Ricerca Operativa Note su Programmazione Lineare e Metodo del Simplesso (parte I)

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1 Ricerca Operativa Note su Programmazione Lineare e Metodo del Simplesso (parte I) Luigi De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi alle spiegazioni del docente. Il loro scopo è quello di fissare alcuni concetti presentati in classe. Le note contengono un numero limitato di esempi ed esercizi svolti. Questi rappresentano una parte fondamentale nella comprensione della materia e sono presentati in classe. 1

2 Contents 1 Problemi di programmazione lineare Notazione Soluzione di un problema PL Geometria della Programmazione Lineare La regione ammissibile Vertici di un poliedro Caratterizzazione algebrica dei vertici Motivazioni Forma standard di problemi di programmazione lineare Richiami di algebra lineare Vettori e matrici Sistemi di equazioni lineari Soluzioni di base Vertici e soluzioni di base Verso un metodo per la soluzione di problemi di PL L. De Giovanni - Ricerca Operativa 2

3 1 Problemi di programmazione lineare Un problema di ottimizzazione vincolata è definito dalla massimizzazione di una funzione obiettivo sotto un certo numero di vincoli: si vuole trovare la soluzione che massimizza o minimizza la funzione obiettivo f tra tutte le soluzioni x che soddisfano un dato insieme di m vincoli definiti come funzioni g i. In termini matematici possiamo scrivere: dove x = x 1 x 2. x n min(max) f(x) s.t. g i (x) = b i (i = 1... k) g i (x) b i (i = k k ) g i (x) b i (i = k m) x R n è un vettore di n variabili reali (ciascun vettore rappresenta una poten- ziale soluzione del problema); f e g i sono funzioni R n R b i R Un problema di Programmazione Lineare (PL) è un problema di ottimizzazione in cui la funzione obiettivo f e tutti i vincoli g i sono funzioni lineari delle variabili x j : 1.1 Notazione min(max) c 1 x 1 + c 2 x c n x n s.t. a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i (i = 1... k) a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i (i = k k ) a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i (i = k m) x i R (i = 1... n) Ricorrendo alle operazioni tra vettori, un problema di PL può essere scritto in forma più compatta. Si noti come la funzione obiettivo è ottenuta dal prodotto scalare dei due c 1 x 1 c 2 vettori c =. e x = x 2. Lo stesso prodotto può essere scritto come prodotto. c n x n righe per colonne del vettore riga c T e del vettore colonna x, cioè: L. De Giovanni - Ricerca Operativa 3

4 c T x = [ ] c 1 c 2... c n x 1 x 2. x n = c 1x 1 + c 2 x c n x n Analogamente, il termine a sinistra di ciascun vincolo i può essere scritto come: x 1 a T i x = [ ] x 2 a i1 a i2... a in. = a i1x 1 + a i2 x a in x n x n In forma più compatta, un problema PL diventa: min(max) c T x s.t. a T i x = b i (i = 1... k) a T i x b i (i = k k ) a T i x b i (i = k m) x R n 1.2 Soluzione di un problema PL Una soluzione ammissibile di un problema di PL è un vettore x R n che soddisfa tutti i vincoli. L insieme di tutte le soluzioni ammissibili si dice regione ammissibile o insieme ammissibile. Una soluzione ottima x è una soluzione ammissibile che ottimizza (miminizza o massimizza) il valore della funzione obiettivo tra tutte le soluzioni ammissibili: c T x ( )c T x, x R n, x ammissibile. Non sempre un problema di PL ammette una soluzione ottima. Infatti, è possibile dimostrare che ogni problema di PL soddisfa sempre e solo uno dei 3 casi seguenti: 1. il problema è inammissibile: l insieme ammissibile è vuoto; 2. il problema è illimitato: è possibile trovare delle soluzioni ammissibili che fanno diminuire (o aumentare per problemi di massimo) il valore della funzione obiettivo a piacere. 3. il problema ammette soluzione ottima: esiste almeno una soluzione ammissibile che ottimizza la funzione obiettivo (e il valore ottimo della funzione obiettivo è limitato). Risolvere un problema di PL significa riconoscere uno dei tre casi citati e dare, nel caso 3, una soluzione ottima e il corrispondete valore della funzione obiettivo. L. De Giovanni - Ricerca Operativa 4

5 2 Geometria della Programmazione Lineare Per la messa a punto di metodi di soluzione di problemi di PL, è utile analizzare la geometria dell insieme ammissibile. 2.1 La regione ammissibile Ciascuna equazione o disequazione nel sistema dei vincoli di un problema PL individua una regione nello spazio R n : ogni equazione individua un iperpiano e ogni disequazione un semispazio chiuso. L insieme ammissibile deriva dall intersezione di questi iperpiani e semispazi chiusi. Definizione 1 (Poliedro). Un insieme P R n è un poliedro se è ottenuto dall intersezione di un numero finito di semispazi chiusi e iperpiani in R n. Da un punto di vista geometrico, quindi, una soluzione ammissibile è un punto nello spazio n-dimensionale e la regione ammissibile è un poliedro nello stesso spazio. Un esempio è dato dalla figura 1. Figure 1: Un poliedro in R 3 Possiamo quindi scrivere un problema di PL nella seguente forma: oppure min(max) s.t. c T x x P dove P è un poliedro in R n. min(max){c T x : x P } L. De Giovanni - Ricerca Operativa 5

6 2.2 Vertici di un poliedro Se pensiamo alla soluzione di un problema di PL con il metodo grafico, intuiamo la particolare rilevanza dei punti del poliedro corrispondenti ai vertici, dove si trova una soluzione ottima. Introduciamo dei concetti che ci aiutino a generalizzare questo risultato. Definizione 2 (Combinazione convessa di due punti) Dati due punti x, y R n, il punto z R n è combinazione convessa di x e y se esiste uno scalare λ [0, 1] tale che z = λx + (1 λ)y. Per avere un idea del significato [ ] geometrico [ ] della combinazione convessa, consideriamo x1 y1 x e y nel piano, cioé x = e y =. Le combinazioni convesse dei due punti x x 2 y 2 e y rappresentano, al variare di λ tra 0 e 1, tutti e soli i punti del segmento x y, estremi inclusi (vedi figura 2). Figure 2: Combinazione convessa in R 2 Definizione 3 (Combinazione convessa stretta di due punti) Dati due punti x, y R n, il punto z R n è combinazione convessa stretta di x e y se esiste uno scalare λ (0, 1) tale che z = λx + (1 λ)y. In pratica, la combinazione convessa stretta non include i due punti x e y. Definizione 4 (Vertice di un poliedro) Dato un poliedro P e un punto del poliedro v P, v è vertice di P se non può essere espresso come combinazione convessa stretta di due punti distinti dello stesso poliedro: x, y P, λ (0, 1) : x y, v = λx + (1 λ)y. Il concetto di combinazione convessa può essere generalizzato alla combinazione di più punti, come segue. L. De Giovanni - Ricerca Operativa 6

7 Definizione 5 (Combinazione convessa) Dati k punti x 1, x 2... x k R n, il punto z R n è combinazione convessa di x 1, x 2... x k se esistono k scalari non negativi λ 1, λ 2... λ k 0 k k tali che λ i = 1 e z = λ i x i. i=1 i=1 Per l interpretazione geometrica, possiamo considerare la figura 3: al variare dei coefficienti λ i, si possono rappresentare tutti i punti nel quadrilatero evidenziato (corrispondente all inviluppo convesso dei suoi 4 vertici). Figure 3: Combinazione convessa in R 2 Usando questa definizione, è facilmente intuibile il seguente risultato, del quale non diamo dimostrazione formale: Teorema 1 (Rappresentazione dei poliedri [Minkowski-Weyl] - caso limitato): Dato un poliedro limitato P R n, e indicando con v 1, v 2,..., v k (v i R n ) i vertici di P, si ha x P x = k i=1 λ iv i con λ i 0, i = 1..k e k i=1 λ i = 1. In altri termini, ogni punto di P si può ottenere come combinazione convessa dei suoi vertici. Abbiamo ora gli elementi per generalizzare il risultato che fa corrispondere l ottimo di un problema PL con uno dei suoi vertici. Teorema 2 (Vertice ottimo) Dato un problema PL min(max){c T x : x P }, se P è non vuoto e limitato, allora il problema ammette soluzione ottima e esiste almeno un vertice ottimo. Dimostrazione: consideriamo il caso di problemi di minimizzazione (per problemi di massimizzazione la dimostrazione e analoga). L esistenza di una soluzione ottima deriva dall escludere la possibilità di problema inammissibile (P è non vuoto) e la possibilità di problema illimitato (P è limitato). Sia V = {v 1, v 2... v k } l insieme dei vertici di L. De Giovanni - Ricerca Operativa 7

8 P. Consideriamo il minimo valore assunto dalla funzione obiettivo sui vertici e sia v il vertice (o uno dei vertici) in cui la funzione obiettivo assume questo valore minimo: v = arg min c T v : v V. Per un generico punto del poliedro x P, possiamo scrivere: c T x = k i=1 λ iv i = k i=1 λ ic T v i k i=1 λ ic T v = c T v k i=1 λ i = c T v In sintesi, x P, c T v c T x, cioè v è una soluzione ottima corrispondente ad un vertice del poliedro. Il risultato appena dimostrato è molto importante perché permette di restringere la ricerca dell ottimo di un problema di PL ai soli vertici di un poliedro (che, come vedremo, sono in numero limitato), potendo trascurare i restanti (infiniti) punti della regione ammissibile. Consideriamo il seguente esempio. Esempio 1 Una piccola ditta di profumi realizza due nuove fragranze a partire da 3 essenze: rosa, mughetto e viola. Per realizzare un litro di fragranza 1 sono richiesti 3 centilitri di rosa, 1 centilitro di mughetto e 3 centilitri di viola. Per realizzare un litro di fragranza 2 sono richiesti 4 centilitri di rosa, 4 centilitri di mughetto e 2 centilitri di viola. La disponibilità in magazzino per le tre essenze è di 24, 20 e 18 centilitri per rosa, mughetto e viola rispettivamente. Sapendo che l azienda realizza un profitto di 13 e 10 euro per ogni litro venduto di fragranza 1 e 2 rispettivamente, determinare le quantità ottimali delle due fragranze da produrre. Introducendo le variabili: - x 1 : quantità in litri di fragranza 1 e - x 2 : quantità in litri di fragranza 2, un modello di programmazione lineare in grado di risolvere il problema è il seguente: max 13x x 2 s.t. 3x 1 + 4x 2 24 (e1) x 1 + 4x 2 20 (e2) 3x 1 + 2x 2 18 (e3) x 1, x 2 0 In figura 4 è rappresentata la regione ammissibile. La ricerca dell ottimo può avvenire sui soli vertici e ciascun vertice è ottenibile dall intersezione di due delle rette che definiscono i semipiani corrispondenti ai vincoli (sulle disponibilità di essenze o di non negatività delle variabili). Ad esempio, il vertice B = (2, 9/2) è ottenuto dall intersezione della retta x 1 + 4x 2 = 20 con la retta 3x 1 + 4x 2 = 24; il vertice E = (6, 0) è ottenuto dall intersezione delle rette x 2 = 0 e 3x 1 + 2x 2 = 18 etc. Calcolando il valore della funzione obiettivo in ciascun vertice e scegliendo il valore minimo, si ottiene l ottimo in corrispondenza del vertice C: x 1 = 4, x 2 = 3 con valore della funzione obiettivo pari a 82 (profitto massimo pari a 82). Ovviamente, la rappresentazione grafica dei vertici non è sempre possibile e, per poter procedere alla ricerca dell ottimo sui vertici, è necessario poterli determinare per via algebrica. L. De Giovanni - Ricerca Operativa 8

9 Figure 4: Regione ammissibile del problema dei profumi 3 Caratterizzazione algebrica dei vertici 3.1 Motivazioni Tralasciando per il momento i vincoli di non negatività delle variabili, i restanti vincoli del problema, possono essere scritti sotto forma di equazioni come segue: 3x 1 + 4x 2 + s 1 = 24 x 1 + 4x 2 + s 2 = 20 3x 1 + 2x 2 + s 3 = 18 dove s 1, s 2 e s 3 sono variabili ausiliarie che indicano la possibilità di soddisfare i rispettivi vincoli originari all uguaglianza (se assumono valore 0) o in modo stretto (se assumono valori > 0). Si tratta di un sistema di 3 equazioni (non ridondanti né contraddittorie) in 5 incognite che, come noto, può essere risolto sfruttando 2 gradi di libertà per fissare a piacere il valore di 2 incognite e ricavare il valore delle altre 3. Decidiamo allora di fissare al valore 0 le incognite s 1 e s 2. Si ottiene il sistema 3x 1 + 4x 2 = 27 x 1 + 4x 2 = 20 3x 1 + 2x 2 + s 3 = 18 che porta alla soluzione x 1 = 2, x 2 = 9/2, s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 3. Si noti come tale soluzione corrisponda al vertice B. In effetti, porre s 1 = s 2 = 0 significa, da un punto di vista geometrico, saturare i vincoli (e1) ed (e2): la soluzione si troverà quindi all intersezione delle corrispondenti rette. Un altra soluzione particolare può essere ottenuta fissando a 0 le variabili x 1 e s 2, che porta alla soluzione x 1 = 0, x 2 = 5, s 1 = 4, s 2 = 0, s 3 = 8, corrispondente al vertice A. Intuiamo quindi che, tra le infinite ( 5 3 ) soluzioni del sistema di equazioni equivalente ai vincoli del problema, ne esistono alcune particolari: queste soluzioni sono ottenute L. De Giovanni - Ricerca Operativa 9

10 fissando a 0 un numero opportuno di variabili e corrispondono a vertici della regione ammissibile. Si noti che le le variabili da porre a 0 devono essere opportunamente scelte. Ad esempio, ponendo x 1 = s 1 = 0, si ottiene la soluzione x 1 = 0, x 2 = 6, s 1 = 0, s 2 = 4, s 3 = 6 che non corrisponde ad un vertice del poliedro: la soluzione ottenuta non è infatti ammissibile, dato che s 2 < 0 indica che il vincolo (e2) è violato. Cerchiamo di generalizzare queste osservazioni. Il primo passo è scrivere i vincoli di un problema PL in modo conveniente sotto forma di sistema di equazioni lineari. Il secondo passo è la manipolazione del sistema di equazioni per derivare delle soluzioni che corrispondano a vertici del poliedro ammissibile. Introduciamo quindi la forma standard per un problema di PL e richiamiamo alcune notazioni e proprietà dell algebra lineare. 3.2 Forma standard di problemi di programmazione lineare Un qualsiasi problema di PL può essere messo nella seguente forma, detta forma standard: dove min c 1 x 1 + c 2 x c n x n s.t. a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i (i = 1... m) x i R + (i = 1... n) - la funzione obiettivo è di minimo e senza costanti additive o moltiplicative (si moltiplicano per -1 le funzioni di massimizzazione; le costanti additive e moltiplicative possono essere trascurate); - tutte le variabili sono positive o nulle (si effettuano sostituzioni di variabili per le variabili libere o negative); - tutti i vincoli sono delle equazioni (si aggiunge una variabile positiva di slack per i vincoli di e si sottrae una variabile positiva di surplus per i vincoli di ); - i termini noti b i sono tutti positivi o nulli (si moltiplicano per -1 i vincoli con termine noto negativo). Ciò permette, senza perdere in generalità, di risolvere un qualsiasi problema di PL tramite sistemi di equazioni lineari. Esercizio 1 Mettere in forma standard il seguente problema di PL: max 5( 3x 1 + 5x 2 7x 3 ) + 34 s.t. 2x 1 + 7x 2 + 6x 3 x 1 5 3x 1 + x x 1 0 x 2 0 L. De Giovanni - Ricerca Operativa 10

11 3.3 Richiami di algebra lineare Vettori e matrici Un vettore v R n è una n-upla di numeri reali (v 1, v 2... v n ). Una matrice A R m n è una tabella m n di numeri reali ordinati secondo righe a 11 a a 1n a 11 a a 1n e colonne: A = a m1 a m2... a mn Un vettore v R n può essere visto come una matrice particolare con una sola colonna o riga: v 1 - vettore colonna v R n 1 v 2 : v =. v n - vettore riga v T R 1 n : v T = [v 1, v 2,..., v n ] Dati due vettori v, w R n, il prodotto scalare v w può essere scritto come caso particolare del prodotto tra matrici righe colonne: v w = v T w = vw T = n i=1 v iw i Una matrice A R m n può essere scritta come giustapposizione delle sue righe o a 11 a a 1n a T 1 a 11 a a 1n colonne: A = = a T 2. = [ ] A 1 A 2... A n a m1 a m2... a mn Il Rango di una matrice A R m n è indicato con ρ(a) ed è il massimo numero di righe linearmente indipendenti (coincide con il massimo numero di colonne linearmente indipendenti). Matrici quadrate B R m m : matrice inversa: B 1 R m m : B 1 B = BB 1 = I (matrice identità m m); B è invertibile det(b) 0 (matrice non singolare); det(b) 0 ρ(b) = m. a T m L. De Giovanni - Ricerca Operativa 11

12 3.3.2 Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni in forma matriciale: un sistema di m equazioni in n incognite può essere messo in forma matriciale: Ax = b, con A R m n, b R m e x R n. Teorema di Rouché-Capelli: Ax = b ammette soluzioni ρ(a) = ρ(a b) = r ( n r soluzioni). Operazioni elementari su matrici: scambiare la riga i con la riga j; moltiplicare la riga i per uno scalare non nullo; sostituire alla riga i, la riga i più α volte la riga j (α R). Le operazioni elementari sulla matrice aumentata [A b] non alterano l insieme delle soluzioni ammissibili del sistema Ax = b. Metodo di Gauss-Jordan per la soluzione di sistemi Ax = b: eseguire delle operazioni elementari sulla matrice aumentata in modo da ottenere in A una sottomatrice identità di dimensioni pari a ρ(a) = ρ(a b). 3.4 Soluzioni di base Un metodo per risolvere un sistema di equazioni lineari si ottiene ricorrendo al concetto di base di una matrice. Sia data una matrice A R m n. D ora in poi assumeremo che n > m (in modo da avere infinite soluzioni ammissibili tra le quali scegliere la soluzione ottima) e che la matrice abbia rango massimo (ρ(a) = m). Definizione 6 (Base) Una base di A è una sottomatrice quadrata di A di rango massimo o, in altri termimi, una matrice B R m m ottenuta scegliendo m colonne linearmente indipendenti della matrice A. Dato un sistema Ax = b si scelga una base B della matrice A. Le colonne della matrice A e le variabili del vettore x possono essere riordinati opportunamente in modo da poter scrivere: [ ] A = [B F ] B R m m xb, det(b) 0 x =, x B R m, x F R n m dove B è l insieme delle colonne di A che formano la base; F l insieme delle restanti colonne; x B il vettore delle variabili corrispondenti alle colonne in base (variabili di base); x F L. De Giovanni - Ricerca Operativa 12

13 x F il vettore delle variabili corrispondenti alle colonne fuori base (variabili non di base o fuori base). Di conseguenza, il[ sistema ] Ax = b si può scrivere in forma a blocchi: xb Ax = b = [B F ] = Bx B + F x F = b x F Osservando che la matrice di base B è invertibile (ha rango massimo), una soluzione al sistema Ax = b si può ottenere ponendo a 0 tutte le variabili fuori base (x F = 0) e scrivendo [ ] [ ] xb B x = = 1 b 0 x F Esercizio 2 Con riferimento all esempio precedente, si consideri la base formata dalle colonne di x 1, x 2 e s 3 e si determinino B, F, x B e x F. Scegliendo una matrice di base B diversa da B, cioè scegliendo un diverso insieme di m colonne [ di A] linearmente [ ] indipendenti, si ottiene una nuova soluzione del sistema xb B x = = 1 b. x F 0 Definizione 7 Soluzioni di base Dato un sistema di equazioni Ax = b, le soluzioni ottenute scegliendo una base B della matrice e ponendo x B = B 1 b e x F = 0 si dicono soluzioni di base. Caratteristica delle soluzioni di base è di avere (al più) m variabili diverse da 0 (le variabili di base) e (almeno) m n variabili pari a 0 (variabili non di base). Infatti, potrebbe verificarsi il caso corrispondente alla seguente definizione: Definizione 8 Soluzioni di base degeneri Dato un sistema di equazioni Ax = b e una base B di A, la soluzione di base corrispondente (e, per estensione, la stessa base) si dice degenere se il vettore x B = B 1 b ha almeno una componente nulla. Qualora il sistema di equazioni Ax = b sia riferito ad un problema di PL in forma standard, si introducono le seguenti definizioni: Definizione 9 Soluzioni di base ammissibili Dato un sistema di equazioni Ax = b e una base B di A, la soluzione di base corrispondente (e, per estensione, la stessa base) si dice ammissibile (resp. non ammissibile) se viene soddisfatta (resp. non soddisfatta) la condizione di non negatività x B = B 1 b 0. L. De Giovanni - Ricerca Operativa 13

14 3.5 Vertici e soluzioni di base Consideriamo un problema di PL in forma standard min c 1 x 1 + c 2 x c n x n s.t. a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i (i = 1... m) x i R + (i = 1... n) o, equivalentemente, in forme più compatte: oppure min c T x s.t. Ax = b x 0 min{c T x : Ax = b, x 0} Le soluzioni ammissibili di base associate al problema di PL si ottengono risolvendo un sistema di equazioni univocamente determinato e che corrisponde, secondo l interpretazione geometrica sopra riportata, all intersezione di un numero opportuno di iperpiani in R. Si ha infatti la seguente importante proprietà, nota come caratterizzazione algebrica dei vertici di un politopo: Teorema 3 (Corrispondenza tra vertici e soluzioni di base). Dato un problema di PL min{c T x : Ax = b, x 0} e il corrispondente poliedro della regione ammissibile P = {x R n : Ax = b, x 0}, x è soluzione ammissibile di base del sistema Ax = b x è vertice di P. Dimostrazione: Vedi libro di testo. Immediata e importante conseguenza è il seguente risultato Teorema 4 Soluzione ammissibile di base ottima. Dato un problema di PL min{c T x : x P }, dove P = {x 0 : Ax = b} è un poliedro limitato e non vuoto, esiste almeno una soluzione ottima coincidente con una soluzione ammissibile di base. Dimostrazione: Per il teorema 2 esiste un vertice ottimo che corrisponde, per il teorema 3, a una soluzione ammissibile di base. 3.6 Verso un metodo per la soluzione di problemi di PL I risultati teorici sopra riportati possono essere immediatamente sfruttati per derivare un metodo generale per la soluzione di un problema di PL min{c T x : Ax = b, x 0}. Per il teorema 4, la soluzione ottima, se esiste, può essere ricercata tra tutte le soluzioni di base del sistema di equazioni Ax = b. In particolare, siamo interessati alle soluzioni L. De Giovanni - Ricerca Operativa 14

15 ammissibili di base, cioè le soluzioni di base in cui le variabili di base assumano valori positivi o nulli: B 1 b 0. Mentre il numero di soluzioni ammissibili è, almeno per i casi di interesse, illimitato ( (n m) secondo il teorema di Rouché-Capelli), il numero di soluzioni ammissibili di base (e, per il teorema 3, il numero di vertici del poliedro ammissibile) è limitato superiormente dal numero delle possibili combinazioni di m colonne scelte tra le n colonne di A: ( n m ) = n! m!(n m)! (numero massimo di soluzioni ammissibili di base e di vertici del poliedro ammissibile) Pertanto, si potrebbe derivare un algoritmo che ricerca esaustivamente tutte le possibili basi di A. Ovviamente, anche se non tutte le combinazioni di m colonne tra le n della matrice A corrispondono a soluzioni di base (le colonne potrebbero non essere linearmente indipendenti o la corrispondente soluzione di base potrebbe non essere ammissibile), il numero di soluzioni ammissibili di base è comunque molto elevato e la ricerca esaustiva non è un metodo efficiente. Il metodo del simplesso è un metodo iterativo che permette di esplorare in modo efficiente l insieme delle soluzioni ammissibili di base, a partire da una soluzione ammissibile di base data. L efficienza consiste nel garantire di generare, ad ogni iterazione: soluzioni ammissibili soluzioni che migliorino (o comunque non peggiorino) la soluzione all iterazione precedente, in termini di valore della funzione obiettivo. L. De Giovanni - Ricerca Operativa 15