Lezione del Teoria dei vettori ordinari

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1 Lezione del Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza uguale a 6 ed ortogonali a v 3 = 3,, ). ) Detto u il vettore determinato sopra che forma un angolo ottuso con j, determinare la componente ortogonale di u secondo la retta r avente direzione e verso di v. 3) Determinare la proiezione ortogonale w di u su r. Osserviamo innanzitutto che i vettori v e v sono non paralleli. La condizione che v sia ad essi complanare si esprime dicendo che i vettori x y z v, v, v siano L.D. e pertanto il determinante 0 deve essere 0 nullo, il che dà la condizione x + y 4z = 0, che è l equazione del piano vettoriale contenente v e v. Poiché v = x + y + z, la condizione sulla lunghezza si traduce nell equazione x + y + z = 6. Infine, l ortogonalità con v 3 dà la condizione v v 3 = 3x y z = 0. x + y + z = 6 Otteniamo pertanto il sistema x + y 4z = 0. La seconda e 3x y z = 0 terza equazione hanno come soluzioni le terne del tipo h,, ), con h R. La prima equazione allora diventa h + 4h + h = 6, che ha come soluzione h = ±. Otteniamo così due vettori v =,, ) e v =,, ). La seconda domanda ci chiede di scegliere il vettore u tra v e v che formi un angolo ottuso con j. Dal momento che u j = u j cos ûj = 6 cos ûj, il vettore che forma un angolo ottuso con j deve avere prodotto scalare con j negativo. Pertanto scegliamo u =,, ), essendo u j = < 0. La componente ortogonale di u secondo la retta r è data da u r = u versv ).

2 Si ha v = = e così versv ) = Pertanto otteniamo u r = = 3. ),, 0. Infine, la proiezione ortogonale w di u su r è data da w = u r vers r = u r versv ) = 3, 6, 0). Osservazione.. Sia w la proiezione ortogonale del vettore u sulla retta avente direzione e verso di v. Allora si ha u w) v = 0, cioè il vettore u w è ortogonale ad r. Infatti, dalle definizioni si ha ) v v w = u v v e così u w) v = ) ) v v u u v = u v v v v v v u v = 0.. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. Siano dati i vettori u = i + j k e v = i + k. ) Determinare il vettore w = u v. ) Trovare le componenti ortogonali del versore k rispetto alla base B = {u, v, w}. Si ha u =,, ) e v =, 0, ) e così i j k w = = i + k. 0 Quindi w =, 0, ). Le componenti del versore k rispetto alla base B sono date dagli scalari k u = k versu); k v = k versv); k w = k versw).

3 3 Con facili calcoli si ricava e così versu) = u = 6 v = w = 6,, ) 6 6 versv) = ), 0, versw) = ), 0,, da cui si ricava k u = 6, k v =, k w =. Osserviamo che, dal momento che la base B non è ortonormale, le componenti di k non sono date dalle sue coordinate rispetto a quella base. In effetti, con un facile calcolo si verifica che k = v + 4 w. 3. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. Verificare che i vettori v = i k v = j v 3 = i + k costituiscono una base ortonormale B equiversa con la B. ) Determinare l angolo convesso formato da i e v 3. ) Determinare il versore u complanare a v e v 3 e che forma con i un angolo pari a 3π e con k un angolo acuto. 4 3) Verificare che u e v sono paralleli. 4) Calcolare il volume del parallelepipedo individuato dai vettori v, v 3, j. ) Calcolare le proiezioni ortogonali dei vettori v ed u sulla retta r avente direzione e verso di i e verificare che si tratta di due vettori opposti. Le coordinate di v, v, v 3 nella base B sono v =, 0, ) v = 0,, 0) v 3 =, 0, ). Con facili calcoli si verifica che v, v, v 3 sono versori a due a due ortogonali e pertanto costituiscono una base ortonormale B. La matrice del passaggio dalla base B alla B è data da / 0 / 0 0 / 0 /, il cui determinante è > 0 e pertanto sono due basi equiverse. Si ha i v 3 = cos îv 3, essendo i due vettori di lunghezza unitaria. Pertanto il coseno dell angolo cercato è dato da i v 3 = / e quindi l angolo è pari a π/4.

4 4 La complanarità di u con v e v 3 si esprime nella condizione che i tre vettori siano L.D. data da x y z / 0 / / 0 / = 0, che dà l equazione y = 0 del piano vettoriale contenente i vettori v e v 3. La condizione che u sia un versore dà l equazione x + y + z =. Inoltre, la condizione sull angolo formato con i dà cos ûi =. Avendo i due vettori lunghezza unitaria, questa condizione dà l equazione cos ûi = u i = x =. x + y + z = Si ottiene così il sistema y = 0 x = /, le cui soluzioni sono date dai due vettori, 0, ) e ), 0,. La condizione che u formi con k un angolo acuto ci obbliga a scegliere il vettore u =, 0, ), dal momento che u e k sono due versori e pertanto cos ûk = u k = z deve essere un numero positivo. E immediata la verifica che u e v sono paralleli. In particolare, si tratta di due vettori opposti in quanto proporzionali secondo il fattore. Per calcolare il volume del parallelepipedo individuato dai vettori v, v 3, j è sufficiente calcolare il valore assoluto del prodotto misto dei tre vettori v v 3 j. Sappiamo che ciò equivale a prendere il valore assoluto del seguente determinante / 0 / / 0 / 0 0 =. Pertanto, tale volume è uguale ad. In effetti, dal momento che i tre vettori in questione costituiscono una base ortonormale, il parallelepipedo è un cubo di lato unitario il cui volume è esattamente.

5 Calcoliamo, infine, le proiezioni dei vettori v ed u sulla retta r avente direzione e verso del versore i. I calcoli risultano semplici in quanto e così la proiezione di v è data da vers r = versi) = i v i)i = i, mentre la proiezione di u è data da u i)i = i. Si tratta, in effetti, di due vettori opposti, come era ovvio dal momento che gli stessi vettori v ed u sono uno l opposto dell altro.