GRAFICI DI FUNZIONI E TRASFORMAZIONI DEL PIANO

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1 Note su GRAFICI DI FUNZINI E TRASFRMAZINI DEL IAN Giulia Fidanza In queste note ci proponiamo di trovare l equazione di una funzione il cui grafico sia ottenuto dal grafico di una funzione nota attraverso traslazioni, simmetrie rispetto agli assi e all origine e dilatazioni. Saremo alla fine in grado di tracciare grafici di funzioni ottenute componendo una funzione nota con queste trasformazioni del piano. Traslazioni Teorema. Siano a, b R due numeri reali e siano f, g : D R due funzioni reali di dominio D R tali che g() = f( a) + b allora il grafico di g si ottiene traslando il grafico di f attraverso il vettore v = (a, b). Dimostrazione. La dimostrazione consiste nel verificare che traslando il grafico di f si ottiene proprio il grafico di g. Il grafico di f è, per definizione, l insieme G f = (, ) = f()} (nella figura a lato indicato dalla linea più sottile). Sia v = (a, b) un vettore e sia Γ l insieme ottenuto traslando G f attraverso v (nella figura a lato indicato dalla linea più spessa). Q G f Q Γ Il fatto che Γ sia ottenuto traslando G f significa che ogni punto di Γ è il traslato di un punto di G f, in simboli: (, ) Γ Q( Q, Q ) G f : = Q + a = Q + b b v Q a Che si legge: er ogni ( ) punto di coordinate (, ) appartenente ( ) all insieme Γ, esiste ( ) un punto Q di coordinate ( Q, Q ) appartenente ( ) all insieme G f tale che (:) è il traslato di Q tramite un vettore (che abbiamo chiamato v ) di componente a lungo le ascisse e componente b lungo le ordinate Dire che è il traslato di Q tramite v = (a, b) è come dire che Q è il traslato di tramite il vettore v = ( a, b), in simboli: = Q + a Q = a = Q + b Q = b Essendo Q un punto di G f, le sue coordinate soddisfano l equazione = f(), dalla quale si deduce l equazione che definisce Γ, nel seguente modo: Q G f Q = f( Q ) b = f( a) = f( a) + b Quindi Γ è il grafico della funzione g : D R data nel teorema da g() = f( a) + b, cioè Γ = G g = (, ) = g()} = (, ) = f( a) + b} QED

2 Esempio. Tracciamo il grafico di = cos ( + π ) traslando il grafico (noto) di = cos tramite il vettore v = ( π, ) : = cos v = cos ( ) + π sservazione. Sappiamo che sin ( + π ) = cos, infatti il grafico della funzione = cos è ottenuto traslando il grafico della funzione = sin tramite il vettore v = ( π, 0), come mostrato in figura: = sin = cos sservazione (funzioni periodiche e traslazioni). Sappiamo che le funzioni goniometriche sono periodiche, il seno ed il coseno hanno periodo π e la tangente ha periodo π, e ne abbiamo dedotto che: sin( + kπ) = sin, cos( + kπ) = cos e tan( + kπ) = tan k Z In generale, il periodo di una funzione f è il più piccolo numero reale positivo p tale che f( + p) = f(), questo significa che la funzione di equazione = f( + p) è la stessa f, che ha equazione = f(), quindi traslando il grafico G f di f del vettore v = ( p, 0) si ottiene sempre G f. Ad esempio, traslando il grafico del seno o del coseno del vettore v = ( π, 0), oppure il grafico della tangente del vettore v = ( π, 0), si ottiene il grafico di partenza. Notiamo inoltre che se f ha periodo p, allora f( + p) = f( + p + p) = f( + p) = f(), f( + 3p) = f( + p + p) = f( + p) = f() e così via, ed inoltre f( p) = f( p + p) = f(), f( p) = f( p + p) = f( p) = f() e così via, cioè: f( + kp) = f() k Z Quindi traslando G f di un vettore v = (kp, 0) con k Z, che quindi è orizzontale e lungo un multiplo (positivo o negativo) del periodo p, si ottiene sempre G f stesso. Ad esempio, traslando il grafico del seno o del coseno dei vettori v = (π, 0), oppure v = ( 4π, 0), oppure v = (0π, 0), si ottiene sempre il grafico di partenza. Lo stesso vale per il grafico della tangente quando viene traslato dei vettori v = ( 3π, 0), oppure v = (π, 0), oppure v = (6π, 0).

3 Simmetrie. Simmetria rispetto all asse delle ascisse Teorema. Siano f, g : D R due funzioni reali di dominio D R tali che g() = f() allora il grafico di g è il simmetrico del grafico di f rispetto all asse delle ascisse. Dimostrazione. La dimostrazione consiste nel verificare che il simmetrico del grafico di f rispetto all asse delle ascisse è proprio il grafico di g. Il grafico di f è, per definizione, l insieme G f = (, ) = f()} Q Q (nella figura a lato indicato dalla linea più sottile). Sia Γ l insieme ottenuto da G f attraverso una simmetria rispetto all asse delle ascisse (nella figura a lato indicato dalla linea più spessa). G f Il fatto che Γ sia ottenuto da G f attraverso una simmetria rispetto all asse delle ascisse significa che ogni punto di Γ è il simmetrico, rispetto all asse, di un punto di G f, in simboli: = Q (, ) Γ Q( Q, Q ) G f : = Q = Q Γ Dire che è il simmetrico di Q rispetto all asse è come dire che Q è il simmetrico di sempre rispetto all asse, in simboli: = Q Q = = Q Q = Essendo Q un punto di G f, le sue coordinate soddisfano l equazione = f(), dalla quale si deduce l equazione che definisce Γ, nel seguente modo: Q G f Q = f( Q ) = f( ) = f( ) Quindi Γ è il grafico della funzione g : D R data nel teorema da g() = f(), cioè Γ = G g = (, ) = g()} = (, ) = f()} QED Esempio. Tracciamo il grafico di = tan applicando la simmetria rispetto all asse delle ascisse al grafico (noto) di = tan : = tan π 4 = tan 3

4 . Simmetria rispetto all asse delle ordinate Teorema 3. Siano f, g : D R due funzioni reali di dominio D R tali che g() = f( ) allora il grafico di g è il simmetrico del grafico di f rispetto all asse delle ordinate. Dimostrazione. La dimostrazione consiste nel verificare che il simmetrico del grafico di f rispetto all asse delle ordinate è proprio il grafico di g. Il grafico di f è, per definizione, l insieme G f = (, ) = f()} = Q Q (nella figura a lato indicato dalla linea più sottile). Sia Γ l insieme ottenuto da G f attraverso una simmetria rispetto all asse delle ordinate (nella figura a lato indicato dalla linea più spessa). Γ G f Il fatto che Γ sia ottenuto da G f attraverso una simmetria rispetto all asse delle ordinate significa che ogni punto di Γ è il simmetrico, rispetto all asse, di un punto di G f, in simboli: Q (, ) Γ Q( Q, Q ) G f : = Q = Q Dire che è il simmetrico di Q rispetto all asse è come dire che Q è il simmetrico di sempre rispetto all asse, in simboli: = Q Q = = Q Q = Essendo Q un punto di G f, le sue coordinate soddisfano l equazione = f(), dalla quale si deduce l equazione che definisce Γ, nel seguente modo: Q G f Q = f( Q ) = f( ) Quindi Γ è il grafico della funzione g : D R data nel teorema da g() = f( ), cioè Γ = G g = (, ) = g()} = (, ) = f( )} QED Esempio 3. Tracciamo il grafico di = sin( ) applicando la simmetria rispetto all asse delle ascisse al grafico (noto) di = sin : = sin = sin( ) 4

5 .3 Simmetria rispetto all origine Teorema 4. Siano f, g : D R due funzioni reali di dominio D R tali che g() = f( ) allora il grafico di g è il simmetrico del grafico di f rispetto all origine. Dimostrazione. Si potrebbe procedere con una dimostrazione che ricalchi le dimostrazioni precedenti, si preferisce tuttavia mostrare un argomento diverso, introducendo l uso della composizione di trasformazioni. Dimostriamo innanzitutto che la simmetria rispetto all origine è la composizione delle due simmetrie rispetto agli assi (come mostrato nella figura qui sotto). Se è un punto del piano di coordinate (, ), sappiamo che il suo simmetrico rispetto all origine,, ha coordinate (, ). si può ottenere da componendo la simmetria rispetto all asse delle ascisse con la simmetria rispetto all asse delle ordinate, cioè, se è il simmetrico di rispetto all asse, allora è il simmetrico di rispetto all asse, infatti: (, ) sim. vert. (, ) sim. orizz. (, ) L ordine delle due simmetrie può anche essere invertito, cioè, se è il simmetrico di rispetto all asse delle ordinate, allora è il simmetrico di rispetto all asse delle ascisse, infatti: (, ) sim. orizz. (, ) sim. vert. (, ) Consideriamo ora la funzione h : D R tale che h() = f( ), allora, per il Teorema 3, il grafico di h, G h (nella figura a lato indicato dalla linea tratteggiata), è il simmetrico rispetto all asse delle del grafico di G f (nella figura a lato indicato dalla linea più sottile). G f Essendo g = f( ) = h(), allora, per il Teorema, il grafico di g, G g (nella figura a lato indicato dalla linea più spessa), è il simmetrico rispetto all asse delle del grafico di G h. G h Quindi G g è ottenuto da G f attraverso la composizione della simmetria rispetto all asse delle ordinate con la simmetria rispetto all asse delle ascisse, e, per quanto osservato prima, questo implica che G g è il simmetrico rispetto all origine di G f. G g QED Esempio 4. Tracciamo il grafico di = cos( ) applicando la simmetria rispetto all origine al grafico (noto) di = cos: = cos( ) = cos 5

6 sservazione 3. sserviamo che i grafici delle tre funzioni goniometriche sin, cos e tan hanno delle simmetrie interne che corrispondono a proprietà algebriche delle funzioni stesse: sin( ) = sin sin( ) = sin G sin è simmetrico rispetto all origine, cos( ) = cos G cos è simmetrico rispetto all asse delle ordinate, tan( ) = tan tan( ) = tan G tan è simmetrico rispetto all origine. Definizione. Una funzione reale f : D R di dominio D R tale che f() = f( ) si dice pari, ed il suo grafico G f è simmetrico rispetto all asse delle ordinate; se invece f() = f( ) la funzione si dice dispari, ed il suo grafico G f è simmetrico rispetto all origine. La funzione coseno è pari, le funzioni seno e tangente sono dispari. 6

7 3 Dilatazioni 3. Introduzione alle dilatazioni Questa parte introduttiva sulle dilatazioni non vuole essere una trattazione esaustiva del tema, ma solo un insieme di osservazioni che permettano allo studente di capire come funzionano queste trasformazioni, per poi usarle per disegnare grafici di particolari funzioni. Definizione. Dati due numeri reali h, k R, chiamiamo dilatazione di rapporti h e k quella trasformazione del piano definita dalle equazioni = h = k che quindi trasforma il punto del piano (, ) nel punto (h, k ). Chiariamo innanzitutto il senso di queste trasformazioni, poi capiremo che effetto hanno sugli insiemi nel piano cartesiano. Esempio 5. Consideriamo l immagine qui a lato che ha larghezza X = 4cm (dimensione orizzontale) Y = 3, 6cm (dimensione verticale). Applicare all immagine una dilatazione di rapporti ed significa trasformarla in una immagine che ha larghezza 3, 6cm 4cm X = X = 4cm = 8cm (dimensione orizzontale) Y = Y = 3, 6cm = 3, 6cm (dimensione verticale). 3, 6cm Il risultato della trasformazione è l immagine qui accanto. 8cm sserviamo che nella dilatazione effettuata solo la dimensione orizzontale dell immagine è stata effettivamente modificata (moltiplicata per un fattore ), mentre la dimensione verticale è rimasta la stessa dell immagine originaria (poiché moltiplicata per un fattore ). Definizione 3. Chiamiamo dilatazione orizzontale di fattore h la dilatazione di equazioni = h = che quindi influenza solo la dimensione orizzontale, di un fattore h R, mentre la dimensione verticale rimane inalterata. Analogamente: Definizione 4. Chiamiamo dilatazione verticale di fattore k la dilatazione di equazioni = = k che quindi influenza solo la dimensione verticale, di un fattore k R, mentre la dimensione orizzontale rimane inalterata. 7

8 Esempio 6. Trasformiamo l immagine iniziale dell esempio?? attraverso una dilatazione verticale di fattore 4 3, ottenendo l immagine qui accanto, che ha larghezza X = X = 4cm = 4cm (dimensione orizzontale) Y = 4 3 Y = 4 3, 6cm = 4, 8cm (dimensione verticale). 3 4, 8cm Sottolineamo che nella dilatazione effettuata solo la dimensione verticale dell immagine è stata effettivamente modificata (moltiplicata per un fattore 4 3 ), mentre la dimensione orizzontale è rimasta la stessa dell immagine originaria (poiché moltiplicata per un fattore ). 4cm Esempio 7. Facciamo ora un esempio di una dilatazione lungo entrambi gli assi. Trasformiamo l immagine iniziale dell esempio?? attraverso una dilatazione di fattori e 4 3, ottenendo l immagine qui accanto, che ha larghezza X = X = 4cm = 8cm (dimensione orizzontale) 4, 8cm Y = 4 3 Y = 4 3, 6cm = 4, 8cm (dimensione verticale). 3 8cm sservazione 4. Attenzione a non confondere le dilatazioni con degli ingrandimenti (anche solo lungo una direzione): la dimensione dell immagine trasformata dipende dai fattori di trasformazione h (in orizzontale) e k (in verticale), che ingrandiscono se maggiori di, e riducono se minori di uno; sono indipendenti tra loro (per esempio, una dilatazione con fattori h > e k < ingrandisce in orizzontale e riduce in verticale). Esempio 8. Trasformiamo l immagine iniziale dell esempio?? attraverso una dilatazione orizzontale di fattore, ottenendo l immagine qui accanto, che ha larghezza X = X = 4cm = cm (dimensione orizzontale) 3, 6cm Y = Y = 3, 6cm = 3, 6cm (dimensione verticale). cm 8

9 Esempio 9. Trasformiamo l immagine iniziale dell esempio?? attraverso una dilatazione verticale di fattore 3, ottenendo l immagine qui accanto, che ha larghezza X = X = 4cm = 4cm (dimensione orizzontale), 4cm Y = 3 Y = 3, 6cm =, 4cm (dimensione verticale). 4cm 3 Esempio 0. Trasformiamo l immagine iniziale dell esempio?? attraverso una dilatazione di fattori, ottenendo l immagine qui accanto, che ha larghezza e 4 3 X = X = 4cm = cm (dimensione orizzontale) Y = 3 Y = 3, 6cm =, 4cm (dimensione verticale). 3 4, 8cm cm Un caso particolare è dato dalle dilatazioni in cui i fattori coincidono: Definizione 5. Si chiama omotetia una dilatazione i cui fattori coincidono, che ha quindi equazione = k dove k R. Inoltre se k > l omotetia si chiama ingrandimento; se k < l omotetia si chiama riduzione; se k = l omotetia si chiama identità. = k Esempio. Trasformiamo l immagine iniziale dell esempio?? attraverso un ingrandimento di fattore ottenendo l immagine qui accanto, che ha larghezza X = X = 4cm = 8cm (dimensione orizzontale) Y = Y = 3, 6cm = 7, cm (dimensione verticale). Esempio. Trasformiamo la solita immagine attraverso una riduzione di fattore ottenendo l immagine qui sotto, che ha larghezza (dimensione orizzontale) X = X = 4cm = cm (dimensione verticale) Y = Y = 3, 6cm =, 8cm. cm, 8cm 7, cm 8cm 9

10 sservazione 5. sserviamo che ingrandimenti e riduzioni mantengono inalterate le caratteristiche geometriche dell immagine che viene trasformata e ne modificano solo la grandezza. Ad esempio, se approssimiamo il naso di Snoop con un cerchio, un ingrandimento o una riduzione ne modificano solo il raggio, mentre una dilatazione non omotetia lo fa diventare un ellisse. In altre parole, figure trasformate attraverso omotetie sono proporzionali. Adesso guardiamo l effetto delle dilatazioni sui punti, e quindi sugli insiemi, del piano cartesiano. Esempio 3. Consideriamo ora la dilatazione di fattori e 3 nel piano cartesiano. Le equazioni della dilatazione sono = = 3 quindi, R, (, ) (, 3 ). Ecco alcuni punti ed i loro trasformati: A(, ) A (, 3) C(0, ) C (0, 6) E(, ) E (, 3) B(, 0) B (, 0) D(, ) D ( 4, 3) D E D A E A B B C Quindi il pentagono ABCDE viene trasformato nel pentagono A B C D E. C sservazione 6. rendiamo spunto dall esempio precedente per fare alcune osservazioni generali. Data una dilatazione di fattori h e k si ha che: punti sugli assi sono trasformati in punti sugli stessi assi, infatti: rette vengono trasformate in rette; (, 0) (h, 0) e Q(0, Q ) Q (0, k Q ) ; rette parallele vengono trasformate in rette parallele; rette perpendicolari non vengono trasformate in rette perpendicolari (a meno che non siano parallele agli assi). Degli ultimi tre punti omettiamo la dimostrazione in queste note. Esercizio. Qui sotto sono disegnati quattro casi di dilatazione sempre a partire dallo stesso grafico (linea più sottile), i piani cartesiani sono muti, si assuma che un quadretto rappresenti l unità. rova a determinare per ognuno dei quattro grafici trasformati (linea più spessa) di quale tipo di dilatazione si tratti e con quali fattori. Figura Figura Figura 3 Figura 4 0

11 3. Dilatazioni e grafici di funzioni Scopriamo ora come riconoscere quando il grafico di una funzione può essere ottenuto dal grafico di una funzione nota attraverso una dilatazione. Teorema 5. Siano h, k R >0 due numeri reali positivi e siano f, g : D R due funzioni reali di dominio D R tali che ( ) g() = k f h allora il grafico di g si ottiene dal grafico di f attraverso la dilatazione di rapporti h e k. Dimostrazione. La dimostrazione consiste nel verificare che attraverso la dilatazione di rapporti h e k il grafico di f diventa proprio il grafico di g. Il grafico di f è, per definizione, l insieme G f = (, ) = f()} (nella figura a lato indicato dalla linea più sottile). G f Γ Sia Γ l insieme ottenuto da G f attraverso la dilatazione di rapporti h e k (nella figura a lato indicato dalla linea più spessa), allora ogni punto di Γ è ottenuto da un punto di G f attraverso la dilatazione di rapporti h e k, in simboli: (, ) Γ Q( Q, Q ) G f : = h Q = k Q Q Dire che è ottenuto da Q attraverso la dilatazione di rapporti h e k è come dire che Q è ottenuto da attraverso la dilatazione di rapporti h e k, in simboli: = h Q = k Q Q = h Q = k Essendo Q un punto di G f, le sue coordinate soddisfano l equazione = f(), dalla quale si deduce l equazione che definisce Γ, nel seguente modo: Q G f Q = f( Q ) ( ) ( ) k = f h = kf h Quindi Γ è il grafico della funzione g : D R data nel teorema da g() = kf ( h ), cioè ( )} Γ = G g = (, ) = g()} = (, ) = kf h QED Facciamo ora quattro esempi di grafici ottenuti attraverso dilatazioni di grafici noti.

12 Esempio 4. Tracciamo il grafico di = 3 cos () (in grassetto) dilatando verticalmente il grafico (noto, tratteggiato) di = cos di un fattore 3 : π Esempio 5. Tracciamo il grafico di = cos ( 3 ) (in grassetto) dilatando orizzontalmente il grafico (noto, tratteggiato) di = cos di un fattore 3 : π Esempio 6. Tracciamo il grafico di = 3 cos ( 3 ) (in grassetto) dilatando il grafico (noto, tratteggiato) di = cos di fattori 3 e 3 : π Esempio 7. Tracciamo il grafico di = cos ( ) (in grassetto) dilatando il grafico (noto, tratteggiato) di = cos attraverso una omotetia di fattore : π

13 4 Composizione di trasformazioni (facoltativo) Teorema 6. Siano a, b, R due numeri reali ed h, k R 0 due numeri reali non nulli e siano f, g : D R due funzioni reali di dominio D R tali che [ ( ) ] g() = k f h a + b allora il grafico di g si ottiene dal grafico di f attraverso la composizione delle seguenti trasformazioni:. traslazione di vettore v = (a, b). dilatazione di rapporti h e k (se negativi si tratta di una dilatazione composta con una simmetria) Dimostrazione. La dimostrazione consiste nel verificare che applicando al grafico di f le trasformazioni date, nell ordine dato, si ottiene proprio il grafico di g. Il grafico di f è, per definizione, l insieme G f = (, ) = f()}. Sia Γ l insieme ottenuto da G f attraverso la sequenza di. una traslazione di vettore v = (a, b). una dilatazione (eventualmente composta con una simmetria) di rapporti h e k Il fatto che Γ sia ottenuto da G f attraverso le precedenti trasformazioni significa che ogni punto di Γ è ottenuto da un punto di G f attraverso di esse, in simboli: (, ) Γ Q( Q, Q ) G f : ( Q, Q ) traslaz. ( Q + a, Q + b) dilat./simm. (h( Q + a), k( Q + b)) = (, ) = h( Q + a) = k( Q + b) Dire che è ottenuto da Q tramite le due trasformazioni date è come dire che Q è ottenuto da tramite le trasformazioni inverse alle date, nell ordine inverso, in simboli: = h( Q + a) = k( Q + b) Q = h a Q = k b Essendo Q un punto di G f, le sue coordinate soddisfano l equazione = f(), dalla quale si deduce l equazione che definisce Γ, nel seguente modo: Q G f Q = f( Q ) ( ) k b = f h a k = f ( ) [ h a + b = k f ( h a Quindi Γ è il grafico della funzione g : D R data nel teorema da g() = k f ( h a) + b }, cioè [ ( ) ]} Γ = G g = (, ) = g()} = (, ) = k f h a + b ) ] + b QED 3