Geometria solida Rette e piani nello spazio + poliedri + solidi di rotazione

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1 Geometri solid ette e pini nello spzio + poliedri + solidi di rotzione ette e pini nello spzio tilisi se le seguenti ffermzioni sono vere o flse. EZ. d e e tre rette nello spzio sono tr loro prllele, llor sono neessrimente omplnri. e,, sono tre rette distinte tli he e, llor può essere. e due pini hnno in omune due punti e, hnno in omune tutt l rett ontenente i punti. L distnz di un punto d un pino è il minore dei segmenti he ongiungono on un punto di. e un rett r interse un pino in un punto, tutti gli ngoli formti dll rett r on le rette di pssnti per sono tr loro ongruenti. d erhé le rette,, potreero essere due due omplnri, m non tutte e tre pprtenenti llo stesso pino. Le rette e sono omplnri e si interseno in un punto. L rett pssnte per e perpendiolre l pino è perpendiolre ogni rett del pino, quindi e. Uno dei postulti dello spzio fferm he dti su un pino due punti, l rett pssnte per essi gie ompletmente sul pino; quindi se i punti e pprtengono due pini, l rett pssnte per e è in omune entrmi. Il termine distnz è sinonimo di perpendiolrità (ome nell geometri pin). e L rett r è generi, quindi non è detto he si perpendiolre l pino, periò le rette pssnti per formno ngoli diversi on l rett r. M N M ˆ N ˆ r. lvi - G. nzer ELI - L pig

2 ezione Geometri solid f g h i l m n o p q r e r è un rett, e β sono due pini distinti e r //, r // β, llor i pini e β sono tr loro prlleli. Tutte le rette pssnti per il piede dell rett r perpendiolre un pino sono perpendiolri ll rett r. Nello spzio un rett r e un punto ess esterno individuno infiniti pini. Un ngolo diedro è un prte di spzio. e due pini si interseno, formno quttro ngoli diedri. L sezione normle di un diedro è l intersezione tr il diedro e un pino qulsisi. Le fe di un diedro sono due semipini. L mpiezz di un diedro oinide on l mpiezz dell su sezione normle. L somm di tutte le fe di un ngoloide onvesso è sempre minore o ugule 60. I diedri hnno l stess nomenltur degli ngoli dell geometri pin. iedri ongruenti possono vere sezioni normli disuguli. f g h i l m n o p q r sti pensre un qulunque rett prllel llo spigolo di un diedro: ess soddisf le ipotesi, m i pini sono plesemente inidenti e non prlleli. er il punto pssno infinite rette pprtenenti l pino ; per definizione un rett perpendiolre un pino è perpendiolre ogni rett del pino pssnte per l intersezione. erhé per tre punti non llineti pss un solo pino, quindi se il punto non pprtiene ll rett r, non è llineto on due punti qulsisi dell rett r. Il diedro è isun delle due prti di spzio individute d due semipini venti l origine in omune. Un diedro è l prte di spzio ompres tr due semipini venti l stess origine, e, nlogmente ll geometri pin dove due rette inidenti individuno quttro ngoli due due ongruenti (ngoli opposti l vertie), osì nello spzio due pini inidenti individuno quttro diedri due due ongruenti (diedri opposti llo spigolo). er definizione, l sezione normle di un diedro è l ngolo ottenuto dll intersezione del diedro on un pino perpendiolre l suo spigolo. Un diedro è un delle due prti in ui due semipini, detti fe e venti l stess origine, dividono lo spzio. er definizione, l mpiezz di un diedro è l mpiezz dell su sezione normle, quindi, nlogmente ll geometri pin, si può vere un diedro nullo, uto, retto, ottuso, pitto e giro. Tglindo inftti l superfiie di un ngoloide lungo uno spigolo e shiindolo su un pino si ottiene un ngolo minore di un ngolo giro. e l somm è ugule 60 l ngoloide si ppittise e si die degenere. Inftti gli ngoli diedri vengono lssifiti medinte l loro sezione normle, he è un omune ngolo del pino. i prl quindi di diedri nulli, uti, retti, ottusi, pitti e giro e di oppie di diedri onseutivi, dienti, opposti llo spigolo, omplementri, supplementri, esplementri. L sezione normle di un diedro è l ngolo ottenuto dll intersezione tr un diedro e un pino perpendiolre l suo spigolo: si può dimostrre he diedri ongruenti hnno l stess sezione normle.. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig

3 ette e pini nello spzio In figur sono rppresentti un pino e un rett r esso perpendiolre nel punto. è un generio punto di. ispondi lle domnde. r ome sono tr loro le rette e r? erhé? ome sono tr loro un generi rett di non pssnte per e l rett r? erhé? onsiderimo l rett pssnte per e per, he è uni perhé per due punti pss un sol rett. oihé r è perpendiolre l pino nel punto, per definizione ess è perpendiolre ogni rett del pino pssnte per, quindi e r sono tr loro perpendiolri. Un generi rett del pino non pssnte per e l rett r sono tr loro sgheme. Qunti diedri formno due pini he si interseno? e l mpiezz dell sezione normle di uno dei diedri è mpi 85, qul è l mpiezz degli ltri? β β = 85 β =? ue pini inidenti formno quttro diedri due due ongruenti. = 85 + β = = 95 β isolvi i seguenti prolemi. 4 è l proiezione di un punto sul pino e pprtiene d ; si inoltre he ˆ = 0 e = 0. lol l distnz di dl pino. 0 Il tringolo è rettngolo perhé è l proiezione del punto sul pino. In un tringolo rettngolo on gli ngoli uti mpi 0 e 60, il teto minore, opposto ll ngolo mpio 0, è l metà dell ipotenus. ˆ = 0 = 0 =? = = 0 = 5. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig

4 ezione Geometri solid 5 Il segmento è perpendiolre l pino ed è lungo 6. I punti e sono tli he  = 90, = e = 9. lol l lunghezz di. Il tringolo è rettngolo in per ipotesi, quindi pplihimo il teorem di itgor: = + = + 9 = 5 = 5 Il tringolo è rettngolo in perhé è perpendiolre l pino, quindi è perpendiolre ogni rett pssnte per il piede : = 6  = 90 = = 9 =? = + = = 5 = 9 6 '' è l proiezione di sul pino. i inoltre he = 7, ' = 0 e ' = 8. lol l lunghezz di ''. l punto trimo l perpendiolre l segmento ' e determinimo il punto. Il tringolo è rettngolo in per ostruzione; possimo pplire il teorem di itgor per rivre : ' ' = ' ' = 8 0 = 8 = = 7 8 = 5 = 5 ' ' = 7 ' = 0 ' = 8 '' =? Il segmento '' è ongruente l segmento perhé uguli ll distnz tr due rette prllele ' e '. 7 e ' sono punti simmetrii rispetto l pino, he interse il segmento ' in ; il segmento gie sul pino e è il suo punto medio. pendo he = 5 e he l re del qudriltero ' è 40, lol l lunghezz di. ' = ' = 5 = ' = 40 =? = ' = 5 ' = 0 Il qudriltero ', vendo le digonli perpendiolri, è un romo di re 40, dove è un digonle. romo = ' = romo 40 = = 6 ' 0. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig 4

5 ue diedri e β dienti formno un diedro pitto. + β = 80 = 4 β 5 β Il diedro pitto è formto d = 9 prti uguli: 80 9 = 0 mpiezz di un prte 0 4 = = 00 β + poliedri 8 ue diedri e β sono dienti e l sezione normle di uno di essi è 4 5 dell sezione normle dell ltro. Qunto è mpio isun diedro? 9 ue diedri e β sono dienti e il doppio del minore super di 7 il mggiore. Qunto è mpio il mggiore? upponimo < β; imo: = β + 7 β = 7 ostituimo l espressione per β nell ondizione + β = 80 : + 7 = 80 = 07 = 07 = 69 β = 7 = 69 7 = + poliedri 0 tilisi se le seguenti ffermzioni sono vere o flse. d e f Tutti i solidi sono poliedri. Un prism è detto regolre se il poligono di se è un poligono regolre. In un prism retto le fe lterli sono rettngoli. Le si di un prism sono ongruenti e poste su pini prlleli. Il prllelepipedo rettngolo è un prism regolre. Il uo è un prism regolre. d e f Le figure solide possono essere poliedri, m nhe orpi rotondi. er essere regolre un prism deve essere retto e vere per se un poligono regolre. e il prism è retto, l ltezz, perpendiolre l pino di se, oinide on uno spigolo lterle e le fe lterli sono rettngoli; se il prism non è retto le fe lterli sono generii prllelogrmmi. er definizione le si di un prism sono poligoni ongruenti e posti su pini prlleli. er vere un prism isogn omunque rihiedere nhe he le fe lterli sino tutte dei prllelogrmmi. Un prllelepipedo rettngolo è un prism retto he h per se un rettngolo, quindi è regolre solo nel so prtiolre in ui questo si nhe un qudrto. Il uo inftti è un prism retto e le sue si sono due qudrti, quindi dei poligoni regolri.. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig 5

6 ezione Geometri solid tilisi se le seguenti ffermzioni sono vere o flse. ue solidi sono equivlenti se hnno l stess superfiie totle. ue solidi ftti dello stesso mterile e venti lo stesso peso sono equivlenti. ue solidi sono equivlenti se hnno lo stesso volume. Il peso di un orpo è ugule l prodotto del volume per il peso speifio: = p s = p s oihé i solidi hnno lo stesso peso e sono ostituiti dello stesso mterile, e quindi on peso speifio ugule, hnno nhe i volumi uguli e periò sono equivlenti. tilisi se le seguenti ffermzioni sono vere o flse. d In un pirmide non rett l ltezz de sempre fuori dl poligono di se. In un pirmide rett tutte le fe lterli sono tringoli isoseli. In un pirmide rett tutte le fe lterli hnno l medesim ltezz rispetto l lto di se. Un pirmide he h per se un rettngolo generio non può essere rett. d L ltezz di un pirmide non rett, purhé non d nel entro dell ironferenz insritt nel poligono di se, può dere in un punto qulsisi interno o esterno l poligono di se. Le fe lterli di un pirmide sono tringoli isoseli ongruenti solo se il poligono di se è regolre. e l pirmide è rett il poligono di se è irosriviile un ironferenz e gli potemi di se sono tutti uguli perhé rggi del erhio insritto. onsiderndo d esempio l pirmide in figur, i tringoli,, T sono tutti rettngoli in e hnno i teti rispettivmente uguli, quindi nhe le ipotenuse di tli tringoli, T, sono uguli. Il rettngolo generio non è irosriviile un ironferenz, l pirmide non può periò essere rett. T isolvi i seguenti prolemi. Il rpporto fr l superfiie di un se e l superfiie lterle di un prism regolre qudrngolre è e l superfiie totle è 8 44 dm. lol l lunghezz dell ltezz del prism. ' l t l dm = 59 dm l = t = 8 44 dm ' =? 59 dm = 584 dm l = t = 844 dm 584 dm = 7776 dm. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig 6

7 + poliedri Il prism è qudrngolre regolre, quindi l se è un qudrto: = p = 4 7 dm = 88 dm = = 584 dm = 7 dm l 7776 = dm =7 dm p 88 4 L se di un prism retto è un trpezio isosele vente il perimetro lungo 78 e l se minore ugule l lto oliquo e lung 5 ; spendo he il prism è lto, lol l su superfiie totle. lolimo l lunghezz dell se mggiore del trpezio: ' = p = ( ) = = = = 5 = 9 = 5 9 = 44 = = ( + ) ( + 5) = = 88 // // l = p ' = (78 ) = 794 t = l + = ( ) = 70 p = 78 = = = 5 ' = t =? 5 Le superfii lterli di due prismi retti sono equivlenti. Uno dei prismi h per se un tringolo rettngolo on l ipotenus lung 45 e un teto lungo 7, ed è lto 4 ; l ltro prism h per se un qudrto on il lto lungo 9. lol l ltezz del seondo prism. lolimo l lunghezz del teto pplindo il teorem di itgor: = = 45 7 = 96 = 6 Q p = ( ) = 08 M Q M = 45 = 7 = 4 MN = 9 =? N N e le superfii lterli sono equivlenti, hnno l stess estensione: l = p = (08 4) = 5 p MNQ = (9 4) = 6 = l p MNQ 5 = = 4 6. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig 7

8 ezione Geometri solid 6 In un erhio vente l re di 96,50 è insritto un trpezio vente per se mggiore il dimetro e per se minore un ord he dist 4 dl entro del erhio. lol l re e il perimetro del trpezio e l re dell superfiie lterle del prism retto vente per se il trpezio e il ui volume è ugule 040. O K Q = 96,50 O = 4 = 040 =? p =? l =? M N iordimo he in un ironferenz si può insrivere solo un trpezio isosele. O = = 4, 96, 50 = 65 = 5 4, = O O = 5 4 = 49 = 7 = = 7 = 4 lolimo l lunghezz del lto oliquo nel tringolo K, rettngolo in K: 50 K = = = 4 = 8 = K + K = = 900 = 0 p = = ( ) = 4 ( + ) K ( ) 4 = = = 768 Il volume del solido è dto, quindi possimo rivre l su ltezz N: 040 N = = = l = p N = (4 0) = 70 7 L somm di tutti gli spigoli di un prism tringolre regolre è lung 60 e lo spigolo lterle è il doppio dello spigolo di se. lol l superfiie lterle del prism E + + E + E + + = 60 E = l =? Gli spigoli del prism sono: spigoli lterli: E = = spigoli di se: = = = E = = E E E E E. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig 8

9 + poliedri lolimo l somm degli spigoli utilizzndo l rppresentzione grfi: + = prti uguli 60 : = 5 lunghezz di un prte E = 5 spigolo di se E = 5 = 0 spigolo lterle p = 5 = 5 l = p = (5 0) = 50 8 Il volume di un uo di ferro (p s = 7,5) è dto in dm dll rdie dell seguente equzione: 4( + x) + ( x) = (x + 7) + ( x) + lol l lunghezz dello spigolo del uo, l su superfiie totle e il peso del uo. e fondimo il uo di ferro per ottenere tnti prismi qudrngolri regolri lti e on lo spigolo di se lungo,5, qunti prismi ottenimo? Qunto ferro v perso? isolvimo l equzione: 4 + 4x + 9 6x = 6x + + x + x = 6x x x = 45 4x = x = 8 = 8 dm = dm t = 6 = (6 ) dm = 4 dm = p s = (8 7,5) kg = 60 kg lolimo il volume del prism: ' = T UT = (,5 ) = 4,5 lolimo il peso di un prism: ' = ' p s = (4,5 7,5) g = 8,75 g Il peso del uo di ferro è 60 kg he equivlgono g: ( : 8,75) = 6,506 numero di prismi I prismi he possimo ottenere sono 6 he pesno in tutto: 6 8,75 g = 59 90,5 g Il ferro disposizione er g, quindi: g 59 90,5 g = 97,5 g quntità di ferro pers. = 8 dm p s = 7,5 =? t =? =? UT = =,5 ' =? 9 Un prism h il volume di 468. lol il volume dell pirmide vente l stess se e l stess ltezz del prism. prism = 468 pirmide = prism = = e il volume è espresso in dm, il peso, ottenuto moltiplindo il volume per il peso speifio, è espresso in hilogrmmi. iord l orrispondenz: m t dm kg g U T Un prism, vente stess se e stess ltezz di un pirmide, è equivlente l triplo dell pirmide stess. riiole di teori riiole di teori. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig 9

10 ezione Geometri solid 0 Un solido è formto d un prllelepipedo retto se romi ui è sovrppost, on se oinidente, un pirmide rett e pes 6,6 kg. Le digonli del romo sono lunghe 0 e 5, mentre lo spigolo lterle mggiore dell pirmide è lungo 7. etermin l ltezz omplessiv del solido, spendo he esso è ostruito on un mterile on p s =. lolimo il volume del solido: = = 66, dm =, dm = 00 p s 0 5 = = = 5 G L = 6,6 kg = 0 = 5 = 7 p s = =? E Il tringolo è rettngolo in : = = 7 5 = 64 = 8 pirmide = 5 8 = prism = pirmide = = 700 E = prism 700 = = 5 = 600 = + = 8 + = 0 Un solido è formto d un uo sormontto d un pirmide rett vente l se oinidente on un fi del uo. L re di se è di 96 e l ltezz dell pirmide è lung 4. pendo he il solido è in iio (p s = 7,5), lol l superfiie totle e il peso del solido. lolimo l lunghezz dello spigolo di se: = 96 = 6 E G L Il tringolo è rettngolo in ; lolimo l lunghezz dell potem dell pirmide pplindo il teorem di itgor e osservndo he = = 6 = 8 : = + = = 900 = 0 p l pirmide = = = 60 t = 5 + l pirmide = ( ) = 8640 = 96 = 4 p s = 7,5 t =? =? pirmide = 96 4 = = 0 68 uo = = (6 ) = = pirmide + uo = ( ) = = p s = ( ,5) g = g dove il peso è espresso in grmmi perhé il volume è espresso in.. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig 0

11 Tglindo l pirmide on un pino prllelo ll se dell pirmide ottenimo due solidi: un trono di pirmide e un pirmide più piol l ui se MNQ è un poligono simile l poligono di se dell pirmide dt: quindi e MNQ sono qudrti. i dti possimo rivre: K = + poliedri Un pirmide qudrngolre regolre h l ltezz lung 6 e il lto di se lungo 6. onsider l pirmide ottenut sezionndol on un pino prllelo ll se e distnte dl vertie. lol il rpporto tr il volume delle due pirmidi. = 6 = 6 K = L pirmide di se MNQ è simile ll pirmide di se, quindi il rpporto tr i volumi è ugule l uo del rpporto di similitudine; essendo il rpporto di similitudine ugule, imo he il rpporto tr i volumi è. = 8 on quest risoluzione il dto = 6 è superfluo. M Q K N L re dell superfiie totle di un trono di pirmide qudrngolre regolre è 68 e gli spigoli di se sono lunghi rispettivmente e 8. lol il volume del trono di pirmide. = = (8 ) = 64 = EG = ( ) = 4 ll t del trono rivimo l l : l = t = ( ) = 00 t = 68 = 8 E = =? G E p = 4 = (8 4) = p EG = E 4 = ( 4) = 8 ivimo l potem : = l p + p EG = = = K oimo lolre l ltezz K he è ongruente. Il tringolo è rettngolo in, quindi pplihimo il teorem di itgor spendo he = K = 4 = : = = 5 = 6 = 4 ( + + h ) ( ) 4 = = ( ) 4 = =. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig

12 ezione Geometri solid 4 Un solido è ostituito d due pirmidi qudrngolri regolri venti l se in omune e i vertii situti d prti opposte rispetto l pino di se. L prim pirmide è lt 8 e h il volume di 84. pendo he l re dell superfiie lterle dell seond pirmide è 840, lol il volume del solido. = 8 = 84 l = 840 =? lolimo l re di se delle due pirmidi: = 84 = = 04 8 = 04 = 48 p = (48 4) = 9 lolimo l potem dell seond pirmide: l 840 = = = 40 p 9 Il tringolo è rettngolo in ; lolimo l ltezz dell seond pirmide: = = 40 4 = 04 = lolimo il volume dell seond pirmide: = 04 = = = + = ( ) = solidi di rotzione 5 tilisi se le seguenti ffermzioni sono vere o flse. d L re dell superfiie di se di un ilindro può essere mggiore, ugule o minore di quell dell superfiie lterle. Un ilindro equiltero è generto dll rotzione omplet di un qudrto intorno un suo lto. e l ltezz di un ilindro rddoppi, nhe l re delle superfiie lterle rddoppi. Un ilindro equiltero è generto dll rotzione omplet intorno l lto mggiore di un rettngolo vente un dimensione doppi dell ltr. d L superfiie di se di un ilindro dipende solo dll lunghezz del rggio, mentre l superfiie lterle dipende d rggio e ltezz. rindo l ltezz e tenendo fisso il rggio, possimo rendere l superfiie lterle grnde o piol piere. Un ilindro è equiltero se il dimetro di se è ugule ll ltezz, mentre se un qudrto ruot ttorno un suo lto si ottiene un ilindro in ui l ltezz è ugule l rggio ed è quindi l metà di un dimetro. L superfiie lterle e l ltezz sono direttmente proporzionli. Un ilindro equiltero h l ltezz ugule l dimetro di se, quindi l ltezz è il doppio del rggio di se he è l dimensione minore del rettngolo.. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig

13 + solidi di rotzione e f g h i l m L ltezz di un trono di ono è sempre minore dell potem. L potem di un trono di ono non può essere minore del più piolo dei rggi di se. ue oni venti l stess ltezz e lo stesso rggio di se sono ongruenti. ue oni he hnno le superfii di se e lterle rispettivmente equivlenti sono ongruenti. L intersezione fr un pino e un sfer senti è sempre un erhio. e il pino he interse un sfer pss per il suo entro, l intersezione è il erhio mssimo dell sfer. e un pino è sente un sfer, il pino si trov un distnz dl entro minore del rggio. e f g h i l m Un trono di ono si ottiene dll rotzione di un trpezio rettngolo ttorno l lto perpendiolre lle si: l potem è ugule l lto oliquo del trpezio he è mggiore dell ltezz. > I due rggi di se del trono sono le due si del trpezio rettngolo he lo gener, mentre l potem del trono oinide on il lto oliquo del trpezio. M in un trpezio possimo prendere l se minore grnde piere, lsindo invrito il lto oliquo. < e due oni hnno l stess ltezz e lo stesso rggio di se sono generti dll rotzione di due tringoli rettngoli on i teti uguli e he sono, quindi, uguli per il primo riterio di ongruenz dei tringoli. e le si sono equivlenti hnno lo stesso rggio e quindi l stess ironferenz di se; se le superfii lterli sono equivlenti, vendo l stess ironferenz di se hnno nhe uguli gli potemi, periò i due oni sono ongruenti. ezionndo un sfer on un pino si ottiene un erhio he h per entro il piede dell distnz tr il entro dell sfer e il pino. L distnz tr il entro dell sfer e il pino è null e quindi il rggio dell sfer oinide on il rggio dell sezione. Ovvimente questo è il erhio mssimo, perhé un sfer non può ontenere un erhio on un rggio mggiore di quello dell sfer. Il rggio dell sezione e l distnz del pino dl entro dell sfer sono i teti di un tringolo rettngolo l ui ipo- M tenus è il rggio dell sfer e O < OM O un teto è sempre minore dell ipotenus.. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig

14 ezione Geometri solid isolvi i seguenti prolemi. 6 L superfiie totle di un ilindro è di 8π. pendo he ogni se è dell superfiie 6 lterle, lol l lunghezz dell ltezz del ilindro. l t = 8π = 6 l =? O t = O = 8 8 π π = 6π 6π = = π 4 l = (6π 6) = 96π = l 96π = = π O π 4 7 L superfiie totle di un ilindro è 40π e l su ironferenz di se è π. lol il volume del ilindro. O = π = = 6 π π t = 40π = π =? O = O π = (6 π) = 6π l = t = (40π 6π) = 68π = l 68π = = 4 π O π 6 = = (6π 4) = 504π 8 etermin l superfiie totle di un ilindro equiltero equivlente i 57 di un uo l ui re 5 dell superfiie totle è 400. t uo = 6l l = l = = = 400 = 0 uo = l = (0 ) = ilindro = 8000 = Il ilindro equiltero h il dimetro di se ugule ll ltezz: = πr r = π r = N = = 8000 = 0 4, t = 6πr = (6π 0 ) = 400π t 6 M Q N t uo = 400 ilindro = 57 5 uo t ilindro =?. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig 4

15 + solidi di rotzione 9 Un solido è ostituito d un uo on lo spigolo lungo 5 in ui è prtito un foro ilindrio. Il rggio di se del foro è i dello spigolo del uo. etermin l re dell superfiie del solido 5 e il suo volume. lolimo l lunghezz del rggio del foro: = 5 = 0 5 = = = 5 = 5 = 5 t =? =? t = t uo ilindro + l ilindro t uo = 6 = (6 5 ) = 750 ilindro = π = (,4 0 ) = 4 l ilindro = π = (,4 0 5) = 570 t = ( ) = 469 = uo ilindro uo = = (5 ) = 565 ilindro = π = (,4 0 5) = 7850 = ( ) = Un orpo, qundo viene ompletmente immerso in un ontenitore ilindrio on il dimetro lungo 6, innlz il livello dell qu in esso ontenut di 40. etermin il volume del orpo immerso i. = 6 = 40 i iord he un orpo immerso nell qu spost un quntità di qu pri l suo volume. e l qu ontenut nel ilindro si innlz d, il volume del ilindro d qu di dimetro e ltezz è ugule l volume del orpo immerso. = π = 4 6, , 4 = L re dell superfiie lterle di un ono super quell di se di 80π. pendo he l re dell superfiie totle è 59π, lol il volume del ono. t = l + l = + 80π t = 59π =? 59π = + 80π + i trtt di un equzione in ui l inognit è ; risolvimol: (59π 80π) = 5π = 5π = = 56π ivimo il rggio : = 56π = = 56 = 6 π π l = + 80π = (56π + 80π) = 6π. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig 5

16 ezione Geometri solid lolimo l potem del ono: = l 6π = = π π 6 lolimo l ltezz del ono pplindo il teorem di itgor l tringolo rettngolo in : = = 6 = 85 =, 60 = π r h = π, 60 = 999, π lol il rpporto tr l re dell superfiie di un sfer e l re dell superfiie totle di un ilindro equiltero, spendo he il rggio dell sfer è ugule l rggio di se del ilindro. O M OM = = r sfer =? t ilindro = = r Il prolem non fornise l lunghezz del rggio, quindi indihimo on r il rggio dell sfer e del ilindro. iordimo he in un ilindro equiltero il dimetro di se è ugule ll ltezz: OM = r = r = r sfer = 4πr t ilindro = 6πr sfer t ilindro 4πr = = 6πr L re dell superfiie di un sfer è 676π. etermin l distnz he deve vere un pino dl entro dell sfer perhé il erhio sezione i l re di 5π. O sfer = 676π erhio = 5π O =? lolimo il rggio dell sfer: O = sfer 676π = = 69 = 4π 4π lolimo il rggio del erhio sezione: erhio 5π = = = 5 = 5 π π Il tringolo O è rettngolo in ; pplihimo il teorem di itgor per lolre O: O = O = 5 = 44 = 4 Un trpezio rettngolo h l se mggiore, l se minore e l ltezz lunghe rispettivmente 5, 0 e. lol l re del trpezio, il volume del solido ottenuto dll rotzione omplet del trpezio ttorno ll rett sostegno dell se mggiore e il peso del solido, spendo he è di vetro (p s =,6). = 5 = 0 = p s =,6 =? =? =? ' '. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig 6

17 + solidi di rotzione ( + ) ( 5 + 0) = = = 6, 5 endo ruotre il trpezio ttorno ll se mggiore si ottiene un solido ostituito d un ilindro e d un ono sovrpposti e venti l se oinidente. = ilindro + ono ilindro = π = (π 0) = 690π π π ( ) π ( 5 0) ono = = = = 87, π = (690π + 8,7π) = 97,7π = p s = (97,7,4,6) g = 6096,95 g Il peso è espresso in grmmi perhé il volume è espresso in. 5 Un tringolo rettngolo h i teti lunghi rispettivmente 4,5 e 6. lol l re e il volume del solido he si ottiene fendogli ompiere un rotzione omplet ttorno ll ipotenus. endo ruotre il tringolo ttorno ll ipotenus si ottiene un solido formto d due oni sovrpposti on le si oinidenti, he indihimo on e. = l + l = + Osservndo l figur si può rilevre he: = potem del ono = potem del ono = rggio di se dei due oni = ltezz del ono = ltezz del ono ˆ = 90 = 4,5 = 6 =? =? ono ono pplihimo il teorem di itgor l tringolo per rivre l ipotenus: = + = ( 45, ) + 6 = 565, = 75, lolimo l ltezz reltiv ll ipotenus: 45, 6 = = = 6, 75, pplihimo il primo teorem di Eulide l tringolo : : = : e : = : : 4,5 = 4,5 : 7,5 : 6 = 6 : 7,5 45, 45, 66 = = 7, = = 48, 75, 75, l = π = (π,6 4,5) = 6,π l = π = (π,6 6) =,6π = (6,π +,6π) = 7,8π π π = = 6, 7, =, 664π π π = = 6, 48, = 0, 76π = (,664π + 0,76π) =,4π. lvi - G. nzer - 00 ELI - L pig 7