Risk Italia. Sondaggio esclusivo I migliori operatori in derivati sul mercato italiano

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1 MAGGIO 23 Risk Italia CURRENCIES INTEREST RATES EQUITIES COMMODITIES CREDIT Sondaggio eslusivo I migliori oeratori in derivati sul merato italiano L'esordio di Cofiri nel settore dell'investment banking italiano Bana Intesa affronta le sfide del rishio oerativo I governi euroei e la oertura del debito ubblio Tavola rotonda: il futuro delle artolarizzazioni La risosta di BNL alla risi argentina La vulnerabilità della oula Il alolo delle erdite di ortafoglio

2 Rishio di ontroarte l Arofondimenti Coule e derivati vulnerabili Umberto Cherubini ed Elisa Luiano muovono dalla onsiderazione he i modelli esistenti di valutazione dei derivati soggetti a rishio di ontroarte non atturano on suffiiente flessibilitá i legami tra valore di merato e rishio di fallimento della ontroarte stessa. Utilizzano le funzioni oula er ovviare a tale inonveniente, a livello sia di riing sia di oertura. Il aso di risi finanziaria e banarotta di Enron, l imresa del merato dell energia fortemente oinvolta nella negoziazione di ower derivative, ha ortato l attenzione sul rishio di ontroarte nelle transazioni in rodotti derivati, ed in artiolare sulla tematia delle orrelazioni tra l esosizione in derivati ed il business riniale della ontroarte. È oortuno aquistare ozioni sritte su un attività sottostante da ontroarti he, strutturalmente, detengono in essa una forte esosizione? Sì da un lato, erhè onosono il business meglio di altri, no dall altro, erhè la loro esosizione verso il merato del sottostante otrebbe imedire loro di ademiere all obbligazione ontratta in derivati. Per esemio, l aquisto di un ozione ut su un derivato sull energia da una ontroarte la ui roduzione otrebbe essere severamente omromessa da una diminuizione dei rezzi dell elettriità lasia la osizione lunga del ontratto esosta al rishio di fallimento della ontroarte. La osizione lunga origina erdite al diminuire dei rezzi dell elettriità, rorio l evento verso il quale, inizialmente, i si voleva roteggere. Per lo stesso motivo, l aquisto di rotezione in aso di default di un obbligazione Argentina da una bana Argentina otrebbe non essere la maniera migliore er ridurre il rishio di redito! La valutazione dei derivati vulnerabili, ovvero dei derivati esosti al rishio di fallimento della ontroarte, è stata oggetto di una vasta letteratura. Quest ultima si è foalizzata su seifii aroi di valutazione. Sesso ad esemio si utilizza un modello à la Blak e Sholes er l attività sottostante e un modello in forma strutturale o ridotta er la robabilità di fallimento della ontroarte. Per quanto riguarda la modellizzazione dell attività sottostante, è noto he le tenihe di valutazione delle ozioni attualmente utilizzate sono ben iù omlesse delle lassihe formule di Blak e Sholes: esse tentano di tenere in onto gli effetti non solo dello smile e della struttura a termine della volatilità, ma anhe della liquidità di merato. Quest ultimo roblema è artiolarmente rilevante nelle transazioni he avvengono su merati over-the-ounter (OTC), ed è rorio er queste he il rishio di ontroarte è rilevante. Per quanto onerne il rishio di redito, è noto he i modelli utilizzati nelle banhe sono molto iù artiolati degli aroi strutturali ed in forma ridotta disonibili in letteratura. Di onseguenza, i modelli di valutazione er i derivati vulnerabili sono di solito basati su iotesi semlifiate, ed i rezzi non ossono essere direttamente onfrontati on quelli dei derivati sulla stessa attività non soggetti al rishio di default. Ciò he sarebbe utile è un modello di valutazione er i derivati vulnerabili, in grado di integrare i modelli di riing sofistiati utilizzati er derivati rivi di rishio di default on i modelli sul rishio di redito, utilizzati dal risk management della bana nel suo omlesso. In questo lavoro dimostriamo he un modello basato sulle oule, l ultima tendenza in finanza, è in grado di svolgere questo ruolo. Il modello usa le oule er aoiare i modelli di asset riing e quelli di rishio di redito. La valutazione dei derivati vulnerabili è di er se un roblema bivariato, in quanto il ayoff diende dal fatto he l ozione termini in-the-money e l emittente sia soravvissuto fino alla data d eserizio. Quello he è rilevante ai fini della valutazione è la robabilità ongiunta di questi due eventi, ed è noto he le oule offrono uno strumento estremamente flessibile er raresentarla. Sulla base di questa idea, mostreremo ome si ottiene un riing kernel vulnerabile, he uò essere usato er rezzare derivati vulnerabili esattamente ome si fa er i derivati rivi di rishio di default. Il modello qui resentato è ostruito sotto l iotesi he i merati siano omleti, sebbene Cherubini e Luiano (21, 22) resentino risultati analoghi er il aso di merati inomleti. Cosa sono le Coule Una oula è semliemente un modo er raresentare robabilità ongiunte, in artiolare funzioni di riartizione ongiunte, attraverso le orrisondenti funzioni marginali. Date due variabili aleatorie X e Y, si denoti on F(x, y) la loro funzione di riartizione ongiunta, F(x, y) = Pr (X x, Y y), e on 1 Q(x) e 1 G(y) le marginali orrisondenti. Esiste semre una oula C ~ (1 Q, 1 G) tale he, al osto di F(x, y), si uò srivere C ~ (1 Q(x), 1 G(y)). Analogamente, se si desidera la funzione di soravvivenza ongiunta, F _ (x, y) = Pr(X > x, Y > y), esiste semre una oula C he ermette di sriverla in termini delle funzioni di soravvivenza marginali: F _ (x, y) = C(Q(x), G(y)) (er una dimostrazione, e er una disussione delle rorietà fondamentali delle oule, si veda Nelsen (1999). Diversamente da quanto aade er la funzione F, la oula C raresenta uniamente la diendenza: il omortamento marginale è omletamente desritto dalle funzioni univariate Q e G. Le oule devono restare tra i limiti di Fréhet C = max(q + G 1, ) la osiddetta oula minima, e C + = min(q, G), la osiddetta oula massima, he orrisondono risettivamente alla erfetta diendenza (non lineare) negativa e ositiva. Inoltre, X e Y sono indiendenti se e solo se la loro oula è la osiddetta oula rodotto, C = QG. Riordiamo alune rorietà molto semlii delle oule, he verranno utilizzate in seguito er affrontare i roblemi di valutazione delle ozioni. Sia C(Q, G) = C HH (Q, G) una oula, he ostituise er Q = Q(x) e G = G(y) la robabilità di soravvivenza di X e Y oltre x e y ioè la robabilità he X e Y eedano risettivamente x ed y. Allora le funzioni C HL (Q, 1 G) = Q C HH (Q, G), C LH (1 Q, G) = G C HH (Q, G) e C LL (1 Q, 1 G) = 1 Q G + C HH (Q, G) sono anh esse oule. Per Q = Q(x), G = G(y), esse raresentano, risettivamente, Pr(X x, Y < y), Pr(X < x, Y y), Pr(X < x, Y < y). Useremo questo risultato nel modo seguente: se C HH (Q,G) india la robabilità he un ozione termini in- the-money e la ontroarte soravviva, allora C HL (Q, 1 G) = Q C HH (Q,G) india la robabilità he un ozione termini in-the-money e la ontroarte fallisa. Nel seguito, er semliità, iotizzeremo semre he X e Y siano numeri aleatori ontinui. Ozioni digitali vulnerabili Utilizzando le rorietà fondamentali sora riortate, ossiamo agevolmente determinare il riing kernel vulnerabile. Saiamo he in un mondo nel quale non vi è rishio di fallimento il riing kernel è raresentato da un ozione digitale, he a sua volta è il limite di uno sread vertiale. Infatti uno sread vertiale rialzista onverge al limite ad un ozione digitale all (o rialzista), he aga un ammontare refissato qui normalizzato ad uno se e solo se il sottostante si trova al di sora dello strike a sadenza. Analogamente, MAGGIO 23 RIS ITALIA 39

3 Arofondimenti l Rishio di ontroarte 1. Rishio di ontroarte delle all digitali Moneyness = 1. Moneyness = 1.2 Moneyness = 15 uno sread vertiale ribassista onverge al limite ad un ozione digitale ut (o ribassista), he aga un ammontare unitario se e solo se il sottostante si trova al di sotto o in orrisondenza dello strike a sadenza. Noto il valore delle ozioni digitali è dunque ossibile alolare il valore di un ozione all euroea integrando l ozione digitale rialzista tra lo strike e il massimo valore assunto dal sottostante; allo stesso modo, l ozione ut uò essere valutata integrando l ozione ut digitale tra zero e lo strike. La stessa idea uò essere aliata ai derivati vulnerabili, doo aver individuato un modo er determinare il riing kernel he tenga onto dell evento di default : ertanto, iniziamo ad esaminare le ozioni digitali vulnerabili. Tali ozioni agano una somma unitaria in aso di eserizio e di soravvivenza della ontroarte, il tasso di reuero (dell emittente) in aso di eserizio dell ozione e di fallimento della ontroarte, e zero altrimenti. Si onsideri un ozione vulnerabile all euroea, he indihiamo on VD H, sritta su un sottostante S er una data sadenza T ed uno strike. Si denoti on Q() la robabilità neutrale al rishio he l ozione sada in-the-money, ossia he S(T) >, e on G la robabilità he la ontroarte soravviva fino all eoa T. Per semliità, si iotizzi he sia il tasso di reuero in aso di fallimento, R, sia il fattore di sonto rivo di rishio, B, siano noti. Sotto le normali ondizioni di non arbitraggio e merati omleti, esiste una (unia) misura neutrale al rishio sotto la quale il valore dell ozione digitale rialzista vulnerabile è VDH = B CHH( Q, G)+ RCHL( Q,1 G) dove C HH (Q, G) india la robabilità he l ozione sada in-the-money e la ontroarte soravviva, mentre C HL (Q, 1 G) è la robabilità he l ozione termini in-the-money e la ontroarte fallisa. Le estensioni del modello he rilassano le iotesi sul tasso di reuero e sul fattore di sonto rivo di rishio meritano una disussione a arte. Al fine di ontemlare un tasso di reuero stoastio, l aroio naturale è ondizionare il modello a uno seifio valore del tasso di reuero, er oi ottenere il rezzo desiderato integrando risetto alla funzione di densità di robabilità del tasso stesso (se ontinuo). Analogamente, nel aso di tassi d interesse stoastii, l estensione del modello è immediata se si lavora sotto la misura martingala forward, la quale ermette di fattorizzare il fattore di sonto ed il ayoff non sontato esattamente ome riortato nell equazione reedente. Se sostituiamo il risultato rihiamato in reedenza, C HH (Q, G) = Q C HL (Q, 1 G), ossiamo risrivere il rezzo VD H ome VD = BQ B 1 R C Q, 1 G H Moneyness = 1.5 Moneyness =.5 Moneyness = endall's tau ( ) ( ) Si noti he BQ he ossiamo indiare ome D H () sarebbe il HL rezzo dell ozione in assenza di ossibilità di fallimento. L ozione digitale vulnerabile è dunque uguale ad un ozione digitale ordinaria meno un termine he raresenta il rishio di ontroarte. Quest ultimo è il valore sontato della osiddetta loss given default, 1 R, er la robabilità ongiunta degli eventi di eserizio dell ozione e di fallimento della ontroarte, C HL (Q, 1 G). Tramite la stessa tenia, ossiamo alolare il rezzo dell ozione digitale ut vulnerabile, he aga un ammontare unitario se il rezzo dell attività sottostante è minore o uguale a al temo T. Se denotiamo on VD L l ozione digitale ribassista, otteniamo VD = B( 1 Q) B( 1 R) C ( 1 Q, 1 G) Possiamo utilizzare i risultati ottenuti alla fine del aragrafo reedente er determinare la seguente relazione tra ozioni rialziste e ribassiste: VDL = B( 1 Q) B( 1 R) 1 G CHL( Q, 1 G) = B VD B 1 R 1 G Questa relazione assiura eraltro he i rezzi delle due ozioni esludono oortunità d arbitraggio. Si suonga infatti di omrare dalla stessa ontroarte un ozione rialzista ed una ribassista. Si suonga inoltre di aquistare, al rezzo P D, uno zero-ouon esosto a default emesso dalla stessa ontroarte e aratterizzato dalla stessa sadenza T. È noto he tale rezzo uò essere sritto ome P D = B B (1 R) (1 G). È agevole verifiare he le due ozioni danno a sadenza lo stesso ayoff dello zero-ouon. Ne segue he, ome già ottenuto oo sora: VD + VD = B B( 1 R) ( 1 G)= P Utilizzando il linguaggio del rishio di redito, ossiamo definire la erdita attesa sontata sullo zero-ouon emesso dalla ontroarte, la osiddetta disounted exeted loss, ome Del = B P = B( 1 R) ( 1 G)= B Lgd D dove Lgd = 1 R è la loss given default e D = 1 G è la robabilità di default. Tutte le formule sora riortate ossono essere risritte on tale linguaggio. Per esemio, l ozione digitale vulnerabile rialzista uò essere sritta ome VD = B 1 Q Del B Lgd C Q, D L L H H L D D ( )( ) ( ) + ( ) Ciò mostra he il nostro aroio è del tutto generale ed è in grado di ositare ogni seifiazione del riing kernel rivo di rishio di redito, della robabilità di default e della loss given default roveniente dal modello er il rishio di redito utilizzato nella roria istituzione. Doo he è stata selta una seifia oula C HL (.,.), il modello uò essere omletamente alibrato utilizzando le rorie routine di valutazione delle ozioni e di rishio di redito. Il riing kernel VD H è quello dell eonomia senza rishio di default, D H, meno il termine B(1 R)C HL, he raresenta ertanto il rishio di ontroarte e he è seifiato utilizzando le oule. Ad esemio, la figura 1 mostra il omortamento di questo termine, er una seifia selta della oula, la osiddetta oula mistura. Questa oula, he verrà trattata in maggior dettaglio nel seguito, è semliemente una ombinazione lineare del aso di erfetta diendenza ositiva (o negativa) on quello di indiendenza e ermette di alibrare qualsiasi valore di diendenza imerfetta ositiva (o negativa). Nella figura 1 il valore del rishio di ontroarte è riortato in funzione della diendenza tra gli eventi di eserizio e di fallimento della ontroarte, misurato dalla statistia τ di endall. L attività sottostante è lognormale on volatilità ari al 2% e la sadenza è un anno (l iotesi di lognormalità è usata er semliità, ma ogni altra selta è leita). Il tasso d interesse è osto uguale a zero. Si suone he la ontroarte abbia rating Baa3 e he il redito sia senior seured. Utilizzando i dati di Moody s, si one la erdita attesa (Lgd D) ari a.231% ed il tasso di reuero al 55%. Il valore del LL HL 4 RIS ITALIA MAGGIO 23

4 rishio di ontroarte è riortato er numerosi livelli di moneyness dell ozione. Come i si oteva asettare, il rishio rese non solo on la diendenza, ma anhe on la moneyness: le ozioni fortemente out-ofthe-money hanno rishio nullo, mentre quelle molto in-the-money hanno rishio ari alla erdita attesa sontata della ontroarte, er ogni livello di diendenza. Il livello di moneyness neessario a onseguire quest ultimo risultato è omunque molto elevato. Ozioni all e ut vulnerabili Utilizziamo ora l argomentazione di Breeden e Litzenberger (1978) er alolare i rezzi delle ozioni all e ut vulnerabili dal riing kernel vulnerabile. Riordiamo he il rezzo di un ozione all Euroea riva di rishio di default O uò essere sritto ome integrale, nel modo seguente: dove D H (u) è il rezzo dell ozione digitale rialzista riva di rishio di fallimento, on strike u e stessa sadenza di O ; tale rezzo, ome osservato in reedenza, equivale a BQ(u). Aliando lo stesso riniio all ozione digitale rialzista vulnerabile, il suo valore VO, uò essere alolato integrando quello delle ozioni all digitali vulnerabili, al variare dello strike oltre : Così ome er le ozioni digitali, la differenza tra il rezzo della all vulnerabile, VO, e quello della all riva di default, O, misura il rishio di ontroarte. Analogamente, il valore delle ozioni ut vulnerabili, VO, è VO VD u du O Del B Lgd C Q u, D du VO VD u du O B Lgd C Q u D du O D u du B Q u du = H( ) = ( ) H HL, = ( ) = ( ( ) ) = ( ) = + HL( ( ) ) L dove O denota l ozione ut riva di rishio di default. Utilizzando la relazione di non arbitraggio tra le ozioni digitali rialziste e ribassiste sora ottenute è agevole alolare una versione della arità tra ut e all vulnerabili he vale in tutta generalità: + = + + ( ( ) ) VO S VO P B Lgd C Q u, D du D HL dove S iè il sottostante. Risetto alla arità tra ozioni ut e all non soggette a default, oorre notare he il rezzo d eserizio è sontato utilizzando il rezzo del bond esosto al fallimento, P D, e non il fattore di sonto rivo di rishio B, e he omare un termine integrale he tiene onto del rishio di ontroarte. Vi sono tre asi imortanti nei quali il rezzo di un ozione vulnerabile uò essere sritto in forma hiusa. Il rimo è il aso di indiendenza tra gli eventi di eserizio dell ozione e di fallimento della ontroarte. La robabilità dei due eventi uò essere fattorizzata e, ome rihiamato nel breve aragrafo tenio sora, C HL (Q, D) = C (Q, D) = Q D. Si denotino i rezzi delle ozioni vulnerabili nel aso di indiendenza on VO e VO : si uò dimostrare failmente he VO = O O D Lgd and VO = O O D Lgd. Il seondo aso è quello di erfetta diendenza ositiva, er ui C HL (Q, D) = C + (Q, D) = min(q, D). Anhe in questo aso il rezzo delle ozioni vulnerabili uò essere alolato in forma hiusa. Per l ozione all si ha infatti ( )+ ( ( ) ) VO + = O * * Del max, Lgd O S, t;max,, T 2. Rishio di ontroarte delle all vulnerabili =.6 =.8 = 1. = 1.2 = endall's tau dove O (S, t; max (*, ), T) è il rezzo di una all on sottostante S e sadenza T, la stessa dell ozione vulnerabile, e strike ari al massimo tra * e. Lo strike *. a sua volta è tale he Q(*) = D: in altri termini, è il rezzo d eserizio tale er ui la robabilità d eserizio della all riva di default eguaglia la robabilità di fallimento della ontroarte. Analogamente, in aso di erfetta diendenza ositiva, il rezzo di un ozione ut uò essere osì alolato: VO + = O ** ** Del max, Lgd O S, t;min,, T dove ** è tale er ui Q(**) = 1 D. Pertanto, ** è il rezzo d eserizio tale er ui la robabilità d eserizio di un ozione all eguaglia la robabilità di soravvivenza della ontroarte. Si noti he in entrambi i asi la valutazione del derivato vulnerabile rihiede uniamente la onosenza della erdita attesa sontata, della loss given default e delle formule di valutazione er i orrisondenti rodotti rivi di rishio di default. Inoltre, in aso di erfetta diendenza ositiva il rishio di ontroarte è raresentato da una osizione orta sullo sread B P D = Del, he uò essere sambiata sul merato utilizzando un derivato di redito, iù reisamente una default ut, e da una osizione orta su un ozione riva di default. Ciò suggerise in maniera immediata una strategia di relia o suer-relia er le ozioni vulnerabili. In aso di erfetta diendenza ositiva, il rishio di ontroarte di un ozione all uò essere oerto assumendo una osizione lunga su ozioni default ut er un ammontare ari a max (*, ) e omrando Lgd ozioni all non vulnerabili on strike max(, *). Allo stesso modo, la strategia di oertura er le ozioni ut omorta osizioni lunghe in max( **, ) default ut ed in Lgd ozioni ut non vulnerabili on strike min(, **). Nella maggior arte delle aliazioni lo strike è omreso tra ** e *, sihè max(*, ) = * e min(**, ) = **. Inoltre, sia l ozione all on strike * sie l ozione ut on strike ** sono largamente out-of-the-money. Possiamo dunque arossimare i rezzi delle vulnerabili nel aso di erfetta diendenza ositiva ome segue: + VO O Del max, + ( )+ ( ( ) ) VO O Del max, * ( ) ** ( ) e la strategia di relia uò essere effettivamente imlementata utilizzando uniamente il derivato reditizio. Si uò dimostrare infine he ossiamo alolare soluzioni in forma hiusa anhe nel aso di erfetta diendenza negativa tra l eserizio dell ozione ed il fallimento MAGGIO 23 RIS ITALIA 41

5 Arofondimenti l Rishio di ontroarte Tavola 1. Il rishio di ontroarte ome erentuale del valore dell ozione senza rishio di redito (at-the-money all) endall τ AAA Aaa3 A3 Baa3 Ba3 B3 Caa della ontroarte. Saiamo he in questo aso C HL (Q, D) = C (Q, D) = max(q + D 1, ). Possiamo alolare analitiamente VO ome ** ( 1 Lgd) O + Lgd O ( S,;max t (, ), T ) max, B Lgd Del e VO ome ( )[ ** ] ( ) ( )[ ] * ( 1 Lgd) O + Lgd O S, t;min (, ), T * max, B Lgd Del Dato he, ome osservato in reedenza, er un amia gamma di rezzi d eserizio * **, in questi asi troviamo un rishio di ontroarte nullo e VO = O VO = O La famiglia delle oule di Fréhet I risultati reedenti sono artiolarmente rilevanti non solo erhé offrono rezzi in forma hiusa nei asi estremi di diendenza, ma anhe erhé ermettono la valutazione e la oertura anora in forma hiusa er ogni aso intermedio di diendenza, sotto una artiolare lasse funzioni oula. Una strada molto semlie er generare una funzione oula onsiste nel onsiderare una ombinazione lineare delle oule minima, massima e rodotto. In ratia, si definisa CHL = β max ( Q + D 1, )+( 1 α β) Q D + α min ( Q, D ) Searman e il τ di endall. In artiolare, abbiamo ( )( + + ) β α 2 β α ρ= α β τ = 3 Un aso artiolare della famiglia delle oule di Fréhet è quello della osiddetta oula mistura, utilizzata da Li (2) e già itata in reedenza. Essa utilizza una ombinazione di indiendenza e diendenza erfetta ositiva (1 α e β = ) er raresentare diendenza ositiva, ed una ombinazione di indiendenza e diendenza erfetta negativa (1 β e α = ) er raresentare diendenza negativa. Si ha quindi ( ) C C CHL = 1+ α α α + αc + ( 1 α) C α Utilizzando oule mistura, e er semliità il modello di Blak e Sholes er il riing dei rodotti non vulnerabili, ossiamo alolare il rishio di ontroarte er differenti livelli di diendenza, misurata ad esemio dal τ di endall. La relazione tra il rishio di ontroarte e la statistia di diendenza er un ozione all è desritta in figura 2, er differenti livelli di moneyness. Si iotizza nuovamente he la ontroarte abbia rating Baa3. Infine, er avere un idea dell effetto della diendenza er diverse lassi di rating della ontroarte riortiamo, in tabella 1, il valore del rishio di ontroarte ome erentuale del valore dell ozione all riva di default orrisondente. Si assume he l ozione sia at-the-money, on un anno di vita residua e on un arametro di volatilità ari al 2%. BIBLIOGRAPHIA on α, β 1 and α + β 1. Per ostruzione, le funzioni oula in questa famiglia, nota ome famiglia di Fréhet, orono tutti i asi estremi di diendenza. Risulta hiaro he er tutte queste oule ritroviamo una soluzione in forma hiusa er i rezzi (e di onseguenza er i ortafogli di relia) di ozioni ut e all vulnerabili. In maniera iù esliita, abbiamo + VO = βvo + ( 1 α β) VO + αvo + VO = βvo + 1 α β VO αvo ( ) + e le strategie di suer-relia illustrate nel aragrafo reedente ossono essere oortunamente utilizzate er ostruire le strartegie di relia orrisondenti a un reiso grado di diendenza. I arametri α e β sono in relazione on il livello di diendenza, he otrebbe essere misurato tramite indii non arametrii ome il ρ di Breeden D e R Litzenberger, 1978 Pries of state ontingent laims imliit in otion ries Journal of Business 51, Cherubini U e E Luiano, 21 Priing vulnerable otions with oulas disonibile al sito Cherubini U e E Luiano, 22 Bivariate otion riing with oulas Alied Mathematial Finane 9, Durrleman V, A Nikeghbali e T Ronalli, 2 Whih oula is the right one? Working aer, Crédit Lyonnais Frees E e E Valdez, 1998 Understanding relationshis using oulas North Amerian Atuarial Journal 2, 1 25 Li D, 2 On default orrelation: a oula funtion aroah Journal of Fixed Inome, marzo, Nelsen R, 1999 Introdution to oulas Berlin, Sringer Verlag Rosenberg Y, 21 Nonarametri riing of multivariate ontingent laims Working aer, New York University, Stern Shool of Business 42 RIS ITALIA MAGGIO 23

6 Calibrazione ai dati di merato Illustriamo brevemente una semlie strategia er alibrare il modello ai dati di merato. Il vantaggio derivante dall uso dell aroio basato sulle oule onsiste ovviamente nel searare la seifiazione delle distribuzioni marginali dalla struttura di diendenza. Per iò he riguarda la seifiazione delle distribuzioni marginali, la letteratura è amia. La robabilità risk neutral d eserizio dell ozione è riavata dalla derivata del rezzo dell ozione risetto allo strike. La robabilità di fallimento della ontroarte anh essa aggiustata er il rishio uò essere riavata da informazioni sul valore di merato del suo aitale, ome suggerito dai modelli strutturali, o dalle urve di redit sread o di redit default swa, ome indiato nei modelli in forma ridotta. A fini aliativi, è artiolarmente onsigliabile utilizzare informazione seifia sulla ontroarte er valutarne il rishio di fallimento, singendo l analisi oltre l informazione ontenuta nel rating: infatti, ontroarti differenti on lo stesso rating otrebbero rivelare gradi di diendenza differenti risetto ad una determinata attività finanziaria sottostante l ozione vulnerabile. Per iò he onerne invee la diendenza, le serie storihe della robabilità d eserizio dell ozione, ottenuta dai rezzi di merato delle ozioni, e della robabilità di fallimento della ontroarte, riavata rinialmente dai rezzi delle sue azioni e dai redit default swa, ossono essere utilizzate er alibrare la funzione oula. La roedura di alibrazione uò essere artiolarmente semlie er funzioni oula aratterizzate da un solo arametro. In questo aso, l informazione storia sulle robabilità marginali uò essere usata er stimare la loro struttura di diendenza, alolando il oeffiiente di orrelazione lineare o il τ di endall. Una ritia ovvia verso questo aroio molto semlie è he l informazione delle serie storihe ermette di seifiare la struttura di diendenza sotto la misura di robabilità oggettiva, he in linea di riniio otrebbe differire da quella riavata sotto la misura neutrale al rishio. Rosenberg (21) fornise alune ondizioni sotto le quali la oula ottenuta on la robabilità oggettiva onserva validità sotto la misura neutrale al rishio. L uso di questo aroio misto, ovvero imliito e storio, ermette inoltre di affrontare il roblema della selta di una funzione oula seifia. Ad esemio, se si seglie di utilizzare una funzione oula tra quelle inluse nella osiddetta lasse Arhimedea, Frees e Valdez (1998) roongono un aroio di tio QQ lot molto semlie er selezionare la oula giusta (si veda anhe Durrleman, Nikeghbali e Ronalli, 2, er una trattazione iù generale di questo argomento). Conlusioni e sunti di riera futura Abbiamo mostrato he le funzioni oula, utilizzate a lungo in statistia er trasformare distribuzioni marginali in una distribuzione ongiunta, otrebbero ostituire uno strumento effiae in finanza er aoiare modelli di valutazione. In artiolare, aoiando un modello di valutazione delle ozioni on uno di rishio di redito, è stato ottenuto un metodo flessibile er valutare e orire ozioni vulnerabili, ovvero ozioni on rishio di ontroarte. Ovviamente vi sono diversi svilui ossibili lungo questo erorso. In rimo luogo, la stessa strategia di modellizzazione seguita er l ozione vulnerabile uò essere estesa ed aliata ad altri roblemi di valutazione, mettendo a disosizione soluzioni a stadi er roblemi multivariati omlessi. Lungo questo sentiero, lo sviluo naturale del nostro lavoro onsiste nell estendere l aroio a rodotti iù sofistiati: ad esemio, si otrebbe estendere ai rodotti Ameriani o di tio Bermuda, er i quali il roblema di valutazione è reso iù artiolato dalla robabilità di eserizio antiiato, oure alle ozioni on barriera, he omortano il alolo della robabilità ongiunta he l ozione termini in-the-money e he la barriera sia raggiunta rima della sadenza dell ozione stessa. Da un unto di vista emirio, la riniale sfida aerta onsiste nel rogettare strumenti atti a selezionare la funzione oula adeguata er ogni roblema di valutazione. Come ha sottolineato un referee, la lasse delle oule mistura sora utilizzata è robabilmente troo limitata er fornire una buona alibrazione dei dati. Per una migliore alibrazione oorrerà robabilmente rinuniare alla valutazione in forma hiusa e alle strategie esliite di relia disonibili er questa lasse e sarà neessario riorrere ad altre famiglie, anhe se iò imliherà l utilizzo di tenihe di integrazione numeria. Umberto Cherubini è rofessore assoiato di Metodi Matematii dell Eonomia e delle Sienze Attuariali e Finanziarie resso l Università di Bologna e artner di Polyhedron Comutational Finane. Elisa Luiano è rofessore ordinario di Metodi Matematii dell Eonomia e delle Sienze Attuariali e Finanziarie resso l Università di Torino e fellow di ICER (International Centre for Eonomi Researh) MAGGIO 23 RIS ITALIA 43

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