Geometria proiettiva differenziale. II

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1 Geometria proiettiva differenziale. II [Obsah][Contents] In: Guido Fubini (author); Eduard Čech (author); Georges Tzitzeica (author); Alessandro Terracini (author); Enrico Bompiani (author): Geometria proiettiva differenziale. II. (Italian)., pp. [785] Persistent URL: Terms of use: Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 Prefazione pag. v INTRODUZIONE. 1. Coordinate, versi, orientazioni pag, 1 (Coordinate di punto, piano e retta. I simboli v? 2. Orientazioni di una retta. Orientazione di un fascio. Alcuno identita di matrici). 2. Gollini axioni > 8 (Preliminari. Collineazioni nello spazio rigato). 3. Contatto di curve e superficie» 11 (Contatto di curve. Contatto di superficie. Contatto di superficie in corrispondenza biunivoea). 4. Osserva'xioni varie» 16 (Curve razionali di terzo grado. Varieta di terzo grado. La retta principale del Togliatti. Una ulteriore generalizzazione. La divisione covariante). CAP. I. - LA TEORIA DELLE CURVE. 5. La teoria delle curve in geometria euclidea... pag. 23 (Gli invarianti íondamentali. Equazioni intrinseche di una curva. Nuova deduzione degli invarianti íondamentali). 6. Geometria proiettivo-differen%iale delle curve.» 2 6 (Preliminari analitici. Applicazione della teoria delle curve. Le curve come luogo ed inviluppo. Lo equazioni differeuziali fondamentali. Le curve di un complesso lineare. Signiíicato del segno cli oo = + 1. Le collineazioni a modulo qualsiasi. Coordinate normali). 7. Qli elementi geometrici fondamentali.... * 37 (Sistema nullo osculatore. II tetraedro principale. Altri elementi geometrici. Una osservazione). 8. L* curve piane» 4 6 (Una osservazione).

3 786 ÍNDICE CAP. II. - I FONDAMENTI BELLA TEORIA DELLE SUPERFICIE. 9. F or mole di caleolo assoluto pag. 49 (Differenziali controvarianti. Alcune definizioni. Le goodetiche. Derívate covarianti. Una generalizzazione. I simboli a quattro iodici e alcuqí parametri differenziali. Relazioni di apolarità). 10. Iîiassunto di alcuni teoremi metriei....» 56 (Triedri diretti e inversi. Le forme fondamentali di Gauss di una superficie. Raggi e linee di curvatura. Elemento lineare deir immagine sferica. Superficie applicabili). 11. Prime consideraxioni di geom. proiettiva...» 61 (Le direzioni asintotiche. Le direzioni di Darboux). 12. Le forme differenxiali fondamentali....» 64 (Primo método. Nuovo método per definiré le F 2, F :i. Le forme F t, F 3 nella geometria métrica. Una osservazione). 13. Prime applicaxioni» 73 (Superficio correlativo. Significato geométrico del fattore di proporzionalità delle ). 14. Le equaxioni differenxiali fondamentali e la terxa forma differenxialc» 78 (Formole fondamentali. La forma P II. Altre equazioni fondamentali. II teorema fondamentale). 15. Varii sistemi di coordínate x,» 83 (Un primo sistema di coordínate. Coordínate non omogenee. Superficie rigate. Coordínate normali. Rette normali. Métrica normale). 16. Il caso di linee coordínate asintotiche....» 8 9 (Le forme P } II, Q. Flecnodi. Osservazioni varíe. Condizioni di integrabilità. Caleolo di (x dx d 2 x d :i x). II cono di Segre. Confronto con le formole della Geom. métrica). 17. Applicax-ione agli invarianti di un sistema coniugato» 102 (Caleolo di tali invarianti. Sistemi coniugati ad invarianti uguali. Un' altra applicazione). 18. Nuovi studii in coordínate asintotiche u, v...» 109 (Coordínate non omogenee e di Lelieuvre. Asintotiche appartcnenti a complessi lineari. Superficio di cui tutte le asintotiche appartengono a complessi lineari). 19. Le rette tangenti» Applicabilità proiettiva» 118 (II teorema fondamentale. Una proprictà caratteristica di due superficie proiettivaniente applicabili. Un' altra proprietà caratteristica delle superficie proiettivamente applicabili).

4 INDICK 787 CAP. III. - GLI ELEMENTI GEOMETRICI FONDAMENTAL!. 21. La quadrica di Lie pag. 125 (Sua définizione. Interpretazioni geometriche della forma cp., e deir elemento lineare cp :{ : cp 2. Fascio delle quadriche di Darboux. La quadrica di Lie come iperboloide osculatore). 22. La corrispondenxa di Segre» Geodetiche, e analoghi sistemi di curve...» 133 (Primi teoremi. Terne apolari. Le coppie apolari e la cónica di Wilczynski. Interpretazione non euclidea della métrica proiettiva. Curve di un íascio ; l 1 asse della superficie). 24. Le pangeodetiche. II fascio canonico....» 14i 25. Congruente di rette» 144 (Sviluppabili e fuochi. Le direttrici di Wilczynski. Congruenze K coniugate e IC armoniche ad S, tra cu i si corrispondono le sviluppabili. Le superficie a curvatura 2. Le congruenze a sviluppabili indeterminate). 26. Lo spigolo (edge) di Green» Il fascio canonico» Le superficie per cui una retta canónica passa per un punto ftsso, e superficie duali» 160 (Caso delle normali proiottive. Formole generali. Il caso 1-4-/.' = 0 (per Tasse). II caso k = 0 delle direttrici. Le superficie di Tzitzeica-Wilczynski). 29. Le superficie di Cech a linee di Darboux piane..» Breve riassunto di altrc ricerchc >177 Cap. IV. SUPERFICIE RIGATE. 31. Applicaxione delle formole generali del Capitolo II al caso particolare di una superficie rig at a... pag Deduxione diretta dei risultati precedenti c prime applicazioni»187 (Nuova deduzione delle (11). Applicazione alia quadrica di Lie). 33. Orient alione delle generatrici; espressioni intrinsech e. Formole relative al cambiamento di vaviabili. > Linee asiniotichc, la forma bilineare intrínseca..» 198 (Lineo asintoticlie. La forma bilinoare fondamentale. Coiv gruenza ílecnodale). 35. Normalixxaxione delle coordinate delle generatrici per superficie rig ate a due curve flecnodali distinte..» 206 (Coordinate normali. Invarianti fondamontali d' una rigata a linee flecnodali distinte. Alcune applicazioni geometriclie). 36. Normalixxaxione delle coordinate delle generatrici per superficie rig ate a curve flecnodali coincidenti..» 216

5 788 ÍNDICE (Determinazíone di queste rigate per mezzo di invarianti. Aie une interpretazioni geometriche). 37. Il complesso lineare osculatore pag interiore studio di superficie rigate a curve flecnodali distinte, prive di retta direttrice....» La trasformaxione flecnodale.....» L'applieabilità proiettha di superficie rigate..» 238 Cap. V. - CONGRUENZE, CONGRUENZE IF E TRASFORMAZIONI PER CONGRUENZE TV. 41. Congruenxe di assegnata prima falda focale.. pag. 243 (Formolc fondamentali. Nuova interpretazione delle formoleprecedonti). 42. Formate fondamentali delta teoría delle congruenxe AY» Le congruenxe AV con N = cost» Confronto coi risultati classici délia geometría métrica» L' equaxione delle congruenxe^ in coordina,te di retta» Le congruenxe di Wilcxynski» Congruenxe W di cui una falda focale S è quadrica» 266 (Primi teoremi. Interpretazione nella geometría non euelidea. Inversione dei teoremi dati in A). 48. Conyruenxe W con le due falde rigate (non quadriche)» Superficie tras formate delle rigate con congruenxe "W > Composixione di Bianchi di due congruenxe AV.» Le trasformaxioni W di Fubini delle superficie isolermo-asintotichc » Le trasformaxioni di lonas per congruenxe W delle superficie R» Le trasformaxioni di lonas delle superficie di lonas.» Il teorema di Fubini per le trasformaxioni delle superficie R» 293 (Una osservazione sulla teoría delle congruenze JF). CAP. VI. INVARIANTI DELL' ELEMENTO LINEARE PROIETTIVO. 55. Alcune consideraxioni preliminari.... pag I differenxiali coniugati» La forma differenxiale F3.....» 300 (Definizione di F3. Alcune identità notevoli). 58. La forma differenxiale 24>i dui» 305 (Definizione delle c >/. Relázioni con le p r $ 59. Qli invarianti del primo ordine delv elemento lineare proiettivo > 307 (Definizione. Alcune identità nel caso «Ê^O. Altre identità. 11 caso <î> = 0, ^ + 0).

6 INDICK Invarianti del secondo ordine delv elemento lineare proiettivo pag. 315 (Defînizione. II caso «Ê^fcO. Il caso í> = 0. II caso delle e W costanti). 61. II primo problema delv applicabilité proiettiva..» 319 (Preliminari. Condizioni necessarie. Condizioni sufficienti. Nuova forma delle condizioni sufficienti). 62. Gontinuaxione. Elementi linear i proiettivi con un gruppo continuo di tras for maxioni in sé.....» 325 (Alcune formóle preliminari. Un lemma. II teorema fondamentale). CAP. VII. - CONDIZIONI D' INTEGRABILITÀ E SUPERFICIE PROIETTIVAMENTE APPLICABILI 63. Gondixioni d'integrabilità delle equaxioni fondamentali pag. 335 (Equazioni preliminari. Trasformazione delle (5). Calcolo delle h ). 64. Gontinuaxione» 340 (Condizioni d'integrabilità delle (1)M 3. Studio delle (1). Studio della (2). Esame delle condizioni d'integrabilità. Teorema riassuntivo). 65. Trasformaxione delle equaxioni tróvate per superficie non rigate. Caso di coordinate normali... > 345 (II caso JÔ. Nuovo enunoiato per lo coordinate normali). 66. Nuova tras for maxione delle equaxioni tróvate per il caso di coordinate normali» 350 (Introduzione della funzione ausiliaria o. Studio delle (2)). 67. Deformaxione proiettiva» 353 (II problema fondamentale. Il sistema coniugato di deformazione proiettiva. Superficie R e R 0. Deformazione proiettiva di una superficie data). 68. Teoremi varii sulle superficie R e R 0....» 360 (Elemento lineare riferito alie asintotiche. Un teorema per le superficie R {) o R). 69. Le superficie proiettivámente deformabili in oc 3 modi» 364 (Preliminari. II caso K = 0. Continuazione. Formolo finali relative al caso K = 0. II caso K = cost. 4= 0. Le formóle finali nel caso K = cost. Ô. Teorema riassuntivo e osservazioni varie. Quadro finale delle forme fondamentali delle superficie con H = 0, K-=cost.). 70. Nuovo método per lo studio dei problemi precedenti. > 384 (Principio del método. Le superficie con p = 1 deformabili in oo 3 modi. Superficie con P = l, KÔ, deformabili al più in CP 2 modi. Le superficie R deformabili in oo 3 modi).

7 790 ÍNDICE CAP. VIII. - SUPERFICIE NON RIGATE CHE AMMETTONO UN GRUPPO CONTINUO DI DEFOMAZIONI PROIETTIVE IN SÈ Superficie con zo2 deformaxioni proiettive (o collineaxioni) in se (Preliminari. Il primo caso 0. Il caso ÜL^O. Secondo caso K+2 = 0. Torzo caso IC {K -f 2) i 0. Quadro delle forme fondamentali delle superficie con oo2 deformazioni proiettive in sô). 72. Nuova deduxione dei precedenti risidtati... (Método di Fubini. Método di Lie per i gruppi di collineazioni). 73. Superficie con oo1 deformaxioni proiettive in sé. Specie A. (Loro determinazione. Altri metodi di calcolo). 74. Risoluxione di uri equaxione ausiliaria.... (Preliminari. Primo modo di soddisfare alia (5). Secondo modo di soddisfare alia (5). Non esistenza di ultcriori soluzioni di (E). Quadro di soluzioni dell'equazione) Superficie con cc1 deformaxioni proiettive in sé. Riduxione del problema alv equaxione studiata al precedente 7 6. Verifiche per le specie B, e B2 (Superficie della specie B t. Superficie della specie B 2 ) Verifiche per la specie B;{ 78. Verifiche per le specie B,, B-, B,: (Specie. B 4. Specie Z?5. Specie 2?(i). 71. pag. 389» 394» 398» 403»416»418» 423» 436 CAP. IX. QUADRICHE DI MOUTARD E CORRISPONDENZE S (C). 79. Trasformaxione delle equaxioni fondamentali II teorema di Moutard (Un lemma. Dimostrazionc del teorema di Moutard. Dimostrazione) Le corrispondenxc S (Loro definizione. La polarità di Lie. Corrispondenza di Segre. La Corrispondenza di Moutard. Proprieta delle corrispondenze S per le rigate. Proprieta delle corrispondenze S per superficie non rigate). 82. Le corrispondenxe S appartenenti ad una generatrice di una rig ata (Trasformazioni birazionali S (c) nello spazio. Curva omologa di un fascio di piani. Determinazione delle 2) Metriehe di Weyl e corrispondenxe S ^. pag. 457» 460» 470»481.» 490 (Metriche di AVoyl. Piani osculatori alie geodetiche di Weyl. Geodetiche formanti fascio) Le rette canonichc in coordinate generali...» 496

8 INDICK 791 CAP. X. INTORNO DI UN PUNTO DI UNA SUPERFICIE QUADRICIIE DI MOUTARI) E CONO DI SEO HE 85. Enuncíalo di alcuni teuremi per le quad riche di Moutard, 80. Rette polari rispetto ad una quadrica di Moutard (Rotto r 0, r" polari di una retta r rispetto alia quadrica di Lie e alie quadricke di Moutard relative a duo direzioni coniugate. Le rette I del regolo r 0 r r". I punti y,,, ed i piani y m ^. Dcterminazione dei punti o piani precedenti. Il punto m e il piano JI). 87. Costruxione del punto m e del piano ji (Caso di una superficie rigata. Superficie non rigato. Conidio G e coni T). 88. I fasci di coniche Ch 89. Significato geométrico degli invaria,7iti proiettivi più semplici di una superficie (Intorno del quarto ordinc di una superficie. Invarianti delle coniche G\ e G*. Alcune formule preliminari. Birapporti R i ed R ). 90. Quadricke di Moutard relative aile rigate asintotichc 91. Il cono di Segre (Formule preliminari. Nuovo calcolo di un determinante. Cono di Segre. Alcune applicazioni). 92. Superficie a pangeodetiche piane pag. 501» 504» 512» 517» 522» 529» 533 CAP. XI (F). - COMPLESSI E CONGRUENZE 1)1 RETTE 93. Formule preliminari pag. 541 (Rette e complessi lineari. Alcune idontità. Collineazioni e correlazioni. Equazioni di una retta). 94. La forma 9» I complessi di rette con A == 0» L'elemento lineare proiettivo di un cotuplcsso..» 548 (Il coinplesso n e la forma x- L' elemento lineare proiettivo. Curvature proiettive e coordinate normali;. 97. Le equaxioni differenxiali fondamentali nella teoria dei complessi» 556 (Equazioni /, II, III. Applicabilità proiettiva dei complessi). 98. Le congruence con A = 0» Gli elementi geometrici fondamentali di una congruenxa» 563 (Fasci centrali e focali. Tangenti focali. Asintotichc locali) La seconda forma fondamentale di una congruenxa» 568 (La forma <î>. Complessi bitangenti. Complessi satelliti. Complcsso osculatore di una congruenza IF. Fascio satellite e nuovi invarianti).

9 792 ÍNDICE 101. Le equaxioni differenxiali fondamcntali... pag U elemento lineare proiettivo d'una congruenxa.» 578 Aleune altre osservaxioni......» Applicabilité di complessi e di congruenxc..» 581 (Applicabilità del primo ordine di due complesi. Applicabilité proiettiva di duo congruenze (F). Studio delle falde focali di congruenze applicabili (del secondo ordine). Continuazione. Formule duali delle precedenti. Trasformazione delle precedenti condizioni. Il caso singolare di Cartan. Nuova trasformazione delle precedenti condizioni. Il caso singolare. Altra deduzione delle formule precedenti). CAP. XII. - INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA PROIETTIVO - DIFFERENZIALE NEGLI IPERSPAZI 104. Le forme fondamcntali delle ipersuperflcie... pag. 605 (Preliminari geometrici (F). Formole fondamcntali (F). Le equazioni difterenziali fondamentali. Alcune applicazioni dei risultati precedenti) La quadrica di Ceck» 615 (Polarità e quadrica di Cech. Teorema di Cecli. Continuazione e fine délia dimostrazione) Rette normali ; coordínate normali.... > U applicabilità proiettiva delle ipersuperficie (F)..» Alcune gencralixxaxioni > Le superficie V 2 non parabolichc in S 4 e ta loro prima forma fondamentale» La seconda forma fondamentale di una \ in S^.» 637 (La forma Significato geometrico délia F r ) Le equaxioni differenx,iali (F)» Superficie rigate appartenenti ad uno spaxio ad un numero impari di dimensioni (C)....» Superficie rigate appartenenti ad uno spaxio ad un numero pari di dimensioni (C)» 655 APPENDICE I a (Note de M. G. TZITZKICA) Sur la déformation de certaines surfaces tétraédralex, les surfaces S et les réseaux R pag. 663 Una osservaxione bibliográfica» 669 APPENDICE II» (Nota di E. BOMPIANI) 1 fondamenti geometrici délia teoria proiettiva delle curve e delle superficie pag. 671

10 INDICK 793 I. Curve piane pag. 674 (1. Invariante di Sogro. 2. Invariante assoluto di un'eijuazione di Laplace. 3. Invarianti di contatto fra curve piane. 4. Invarianti proiettivi di una curva piaña. 5. Singolarità : punti di flesso). II. Curve sghembe»679 (1. Invarianti di contatto. 2. Piano, retta e punto principali. 3. Invarianti proiettivi di una curva sghemba). III. Superficie. Le forme fondamentali....» 68 L (1. Invarianti infinitesimi di contatto fra superficie. 2. L'elemento lineare proiettivo di una superficie. 3. Le due prime forme normali di Fubini. 4. Le prime forme elementan cuni elementi geometrici). (1. Deíinizione dei sistemi assiali. 2. Un invariante fondamentale. Curve anarmoniche. 3. Le forme di Fubini. 4. Altre forme invarianti del 1 ordine). IV. Invarianti dette curve sopra una superficie...» 691 (1. Curvatura proiettiva. 2. Curvatura relativa di duo curve. 3. Le forme elementan e gli invarianti di curvatura. 4. Método générale per la costruzione di invarianti. Trasporto proiettivo 5. La torsiono proiettiva. Sezioni piane. 6. La terza forma fondamentale di Fubini). V. Invarianti proiettivi di una superficie.... > 698 (1. Osservazioni generali. 2. Invarianti delp elemento lineare proiettivo. 3. Le forme elementari e gli invarianti precedenti. 4. Invarianti per collineazioni). VI. La geometria dette superficie nello spaxio rigato. Método iperspaziale» 703 (1. Rappresentazione iperspaziale del complesso delle tangenti ad una superficie 2. Regoli di Lie. 3. Rigate asintotiche lungo le linee di Darboux e di Segrc. 4. Nuove quadriclie invarianti. 5. II fascio canonico. 6. Determinazione iperspaziale delle forme elementari. 7. Invarianti c classi di superficie invarianti. 8. Sistemi di curve invarianti). VII. Corrispondenze puntuali fra superficie....» 720 (1. Corrispondenza Cremoniana fra stelle di piani. 2. Corrispondenze proiettive fra stelle di rette. 3. Sistemi assiali corrispondenti). 1. (Le corrispondenze proiettivo-conformi e proiottivo-simili. 2. Le corrispondenze geodetico-proiettive. 3. Le corrispondenze asintotiche). APPENDICE 111. a (Nota di A. TERRACINI) Esposizione di alcuni risultati di geometria proiettiva-differendale negli iperspaxi pag / successivi intorni di un punto su una varietà.. > 731

11 794 ÍNDICE 2. Généralité, suite varieta rappresentanti sistemi di equaxioni lineari aile deriváte parxiali 3. Superficie rappresentanti equaxioni di Laplaee. 4. Varietà rappresentanti sistemi di equaxioni lineari alte deriváte parxiali aventi dimensione assai elevata. 5. Alcuni altri particolari sistemi di equaxioni di Laplace rappresentati da V h 6. La varieta degli spaxi tangenti ad un' altra varietà. 7. Comportamrnto degli spaxi osculatori a una varietà in relaxione con le sue sexioni iperpiane 8. Le linee quasi asintotiche di una varietà. 9. Altri notevoti sistemi di linee esistenti suite superficie 10. Varietà luoghi di spaxi 11. Luoghi di spaxi con carattere di sviluppabili 12. Un tipo particolare di luoghi di spaxi pag. 725» 736» 741» 743» 747» 750» 751» 753» 756» 760» 764 APPENDICE IV.* (Nota di A. TERRACINI) Suite superficie aventi un sistema, o entrambi, di asintotiche in complessi lineari 771

12 Finito di st ampare il giorno 28 Febbraio 1927 nella Tipografía del Seminario in Padora