PROBLEMI DI GEOMETRIA

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "PROBLEMI DI GEOMETRIA"

Transcript

1 PROBLEMI DI GEOMETRIA Lucio Guerra 1994 v v. 2.7 Dipartimento di Matematica e Informatica - Università di Perugia

2 Indice 1. EQUAZIONI LINEARI 1 2. SPAZI VETTORIALI 2 3. APPLICAZIONI LINEARI 4 4. AUTOVETTORI 6 5. GEOMETRIA AFFINE in dimensione SPAZI AFFINI 8 7. AFFINITÀ 9 8. GEOMETRIA EUCLIDEA in dimensione ISOMETRIE FORME BILINEARI CONICHE FASCI DI CONICHE QUADRICHE 20

3 1. EQUAZIONI LINEARI 1.1. Determinare i valori del parametro a R per i quali il sistema lineare x + 2y + az = 1 3y + z = 0 x + ay z = 0 ammette soluzioni Determinare per quali valori del parametro k il seguente sistema è compatibile: x + z = 0 ky + z = 1 kx + y = Determinare le condizioni sulla terna di numeri reali (a, b, c) necessarie e sufficienti affinchè il sistema x + z = a y z = b x + y = c sia compatibile. Sotto tali condizioni, esprimere poi la soluzione generale del sistema in funzione di a, b, c e di ulteriori parametri, se necessari. 1

4 2. SPAZI VETTORIALI 2.1. Sia S il sottospazio di R 3 definito dal sistema di equazioni x + 2y + z = 0 2x + y + 3z = 0 x 4y + 3z = 0 Determinare la dimensione e una base di S Sia S il sottospazio di R 3 generato dai vettori (1, 1, 0), (1, 2, 1), (1, 1, 2), (1, 0, 1). Determinare la dimensione e una base di S Considerati i vettori di R 4 u = (1, 1, 1, 1), u = (1, 1, 1, 1), sia U il sottospazio di R 4 generato da u, u, e sia inoltre V = {(x, y, z, t) R 4 : x + y + z + t = 0}. Dimostrare che si ha U V. Verificare che {u, u } è una base di U. Estendere questa base di U a una base {u, u, v} di V Si consideri in R 4 il sottospazio S = {(x, y, z, t) : y = z}. Considerati quindi i tre vettori di S (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), sia T S il sottospazio che essi generano. Estrarre una base per lo spazio T dal sistema di generatori assegnato. Estendere poi la base trovata a una base di S. Estendere infine questa base a una base dell intero R Considerati in R 3 i vettori u = (1, 1, 0), v = (1, 1, 1), w = (3, 1, 1), z = (0, 1, 0), definiamo il seguente sottospazio di R 4 S = {(a, b, c, d) : au + bv + cw + dz = 0} (l insieme delle relazioni di dipendenza lineare tra i dati vettori). Determinare la dimensione e una base di S. Può ciascuno dei dati vettori esprimersi come combinazione lineare dei rimanenti? 2

5 2.6. Considerati i vettori di R 3 v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (0, 1, 1), v 4 = (1, 0, 0), v 5 = (1, 1, 2), definiamo il seguente sottospazio di R 5 S = {(a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 ) : a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 + a 5 v 5 = 0} Determinare la dimensione e una base di S. Può ciascuno dei dati vettori esprimersi come combinazione lineare dei rimanenti? 2.7. Considerati i vettori di R 3 u = (1, 1, 2), u = (0, 1, 1), v = (2, 1, 1), v = (1, 0, 0), siano U il sottospazio generato da u, u, V il sottospazio generato da v, v. Calcolare le dimensioni dei sottospazi U, V, U + V, U V Dimostrare che R 3 = U V, dove: U = {(x, y, z) R 3 : x = y}, V = {(x, y, z) R 3 : x = z = 0} In R 4 i vettori u = (1, 0, 0, c), u = (a, 0, a, 0), v = (0, a, 0, a), v = (0, c, c, 0), determinano i sottospazi U = u, u, V = v, v. Trovare i valori di a, c per cui si ha una coppia di sottospazi con U V 0 e trovare quante coppie U, V si ottengono in questo modo. Per questi valori dei parametri determinare una base dello spazio intersezione. 3

6 3. APPLICAZIONI LINEARI 3.1. Sia f : R 3 R l applicazione definita da x y z f(x, y, z) = Dimostrare che f è lineare. Determinare la dimensione e una base di Ker(f) Dimostrare che l applicazione f : R 3 R 3 definita da f(x, y, z) = (x y, y + z, z x) è un automorfismo di R 3 e determinare l applicazione inversa f Considerata l applicazione lineare L : R 3 R 3 tale che L(1, 0, 0) = (1, 0, 1), L(0, 1, 0) = (2, 3, 1), L(0, 0, 1) = (0, 1, 1), determinare il valore L(x, y, z) che L assume su un vettore arbitrario (x, y, z) R 3. Calcolare quindi le dimensioni ed esplicite basi di Ker(L) e Im(L) Per ogni k R, sia f k : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f k (x, y, z) = (ky kz, x + y + z, kx + ky). Per quali valori di k il vettore (0, 2, 0) appartiene all immagine di f k? 3.5. Considerata in R 3 la base B = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)), detta C la base canonica, scrivere le due matrici del cambiamento di base M B,C e M C,B Sia M lo spazio vettoriale delle matrici 2 2 a coefficienti reali, e sia E la base di M costituita dai vettori ( ) ( ) ( ) ( ) E 1 =, E =, E =, E =. 0 1 Posto A = ( 1 1 ), si consideri l applicazione lineare L : M M 0 1 definita da L(X) = A X. Determinare la matrice M E,E (L). 4

7 3.7. Detto M lo spazio vettoriale delle matrici 2 2 a coefficienti reali, sia A M e si consideri l applicazione lineare L : M M definita da L(X) = A X. Dimostrare che Im(L) coincide con l insieme delle matrici Y M le cui colonne sono combinazioni lineari delle colonne di A. Dedurre che dim(im(l)) = 2 rg(a) Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che f(x, y, z) = (x y, y z, z x) Determinare una base di Ker(f). Dimostrare che si ha R 3 = Ker(f) Im(f). 5

8 4. AUTOVETTORI 4.1. Considerata la matrice a coefficienti reali A = a u 1 0 a v, 0 0 b determinare le condizioni sui coefficienti necessarie e sufficienti affinchè si abbia una matrice simile alla matrice diagonale con coefficienti diagonali 0, 1, Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3, in cui è fissata una base (i, j, k). Si consideri l insieme H delle applicazioni lineari f : V V che possiedono un autovalore il cui autospazio contiene i, j. Dimostrare che H è un sottospazio di Hom(V, V ). Determinare condizioni sui vettori f(i), f(j), f(k) necessarie e sufficienti affinchè una applicazione lineare f H sia diagonalizzabile Sia A una matrice 2 2 a coefficienti reali avente il polinomio caratteristico p A (t) = (t 1) 2. Dimostrare che A non è diagonalizzabile se non coincide con la matrice unità. Dimostrare che in ogni caso A è simile a una matrice triangolare Data la matrice a coefficienti reali 1 a b c determinare per quali valori di a, b, c si ha una matrice diagonalizzabile rispetto alla quale il vettore (0, 0, 1, 0) è un autovettore Considerata la matrice a coefficienti reali 1 a b 1 determinare per quali valori di a, b si ha una matrice simile alla matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, 1, 0. 6

9 5. GEOMETRIA AFFINE in dimensione 3 In questi esercizi l espressione lo spazio indica uno spazio affine reale di dimensione 3, in cui si intende fissato un sistema di riferimento Dati i piani di equazioni cartesiane α : x + 2y + z = 0 α : x z + 2 = 0 β : x + 4y + 3z 2 = 0 β : x + 3y + 2z 1 = 0 verificare che α, α non sono paralleli, β, β non sono paralleli, e dimostrare che le due coppie di piani α, α e β, β individuano la stessa retta intersezione: α α = β β Considerate nello spazio le rette { x + z + 1 = 0 r : s : x y 1 = 0 { y + z 1 = 0 x z = 0 e il punto A (1, 1, 1), verificare che r, s sono sghembe e determinare le equazioni cartesiane della retta t passante per A e incidente r, s Considerati nello spazio i piani α : x + y z + 1 = 0 α : x 2y + z = 0 β : 2x y + 1 = 0 si verifichi che α, α non sono paralleli, e si dimostri che la retta intersezione α α è contenuta in β Scrivere l equazione cartesiana del piano che contiene l asse delle y e passa per il punto di intersezione dei piani x + y 1 = 0 y + z = 0 x y + z 1 = Si dimostri che la famiglia di piani dello spazio (a + b + c) x + (2a + 2b c) y + ( a b + c) z + (3a + 3b c) = 0, al variare della terna di numeri reali (a, b, c), costituisce un fascio di piani, determinando anche equazioni della retta asse del fascio. 7

10 6. SPAZI AFFINI 6.1. Sia A uno spazio affine reale di dimensione 4, in cui è fissato un riferimento affine. I punti p 0 (1, 1, 1, 0), p 1 (2, 1, 1, 1), p 2 (1, 2, 2, 0), p 3 (2, 2, 2, 1) generano un sottospazio S. Si consideri inoltre il sottospazio T = {p (x, y, z, t) : x y + z t = 1}. Calcolare le dimensioni di S, T. Verificare che S è parallelo a T. Determinare una traslazione τ tale che τ(s) T In uno spazio affine reale di dimensione tre, in cui è fissato un riferimento, si considerino le rette r : x + y 1 = 0 y + z 2 = 0 s : y = 0 x + y z = 0 Determinare una traslazione T nella direzione del vettore v (1, 1, 0) tale che le rette r e T(s) siano complanari. Calcolare l equazione del piano che contiene queste due rette In uno spazio affine reale A di dimensione 4, in cui è fissato un riferimento, i cinque punti a (0, 0, 1, 1), b ( 1, 1, 0, 0), c (1, 1, 0, 0), d (0, 1, 1, 0), e (1, 1, 1, 1), generano una retta R = a, b e un piano P = c, d, e. Dimostrare che l insieme R P è contenuto in un sottospazio S di dimensione Dati in uno spazio affine reale A 3 un riferimento R = (O, U 1, U 2, U 3 ) e un riferimento R = (O, U 1, U 2, U 3 ) individuato rispetto al primo per mezzo delle coordinate O (1, 0, 1), U 1 (0, 1, 1), U 2 ( 1, 1, 1), U 3 (1, 0, 0), si scrivano le equazioni che legano i due sistemi di coordinate di un punto arbitrario (x, y, z) rispetto a R, (x, y, z ) rispetto a R. 8

11 7. AFFINITÀ 7.1. Sia A 3 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R 3. Scrivere le equazioni della affinità f : A 3 A 3 tale che f(0, 0, 0) = (1, 0, 1), f(1, 0, 0) = (2, 1, 1), f(0, 1, 0) = (1, 1, 2), f(0, 0, 1) = (2, 1, 2) Sia A 2 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R 2. Sia f : A 2 A 2 l affinità definita da f(x, y) = (ax+u, by+v) dove ab 0, a b. Dimostrare che esiste una retta R tale che f(r) = R. Trovare per quali valori dei coefficienti l affinità f ha una unica retta fissa R Sia A 3 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R 3. Considerati i punti a = (1, 1, 1), b = (2, 0, 1), c = (1, 0, 1), d = (1, 0, 2), a = ( 1, 0, 1), b = (1, 1, 1), c = (0, 1, 0), d = (0, 2, 1), sia f : A 3 A 3 l affinità tale che f(a) = a, f(b) = b, f(c) = c, f(d) = d. Scrivere le equazioni di f rispetto al riferimento canonico. Trovare se esistono una retta R avente la direzione del vettore v = (1, 0, 0) e un piano P parallelo al piano a, b, c tali che l intersezione f(r) P sia un punto Sia A uno spazio affine reale di dimensione tre, costruito sullo spazio vettoriale V, in cui sia fissato un riferimento. Sia f : A A una affinità, associata all isomorfismo ϕ : V V. Supponiamo che il polinomio caratteristico di ϕ sia p(t) = (T λ)(t 2 + 1) e che l autospazio di λ contenga il vettore v di coordinate (1, 1, 1). Sia P A il piano di equazione ax + by + cz + d = 0. Trovare condizioni sui parametri affinchè esista una retta R A tale che la retta f(r) sia parallela a R e al piano P Sia A 2 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R 2. Sia f : A 2 A 2 l affinità definita da f(x, y) = (x + cy + u, y + v). Determinare le condizioni sui coefficienti c, u, v necessarie e sufficienti affinchè esista una retta R tale che f(r) = R. Dimostrare che l insieme delle rette fisse di f, quando qualcuna esiste e quando f id, è un fascio di rette parallele. 9

12 8. GEOMETRIA EUCLIDEA in dimensione 3 In questi esercizi l espressione lo spazio indica uno spazio affine euclideo di dimensione 3, in cui si intende fissato un sistema di riferimento ortonormale Nel piano, in cui è fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti A (1, 1), B ( 3 + 1, 3 + 1), C (2, 2). Si dimostri che A, B, C determinano un triangolo non degenere, e si determinino gli angoli α = CÂB, β = A ˆBC, γ = BĈA Considerati nello spazio { x + y + z 1 = 0 la retta r : e il piano π : x y + z 2 = 0, 2x y + 3z = 0 si mandino dal punto P (0, 1, 1) la retta PA perpendicolare a r e incidente r in A, e la retta PB perpendicolare a π, la quale interseca π in B. Si calcoli l area del parallelogramma non degenere individuato dai vettori PA, PB applicati in P Considerata la retta r di equazioni cartesiane { x + 3y 2z 1 = 0 r : 2x + y + z 2 = 0, dopo aver verificato che su di essa esistono due punti distinti A, B che hanno distanza uguale a 1 dal punto P (1, 0, 1), si calcoli l area del parallelogramma non degenere individuato dai vettori PA, PB applicati in P Si dimostri che esiste una (unica) retta r passante per il punto A (1, 3, 2), la quale incontri la retta s che esce dall origine e contiene il vettore v (1, 1, 2), e sia inoltre perpendicolare al vettore w (2, 0, 1). Quindi, detto B il punto di intersezione tra r ed s, si dica perchè il parallelepipedo individuato dai tre vettori AB, v, w applicati in A è non degenere, e se ne calcoli il volume. 10

13 9. ISOMETRIE 9.1. Nel piano euclideo E 2 é fissato un riferimento cartesiano R = (O, i, j). Considerati i punti A ( 1, 1), B (0, 1), C (0, 2), A (2, 2), B (2, 1), C (3, 1), sia f : E 2 E 2 l affinità tale che f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C. Scrivere le equazioni di f rispetto a R e verificare che f é una isometria Siano E uno spazio euclideo di dimensione 3, V lo spazio vettoriale associato. Una affinità f : E E induce un isomorfismo ϕ : V V. Considerato in E un riferimento cartesiano (O, i, j, k), posto u = i + j, sia f l affinità che tiene fissi i punti della retta O, u e che soddisfa ϕ(j) = k, ϕ(k) = j. Scrivere le equazioni di f rispetto al dato riferimento. Verificare che f non è una isometria In uno spazio vettoriale euclideo V di dimensione tre sia u V un vettore fissato e sia U = u il sottospazio perpendicolare. Sia f : V V una trasformazione lineare che ha u come autovettore con autovalore 1/2 e che trasforma il sottospazio U in sè stesso in modo tale che la restrizione U U sia una rotazione. Calcolare det f e dire se f è una trasformazione unitaria Sia E uno spazio euclideo di dimensione 3, costruito sullo spazio vettoriale V, in cui è fissato un riferimento cartesiano (O, i, j, k). Una affinità f : E E ha un isomorfismo associato ϕ : V V. Posto u = i + j, sia f l affinità che tiene fissi i punti del piano P = O, u, k e che soddisfa ϕ(i) = j. Scrivere le equazioni di f rispetto al dato riferimento. Verificare che f è la riflessione rispetto al piano P Sia E uno spazio euclideo di dimensione 3, costruito sullo spazio vettoriale V, in cui è fissato un riferimento ortonormale (O, i, j, k). Posto u = i + j verificare che si ha j = 1 u j dove j è un vettore unitario perpendicolare a u. Sia f : E E la rotazione con centro O tale che ϕ(u) = u e ϕ(j ) = 2 2 (j + k) dove ϕ indica l automorfismo di V associato a f. Scrivere le equazioni della rotazione f rispetto al dato riferimento. 11

14 9.6. Sia E 3 lo spazio euclideo standard, costruito sullo spazio vettoriale R 3 con il prodotto scalare standard. Sia f : E 3 E 3 l isometria tale che f(x) = A X dove A è la matrice e dove X indica la colonna delle coordinate di un punto. Verificare che f è una rotazione. Determinare l asse della rotazione. Verificare che f è la rotazione di angolo π/2 intorno all asse In uno spazio euclideo di dimensione tre è fissato un riferimento ortonormale. Sia r la retta passante per il punto a (1, 0, 1) e avente la direzione del vettore u (2, 1, 2), sia s la retta per l origine o avente la direzione del vettore v (0, 1, 0). La retta oa è la perpendicolare comune alle rette r, s. Definiamo la rotazione f con centro o tale che ϕ(v) = 1 u dove ϕ indica l automorfismo associato. Determinare la 3 retta ruotata f(r) calcolando il punto f(a) e il vettore ϕ(u)

15 10. FORME BILINEARI Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 in cui è fissata una base i, j, k. Sia f la forma bilineare simmetrica su V tale che f(i, i) = 0, f(j, j) = 1, f(k, k) = 1, f(i, j) = 2, f(j, k) = 1, f(k, i) = 3. (1) Determinare una base i, j, k di V che diagonalizza f. (2) Dimostrare che non esiste una base diagonalizzante in cui i = i Tema identico al precedente tranne che per i valori f(i, i) = 0, f(j, j) = 0, f(k, k) = 0, f(i, j) = 1, f(i, k) = 0, f(j, k) = Considerata la matrice simmetrica A = determinare una matrice invertibile P GL(3) tale che P t AP sia diagonale Nello spazio euclideo R 3, dotato del prodotto scalare ordinario, si costruisca una base ortogonale (u, v, w) il cui primo vettore sia u = (2, 1, 2); si scriva quindi la matrice che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base trovata Nello spazio vettoriale R 3 si consideri la forma quadratica q(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xy. Determinare la forma bilineare simmetrica associata b(x, y, z; x, y, z ). Provare che q è definita positiva (ovvero b è un prodotto scalare). Costruire una base di R 3 ortonormale rispetto a q Si consideri la forma quadratica q : R 4 R definita da q(x, y, z, w) = a x xy + a y 2 + 2bzw con a, b R. Determinare una forma canonica di q con i coefficienti funzioni di a, b. Trovare per quali valori dei parametri la forma q ha positività = negatività = 2. 13

16 10.7. Sia f ( la forma ) bilineare simmetrica su R 2 rappresentata dalla a c matrice A = rispetto alla base canonica. Dimostrare che c b 1. se f è definita positiva allora a > 0, b > 0, ab c 2 > 0, 2. viceversa se a > 0, ab c 2 > 0 allora f è definita positiva Determinare la segnatura della matrice simmetrica reale 1 a 0 a 0 b 0 b 1 al variare dei coefficienti a, b. Trovare se esistono valori dei coefficienti per cui si ha una matrice simile alla matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, 1, Su R 3 si consideri la forma bilineare simmetrica v, v tale che v, v = x 2 + y 2 + z 2 2c xz se v = (x, y, z), dove c è un parametro reale. Determinare condizioni su c necessarie e sufficienti affinchè si abbia un prodotto scalare. Sotto queste condizioni, detto U il sottospazio generato dai vettori (0, 1, 1), (1, 0, 0), determinare una base ortogonale e 1, e 2, e 3 tale che e 1, e 2 U Si consideri la forma quadratica q : R 3 R definita da q(x, y, z) = (x + hy) 2 + h(y + z) 2 dove h 0 è un coefficiente reale. Detta A la matrice di q rispetto alla base canonica, determinare una congruenza D = M t AM in cui D è diagonale e M è invertibile. Trovare per quali valori di h esiste una congruenza in cui D è la matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, 1, Su R 3 si consideri la forma bilineare simmetrica f tale che f(v, v) = 2 (xy + yz + zx) se v = (x, y, z). Determinare una base ortonormale di R 3 che diagonalizza f. Dimostrare che esiste una base rispetto alla quale la forma è rappresentata dalla matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, 1, 2. 14

17 Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 in cui è fissata una base i, j, k. Sia q la forma quadratica su V tale che q(v) = x 2 + y 2 + 2a xy + 2yz se v (x, y, z), dove a è un parametro reale. Determinare a in modo che i vettori i + j e j + k risultino ortogonali rispetto a q. Per questo valore di a determinare un vettore u tale che la successione i+j, j+k, u sia una base di V che diagonalizza q Su R 4 si consideri la forma bilineare simmetrica f associata alla forma quadratica q(x, y, z, w) = 2 (xy + yz + zw + wx) Verificare che f ha rango 2. Determinare una base ortonormale i, i, j, j tale che i vettori i, i formino una base del sottospazio {v : f(v, w) = 0 w}. Determinare una base ortonormale di R 4 che diagonalizza f. 15

18 11. CONICHE In questi esercizi, nel piano affine reale o nel piano euclideo si intende fissato un riferimento, affine oppure ortonormale, rispettivamente Nel piano euclideo si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + ay) (ax y) + 1 = 0 al variare del parametro reale a. Dimostrare che si ha sempre una parabola (non degenere). Scrivere per la famiglia una equazione canonica metrica X 2 + 2pY = 0 con p funzione di a. Trovare se esistono valori dei parametri per cui si ha una conica isometrica alla conica y 2 +2x = Nel piano euclideo si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + h) 2 + (hy + 1) 2 + h = 0 al variare di h 0. Dimostrare che si ha una famiglia di coniche non degeneri a centro. Scrivere per la famiglia una equazione canonica metrica ux 2 +vy 2 +1 = 0 con u, v funzioni di h. Trovare se esistono valori di h per cui si ha una conica isometrica alla conica x 2 y 2 +1 = Si consideri la famiglia di coniche di equazione x 2 + 2a xy + y 2 + 2by + 1 = 0. al variare di a, b R. Determinare quale condizione sui parametri perchè si abbia una conica a centro. Sotto questa condizione scrivere una equazione canonica ux 2 +vy 2 +1 = 0 con u, v funzioni di a, b. Trovare se esistono valori dei parametri per cui si ha una conica isometrica alla conica x 2 + 2y = Si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + ay) 2 + bx + y + 1 = 0 al variare di a, b R. Determinare i coefficienti a, b per cui si ha una conica simmetrica rispetto alla retta x y = 0. Per questa conica scrivere una equazione canonica metrica Si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + ty)(tx + y) + (x + y) + 1 = 0 al variare di t R. Determinare il valore di t per cui si ha una parabola (non degenere) e trovare se questa parabola sia isometrica alla parabola y = x 2. Determinare il tipo affine a cui appartengono le altre coniche non degeneri della famiglia. 16

19 11.6. Si consideri la famiglia di coniche di equazione (x a)(y b) y = 0 al variare di a, b R. Determinare le coniche della famiglia che sono isometriche alla conica x 2 y = 0. Trovare se di queste coniche che sono isometriche alla conica data qualcuna si ottiene come traslata della conica data Nel piano affine euclideo in cui è fissato un riferimento cartesiano si consideri la famiglia di coniche di equazione x 2 + 2a xy + y 2 y 1 = 0 al variare del parametro reale a. Determinare la conica della famiglia che è simmetrica rispetto a una retta di equazione x 2y = f e determinare la costante f per cui si ha la simmetria. Di questa conica scrivere una equazione canonica metrica Nel piano affine reale si consideri la famiglia di coniche C α : (x + αy) 2 + α(y + 1) 2 + α = 0 al variare del parametro reale α 0. Trovare per quali valori di α esiste una affinità f α che porta la conica C α sulla conica C : xy = 1. Per ogni tale α determinare una affinità f α. 17

20 12. FASCI DI CONICHE In questi esercizi, il piano affine reale A 2 si considera incluso nel completamento proiettivo P 2. Inoltre si intende fissato un sistema di riferimento, rispetto al quale si hanno coordinate affini (x, y) e coordinate omogenee (X,Y,T) Sia F il fascio di coniche di equazione x 2 + (k 1)y 2 + 2x (4k 2)y + (4k + 1) = 0. Determinare le coniche degeneri di F, i punti base di F, il tipo delle coniche non degeneri di F, al variare di k Sia F il fascio di coniche di equazione (x 2 y) + ky 2 = 0. Determinare i punti base di F (con molteplicità). Scrivere l equazione cartesiana del luogo descritto dai centri delle coniche di F Considerato il fascio di coniche piane kx 2 + (2 k)y 2 + 2xy k = 0 si determinino le coniche degeneri del fascio e di ciascuna le rette componenti, i punti base del fascio, il tipo delle coniche non degeneri del fascio Scrivere l equazione del fascio F delle coniche aventi centro in (1, 1) e passanti per i punti impropri degli assi coordinati. Determinare le coniche degeneri di F e classificare le coniche non degeneri di F Scrivere l equazione della iperbole equilatera avente la retta 2x+ y = 0 come asintoto, avente il centro sull asse x, e passante per (1, 1). Determinare infine le direzioni degli assi di tale iperbole Scrivere l equazione della ellisse avente all infinito la coppia di punti immaginari coniugati le cui coordinate omogenee soddisfano X 2 + 2Y 2 = 0, avente centro nel punto di coordinate affini (1, 1), e passante per l origine. Determinare infine gli assi di tale ellisse. 18

21 12.7. Scrivere l equazione della conica C passante per i cinque punti di coordinate e classificare tale conica C. ( 1, 1), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0) Determinare l equazione cartesiana della conica C avente con la conica C : (x 1)(y + 1) y = 0 quattro intersezioni coincidenti nel punto P (1, 0) (C è iperosculatrice a C in P) e avente centro sulla retta x + 1 = 0. Classificare la conica C Scrivere l equazione della conica C avente con la conica C : x 2 y 2 + y = 0 tre intersezioni coincidenti nell origine (C osculatrice a C nell origine), e tangente in P (1, 1) alla retta x = 1. Classificare la conica C Considerate le coniche piane di equazioni rispettive C : x 2 2xy x + y = 0, C : x 2 x + y = 0, determinare le coniche degeneri del fascio F generato da C, C, e determinare l intersezione C C Scrivere l equazione della iperbole equilatera avente la retta x = 1 come asintoto, avente il centro sulla retta x = y, e passante per l origine. Determinare infine gli assi di simmetria di tale iperbole Scrivere l equazione cartesiana della parabola avente come asse di simmetria la retta y = 2x, avente vertice nell origine e passante per il punto di coordinate (1, 1). Determinare quindi il punto proprio di tale parabola in cui la tangente è parallela alla retta x = y Scrivere l equazione della parabola tangente in (0, 0) alla retta 2x + y = 0, passante per (1, 1) e per il punto improprio della retta x 2y = 0. Determinare quindi l asse ed il vertice di tale parabola Scrivere l equazione del fascio formato dalle coniche del piano passanti per i punti (0, 0), (1, 1) e tangenti alla conica di equazione x 2 + y 2 + 2x 1 = 0 nel punto (0, 1). Determinare quindi le coniche degeneri del fascio, l unica iperbole equilatera del fascio, il suo centro e i suoi asintoti. 19

22 13. QUADRICHE In questi esercizi, lo spazio affine reale A 3 si considera incluso nel completamento proiettivo P 3. Inoltre si intende fissato un sistema di riferimento, rispetto al quale si hanno coordinate affini (x, y, z) e coordinate omogenee (X,Y,Z,T) Scrivere l equazione della quadrica avente nell origine un punto semplice con piano tangente z = 0, tagliata dal piano improprio secondo la conica X 2 + Y 2 + Z 2 = 0, e passante per (0, 0, 1). Classificare tale quadrica Classificare la quadrica Q : x 2 y 2 + z x = 0 e la conica C sezione di Q con il piano P : x + y + z = Classificare la quadrica di equazione x 2 + 2y 2 + z 2 2y + 1 = Scrivere l equazione della quadrica avente nell origine un punto semplice con piano tangente y = 0, avente all infinito la conica di equazione (X Y )(Y Z) = 0, e passante per il punto (0, 1, 0). Classificare tale quadrica Verificare che la conica C ottenuta come intersezione della quadrica Q di equazione x 2 xy + z 1 = 0 con il piano π di equazione x + y z = 0 é una conica non degenere (π non é tangente a Q) Scrivere l equazione della quadrica Q avente all infinito la conica X 2 + Y 2 Z 2 = 0, avente in P (1, 0, 1) un punto semplice con piano tangente x z = 0 e passante per A (0, 0, 1). Classificare Q Scrivere l equazione della quadrica generale tagliata dal piano yz secondo la conica y 2 + z 2 2y + 1 = 0, x = 0, tangente al piano improprio nel punto improprio dell asse x, e passante per il punto (1, 0, 0). Classificare tale quadrica Verificare che la quadrica di equazione 3x 2 + y 2 + z 2 2(x + z) = 0 é un ellissoide a punti reali. Determinare le rette (immaginarie) contenute nella quadrica che passano per l origine. 20

23 13.9. Scrivere l equazione della quadrica avente nell origine un punto semplice con piano tangente x + y = 0, avente all infinito la conica di equazione (X Z)(Y Z) = 0, e passante per il punto di coordinate (0, 1, 1). Classificare infine tale quadrica Determinare la quadrica Q avente una equazione del tipo x 2 + xy + a(y + z) = 0 e contenente la curva C : x = t, y = t 2, z = t 3. Classificare infine tale quadrica Q Sia Q la quadrica di equazione y 2 + xy + xz + yz + y + z = 0. Verificare che Q é degenere di rango 2. Scrivere equazioni cartesiane della retta d luogo dei punti doppi di Q. Detti A, B i punti di intersezione di Q con l asse y, verificare che i piani α, β contenenti la retta d e passanti per A, B (rispettivamente) sono i piani componenti di Q Scrivere l equazione della quadrica avente all infinito la conica X 2 Y Z = 0, avente nel punto (0, 1, 0) un punto semplice con piano tangente x + y z 1 = 0, e passante per il punto (1, 1, 0). Classificare tale quadrica. 21

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,

Dettagli

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono

Dettagli

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2

Dettagli

CdL in Ingegneria Informatica (Orp-Z)

CdL in Ingegneria Informatica (Orp-Z) CdL in ngegneria nformatica (Orp-Z) Prova scritta di Algebra Lineare assegnata il 22 Novembre 2004 - A Usare solo carta fornita dal Dipartimento di Matematica e nformatica, riconsegnandola tutta. Sia f

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire

Dettagli

(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica.

(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica. 1. Applicazioni lineari Esercizio 1.1. Sia T : R 2 R 3 l applicazione lineare definita sulla base canonica di R 2 nel seguente modo: T (e 1 ) = (1, 2, 1), T (e 2 ) = (1, 0, 1). a) Esplicitare T (x, y).

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3 Esercitazione di Geometria I 13 dicembre 2008 a. Completa la seguente definizione: i vettori v 1, v 2,..., v n del K-spazio vettoriale V si dicono linearmente dipendenti se... b. Siano w 1, w 2, w 3 vettori

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski 10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale

Dettagli

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI - - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle

Dettagli

I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica

I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica Negli esercizi che seguono si suppone fissato nello spazio

Dettagli

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente 1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F

Dettagli

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Esercizio 1. Si considerino la funzione: { R f : 3 R 3 (α, β, γ) ( 2β α γ, (k 1)β + (1 k)γ α, 3β + (k 2)γ ) dove k è un parametro reale, e il sottospazio U =

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale)

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale) Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = C = 2 2 0 0 2 D = ( 0

Dettagli

Esercitazione di Analisi Matematica II

Esercitazione di Analisi Matematica II Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 pplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 PPLIZIONI LINERI 01. Dire quali delle seguenti applicazioni tra IR-spazi vettoriali sono lineari a. f :IR 2 IR 3 f(x y =(x y πy b. f :IR 3 IR 3 f(x

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti . Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)

Dettagli

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica. Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica. Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica E Abbena, G M Gianella Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica Quaderno # 6 - Aprile 003 Gli esercizi proposti

Dettagli

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica E Abbena, G M Gianella Esercizi di Geometria ealgebralinearei AA / Quaderno # 8 - Settembre Gli esercizi proposti in questa raccolta

Dettagli

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche.

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Quadriche Esercizi 1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. (a) x + y + z + xy xz yz 6x 4y + z

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce

Dettagli

CAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente.

CAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. CAPITOLO 4 Quadriche Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. Esercizio 4.. Stabilire il tipo di quadrica corrispondente alle seguenti equazioni. Se si

Dettagli

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici 3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k R, i piani: π 1 : x 2y + 2z = 2, π 2 : z =

Dettagli

Ferruccio Orecchia. esercizi di GEOMETRIA 1

Ferruccio Orecchia. esercizi di GEOMETRIA 1 A01 102 Ferruccio Orecchia esercizi di GEOMETRIA 1 Copyright MCMXCIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133 A/B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978

Dettagli

Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u.

Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Definizione Una quadriche è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica - A.A. 2003/2004 Geometria Analitica I Esonero - 21 novembre 2003 (Proff. Marco Manetti e Riccardo Salvati Manni)

Corso di Laurea in Matematica - A.A. 2003/2004 Geometria Analitica I Esonero - 21 novembre 2003 (Proff. Marco Manetti e Riccardo Salvati Manni) I Esonero - 21 novembre 2003 Esercizio 1. Per ogni n>0 sia B n M n (R) la matrice simmetrica di coefficienti b ij = i + j 2, i,j =1,...,n. Determinare rango e segnatura di B 1,B 2 e B 3. Soluzione. Si

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y. Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB); VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.

Dettagli

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e

Dettagli

Note di geometria analitica nel piano

Note di geometria analitica nel piano Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE Esercizio 1: Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara) Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di

Dettagli

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente 1 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della

Dettagli

Informatica Grafica. Un introduzione

Informatica Grafica. Un introduzione Informatica Grafica Un introduzione Rappresentare la Geometria Operabile da metodi di calcolo automatici Grafica Vettoriale Partiamo dalla rappresentazione di un punto... Spazi Vettoriale SPAZI VETTORIALI

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k,

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE 1. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, determinare un equazione omogenea del piano parallelo al vettore v = i+j,

Dettagli

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 1) È assegnato il punto P 1 (3; 1), calcolare le coordinate dei punti: P 2 simmetrico di P 1 rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante P 3 simmetrico

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare. Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = 2 0 0 2 D = ( 0 ) E = ( ) 4 4 2 C = 2 0 5 F = 4 2 6 2. Data la matrice A = 0

Dettagli

Appunti ed esercizi sulle coniche

Appunti ed esercizi sulle coniche 1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O

Dettagli

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni I f(,, 0) = (h +,h+, ) f(,, ) = (h,h, h) f(0,, ) = (,h, h) con h parametro reale. ) Studiare

Dettagli

Esercizi di Geometria Affine

Esercizi di Geometria Affine Esercizi di Geometria Affine Sansonetto Nicola dicembre 01 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A (R) dotato del riferimento canonico, si consideri la retta τ di equazione

Dettagli

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica.

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica. 5 luglio 010 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

ii 1.20 Rango di una matrice Studio dei sistemi lineari Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli......

ii 1.20 Rango di una matrice Studio dei sistemi lineari Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli...... Indice Prefazione vii 1 Matrici e sistemi lineari 1 1.1 Le matrici di numeri reali................. 1 1.2 Nomenclatura in uso per le matrici............ 3 1.3 Matrici ridotte per righe e matrici ridotte

Dettagli

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI

Dettagli

1 Coniche. s (x, y, t ) (1) 1 (x, y, t )F r 2

1 Coniche. s (x, y, t ) (1) 1 (x, y, t )F r 2 1 Coniche Studieremo le curve nel piano euclideo, cioè nel piano con un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fissato, oppure nel completamento proiettivo di questo piano, ottenuto con l introduzione

Dettagli

(c) Stabilire per quali valori di h is sistema ammette un unica soluzione:

(c) Stabilire per quali valori di h is sistema ammette un unica soluzione: ognome e Nome: orso di Laurea: 4 settembre 3. Sia L: R 3! R 3 l applicazione lineare x x y + z L @ ya = @ x + y +za. z x y z (a) Scrivere la matrice A che rappresenta L nella base canonica di R 3 : (b)

Dettagli

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico CONICHE in A ~ (C) Punti propri (x P,y P ) hanno coordinate omogenee [(x P,y P, )], Punti impropri hanno coordinate omogenee [(l,m, )]. L equazione di una conica in coordinate non omogenee (x,y) C: a,

Dettagli

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare

Dettagli

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w)

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w) Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini

Dettagli

Studio generale di una conica

Studio generale di una conica Studio generale di una conica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce conica C un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice simmetrica

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.

2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3. Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 2 2 2 A = 2 2 2 Il DetA = 2 quindi

Dettagli

Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI

Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI Anno scolastico: 014-015 Classe: 3 H Docente: Paola Zanolo Disciplina: Matematica Ripassare tutto il programma preparando un formulario per

Dettagli

Compiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004

Compiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004 Compiti di geometria & algebra lineare Anno: 24 Anno: 24 2 Primo compitino di Geometria e Algebra 7 novembre 23 totale tempo a disposizione : 3 minuti Esercizio. [8pt.] Si risolva nel campo complesso l

Dettagli

GEOMETRIA /2009 II

GEOMETRIA /2009 II Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile e Edile-Architettura - a.a. 008/009 II Emisemestre - Settimana - Foglio 0 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore:

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della

Dettagli

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti

Dettagli

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Soluzioni Appello del 17 GIUGNO Compito A

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Soluzioni Appello del 17 GIUGNO Compito A Soluzioni Appello del 17 GIUGNO 2010 - Compito A a) Se h = 7 il sistema ha infinite soluzioni (1 variabile libera), mentre se h 7 la soluzione è unica. b) Se h = 7 allora Sol(A b) = {( 7z, 5z + 5, z),

Dettagli

1 Cambiamenti di coordinate nel piano.

1 Cambiamenti di coordinate nel piano. Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U

Dettagli

Corso di Algebra lineare - a.a Prova scritta del Compito A

Corso di Algebra lineare - a.a Prova scritta del Compito A Prova scritta del 23.02.2009 Compito A Esercizio 1. Sia Oxyz un sistema di riferimento ortonormale in uno spazio euclideo di dimensione 3. Siano inoltre P 1, P 2 e Q i punti di coordinate rispettivamente

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

Soluzione. a) Per la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare, b) Si sfruttano la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare.

Soluzione. a) Per la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare, b) Si sfruttano la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare. Esercizi svolti 4 Problemi guida 117 IL PRODOTTO SCALARE Problema 41 a) Dimostra che (v + w) (v w) = v 2 w 2 b) Dimostra che v w = 1 4 [ v + w 2 v w 2 ] Soluzione a) Per la bilinearità e la simmetria del

Dettagli

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche Parte 12a Trasformazioni del piano Forme quadratiche A Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Trasformazioni del piano, 1 2 Cambiamento di coordinate, 8 3 Forme quadratiche,

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Tutorato di geometria e algebra lineare Anno accademico 2014-2015 Definizione (Vettore

Dettagli

Appunti di Geometria Analitica

Appunti di Geometria Analitica Appunti di Geometria Analitica Indice 1 Spazio affine ed euclideo. 1 1.1 Spazio affine................................... 1 1. Spazio euclideo.................................. Geometria nel piano affine

Dettagli

Costruzione delle coniche con riga e compasso

Costruzione delle coniche con riga e compasso Costruzione delle coniche con riga e compasso Quando in matematica è possibile dare diverse definizioni, tutte equivalenti, di uno stesso oggetto, allora significa che quell oggetto può essere caratterizzato

Dettagli

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24 Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione

Dettagli

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1. L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze

Dettagli

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO DEFINIZIONE Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti

Dettagli

REGISTRO DELLE LEZIONI

REGISTRO DELLE LEZIONI UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI REGISTRO DELLE LEZIONI del Corso UFFICIALE di GEOMETRIA B tenute dal prof. Domenico AREZZO nell anno accademico 2006/2007

Dettagli

Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010

Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010 Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010 In quetsa dispensa: V è uno spazio vettoriale di dimensione d sul campo complesso C generato dai vettori v 1,..., v d. Le variabili m,

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

Esercizi sulle affinità - aprile 2009

Esercizi sulle affinità - aprile 2009 Esercizi sulle affinità - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio Sono assegnate nel piano le sei rette r : =, s : =, t : =, r : =, s : =, t : = determinare l affinità che trasforma ordinatamente

Dettagli

Esercizi di Geometria Affine ed Euclidea del Piano e dello Spazio

Esercizi di Geometria Affine ed Euclidea del Piano e dello Spazio Esercizi di Geometria Affine ed Euclidea del Piano e dello Spazio Sansonetto Nicola 15 aprile 2016 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A 2 (R) dotato del riferimento canonico,

Dettagli

Forme bilineari simmetriche

Forme bilineari simmetriche Forme bilineari simmetriche Qui il campo dei coefficienti è sempre R Definizione 1 Sia V uno spazio vettoriale Una forma bilineare su V è una funzione b: V V R tale che v 1, v 2, v 3 V b(v 1 + v 2, v 3

Dettagli

MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE

MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE DIAGONALIZZAZIONE 1 MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE Matrici ortogonali e loro proprietà. Autovalori ed autospazi di matrici simmetriche reali. Diagonalizzazione mediante matrici

Dettagli

Parte 10. Geometria dello spazio I

Parte 10. Geometria dello spazio I Parte 10. Geometria dello spazio I A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Lo spazio vettoriale V 3 O, 1 2 Dipendenza e indipendenza lineare in V 3 O, 2 3 Sistema di riferimento

Dettagli

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base. DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti

Dettagli

Esercizi Applicazioni Lineari

Esercizi Applicazioni Lineari Esercizi Applicazioni Lineari (1) Sia f : R 4 R 2 l applicazione lineare definita dalla legge f(x, y, z, t) = (x + y + z, y + z + t). (a) Determinare il nucleo di f, l immagine di f, una loro base e le

Dettagli

Analisi Matematica e Geometria 1

Analisi Matematica e Geometria 1 Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica e Geometria 1 Ingegneria Industriale aa 2015 2016 y f 1 g 0 La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica e

Dettagli

Fasci di rette nel piano affine

Fasci di rette nel piano affine Fasci di rette nel piano affine Definizione Data una retta r 0 di equazione a 0 x + b 0 y + c 0 = 0, si chiama fascio improprio di sostegno r 0 la totalità delle rette parallele a r 0, inclusa r 0. F r0

Dettagli

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee 1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE

FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE Esercizi Esercizio 1. Sia data la forma quadratica q( T (x, y, z))=3y 2 +8z 2 +4xy +6xz +12yz. (1) Scrivere la matrice di q: q è definita positiva?. (2) Classificare

Dettagli

0.1 Spazi Euclidei in generale

0.1 Spazi Euclidei in generale 0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due

Dettagli