Elettromagnetismo. Applicazioni della legge di Gauss. Lezione n Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano

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1 lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa Univesità degli Stdi di Milano Lezione n Applicazioni della legge di Gass Anno Accademico 5/6

2 Campo di n gscio sfeico cavo Abbiamo già calcolato mediante n calcolo dietto il campo elettico all'inteno di n gscio sfeico di caica Q e aggio ( ) La legge di Gass pemette di calcolae in modo molto semplice il campo elettico sia all'inteno che all'esteno del gscio Tttavia è indispensabile tilizzae agomenti di simmetia pe stabilie: La diezione del campo elettico Popietà del modlo del campo elettico Nel poblema in esame affemiamo che sia all'inteno che all'esteno del gscio il campo elettico deve essee dietto lngo n aggio Qalsiasi alta diezione violeebbe l'isotopia dello spazio La distibzione di caica in esame ha na simmetia sfeica Inolte ha lo stesso modlo s ttti i pnti che giacciono s na sfea di aggio concentica con il gscio sfeico ( ) lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa 96

3 Campo di n gscio sfeico cavo Consideiamo a qesto pnto na speficie sfeica di aggio < (intena al gscio) Il flsso del campo elettico è La legge di Gass ci dice che Non c'è caica all'inteno della speficie sfeica Petanto concldiamo che ( ) π 4 Consideiamo a qesto pnto na speficie sfeica di aggio > Abbiamo la stessa espessione pe il flsso All'inteno della speficie c'è la caica totale del gscio Q Otteniamo ( ) 4π Φ Φq/ Notiamo che è gale al campo di na caica pntifome Q nell'oigine ( ) ( ) 4π Φ ( ) < Q Q > 4π ( ) ( ) lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa 97

4 Ancoa sl gscio sfeico cavo Possiamo tilizzae l'esempio del gscio sfeico cavo pe appofondie lteiomente Le implicazioni della dipendenza del campo da / Il concetto di angolo solido Pe definizione n angolo solido sottende, a distanza, na speficie ds dω La speficie slla sfea di aggio Consideiamo adesso n gscio sfeico cavo e n pnto abitaio P al so inteno La speficie del gscio pò essee sddivisa in tante coppie costite mediante coni con la stessa apeta Sottolineiamo che il pnto P non è il cento della sfea Le de spefici individate slla sfea siano ds eds Le distanze da P siano e ispettivamente Dimostiamo adesso che i campi elettici geneati dai de elementi di caica si elidono videntemente pntano in diezioni opposte ds P ds dω ds lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa 98

5 Ancoa sl gscio sfeico cavo Dobbiamo petanto dimostae che hanno lo stesso modlo I de campi sono geneati da caiche diffeenti poste a distanze diffeenti da P Le caiche dei de elementi sono ds P dq ds dq ds Vogliamo dimostae che Consideiamo la poiezione della sfea dq dq Le de spefici ds e ds sono entambe nomali ai aggi che oiginano dal cento del gscio C Tacciamo de elementi di speficie sfeiche ds centate sl pnto P: ds' eds' Sono pependicolai alla coda AB, asse dei de coni Pe la definizione di angolo solido ds dω ds dω Inolte il tiangolo ABC è isoscele Gli angoli alla base sono gali CAB ˆ CBA ˆ β ds A ds P C ds ds B lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa 99

6 Ancoa sl gscio sfeico cavo Dato che gli angoli alla base sono gali abbiamo ds ds cos β ds ds cos β iepiloghiamo le alte elazioni tovate dq ds Abbiamo petanto dq ds dq ds ds ds dq ds ds dω ds dω cos cos Calcoliamo il appoto dei modli dei campi elettici dq k dq k β β ds dω ds dω Petanto i de campi hanno lo stesso modlo e diezione opposta La somma è nlla dq dq + ds A ds P C ds ds B lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa

7 Campo di na sfea di caica Consideiamo adesso il campo elettico geneato da na sfea di caica La caica totale è Q, il aggio è La sfea ha na densità di caica nifome ρ Q π ρ ( ) ρ < > ( ) Osseviamo che anche qesto poblema ha na simmetia sfeica Il campo è sempe adiale ispetto al cento della sfea Il modlo del campo ad na distanza è costante Consideiamo na speficie sfeica di aggio>, estena alla sfea caica È la stessa condizione dell'esempio pecedente La caica dento la sfea è Q Abbiamo petanto Q > 4π ( ) Anche in qesto caso è lo stesso campo di na caica pntifome Q posta nell'oigine lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa

8 Campo di na sfea di caica Consideiamo adesso na sfea di aggio <, intena alla sfea caica La caica all'inteno della sfea non è nlla Inolte è solo na pate della caica totale Q La caica all'inteno della sfea è Applichiamo la legge di Gass icaviamo () ( ) q ( ) 4π Φ 4 3 ρ π Q 3 q Q 3 Q Q 3 4π 4 π Q 4π ( ) 4π ( ) Q lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa

9 qilibio in campo elettostatico La legge di Gass pemette anche di tae n'impotante conclsione igado la possibilità di costie n campo elettostatico che abbia na posizione di eqilibio stabile in n pnto dove non ci sono caiche elettiche È essenziale la pecisazione " dove non ci sono caiche elettiche" Una posizione di eqilibio stabile implica che la foza s na caica sia nlla Qesto è possibile Deve anche esseci na "foza di ichiamo" pe spostamenti abitai In ttte le diezioni possibili Pe na caica positiva significa che nell'intono di na posizione di eqilibio stabile il campo elettico pnta sempe veso il pnto di eqilibio In ttte le diezioni nello spazio tidimensionale Pe na caica negativa si invete il veso del campo Possiamo alloa calcolae il flsso attaveso na speficie Il flsso saebbe diveso da zeo Nella posizione di eqilibio ci saebbe na caica q q q d d Φ d a Petanto la legge di Gass implica che non ci possano essee posizioni di eqilibio stabile dove non ci sono caiche elettiche fisse lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa 3

10 Discontinità del campo elettico Il campo elettico è discontino qando si attavesa na speficie con densità di caica Abbiamo visto de esempi ˆz Un piano infinito Q 4π Un gscio sfeico cavo All'inteno Slla speficie In entambi i casi la vaiazione della componente nomale è ˆz Q ˆ ˆ 4π La componente tangenziale è la stessa da entambe le pati della speficie caica Si tatta di popietà geneali Non limitate agli esempi tattati o alla densità nifome lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa 4

11 Discontinità del campo elettico saminiamo in maggioe dettaglio qesto ltimo pnto Consideiamo n piano di caica molto sottile Non necessaiamente nifome saminiamolo in maggioe dettaglio localmente Consideiamo la cicitazione di nella linea chisa indicata d s Non è detto che il campo sia pependicolae al piano Le lnghezze delle linee veticali sono tascabili ispetto a qelle oizzontali Le linee oizzontali sono vicinissime al piano e a esso paallele ds ds d s d s + d s Otteniamo petanto ds ds ( ) ds La componente di tangente alla speficie è contina lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa 5

12 Discontinità del campo elettico Stdiamo adesso la componente nomale In qesto caso tilizziamo la legge di Gass Usiamo n cilindetto con le facce paallele al piano La speficie lateale è tascabile Il contibto impotante al flsso è solo qello delle de facce paallele al piano Non è detto che il campo sia pependicolae al piano q d a a a a Otteniamo petanto da da da La caica all'inteno del cilindo è d d + d ( ) da da da da La componente nomale di ha na discontinità popozionale a qda da da lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa 6

13 Foza s no stato di caica Consideiamo il gscio di caica sfeico che abbiamo già analizzato Il aggio è, la caica totale Q Q La densità speficiale di caica Il campo elettico all'inteno è nllo 4π All'esteno il campo elettico è dato da 4π ( ) Petanto il campo slla speficie è 4π ( ) Q Q Notiamo che si applicano le condizioni di discontinità del campo che avevamo tovato pecedentemente Ci chiediamo adesso qale foza si esecita s n elemento di caica della speficie Un elemento di speficie infinitesimo dqda da lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa 7

14 Foza s no stato di caica La foza sll'elemento di caica da deiva dall'inteazione fa la caica dq e il campo geneato da ttte le alte caiche Le caiche dell'elemento da esecitano foze slle caiche dell'elemento stesso ma la loo isltante è nlla Consegenza della teza legge di Newton Sddividiamo il campo elettico nel pnto occpato dall'elemento da in de contibti + s da Il campo elettico s geneato dalla sfea meno il piccolo elemento da Il campo elettico da geneato dall'elemento da Sappiamo inolte che n elemento cicolae di caica genea n campo sll'asse Petanto ttte le alte caiche della sfea devono geneae n campo tale che la somma sia qella indicata da da ± s + s lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa 8

15 Foza s no stato di caica Petanto la foza che viene esecitata sll'elemento da è df dq s da s La foza pe nità di speficie df da s da Sostitendo il valoe tovato pe s df da La foza pe nità di spefice è chiamata anche pessione elettostatica p lettomagnetismo Pof. Fancesco agsa 9