ripasso 00 sviluppo delle competenze 0 test per l invalsi 0 UNITÀ IL TEOREMA DI PITAGORA 0. Il teorema di Pitagora 06. Due facili dimostrazioni del teorema di Pitagora 0. Le terne pitagoriche. Calcolo delle misure dei lati di un triangolo rettangolo. Applicazione del teorema di Pitagora ad alcuni quadrilateri.6 Applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli. Applicazione del teorema di Pitagora al rombo. Applicazione del teorema di Pitagora ai trapezi. Applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli applicazione 0 riepilogo e consolidamento recupero e ripasso 60 sviluppo delle competenze 6 test per l invalsi 6 UNITÀ IL PIANO CARTESIANO 6. Il piano cartesiano: richiami 66 Punti particolari 6. Distanza tra due punti 0. Coordinate del punto medio di un segmento. Poligoni sul piano cartesiano applicazione 6 riepilogo e consolidamento recupero e ripasso 6 sviluppo delle competenze test per l invalsi 0 UNITÀ OMOTETIA E SIMILITUDINE. L omotetia diretta. L omotetia inversa. La similitudine poligoni simili 6. Criteri di similitudine dei triangoli Relazione tra le altezze di due triangoli simili 00. Relazione tra i perimetri e le aree di due poligoni simili 0.6 Il primo teorema di Euclide 0. Il secondo teorema di Euclide 06. Il teorema di Talete 0 applicazione riepilogo e consolidamento recupero e ripasso sviluppo delle competenze test per l invalsi Lezioni animate e mappe interattive Lezioni animate e mappe interattive Lezioni animate e mappe interattive VI Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

5 UNITÀ LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO: DEFINIZIONI E PROPRIETÀ. La circonferenza 6 Il cerchio 6. Gli elementi di una circonferenza. Proprietà degli archi e delle corde 0. Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza. Posizioni reciproche di due circonferenze.6 Angoli al centro e angoli alla circonferenza 6. Relazioni tra angoli al centro e angoli alla circonferenza. Settore, segmento e corona circolare 0 applicazione riepilogo e consolidamento 66 recupero e ripasso 0 sviluppo delle competenze test per l invalsi UNITÀ I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI. Poligoni inscritti in una circonferenza 6. Poligoni circoscritti a una circonferenza. Triangoli inscritti e circoscritti 0. Quadrilateri inscritti. Quadrilateri circoscritti.6 Poligoni regolari 6. Area di un poligono regolare. Relazione tra l apotema e il lato di un poligono regolare 0. Area di un poligono regolare con l uso delle costanti. Area di un poligono circoscritto a una circonferenza. Applicazione del teorema di Pitagora alla circonferenza, ai poligoni inscritti e circoscritti e ai poligoni regolari 6 applicazione riepilogo e consolidamento recupero e ripasso sviluppo delle competenze test per l invalsi DATI E PREVISIONI UNITÀ L INDAGINE STATISTICA. L indagine statistica 0 La raccolta dei dati. Rilevamento e tabulazione dei dati. Elaborazione dei dati 6. Rappresentazione e interpretazione dei dati applicazione riepilogo e consolidamento recupero e ripasso sviluppo delle competenze test per l invalsi risposte glossario 60 tavole 6 indice Lezioni animate e mappe interattive Lezioni animate e mappe interattive Lezioni animate e mappe interattive Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara VII

6 unità Frazioni e numeri decimali Conoscenze frazioni decimali e numeri decimali limitati numeri decimali periodici semplici e misti frazioni generatrici di numeri decimali limitati e periodici operazioni con i numeri decimali limitati e periodici espressioni con i numeri decimali limitati e periodici troncamento e arrotondamento Abilità riconoscere un numero decimale finito, periodico semplice e periodico misto trovare la frazione generatrice di un numero decimale operare con i numeri decimali finiti e con i numeri decimali periodici approssimare un numero decimale per troncamento o arrotondamento TEST SUI PREREQUISITI Sai come si calcola una potenza di? a. = A 0 B 00 C 00 D 000 Sai esprimere una frazione sotto forma di quoziente? b. = A, C, B 0, D 0, Sai operare con i numeri decimali? c. ( 6, +,), = A 0 C, B, D, NUMERI E REALTÀ L euro e i centesimi di euro fanno parte della nostra realtà quotidiana. Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

7 Apprendo... UNITÀ. Consideriamo le frazioni 0 Frazioni e numeri decimali Frazioni decimali Esse indicano che un intero, per esempio un rettangolo, è stato diviso in, 0, 00, parti uguali e ne sono state considerate una o più. Frazioni come queste si definiscono frazioni decimali. Una frazione si dice frazione decimale se il suo denominatore è una potenza di. La frazione è una frazione decimale? Assolutamente no. Il denominatore deve essere una potenza di, non il numeratore! Sappiamo che una qualunque frazione può essere considerata come il quoziente tra il numeratore e il denominatore. Perciò, per trasformare una frazione nel numero decimale corrispondente, basta dividere il numeratore per il denominatore. Nel caso delle frazioni decimali questa operazione è molto facile. ESEMPIO 6 = : = 0, = 6 : 0 =, 6 = : 00 = 0, , decimi = = 0, fraz. dec. n. dec. Per trasformare una frazione decimale nel corrispondente numero decimale si scrive il solo numeratore e si separano in esso con una virgola, a partire da destra verso sinistra, tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore della frazione data. Se occorre, si aggiungono alla sinistra del numeratore tanti zeri quante sono le cifre che mancano. Se osserviamo attentamente i quozienti ottenuti dalle divisioni riportate nell esempio, ci accorgiamo che sono tutti numeri decimali con un numero finito di cifre decimali, perciò si chiamano numeri decimali limitati o finiti. Viceversa, dato un numero decimale limitato, possiamo trovare la frazione generatrice che gli corrisponde, cioè la frazione da cui deriva, che lo ha generato. Osserva l esempio. ESEMPIO La frazione generatrice del numero decimale, è, millesimi centesimi decimi unità 00 perché: = = m.c.m. = 00 frazione generatrice di, La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione che ha per numeratore il numero intero ottenuto sopprimendo la virgola e per denominatore la cifra seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato. Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

8 ... verifico Rispondi. Quando una frazione si dice decimale? Fai alcuni esempi... 0 Michele afferma che è una frazione decimale mentre Vincenzo dice che non lo è. Secondo te chi ha ragione? Motiva la risposta. Michele Vincenzo Quali tra le seguenti frazioni sono frazioni decimali? Come si distinguono dalle altre? Trasforma le seguenti frazioni decimali nei corrispondenti numeri decimali. Che tipo di numeri hai ottenuto? ESERCIZI SVOLTI : =, : 0 = 0,0 = 0 = : 0 = a b Individua le uguaglianze corrette. A 0 =, B 0 = 0, C =, D =, 6 Numeri come,6 0,0, si chiamano numeri decimali limitati o finiti perché... Che cosa si intende per frazione generatrice di un numero decimale? Indica le uguaglianze corrette e correggi quelle errate. A 6 6, = B 0, 00 = C 0, = D 0, = 0 E 0 00 Completa le seguenti trasformazioni di numeri decimali limitati nelle corrispondenti frazioni generatrici e riduci queste ultime ai minimi termini, se ciò è possibile., = a., = 0, =, = 6, = 0, = = b.,... = 0, =, =, = 00 c. 0, = 0, 00 = 0, =, = d., = 0, = =, 0, = Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara ESERCIZI p.

9 Apprendo... UNITÀ. Numeri decimali limitati Nella precedente lezione abbiamo osservato che a ogni frazione decimale corrisponde sempre un numero decimale limitato e viceversa. Ma, non tutte le frazioni sono decimali: quelle non decimali si dicono ordinarie. Esempi di frazioni ordinarie sono: 6 º Consideriamo ora le seguenti frazioni ordinarie, già ridotte ai minimi termini: 6 0 Frazioni e numeri decimali Se amici dividono tra loro la spesa per una cena di, il quoziente è un numero decimale limitato? il denominatore è uguale a. Sì, perché nella frazione e troviamo i corrispondenti numeri decimali dividendo ciascun numeratore per il proprio denominatore, così: = : =, 6 6 = : =, 0 = : 0 = 0, Osserviamo attentamente i quozienti ottenuti nelle precedenti divisioni: sono tutti numeri decimali limitati o finiti, chiamati così perché, come abbiamo già detto, hanno un numero limitato di cifre decimali (eseguendo le divisioni in colonna, troviamo resto uguale a zero). Questo avviene perché i denominatori delle frazioni, ridotte ai minimi termini, contengono soltanto i fattori primi o, o entrambi (osserva che 0 = ). Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, si può trasformare in un numero decimale limitato se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, presenta il fattore, il fattore o entrambi, a esclusione di altri fattori. Una frazione ordinaria, avente al denominatore il fattore, il o entrambi, può essere trasformata in una frazione decimale e quindi nel numero decimale limitato corrispondente, moltiplicando opportunamente il numeratore e il denominatore per, per o per entrambi, in modo da ottenere al denominatore una potenza di. In pratica, si applica ad essa la proprietà invariantiva delle frazioni. ESEMPIO = = =, 6 = = = 6, Il denominatore è 0 =. Per trasformarlo in 00 (prima potenza di multipla di 0) devo moltiplicare per =. 0 = = = 0, 00 Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

10 ... verifico Le frazioni non decimali si chiamano... Fai alcuni esempi Distingui tra le seguenti frazioni quelle decimali e quelle ordinarie, scrivendo nel quadratino corrispondente la lettera D (decimale) oppure O (ordinaria). Completa. a. Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, si può trasformare in una frazione decimale se il... contiene soltanto i fattori primi... o entrambi. b. = ; quindi = : 0 =... ; il quoziente è un numero decimale Osserva attentamente i denominatori delle seguenti frazioni ridotte ai minimi termini e rispondi alle domande. a. Quali sono i fattori primi che compaiono nei denominatori delle frazioni date? b. Puoi stabilire senza eseguire le divisioni fra il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione che esse hanno un numero finito di cifre decimali? c. Come si chiamano i numeri che si ottengono da tali divisioni? Verifica che i quozienti corrispondenti alle frazioni date nell esercizio precedente sono tutti numeri decimali limitati, eseguendo per esteso la divisione tra il numeratore e il denominatore di ciascuna di esse. 6 Indica quali tra le seguenti frazioni si possono trasformare in un numero decimale limitato, motivando la risposta. a. b. Dopo aver ridotto ai minimi termini le seguenti frazioni, stabilisci se si possono trasformare in numeri decimali limitati. In caso di risposta affermativa, esegui le corrispondenti divisioni e trova i quozienti. Perché è necessario ridurre ai minimi termini le frazioni date? a. b Quale proprietà delle frazioni è stata applicata nelle seguenti uguaglianze? A quale scopo? = = = = 0 0 Completa l esercizio, trasformando le frazioni ordinarie in frazioni decimali. 0 = = = Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara ESERCIZI p. 0

11 Apprendo... UNITÀ. Le operazioni con i numeri decimali limitati Le operazioni con i numeri decimali limitati si possono eseguire in due modi: direttamente, operando con i numeri decimali; trasformando i numeri decimali limitati nelle corrispondenti frazioni decimali e operando con esse. È facile verificare che si ottengono gli stessi risultati. Vediamo alcuni esempi. Addizione Eseguiamo l addizione, + 0,. 0, + 0, =, Frazioni e numeri decimali Gasolio!, al litro Quanto spende Lorenzo per acquistare, litri di gasolio?,, = 0 0 = 00 = =, (euro ) 0 +, + 0, = + = = =, Sottrazione Eseguiamo la sottrazione,,., 0 0, =,, = = = =, 0 0 0, Moltiplicazione Eseguiamo la moltiplicazione,6,. 6,, = 6 6 6,, = = =, , 6 Divisione Eseguiamo la divisione, :,., :, : 0 0, 0, :, = : = = =, Potenza Calcoliamo la potenza,., =,, =, =, = = 0 =, 6 Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

12 , verifico Completa. a. Le operazioni con i numeri decimali limitati si possono eseguire in. modi: direttamente,. oppure trasformando... La somma, +,6 non cambia, usando l uno o l altro metodo., +,6 direttamente =.. indirettamente, usando le frazioni = + = Completa la tabella, seguendo l esempio. operazione calcolo diretto trasformazione in frazioni decimali i risultati coincidono? 60, + 6, +,, = = = = 6, sì 6, 0 0 0,, ,, , : Calcola la potenza 0, in due modi: a. direttamente... b. trasformando la base in frazione decimale.. Si ottiene lo stesso risultato? Esegui le seguenti operazioni utilizzando i due metodi. In quali operazioni ritieni che il secondo metodo sia più semplice ed efficace del primo? Motiva la risposta. a., +,,6 +, b. 0, +,6,, c.,, 0,6 0, d.,,,6, e.,,, :, f., :,, :, Verifica di volta in volta che i risultati non cambiano. Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara ESERCIZI p.

13 Apprendo... UNITÀ. Il periodo è la cifra o il gruppo di cifre che si ripetono illimitatamente dopo la virgola. Numeri decimali periodici semplici Consideriamo le seguenti frazioni ordinarie ridotte ai minimi termini (o irriducibili): e trasformiamole nei corrispondenti numeri decimali, dividendo il numeratore per il denominatore: = : =, periodo = : = 0, periodo = : =, periodo Osserviamo attentamente i quozienti ottenuti: sono tutti numeri decimali illimitati, perché subito dopo la virgola presentano una cifra o un gruppo di cifre che si ripetono illimitatamente. Questa cifra o gruppo di cifre è detto periodo e a questi numeri si dà il nome di numeri decimali periodici semplici (eseguendo le divisioni in colonna non troviamo mai un resto uguale a zero). Questo avviene perché i denominatori delle frazioni date, ridotte ai minimi termini, non contengono né il fattore né il fattore. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini si può trasformare in un numero decimale periodico semplice se il suo denominatore contiene fattori primi diversi da o. Per abbreviare la scrittura dei numeri periodici si usa mettere un trattino sopra la cifra o il gruppo di cifre che si ripetono, oppure racchiudere il periodo in una parentesi tonda. Perciò, riferendoci agli esempi riportati sopra, scriveremo: =, =, oppure, () = 0, = Frazioni e numeri decimali 0, oppure 0, () : =,... La divisione in colonna non termina mai perché c è sempre un resto che, nel nostro esempio, è. Che tipo di numero è il quoziente? Come si scrive? Il quoziente è un numero decimale periodico semplice. Si scrive, e si legge uno virgola tre periodico. =, =, oppure, () Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

14 ... verifico Osserva i denominatori delle seguenti frazioni ordinarie irriducibili e rispondi alle domande. 6 a. Quali sono i fattori primi che compaiono nei denominatori delle frazioni date? b. Tra i fattori primi ci sono il o il? c. Le frazioni date si possono trasformare in frazioni decimali? Perché? d. Il quoziente tra il numeratore e il denominatore ha un numero limitato di cifre? e. Come si chiamano i numeri che si ottengono da tali divisioni? Verifica che i quozienti corrispondenti alle frazioni date nell esercizio sono tutti numeri decimali periodici semplici, eseguendo la divisione per esteso tra il numeratore e il denominatore di ciascuna di esse. Osserva il quoziente della seguente divisione e completa le frasi. = : =, 6666 =,( 6) a. La parte intera del numero decimale,6666 è... b. Il periodo del numero decimale,6666 è... c. La scrittura,(6) sta a indicare che la cifra 6... e si può scrivere anche ponendo un trattino... Completa la tabella, seguendo l esempio. frazione fattori primi che divisione tipo di numero compaiono nel denominatore decimale : = sì sì sì no no no Scrivi la parte intera e quella decimale dei seguenti numeri decimali periodici semplici, individuando il periodo e scrivendo il numero stesso in forma abbreviata. a.,,,, b., 0,,,66666 c. 0, 0,, 0, d.,00 0, 6,,66 6 Scrivi dieci frazioni irriducibili che diano origine a numeri decimali periodici semplici. Poi trasformale in questi ultimi e di ciascuno indica il periodo. In che modo devi scegliere i denominatori delle frazioni? Quali fattori primi non devono contenere? Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara ESERCIZI p.

15 Apprendo... UNITÀ. L antiperiodo è la cifra o il gruppo di cifre che non si ripete, tra la virgola e il periodo. Numeri decimali periodici misti Consideriamo le seguenti frazioni ordinarie irriducibili: 6 e trasformiamole nei corrispondenti numeri decimali dividendo il numeratore per il denominatore: = : 6 =, antiperiodo periodo = : = 0, antiperiodo periodo = : =,0 antiperiodo periodo Osserviamo attentamente i quozienti ottenuti: sono tutti numeri decimali illimitati. Nella parte decimale, tra la virgola e il periodo, compare una cifra o un gruppo di cifre che non si ripete, detto antiperiodo; a questi numeri si dà il nome di numeri decimali periodici misti. Questo avviene perché i denominatori delle frazioni date contengono il fattore, il, o entrambi insieme ad altri fattori diversi da o da. Infatti, negli esempi proposti sopra si ha che: 6 = = = Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, origina un numero decimale periodico misto se il suo denominatore contiene i fattori primi o o entrambi insieme ad altri fattori. Riprendiamo gli esempi precedenti e scriviamo in forma abbreviata i numeri decimali periodici misti, ponendo un trattino sul periodo o racchiudendo quest ultimo tra parentesi tonde. 6 Frazioni e numeri decimali =, 6666 =,6 oppure,(6) La divisione in colonna : 6 non termina mai perché il resto è sempre. Il quoziente di tale divisione è un numero decimale periodico misto: : 6 =,666 si scrive,6 e si legge due virgola uno sei periodico. = 0, = 0, oppure 0,() =, 0 =, 0 oppure,0( ) Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

16 ... verifico In ciascuna delle seguenti frazioni, già ridotte ai minimi termini, individua i fattori primi che compaiono al denominatore e completa le frasi. 0 6 a. Scomponendo in fattori primi i denominatori si ha: = 0 =... =... = 6 = =... b. I denominatori contengono, oltre al, al o a entrambi, altri... c. Eseguendo la divisione in colonna tra il numeratore e il denominatore si ottiene un quoziente con un numero... di cifre. d. I quozienti delle suddette divisioni si chiamano numeri decimali... e. La parola antiperiodo significa che dopo la virgola e prima del... ci sono una o più... Verifica che i quozienti corrispondenti alle frazioni date nell esercizio precedente sono tutti numeri decimali periodici misti, eseguendo per esteso la divisione tra il numeratore e il denominatore di ciascuna di esse. Completa la seguente uguaglianza indicando, nel numero decimale, il periodo e l antiperiodo = : =, =, ( ) Completa la seguente tabella. frazione fattori primi che divisione tipo di numero compaiono nel denominatore decimale 6 : 6 = Scrivi cinque frazioni irriducibili che diano origine a numeri decimali periodici misti. Poi trasformale nei corrispondenti numeri decimali e in ciascuno di essi indica il periodo e l antiperiodo. In che modo devi scegliere i denominatori delle frazioni? Quali fattori primi devono contenere? 6 Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali, precisando di quale tipo si tratta. ESERCIZIO SVOLTO : =, numero decimale limitato = Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara ESERCIZI p.

17 Apprendo... UNITÀ.6 Frazioni generatrici di numeri decimali Ripassiamo con un esempio come si trova la frazione generatrice di un numero decimale limitato:, = = frazione decimale Frazioni e numeri decimali frazione generatrice, ridotta ai minimi termini La ricerca della frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice o di un numero decimale periodico misto è molto complessa. Pertanto ci limiteremo a riportarne le regole. litro litro litro s s s È importante saper associare numeri decimali e frazioni! s s 0, 0, 0,... s Frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice ha per numeratore la differenza fra il numero dato, considerato senza la virgola, e il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo e per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo. ESEMPIO, = =, = = 0 0, = = è la frazione generatrice di,. Infatti : =,... Frazione generatrice di un numero decimale periodico misto La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto ha per numeratore la differenza fra il numero dato, considerato senza la virgola, e il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo (compreso l antiperiodo) e per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell antiperiodo. ESEMPIO, = = 0 0, = = 00, = = Per ogni cifra del periodo si scrive un, per ogni cifra dell antiperiodo si scrive uno zero Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

18 ... verifico Per ogni numero decimale limitato, indica la frazione generatrice corretta. 0, , , Completa la tabella, seguendo l esempio. numero decimale periodico semplice, frazione generatrice = = 6,...,...,..., ,... Collega con le frecce ciascun numero decimale con la relativa frazione, poi riduci ai minimi termini quelle che non lo sono., 0, 0, 0,,0, Completa la tabella, seguendo l esempio. numero decimale periodico misto 0, 0 frazione generatrice = = 0 0,6... 0,...,...,6... 0,0... Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara ESERCIZI p.

19 UNITÀ Frazioni e numeri decimali Esercizi e problemi Frazioni decimali [U. p. ] applicazione RICORDA Per trasformare una frazione decimale nel corrispondente numero decimale si scrive il solo numeratore e si separano in esso con una virgola, da destra verso sinistra, tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore della frazione data. Se occorrono, si aggiungono alla sinistra del numeratore tanti zeri quante sono le cifre che mancano. Scrivi sotto forma di numeri decimali le seguenti frazioni decimali. ESEMPIO =, ; 6 0 = 006, Collega con una freccia ciascuna frazione al numero decimale che le corrisponde. a. b. 0, 0,00 0, 00 0,0, 0 00, RICORDA La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione che ha per numeratore il numero intero ottenuto sopprimendo la virgola e per denominatore la cifra seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato. Scrivi sotto forma di frazioni decimali i seguenti numeri decimali, ovvero trova la loro frazione generatrice. ESEMPIO, =,, 0, 0,,6,,,, 0,0 Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

20 esercizi e problemi 0,,0,0, 0,0 0,00,0 6, 6, 6,, 0,06,0,00 0,0 0,,,00 0,0 6, 6,, 6, 6,6 0,00,,,6 0,, 6,,0,, 6,0 6 Scrivi i seguenti numeri sotto forma di frazioni decimali. a. centesimi 6 millesimi decimi 6 centesimi b. millesimi centesimo decimillesimi decimo c. decimi 6 millesimi millesimo centesimi d. decimi centesimi millesimi decimi Completa la tabella, seguendo l esempio. frazione decimale divisione tra il numeratore numero decimale limitato e il denominatore della frazione data 6 6 :, ,0 millesimi :..... : 0... Scrivi cinque numeri decimali compresi fra, e,. Scrivi cinque numeri decimali compresi fra 0,6 e 0,6. 0 Disponi in ordine crescente i numeri decimali dei seguenti gruppi. a.,6,,,,,0 b.,,,,,, c.,,,,6,,, d.,6,,6, 0, 0,, Disponi in ordine decrescente i numeri decimali dei seguenti gruppi. a.,, 6,,,, b. 0, 0, 0,, 0,,0 c., 6,, 6,,0,, d.,,6, 0,,,, Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

21 UNITÀ Frazioni e numeri decimali Numeri decimali limitati [U. p. ] Scrivi cinque frazioni decimali e cinque frazioni ordinarie. Come puoi distinguere le une dalle altre? applicazione Inserisci nella tabella le seguenti frazioni a seconda che siano decimali oppure ordinarie frazioni decimali frazioni ordinarie Tra le seguenti frazioni individua quelle che si possono trasformare in numeri decimali limitati ed esegui le suddette trasformazioni. ESEMPIO = = : =, frazione ridotta; si può tra sfor ma re in numero decimale limitato per ché = 6 6 a. b. a. 6 b a. b Gigi afferma che e 0, sono due numeri uguali. È vero o falso? Completa la tabella. espressione decimale 0, 6,, V F espressione frazionaria 6 Scrivi dieci frazioni che generino numeri decimali limitati. Trasforma le seguenti frazioni ordinarie in frazioni decimali e spiega perché tale trasformazione è sempre possibile. ESEMPIO 0 = x 0 x = 0 0 Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

22 esercizi e problemi Ricorda di ridurre ai minimi termini le frazioni, se non lo sono già. 0 a. b a. b Perché nelle seguenti uguaglianze, nonostante sia stata applicata la proprietà invariantiva delle frazioni, non è possibile trasformare le frazioni date in frazioni decimali equivalenti? = = = 6 6 Le operazioni con i numeri decimali limitati [U. p. 6] Esegui le seguenti operazioni in due modi: direttamente e trasformando i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni decimali. ESEMPIO, +,, +, = + = =,, 6, +,, +,, + 0,,6 +, +,,06 +, + 6, +, +,6, + 0,06 +,,6 + +,0, + 0, +,0 6, 6,, 0,0, 6,,6,0, 0, 0, 6,, 6,,0 0,,,,6,,, 6 0,,6,, 0,6, 0,0 0,06,6,0, 0,0 0, :, : 6, :, 6, :,,6 : 0, : 0,0, :,6, :, 0, : 0,0,, 0, 0, 6 6 0, 0,0, 0,0 0,00, 0,6 0,0 Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

23 UNITÀ Frazioni e numeri decimali Collega con le frecce ciascuna frazione al numero decimale corrispondente. ESEMPIO riepilogo e consolidamento 0, 6 Completa le seguenti tabelle. a. b., 0,0, , c. d.,, , , 00, 0, 00, 0, 00,,..., 0,,... Inserisci al posto dei puntini il simbolo >, < o =. a.,...,,...,,... b.,6...,6,...,,..., c. 0,... 0,,...,0,..., Traduci le seguenti frasi in espressioni e calcolane il valore. a. Alla differenza tra, e 0, aggiungi il quoziente tra, e 0,. b. Calcola il prodotto della differenza tra il triplo di 0, e il doppio di 0, per la metà di 0,6. c. Calcola la differenza tra di,6 e 0,6. d. Calcola il prodotto della somma di, e 0, per la loro differenza e sottrai dal risultato,0. 0,...,6 0, , 0,, ,6, :, Calcola il valore delle seguenti espressioni. (0, + 0,) : (, :,) - 0,, + 0, +,, 0, +,, +, 0,, + 0, 6,6,6 :, + 0,6 0,, (0, 0,6 0,) : 0,6 6 = 6, = 0, = 6, =, =, [ 0] 6 Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

24 riepilogo e consolidamento 6,6 + (0, + 0, :, + ) : 0,6 -, , :, + (,, ), , :, +, +, 6, +,, : [] 6 = 06, =, 6 =, 0 6, 6, +, 0, 6, 0, 6, 0, 0, 6 0, 6 06, + + :,, 0, + ( ) , :,, :, 0,, , (, ) : : 0,, 0, (,, : 06, ) : + ( 0, 0, ) 0, 06, + ( + 0, 0, ) + 0, 6 ( 0, , ), 0 0, : + ( 0, 0, 0) : 0, +, :,, + 0, ( 0, + 0, 0, ): 0, : 06, =, = 0, =, = 6, = 0, =, 0 = 06, 6 = 6, + 0,, 0, 0, : 0, = 06, , : (, :,, ), + +, :, 0, =, 0 0, + +, + : 0, : + ( 0, 6 0, ) : 0, [] 0 0, 0,, 06, 0,,, 0, ( ) ( ) ( ) : 6 6 Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

25 UNITÀ Frazioni e numeri decimali riepilogo e consolidamento Risolvi i seguenti problemi. Un fruttivendolo vende 0,6 parti delle mele di una cassetta da 0 kg. Quanti kilogrammi di mele vende? [0 kg] Simona per fare alcune collane usa / delle sue 00 perline blu e 0, delle sue 60 perline verdi. Quante perline le ri man - gono in tutto? [0] Un campo di 0 m viene coltivato per 0, parti a grano, per 0, parti a ortaggi e la parte rimanente a erba. Se per ogni metro quadrato produce kg di prodotto, quanti kilogrammi di ciascun prodotto se ne rica - vano? [6 kg; kg; 0 kg] Claudio possiede e. Poi ché ne spende 0,, quanto denaro gli ri ma ne? [e] Il signor Mario possiede e 00. Se spende 0, parti per il vitto, 0,6 parti per le spese di casa, 0,6 parti per l abbigliamento, quanto gli rimane? [e ] 6 In un negozio di abbigliamento, la merce è così ripartita: 0, parti sono felpe; 0, parti sono cappotti; 0, parti sono jeans. Sapendo che le felpe sono, quanti sono in tutto i capi di vestiario presenti in quel negozio? Questo problema è impossibile: spiega perché. [Il totale supera ] In una partita di pallacanestro la squadra A realizza un numero di punti pari a 0,6 parti del totale dei punti e la squadra B realizza punti. Quanti punti sono stati fatti in totale nella partita e quanti dalla squadra A? [0; 6] Stabilisci se i valori del numero,6 riportati nella seguente tabella sono approssimati per difetto o per eccesso, specificando il grado di approssimazione. Segui l esempio. valore approssimato per difetto per eccesso, sì; ai decimi., , ,6....,6...., Scrivi il valore di ciascuno dei seguenti numeri arrotondato a 0, 0,0 0,00., 0,,, 0,6 0,6 0,,60,6,0 6,,,,06, Esegui il troncamento e l arrotondamento alle unità di ciascuno dei seguenti numeri decimali e calcola l errore di approssimazione commesso.,6,, Esegui il troncamento e l arrotondamento alla prima cifra decimale di ciascuno dei seguenti nu me ri decimali e calcola l errore di approssimazione commesso.,,,6 Esegui il troncamento e l arrotondamento ai centesimi di ciascuno dei seguenti numeri decimali e calcola l errore di approssimazione commesso. 6,,,6 Una strada è lunga m. Se invece di tale valore indichiamo m, quale errore di ap prossi ma zione commettiamo? Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

26 RECUPERO E RIPASSO Se hai trovato difficoltà o devi ripassare gli argomenti di questa unità, prova a rispondere alle domande nel la prima colonna. Se non ci riesci, trovi la risposta nel la seconda colonna. La terza colonna ti propone al cuni esercizi da risolvere per applicare le tue co no scenze. Domanda Risposta Esercizi Quando una frazione si dice decimale? Quando una frazione si dice ordinaria? Quanti tipi di numeri decimali si possono ottenere da una frazione ordinaria? Data una frazione decimale, come si trova il numero decimale limitato corrispondente? Dato un numero decimale limitato, come si trova la frazione generatrice? Quando il suo denominatore è una potenza di : 0 00 Quando il suo denominatore è diverso da una potenza di : 0 Decimale limitato:, Decimale periodico semplice:,. =, periodo Decimale periodico misto, =, periodo antiperiodo s s s Si scrive il numeratore per intero e si separano con la virgola tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore: =, =, 0 = 0, 00 Si scrive la frazione avente per numeratore il numero intero ottenuto sopprimendo la virgola e per denominatore, 0, 00,... a seconda delle cifre decimali del numero dato., =, = 0, = 00. Scrivi cinque frazioni decimali.. Sottolinea le frazioni decimali Scrivi cinque frazioni ordinarie.. Cerchia le frazioni ordinarie Distingui i numeri decimali limitati, i decimali periodici semplici e i decimali periodici misti. Indica la parte intera,il periodo e l antiperiodo, se c è.,,,0, 0,,,6,, 6,, 0,6,,0,06 0, 6. Trasforma le seguenti frazioni decimali in numeri decimali Scrivi le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali limitati. 6,,,,,6,,,, 0,0,,0 6,,, 6,,6,,006,, 0,00 Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

27 UNITÀ Frazioni e numeri decimali Domanda Risposta Esercizi recupero e ripasso Quando una frazione ordinaria genera un numero decimale limitato? Quando una frazione ordinaria genera un numero decimale periodico semplice? Quando il suo denominatore presenta i fattori primi o o entrambi: = : = 0, 0 = : 0 =, Quando il suo denominatore presenta fattori primi diversi da o : = : =, = : =, s s periodo periodo. Cerchia le frazioni che originano numeri decimali limitati Scrivi tre frazioni che originano numeri decimali limitati.. Cerchia le frazioni che originano numeri decimali periodici semplici Scrivi tre frazioni che originano numeri decimali periodici semplici. Quando una frazione ordinaria genera un numero decimale periodico misto? Quando il suo denominatore presenta i fattori primi o o entrambi insieme ad altri fattori: = = 6, 6 s s periodo antiperiodo. Cerchia le frazioni che generano numeri decimali periodici misti Scrivi tre frazioni che generano numeri decimali periodici misti. Come si trova la frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice? Esempi:, = = = per ogni cifra del periodo si scrive un 0 0, = =. Trova la frazione generatrice dei seguenti numeri.,,6 0,,0 0, 0,, 0,,6, 0,6, 6,, Come si trova la frazione generatrice di un numero decimale periodico misto? Esempi:, = = 0 0 per ogni cifra del periodo si scrive un, per ogni cifra dell antiperiodo si scrive uno zero 0 0 0, = = 0 0. Trova la frazione generatrice dei seguenti numeri., 0,0,,6 0,6 0,,0 0, 0,0, 0,0 In quanti modi si può approssimare il numero decimale,? Per difetto ai decimi, ai centesimi, ai millesimi:,,, Per eccesso ai decimi, ai centesimi, ai millesimi:,,, 6. Approssima per difetto ai decimi, ai centesimi, ai millesimi il numero decimale,6.. Approssima per eccesso ai decimi, ai centesimi, ai millesimi il numero decimale,. 0 Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

28 SVILUPPO DELLE COMPETENZE Esercizi di approfondimento e di arricchimento Considera la frazione e trasformala nel corrispondente numero decimale, eseguendo la divisione : per esteso. Dopo quante cifre decimali si ripeterà la prima cifra decimale del periodo? Completa la seguente tabella, attribuendo alle lettere i valori indicati. 0 Considera la frazione e trasformala nel corrispondente numero decimale, eseguendo la divisione 0 : per esteso. Dopo quante cifre decimali si ripeterà la prima cifra decimale del periodo? Avrai osservato che esiste una ciclicità delle cifre decimali dei numeri decimali periodici. Scrivi le tue osservazioni. (a b) c per a = 0, b = 0, c = 0,6 a + bc per a = 0,0 b = 0, c = 0, a + b per a =, b = 0, 0 a b per a =,6 b = 0, a b per a = b = 0, Calcola il valore delle seguenti espressioni, attribuendo alle lettere i valori indicati. a. ( ab + c) b. c. ( - a+ b): c ( a+ b c):( -a) per a = 0,6; b = 0,6; c = 0, per a =,; b = 0,; c =,0 per a = 0,; b = 0,; c = 0, 6 [0] Illustriamo un procedimento che permette di calcolare con un semplice ragionamento la frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice. Sia p un numero decimale periodico semplice, per esempio p =, ossia: p =,... () Si moltiplica per ciascun termine dell uguaglianza () e si ottiene: p =,... () L uguaglianza () si può scrivere anche così: p = +,... e, poiché p =,... si ha che: p = + p () Dalla () si deduce che p p = da cui p = e p = La frazione generatrice del numero, è Infatti, applicando la regola che hai studiato in questa unità risulta che: Se il periodo è di due cifre, si moltiplica per 0..., = = Puoi osservare che le due frazioni sono uguali. Calcola la frazione generatrice dei seguenti numeri, applicando il metodo appena descritto.,,,6 0,,6,,, 0,, Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara

29 UNITÀ Frazioni e numeri decimali {test per l invalsi} Indica la risposta esatta, individuandola tra quelle proposte. Quale delle seguenti frazioni è una frazione decimale? 00 A B C D 0 0 A quale dei seguenti numeri decimali corrisponde la frazione? 0 A, B,0 C 0, D 0, A quale delle seguenti frazioni corrisponde il numero decimale,? 0 A B C D Senza eseguire la divisione, stabilisci quale delle seguenti frazioni genera un numero decimale periodico semplice: A 6 B C D Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, genera un numero decimale periodico misto se: A il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene altri fattori primi oltre al e/o al B il suo numeratore, scomposto in fattori primi, contiene altri fattori primi oltre al e/o al C il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene fattori primi diversi da o D il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene i fattori primi e/o 6 Come si chiamano i numeri come,? A decimali periodici semplici B naturali C irrazionali D decimali periodici misti Nel numero decimale,0 qual è l antiperiodo? A C 0 B 0 D Quale delle seguenti frazioni è la generatrice, ridotta ai minimi termini, del numero decimale 0,6? A B 0 C D Quale delle seguenti disuguaglianze è errata? A 0, < 0, C 0,06 < 0,6 B, >, D 0, > 0, Qual è il risultato della seguente espressione? +,6,, A B 6 C D Quale dei seguenti numeri decimali rappresenta l approssimazione per eccesso ai decimi del quoziente : =,? A,6 C, B, D, Come si scrive il numero,6 arrotondato ai centesimi? A, C,6 B,66 D, 6 Esercizio 6 Risposta Confronta le tue risposte con quelle riportate in fondo al volume. Per ogni risposta corretta fai una crocetta sulla casella corrispondente. Risposte corrette:.../ Hai superato il test se hai risposto correttamente ad almeno esercizi. Punto MAT 0 De Agostini S.p.A. - Novara