1) TEOREMA: OGNI TRIANGOLO E INSCRIVIBILE/CIRCOSCRIVIBILE IN/AD UNA CIRCONFERENZA

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1 1) TEORE: OGNI TRINGOLO E INSRIVIILE/IROSRIVIILE IN/ UN IRONFERENZ TRINGOLO INSRITTO: isegniamo il triangolo. Si tracciano i due assi r ed s dei lati e. Indichiamo con il loro punto di incontro. Sappiamo che qualunque punto di r dista da tanto quanto dista da. llo stesso modo, qualunque punto di s da e da *. oichè il punto appartiene alla retta r, possiamo scrivere che =. llo stesso modo, poichè appartiene anche alla retta s, =. erciò = =. Questi sono i raggi di una circonferenza circoscritta al triangolo, di cui rappresenta il centro. s * imostrazione: Tracciamo il segmento, e una volta fatto questo se ne disegna l asse. eterminiamo su quest asse il generico punto. Una volta congiunto con e con, si vuole dimostrare che =. onsideriamo i due triangoli H e H, entrambi rettangoli. Essi hanno il lato H in comune e H = H per definizione. I due triangoli sono uguali per il primo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. unque =. H

2 TRINGOLO IROSRITTO: isegniamo il triangolo. Si tracciano le due bisettrici r ed s degli angoli e. Indichiamo con il loro punto di incontro. a si tracciano le distanze di r ed s dai lati, e. E facile dimostrare che H = L e K = H. rendiamo infatti in considerazione i triangoli rettangoli K e H: essi sono uguali, avendo il lato in comune, K = H = 90, K = H poichè r è bisettrice dell angolo, K = H di conseguenza. Quindi H = K = L sono i raggi della circonferenza inscritta al triangolo. s K L r H 2) TEORE: IN UN IRONFERENZ UN NGOLO L ENTRO E SERE IL OIO I UN NGOLO LL IRONFERENZ HE INSISTE SULLO STESSO RO Si disegna la circonferenza di centro O. Vogliamo dimostrare che l angolo O è il doppio dell angolo. O

3 onsideriamo il triangolo. Esso è isoscele, in quanto O e O sono raggi della circonferenza. ome tale, gli angoli e O sono uguali tra loro. oichè in ogni triangolo la somma degli angoli interni è pari a 180, posso scrivere: + O = O oichè = O 2 * = O onsideriamo adesso l angolo piatto O. osso scrivere che O = 180 = O + O. Quindi O = O. alle due uguaglianze ottenute risulta evidente che 2* = O. Il teorema è dimostrato. VRINTE: O Vogliamo stavolta dimostrare che: O = 2* bbiamo in precedenza dimostrato come O = 2*. Ripetendo la dimostrazione anche dall altra parte, otteniamo che O = 2*. Sommiamo le varie quantità: = + O = O + O = 2* + 2* = 2* ( + ) = 2*.

4 3) TEOREI SUI RLLELOGRI: NEL RLLELOGR I LTI SONO UE UE RLLELI Una volta disegnato il parallelogramma, si sa che: = = Si vuole dimostrare che: // // Tracciamo la diagonale. I due triangoli e sono uguali per il terzo criterio di congruenza. Essi hanno infatti: = = in comune. Essendo congruenti, i due triangoli hanno anche angoli uguali. Quindi, ad esempio: =. Questi due angoli sono tra loro alterni interni. L unico modo per cui angoli alterni interni siano uguali, è che //. In modo analogo si dimostra che //. VRINTE: Utilizziamo come ipotesi di base il fatto che gli angoli sono a due a due uguali: = =

5 Si sa che: = 360 2* + 2* = 360 = 2* = 180 e sono quindi coniugati interni supplementari. Lo stesso e. unque //. NEL RLLELOGR I LTI SONO UE UE UGULI TR LORO isegnato il parallelogramma, si assume per ipotesi di base: // // Vogliamo dimostrare che = e = Tracciata la diagonale, i due triangoli e formati sono tra loro uguali per il secondo criterio di congruenza. Essi hanno infatti: in comune; 1 = 2 3=4 Quindi = e =. NEL RLLELOGR GLI NGOLI SONO UE UE UGULI TR LORO E GLI NGOLI IENTI LLO STESSO LTO SONO SULEENTRI isegnato il parallelogramma, = e =, poiché vengono ad essere gli angoli alterni interni di due rette parallele tagliate da una trasversale (vedi procedimento illustrato nella dimostrazione precedente). Inoltre: + = = 180 In quanto angoli coniugati interni di due rette parallele tagliate da una trasversale. on questa stessa dimostrazione ne deriva che: = in quanto supplementari di un medesimo angolo.

6 NEL RLLELOGR LE IGONLI SI TGLINO ET isegnato il parallelogramma, vogliamo dimostrare che: = = I triangoli e sono tra loro identici, per il secondo criterio di congruenza. Infatti: = = =. Il teorema è dunque dimostrato. 4) TEORE: IL SEGENTO HE UNISE I UNTI EI I UE LTI I UN TRINGOLO E RLLELO L TERZO LTO E UGULE LL ET I QUESTO

7 N ssumendo che: N = N = //N Si vuole dimostrare che: N // N = ½ onsideriamo i triangoli e N. Essi sono uguali, perché: = ; N =, poiché opposti al vertice, = N, poiché alterni interni, formati da due rette parallele tagliate da una retta trasversale. Essendo uguali i due triangoli, N =. N è quindi un parallelogramma N //. i conseguenza: N = N = N/2 = ½. 5) TEORE: La seguente dimostrazione si basa su un precedente teorema dei parallelogrammi che qui di seguito non verrà però dimostrata, ma accettata come ipotesi: SE IN TRINGOLO K SI ONUE ER IL UNTO EIO EL LTO L RETT N RLLEL K, QUEST TGLI IL LTO K NEL SUO UNTO EIO E etto questo, tracciato il triangolo K, costruiamo a partire dal lato K un parallelogramma, i due lati e K hanno lunghezza a scelta. Il segmento N congiunge i punti medi dei lati e. N K

8 E ovvio che, per come è stata costruita la figura: N = N = K// Vogliamo dimostrare che il segmento N è la metà della somma di ed. er il precedente teorema: E = EK. Inoltre, secondo il teorema che afferma che IL SEGENTO HE UNISE I UNTI EI I UE LTI I UN TRINGOLO E RLLELO L TERZO LTO E UGULE LL ET I QUESTO : E//K E = ½ K Ora, N = NE + E. Quindi N = ½ (+ K) + ½ K N = ½ ( + K + K) = ½ ( + ). 6) TEORE: LE TNGENTI UN IRONFERENZ HE RTONO UNO STESSO UNTO SONO UGULI Tracciamo la circonferenza di centro O. isegnato poi un punto ad essa esterno, si congiunge con O. Indichiamo con la metà del segmento O. untando in con il compasso, con apertura = O, si traccia una secondo circonferenza. ove questa taglia la prima circonferenza, là si trovano i punti e. Si vuole dimostrare che e, tangenti alla circonferenza condotte da, sono tra loro uguali. O onsideriamo i triangoli O e O. Essi sono uguali poiché: 1) Sono rettangoli (infatti sono inscritti nelle due semicirconferenza di diametro O); 2) Hanno O in comune; 3) Hanno O = O poiché raggi di una stessa circonferenza. Stando così le cose =.

9 7) TEORE: IN UN QURILTERO IROSRITTO UN ERHIO L SO I UE LTI OOSTI E UGULE LL SO EGLI LTRI UE L K O H Si vuole dimostrare che + = +. al teorema secondo cui LE TNGENTI UN IRONFERENZ HE RTONO UNO STESSO UNTO SONO UGULI, si può affermare che: H = L = L = K H = K Quindi: H + L + L + H = + + K + K ioè: + = +. 8) TEORE: L ORTOENTRO E IL UNTO INONTRO ELLE LTEZZE I UN TRINGOLO isegnato il triangolo, si tracciano da, e le parallele ad, ed. hiamiamo R,S e i punti di incontro di queste rette. R O S

10 oiché R//, S// e RS//, è certamente un parallelogramma. Quindi =. nche R è un parallelogramma. erciò R =. Se ne conclude che = R. onsideriamo ora il triangolo RS. Tracciamo da l asse di R. H è dunque l altezza del triangolo relativa al lato. Tracciamo anche gli assi di RS e S, che sono le altezza dei lati e. Si sa che gli assi del triangolo si incontrano in un unico punto. Questo vale allora anche per le altezze del triangolo. 9) TEORE: IL RIENTRO E IL UNTO INONTRO ELLE EINE I UN TRINGOLO. QUESTO UNTO IVIE ISUN I ESSE IN UE RTI, ELLE QULI QUELL HE ONTIENE IL VERTIE E OI ELL LTR G N Q isegnato il triangolo, indichiamo con ed N i punti medi dei lati e. Esiste un precedente teorema che afferma che: SE IN TRINGOLO SI ONUE ER IL UNTO EIO EL LTO L RETT N RLLEL, QUEST TGLI IL LTO NEL SUO UNTO EIO N Grazie poi ad un altro noto teorema*, possiamo concludere che N è parallelo ad e pari alla sua metà. hiamiamo G il punto d incontro delle mediane. Troviamo su G il punto tale da esserne il punto medio: = G. Troviamo invece su G il punto Q, con lo stesso criterio. Unendo i punti,n, e Q si trova perciò il parallelogramma NQ. Infatti Q////N poiché e Q sono i punti medi di G e G. Inoltre Q = N. Essendo un parallelogramma, le diagonali si taglieranno a metà. Quindi: G = GN = ½ G. Il teorema è dimostrato.

11 *Richiamo al teorema: IL SEGENTO HE UNISE I UNTI EI I UE LTI I UN TRINGOLO E RLLELO L TERZO LTO E UGULE LL ET I QUESTO N ssumendo che: N = N = //N Si vuole dimostrare che: N // N = ½ onsideriamo i triangoli e N. Essi sono uguali, perché: = ; N =, poiché opposti al vertice, = N, poiché alterni interni, formati da due rette parallele tagliate da una retta trasversale. Essendo uguali i due triangoli, N =. N è quindi un parallelogramma N //. i conseguenza: N = N = N/2 = ½. (QUESTO TESTO E' STTO INVITO E ULITO NHE NELL SEZIONE UNTI EL SITO "SKUOL.NET").