Domande d esame. Ricerca Operativa. G. Liuzzi. Giovedí 14 Maggio Istituto di Analisi dei Sistemi ed Informatica IASI - CNR

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1 1 Giovedí 14 Maggio Istituto di Analisi dei Sistemi ed Informatica IASI - CNR

2 Geometria di R n 1 Dare la definizione di Poliedro e Vertice di un Poliedro 2 Dare la definizione di Poliedro e di Politopo 3 Dato il Poliedro definito come segue: 3x 1 + x 2 x 3 + 2x 4 1 x 1 2x 2 + x 3 2 2x 1 + 3x 2 + 4x 4 2 Quanti vincoli sono attivi nel punto ( )? Il punto ( ) è un vertice? 4 Dato il Poliedro definito come segue: 3x 1 + x 2 x 3 + 2x 4 β x 1 2x 2 + x 3 2 2x 1 + 3x 2 + 4x 4 2 per quale valore/i di β il punto ( ) è un vertice?

3 Geometria di R n 1 In R 2 disegnare un poliedro che non ammette vertici 2 In R 2 disegnare un poliedro che contiene rette 3 In R 2 disegnare un poliedro in forma standard 4 In R 2 disegnare un politopo

4 Teoria della PL 1 Enunciare il Teorema Fondamentale della PL 2 Un problema la cui regione ammissibile è un politopo può essere illimitato? 3 Un problema, la cui regione ammissibile contiene delle rette, è necessariamente illimitato inf. o sup.? 4 Dato il poliedro 3x 1 + x 2 1 x 1 2x 2 1 x 1 0 Scrivere il poliedro equivalente in forma standard

5 Teoria della PL 1 Dare la definizione di Base, Base ammissibile e SBA 2 Il vettore tutto nullo può essere una SBA? 3 Un vettore x tale che S( x) > m può essere una SBA? 4 Un vettore x tale che S( x) < m è necessariamente una SBA? 5 Scrivere in R 4 un poliedro in forma standard con m = 2 che ammetta almeno una matrice di base ammissibile 6 Dire se il punto ( ) è una SBA del poliedro {x R 4 : x 1 x 2 + x3 + x4 = 1} e perché. 7 Dire se il punto ( ) è una SBA del poliedro {x R 4 : x 1 x 2 + x3 + x4 = 1} e perché. 8 Dire se il punto ( ) è una SBA del poliedro {x R 4 : x 1 x 2 + x3 + x4 = 1} e perché.

6 Fase II del Simplesso 1 Dare la definizione di vettore dei costi ridotti γ (associato ad una data base B) 2 Enunciare il criterio di ottimalità 3 Enunciare il criterio di illimitatezza 4 Data una base B, ad essa possono (in generale) corrispondere molte SB? 5 Data una SB x, ad essa possono (in generale) corrispondere molte basi B?

7 Fase I del Simplesso 1 Dato il problema min x {c x : Ax = b, x 0 n }, scrivere il problema che si risolve nella Fase I del simplesso 2 La Fase I del simplesso può terminare con l indicazione di problema ausiliario illimitato? 3 La Fase I del simplesso può terminare con l indicazione di problema originario illimitato? 4 È possibile applicare la Fase I del simplesso a problemi (originari) inammissibili? Se NO, perché? Se SI, come?

8 Dualità 1 Scrivere la coppia primale-duale simmetrica ed enunciare il teorema di dualità debole 2 Scrivere la coppia primale-duale simmetrica ed enunciare le condizioni di complementarità 3 Scrivere il duale del seguente problema (primale) min 0 Ax = b Dy g x 0 4 Se il problema duale ammette ottimo, il problema primale può essere illimitato inferiormente

9 Dualità 1 Dato il problema primale min 0 6x 1 + x 2 = 1 3x 2 + x 3 = 1 4x 1 + x 2 4 scriverne il duale e le relative condizioni di complementarità 2 Siano x e ȳ due sol. ammissibili per il problema primale (di min) e duale (di max), rispettivamente. Uno dei due problemi può essere illimitato (inf. o sup.)? Entrambi i problemi ammettono soluzioni ottime? Si può concludere che x e ȳ sono soluzioni ottime? Se c x > b y, allora le due soluzioni non sono ottime. Perchè?

10 Variabili binarie 1 Utilizzando vincoli lineari tradurre le implicazioni logiche x = 0 y = 1 con x, y {0, 1} x = 0 y = 0 con x, y {0, 1} x = 1 y = 1 con x, y {0, 1} x = 1 y = 0 con x, y {0, 1} 2 Utilizzando vincoli lineari, esprimere l insieme ammissibile: {x R n : ax b ɛ oppure ax b + ɛ}

11 Metodo del piano di Taglio Sia data la seguente ultima forma canonica nella sol. di un rilassamento in forma standard min c x x x 3 + x 5 0.9x 6 = 1.1 x x 3 2.6x x 6 = 0.23 x 4 + x x 5 x 6 = 4 1 Scrivere l espressione di un Taglio di C-G quando si considera la variabile x 1 2 Scrivere l espressione di un Taglio di C-G quando si considera la variabile x 2 3 Scrivere l espressione di un Taglio di C-G quando si considera la variabile x 4

12 Branch & Bound Si vuole risolvere un problema di PLI con il metodo B&B. Sia Q la lista dei problemi candidati o aperti. Indichiamo con un i sottoproblemi la cui soluzione del rilassamento ha fornito una sol. a componenti intere. 1 UB = 40, Q = {(LB = 23), (LB = + ), (LB = 40), (LB = 41), (LB = 39) }. Che succede? 2 UB = 40, Q = {(LB = 43), (LB = + ), (LB = 40), (LB = 41), (LB = 39) }. Che succede? 3 LB = 40, Q = {(UB = 43), (UB = ), (UB = 40), (UB = 41), (UB = 39)}. Che succede?