II.d. Approssimazioni decimali

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1 Approssimazioni decimali II.d L uso dei decimali nella vita quotidiana è collegato alle necessità di approssimazione. Il grado di approssimazione che si sceglie comporta la capacità di valutare quale precisione è richiesta dalle varie situazioni e dai vari problemi concreti. Nei libri scientifici compaiono spesso frazioni come 7/5 o 3/7, e numeri come 2 o, ecc. Ma, nella pratica, i numeri che effettivamente usiamo nei calcoli sono i decimali limitati; e decimali limitati sono i soli numeri che ci vengono forniti dalle calcolatrici tascabili e anche da molti software matematici. In altre parole, la nostra mente, quando ci occupiamo di matematica, spazia in orizzonti molto vasti e conosce numeri con infinite cifre dopo la virgola e, fra questi, anche gli irrazionali; ma, quando dobbiamo fare i conti, intervengono quasi sempre numeri decimali limitati, e anzi raramente compaiono più di 3 o 4 cifre dopo la virgola. I numeri che richiedono scritture più complicate vengono approssimati. Vediamo, in primo luogo, come si ottengono le approssimazioni decimali dei numeri razionali. Ci sono numeri razionali per i quali il passaggio dalla scrittura sotto forma di frazione a quella di numero decimale limitato non presenta problemi. Sono le frazioni decimali, cioè quelle che hanno come denominatore una potenza di 10. Così 3/10 si può scrivere 0,3, mentre 321/10 2 si scrive 3,21 e così via. Come sappiamo, l esponente del denominatore stabilisce il numero delle cifre dopo la virgola. 41 Quando facciamo i conti usiamo quasi sempre decimali limitati approssimati

2 Come abbiamo visto nei paragrafi precedenti, ci sono però altri numeri razionali che non possono essere scritti come frazioni con denominatore una potenza di 10. Basta pensare a 4/3, 3/7, 25/22. Eppure noi scriviamo frequentemente anche questi come numeri con virgola. Per distinguerli dai precedenti, usiamo i puntini: 4/3 = 1,333 e diciamo che si tratta di numeri decimali illimitati periodici. Il periodo di un numero può essere lungo e, spesso, poco intere s- sante per noi. Consideriamo ad esempio 3/7 (il cui periodo decimale è formato da 6 cifre). Eseguendo la divisione, otteniamo 0 come parte intera e come prime cifre dopo la virgola 4 e 2. Se ci serve una perc e n t u a l e, diciamo che i 3/7 di qualcosa sono il 42% di quella cosa. In realtà stiamo trattando 3/7 come se fosse un numero decimale limitato, mentre non lo è, ma il fatto non ci preoccupa purché ne siamo consapevoli e scegliamo u n a p p rossimazione decimale adeguata al problema che ci intere s s a. Nelle conversioni fra lire ed euro si commettono inevitabilmente piccoli errori di arrotondamento. Ricordiamo che 1 euro equivale a L. 1936,27. Allora, se un oggetto costa L. 7500, il suo prezzo in euro diviene 7500 : 1936,27 = 3, , che viene arrotondato a 3,87. L errore che abbiamo commesso è di 0, euro, meno di 7 lire. L errore sembra del tutto trascurabile, ma la situazione non è sempre così semplice. Ad esempio, fin dall inizio del 1999 il valore delle quote di fondi di investimento viene espresso in euro con tre cifre decimali, anche se non esiste la moneta da un millesimo di euro. Vediamo perché. Supponiamo che Tizio abbia investito 10 milioni di lire in un fondo, e che il valore di una quota di quel fondo vari da 7,581 a 7,584 euro. La differenza è di 3 millesimi di euro, poco più di L. 5; ma, questa volta, quelle 5 lire hanno un loro peso: il valore globale dell investimento di Tizio è aumentato di L circa. Non è un grosso cambiamento se rapportato ai 10 milioni in gioco, ma non si buttano via 4000 lire (o 2 euro)! Per un esempio più tecnico che coinvolge l euro, citiamo il DL 213 del 24 giugno 98 pubblicato sulla Gazzetta Ufficiale del 7 gennaio 99 (suppl.): il numero delle cifre decimali da considerare quando si passa da lire ad euro viene fissato a seconda dell ordine di grandezza del valore in questione 1. 1 Il Decreto citato stabilisce che, quando occorre convertire in euro un importo in lire, «l importo convertito va utilizzato con almeno a) cinque cifre decimali per gli importi originariamente espressi in unità di lire; b) quattro cifre decimali per gli importi originariamente espressi in decine di lire; c) tre cifre decimali per gli importi originariamente espressi in centinaia di lire; d) due cifre decimali per gli importi originariamente espressi in migliaia di lire». 42

3 Quando scegliamo un approssimazione e scriviamo solo un numero finito di cifre al posto di un numero decimale illimitato periodico, commettiamo un errore. Per esem- Un errore intenzionale sta pio, prendendo 0,42 ovvero 42/100 al posto di 3/7 alla base della commettiamo un errore minore di 1/100 perché approssimazione 3:7 = 0,428 : si dice che la nostra approssimazione è a meno di un centesimo, o a meno di 1/100. Se questo errore ci sembra troppo grande, possiamo renderlo più piccolo considerando 0,428 ovvero 428/1000 al posto di 3/7. Ora l errore è minore di 1/1000. L approssimazione decimale per difetto a meno di 1/100 di un numero razionale a/b è il numero decimale limitato x con non più di 2 cifre dopo la virgola, che è minore di a/b e differisce da a/b per meno di 1/100. Se consideriamo x al posto di a/b, commettiamo un errore minore di un centesimo. Le definizioni di approssimazione decimale per difetto a meno di 1/1000, o a meno di 1/10 000, ecc. sono del tutto analoghe. Supponiamo ad esempio di voler approssimare 11/6 per difetto con un numero decimale con al più 3 cifre dopo la virgola, in modo che la differenza fra i due numeri sia minore di 1/1000. Basta dividere 11 per 6, continuando fino alla terza cifra dopo la virgola. Otteniamo così il numero decimale 1,833. Se invece x è maggiore di a/b e ne differisce per meno di 1/100 (o per meno di 1/1000, ecc.), allora x è una approssimazione decimale per eccesso di a/b a meno di un centesimo (o di un millesimo, ecc.). Nell esempio precedente il numero 1,834 è l approssimazione decimale per eccesso di 11/6 a meno di un millesimo, ottenuta aggiungendo 1/1000 all approssimazione per difetto. Vediamo altri esempi. 49/120 = 0,4083 Pertanto, le approssimazioni a meno di un centesimo di 49/120 per difetto e per eccesso sono rispettivamente 0,40 e 0,41. 35/16 = 2,1875. Pertanto, le approssimazioni a meno di un decimo di 35/16 per difetto e per eccesso sono rispettivamente 2,1 e 2,2. Si noti che 35/16 è una frazione decimale, ma anche in questo caso non è sempre vantaggioso scrivere tutte le cifre decimali. 2 = 1,4142 Pe rtanto, le approssimazioni a meno di un millesimo di 2 per difetto e per eccesso sono rispettivamente 1,414 e 43

4 1,415. Questa volta, il numero da approssimare non era una frazione, ma un numero irrazionale. Aggiungiamo che l approssimazione per difetto a meno di 1/10 r è detta anche approssimazione per troncamento, perché si tronca la scrittura del numero dopo r cifre decimali. La scelta fra un approssimazione per difetto e una per eccesso dipende spesso dalla cifra che segue l ultima cifra considerata: se tale cifra è minore di 5, approssimando per difetto si commette un errore in valore assoluto più piccolo di quello che si commetterebbe approssimando per eccesso; il contrario avviene se è maggiore di 5. Quando si approssima tenendo conto di questa avvertenza, si usa dire che si effettua una ap - prossimazione per arrotondamento. Esempi di approssimazioni a meno di un centesimo, cioè di 1/100: per difetto per eccesso per arrotondamento 1/3 = 0,333 0,33 0,34 0,33 10/7 = 1,428 1,42 1,43 1,43 11/16 = 0,6875 0,68 0,69 0,69 Se poi dobbiamo approssimare 11/16 = 0,6875 per arrotondamento a meno di un millesimo, allora è opportuno fissare una convenzione per scegliere fra due possibilità ugualmente valide (0,687 ovvero 0,688). Si noti che l approssimazione intera per arrotondamento di un numero a equivale all approssimazione intera per difetto di a + 0,5; analogamente, l approssimazione per arrotondamento di a a meno di un decimo equivale all approssimazione per difetto di a + 0,05 a meno di un decimo; ecc. Concludiamo il paragrafo con una raccomandazione di carattere didattico. Specie nelle ultime conto del grado Occorre rendersi classi è bene che gli alunni, quando risolvono un di precisione problema concreto, si rendano conto del grado di richiesto dal p re c i s i o n e richiesto dal contesto. Ad esempio, contesto quando si determina la distanza fra due città è ragionevole cercare un valore approssimato a meno di un chilometro 2, 2 Si scrive «chilometro» oppure «kilometro»? I più autorevoli vocabolari della lingua italiana preferiscono la grafia «chilometro», ritenendo che il prefisso «kilo» sia una dizione straniera (inglese, francese, ecc.). Tuttavia, la Gazzetta Ufficiale riporta «kilogrammo» come nome dell unità di massa legale. In questa situazione, riteniamo che ogni insegnante possa usare e suggerire la forma che preferisce. 44

5 mentre nel caso interessi la lunghezza di un percorso all interno della scuola può aver senso un approssimazione a meno di un metro (ma non a meno di un centimetro!). In un ottica analoga, va sviluppata la capacità di eseguire stime (di lunghezze, aree, pesi, ). Qualche volta la virgola serve anche per indicare numeri interi! Vediamo perché. È stato calcolato che la lunghezza dell orbita della Terra, cioè la distanza percorsa dalla Terra in un anno intorno al Sole, è uguale a circa km. Le ultime cifre nel numero precedente si pongono uguali a 0 solo per comodità: una maggiore precisione sarebbe difficile da ottenere e comunque in pratica scarsamente indicativa. Non solo, ma, fatto ancor più importante, cercare il valore esatto non avrebbe senso nemmeno sul piano teorico: a quale punto della Terra ci riferiamo? e siamo sicuri che quel punto, dopo un anno, torni esattamente nella posizione di partenza? Così, per esprimere le misure di molte grandezze fisiche ci si limita alle cifre significative, cioè alle cifre che forniscono una valutazione ragionevole della misura in esame. Se però scriviamo, ad esempio superficie della Terra km 2 anno luce km massa della Terra kg le lunghe sequenze di zeri rendono difficile la lettura. Si preferisce allora ricorrere alla cosiddetta notazione esponenziale, che si ottiene introducendo le potenze di 10. Ogni numero, cioè, viene scritto nella forma a 10 n, dove a è un numero decimale compreso fra 1 e 10 ed n è un numero naturale. I numeri precedenti diventano: superficie della Terra 5, km 2 anno luce 9, km massa della Terra 5, kg Si noti che queste ultime scritture sono più brevi e permettono di valutare rapidamente l ordine di grandezza del numero scritto, proprio perché a è sempre compreso fra 1 e 10. Una notazione analoga è usata anche per indicare numeri positivi molto piccoli: in questo caso si adoperano le potenze di 10 con esponente intero negativo (si ricordi che, ad esempio, 10 3 = 1 : 10 3 = 0,001). Così, il peso di un atomo di idrogeno viene indicato con la notazione 1, g, indubbiamente più chiara di 0, g. 45