ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA GESTIONALE PROF. GIACOMELLI ESEMPI DI ESERCIZI D ESAME

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1 ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA GESTIONALE PROF. GIACOMELLI ESEMPI DI ESERCIZI D ESAME Contents. Numeri complessi. Funzioni: dominio, estremo superiore e inferiore, massimi e minimi 3. Successioni e serie 4 4. Limiti di funzioni 0 5. Funzioni dis)continue da R in R 6. Calcolo differenziale per funzioni da R in R 3 7. Applicazioni dei teoremi di de l Hopital e di Peano 7 8. Calcolo integrale per funzioni da R in R 9. Calcolo differenziale per funzioni da R in R 6 0. Integrali doppi 9. Equazioni differenziali ordinarie 3 Ultimo aggiornamento: febbraio 0 si prega di segnalare eventuali errori. Numeri complessi *) Data l equazione z i z + z = 4, determinarne se esistono) le soluzioni z C tali che z 3. Posto z = x + iy, si ha z i z + z = x y + ixy ix y + x + y = x y + ixy ), perciò le soluzioni devono verificare { x y = 4 xy ) = 0. Risolvendo la seconda equazione e sostituendo nella prima si ottiene { { y = 4 x oppure = 9/ x = 0 y = / ovvero z = 4i, z = 3/ + i/, z 3 = 3/ + i/. Poiché z = 6, z = 5/ e z 3 = 5/, le soluzioni che verificano la condizione richiesta sono z e z 3. *) Determinare purché esistano) le soluzioni z C della seguente equazione: z z) = 4i +.

2 Risposta: ± + i). *) Determinare le soluzioni in campo complesso delle seguenti equazioni: a) z 3 = i; b) z 3 = 5z. 05/06) a) Si ha i = e i π 4 +kπ, k Z. Perciò, posto z = re iθ, si ha e quindi le soluzioni sono z 3 = i r 3 e 3iθ = e i π 4 +kπ r = 6 e θ = 3 π 4 + kπ), k = 0,, z 0 = 6 e i π, b) Posto z = re iθ, si ha z = re iθ+kπ. Perciò e quindi le soluzioni sono z 3 = 5z r 3 e 3iθ = 5re iθ z = 6 e i 7π, z = 6 e i 5π 4. r = 0 oppure r = 5 e 4iθ = kπ z 0 = 0, z = 5, z = 5, z 3 = i 5, z 4 = i 5.. Funzioni: dominio, estremo superiore e inferiore, massimi e minimi *) Determinare il dominio naturale della funzione f : domf R R definita da fx) = x x. 06/07) Le condizioni sono x 0, { da cui segue che dom f = [, + ) \ x 0, x x 0,, 5+ 5 }. *) Determinare l estremo superiore, l estremo inferiore, gli eventuali punti di massimo locale e gli eventuali punti di minimo locale della funzione f : R R definita da fx) = x.

3 Il grafico della funzione è elementare: in figura, per x 0, il grafico qualitativo delle funzioni x x, x x, x x e x x, nell ordine. Dal grafico con calcoli banali) si deduce che x = ± sono punti di massimo locale, x = 0 e x = ± sono punti di minimo locale e assoluto), sup f = + e inf f = 0. *) Data la funzione f : [ 5, 3] R definita da fx) = 9 + x, x [ 5, 3], determinarne purché esistano) i punti di massimo locale, i punti di massimo assoluto, i punti di minimo locale e i punti di minimo assoluto. Il grafico qualitativo della funzione è elementare. Da esso si deduce che x = 9/ punto di minimo locale e assoluto, x = 3 punto di massimo locale e assoluto, x = 5 punto di massimo locale. *) Determinare l estremo superiore, l estremo inferiore, gli eventuali punti di massimo locale e gli eventuali punti di minimo locale della funzione f : R R definita da fx) = x 3. Dal grafico qualitativo, ottenuto per composizione di funzioni elementari, si deduce immediatamente che sup f = +, inf f = 0, x = 0 è punto di massimo locale e x = ± 3 sono punti di minimo locale e assoluto). *) Determinare l estremo superiore, l estremo inferiore, gli eventuali punti di massimo locale e gli eventuali punti di minimo locale della funzione f : [ 4, 3] R definita da { x + )x 3) se x > fx) = x + 3 se x. Il grafico della funzione è elementare; tracciandolo nell intervallo [ 4, 3] si ottiene che x = 4 e x = 3 sono punti di massimo locale, x = 3 e x = sono punti di minimo locale, sup f = 5 e inf f = 4. 05/06)

4 *) Determinare il dominio naturale, l estremo superiore, l estremo inferiore, gli eventuali punti di massimo locale e gli eventuali punti di minimo locale della funzione f :domf R definita da fx) = log x ). Risposta: domf =, 0) 4, + ). Dal grafico qualitativo, ottenibile per composizione di funzioni elementari, si deduce immediatamente che sup f = +, inf f =. Determinare estremo superiore, estremo inferiore ed eventuali massimi e minimi locali o assoluti della funzione f : R R definita da fx) = 3 x +. Dal grafico qualitativo della funzione, ottenibile per composizione di funzioni elementari come negli esercizi precedenti, si deduce immediatamente che sup f =, inf f = min f = 0 in x = ±/) e è un massimo locale in x = 0). 3. Successioni e serie *) Data la successione n + )! a n = n n, n!) calcolare a n+. n + a n a n+ = n + a n n + n + 3)! n n ) n!) n + ) n+ n + )!)n + )!) ) n n n + n + 3)n + ) = n + n + ) = 4 e. *) Sia {a n } n N una successione tale che a 0 > 0 e a n+ 3a n per ogni n N. a) Dimostrare che n + a n = + ; b) Mostrare con un contresempio che la conclusione in a) è falsa se non si assume che a 0 > 0. a) segue immediatamente da a n+ 3 n a 0, 05/06)

5 che dimostriamo per induzione: l affermazione è vera per n = 0; se è vera fino ad n, allora a n+ 3a n+ 3 3 n a 0 = 3 n+ a 0. b) Se a 0 = 0, la successione {a n } definita da a n = 0 per ogni n soddisfa tutte le ipotesi, ma il ite ovviamente è zero. *) Sia {a n } n N la successione ricorsiva definita da { an+ = a n n 0 a 0 = 4 ; a) utilizzando il principio di induzione, dimostrare che a n > 0 per ogni n N; b) determinare il carattere della serie n 3 a n. n=0 a) ) a 0 = 4 > 0; ) se a n > 0 allora a n+ = a n > 0. b) Poiché per a) la serie è a termini positivi, si può applicare il criterio del rapporto: ) 3 a n+ n + = = n + a n n + n, quindi la serie è convergente. *) Determinare la somma della serie k ). k + k= Risposta: 3/. 05/06) *) Dire se la seguente serie è convergente, divergente o irregolare: 3n)! nn!) 3. n= La serie è a termini positivi, quindi possiamo applicare il criterio del rapporto: poiché n + la serie è divergente. 3n+))! n+)n+)!) 3 = 3n)! n + nn!) 3 n3n + 3)3n + )3n + ) n + )n + ) 3 = 7 >, *) Al variare di x R, studiare il comportamento della serie e 3n n n n!) x. n= 05/06)

6 Utilizziamo il criterio del rapporto: n e 3n+) n+) n+) [n+)!] x e 3n n n Pertanto la serie converge per x [, + ). = n e 3 n + ) x n!) x 0 x > = e x = + x <. n + n ) n *) Determinare purché esistano) i valori di x R per i quali la seguente serie converge: x 7) k. k= Risposta: x 3, 4). *) Determinare se esistono) i valori di x R per i quali la seguente serie è convergente: ) n x x n= Risposta: ogni x R. *) Determinare i valori di x R per i quali la seguente serie è convergente: n )! n n+ x n. n= x [ e /4, e /4]. Determinare il carattere della serie k= k)! k! k k. Risposta: divergente a +. *) Determinare purché esistano) i valori di α 0, + ) per i quali la seguente serie converge: ) 5α k k+ k= k+ ) α ) 3/. k

7 Si ha k ) 5α ) 5α = = + o)) per k + k + k + k5α e ) α k + = + ) α = α + o)) per k +. k k k Pertanto k k+ k ) 5α k+ ) α ) 3/ = + o)) per k +. αk5α 3/ Per il criterio del confronto, la serie converge se e solo se 5α 3/ >, ovvero se e solo se α > /. *) Determinare se esistono) i valori di α R per i quali la seguente serie è convergente: n α + n 8 α 3n 6 sinn). n= La serie è a termini positivi. Per n +, si ha n α + o)) se α > 4 n α + n 8 α = n 4 se α = 4 n 8 α + o)) se α < 4 Quindi n α + n 8 α 3n 6 sinn) = 3 nα 6 + o)) se α > 4 3 n se α = 4 3 n α + o)) se α < 4 e 3n 6 sinn) = 3n 6 + o)). per n +. Dal criterio del confronto con le serie armoniche generalizzate) segue che la serie in esame è convergente se e solo se 3 < α < 5. *) Determinare se esistono) i valori di x R per i quali la seguente serie è convergente: ) 8n. n= n x + x Si ha, per le gerarchie di infiniti, 8n ) 8n = x ) + o)) se x > oppure x n x + n x + o)) se < x x per n +. Per confronto con la serie geometrica o con la serie armonica generalizzata), la serie converge se e solo se x > o x <.

8 *) Al variare del parametro α R, determinare il comportamento convergente, divergente o irregolare) della seguente serie: n α+8 n 7 + e. α )n n= Si tratta di una serie a termini positivi. Se α >, si ha n α+8 nα+8 n 7 + e α )n e α )n per n +. Poiché la serie n= nα+8 è convergente per ogni α > ad esempio per il criterio della e α )n radice), anche la serie in esame è convergente per α >. Se α, si ha Poiché la serie concludiamo che: n= n α+8 nα+8 n 7 + e α )n n 7 = n α per n +. n α è convergente se e solo se α >, ovvero α <, la serie in esame è { convergente per α, ), ) divergente a + per α [, ]. *) a) Al variare del parametro α 0, ), determinare nei casi in cui esiste) il seguente ite: ) n n + ; n α b) al variare del parametro α 0, ), determinare il comportamento convergente, divergente o irregolare) della seguente serie:. n= n α a) Si ha, per α 0, ), n α Quindi ) n = n + n α ) n ) n n α = e n log n α ) = e n α +o)) ) n per n. + α 0, ) = e / α = α, ). b) La serie diverge per ogni α 0, ) poiché, per a), la condizione necessaria non è soddisfatta. *) Al variare di α, ), studiare il carattere della serie n α + α. n n= 05/06)

9 Si tratta di una serie a termini positivi, quindi o converge o diverge a +. La condizione necessaria è sempre verificata: n α + α n = + α > 0 oppure α > α R. n Se α >, ovvero α, ) 3, ), si ha n α + α = n α n + o)), e la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Se invece α [, 3], si ha n α + α n = n α + o)) e ancora per confronto asintotico la serie converge se α, 3]. Pertanto la serie converge per α, ), ) e diverge a + altrimenti. *) Determinare se esistono) i valori di α R per i quali la seguente serie è convergente: n= sinn 3 α ) n 4 α. Risposta: α < 3. *) a) Determinare, se esiste, il ite π ) x x arctan x ; 05/06) b) studiare la convergenza semplice e assoluta della serie π ) n ) arctann ). + log n n= Risposta: a) ; b) assolutamente convergente.

10 4. Limiti di funzioni *) Determinare il seguente ite: + 5 x 0 sin8x)) x. + Risposta: e 40. *) Determinare il seguente ite: ) x 0 + e 7x. ex Risposta:. *) Calcolare purché esista) il seguente ite: [ log4e x 4 x) log4x 6) ] x 4 + Ponendo y = x 4 e ricordando che e y = + y + oy) per y 0, si ottiene [ log4e x 4 x) log4x 6) ] = [log4e y y 4) log4y)] x 4 + y 0 + ) 3y + oy) = log y 0 + 4y ) 3 = log. 4 *) Determinare se esiste) ) log x x 0 3 log x + ) )) x). /x 3 Si ha ) log x 3 log x + ) ) x) /x 3 Perciò il ite vale. *) Determinare se esiste) x + = 3 x log x + ) ) x) 3 = x log + x 6x ) = x x 6x + ox 6x )) x 4 + 3x xx ) ) x + 9 = x + ox)) per x 0. x

11 Si ha x 4 + 3x xx ) x + 9 = x 4 + 3x x x ) + 9/x = x 4 + 3x x 4 x ) + 9 )) x + o x perciò il ite vale. = x + ox ) per x +, Per ogni α 0, + ) determinare purché esista) cos n α )) n. n + Risposta: 0 se α 0, /), e / se α = /, se α /, + ). *) In ciascuna delle seguenti situazioni, dire se è possibile determinare il ite e in tal caso calcolarlo: fx) gx) i) x 0 + x 4, dove fx) = ox ) e gx) = ox 4 ) per x 0 + ; ii) iii) x + fx) gx) x 4, dove fx) = ox ) e gx) = ox 4 ) per x + ; e fx) singx)), dove fx) = ox) e gx) = ox) per x 0 +. x 0 + x i) ii) iii) ox ) ox 4 ) ox ) x 0 + x 4 = x 0 + x 4 x + ox ) ox 4 ) x 4 = x + ox ) = x 0 + x ox 4 ) x 4 = 0; forma indeterminata ; x e fx) singx)) fx) gx)) + o)) ox) = = x 0 + x x 0 + x x 0 + x = 0. *) Determinare se esiste) l ordine di infinitesimo per x 0 + della funzione ) + x) sin x fx) = log + x) x. Si ha fx) = sin x log + x) x log + x) = x + ox))x + ox)) xlog + o)) = x log + ox) per x 0 +. Perciò l ordine di infinitesimo esiste e vale.

12 *) Sia fx) = x 4) /x. a) Determinare, se esiste, fx); x 0 + b) determinare, se esiste, l ordine di infinito o di infinitesimo di fx) per x 0 +. Si ha x 4 ) /x = e x log x4) = e x3 +o)) Perciò x 0 + fx) = 0 e quindi l ordine di infinitesimo è 3. per x 0 +. fx) = e x3 +o)) = x 3 + o)) per x 0 +, *) Determinare il dominio naturale e gli eventuali asintoti della seguente funzione: logx 3) fx) = log x 3 ). domf = 3/, ] 3 + e, + ). Asintoti verticali: x = 3/, x = 3 + e. Asintoto orizzontale: y = per x Funzioni dis)continue da R in R *) Sia f : R R definita da fx) = e x + arctgx 3 ), x R. a) Dimostrare che f è invertibile in R; b) determinare il dominio della funzione inversa f ; c) determinare se esiste) f ) ) si osservi che f0) = ). Per a), basta osservare che f x) = e x + 6x 4x 6 + > 0 x R; quindi f è strettamente crescente e perciò invertibile. Per b), ricordando che domf =imf, basta determinare imf. Poiché f è continua e monotona, e x, fx) = +, x + si conclude che domf =imf = π, + ). Per c), basta applicare il teorema di derivazione della funzione inversa: f ) ) = f f )) = f 0) =.

13 *) Determinare il valore del parametro a 0, + ) per il quale la funzione f : R R definita da { x a) se x < fx) = x + 5 se x è continua in x = ; per tale valore di a, determinare sup f e inf f. R R Risposta: a = 5; sup R f = +, inf R f = Calcolo differenziale per funzioni da R in R *) Determinare il dominio naturale, gli eventuali asintoti e gli eventuali punti critici della funzione ) fx) = log e x 3 x. domf =, log ) log, + ); x = log e x = log asintoti verticali, y = x asintoto obliquo per x +, y = x asintoto obliquo per x ; i punti critici sono x = log 3 e x = log 3. *) Determinare il valore della funzione fx) = e 3 cosx) nei suoi punti di flesso. Poiché f C R), i punti di flesso sono tutti e soli le soluzioni di f x) = 0. Si ha Perciò f x) = e 3 cosx) 6 sinx)), f x) = e 3 cosx) 36 sin x) cosx)) = 0. f x) = 0 3 sin x) = cosx) 3 3 cos x) = cosx) 37 cosx) = 6 37 l altra soluzione è inammissibile). Quindi il valore della funzione nei punti di flesso è e. *) Quanti sono i valori distinti di x [, + ) in cui la funzione si annulla? fx) = x + )x + ) logx + ) 4x + ) Sia x I = [, + ). Si ha fx) = x + )gx), gx) := x + ) logx + ) 4. Quindi fx) = 0 se e solo se x = oppure gx) = 0. Si ha g x) = logx + ) + 0 x + /e. In particolare g è strettamente crescente in I e g ) = 4. Perciò esiste un unico x, + ) tale che gx) = 0, e gli zeri di f in I sono complessivamente.

14 *) Determinare l estremo superiore e l estremo inferiore della funzione f : R R definita da fx) = ex 4x +. È possibile procedere in almeno) due modi. ) La funzione f è derivabile per ogni x R, e si ha Pertanto f è crescente in R. Quindi sup f = f x) = ex x) + 4x ) 0 per ogni x R. fx) = +, inf f = fx) = 0. x + x ) In alternativa allo studio della monotonia di f, si può osservare che fx) > 0 per ogni x R; quindi Imf) 0, + ), ovvero inf f [0, ) e sup f 0, ]. Poiché fx) + per x + e fx) 0 per x, si conclude che sup f = + e inf f = 0. *) Determinare l estremo superiore e l estremo inferiore della funzione f : R R definita da { 3e x se x 0 fx) = 3 e x se x < 0. Risposta: inf f = 5, sup f =. *) Determinare se esistono) i punti di massimo locale e i punti di minimo locale della seguente funzione: fx) = x 3 x +. Si ha fx) = { x 3 x + se x 3 3 x x + se x < 3 e quindi f x) = x +6x+ x +) se x > 3 x 6x x +) se x < 3. Dallo studio del segno della derivata si evince che f è crescente in, 3 0) e in 3, 3 + 0) e decrescente altrimenti. Perciò 3 ± 0 sono punti di massimo locale e x = 3 è punto di minimo locale. *) Data la funzione fx) = x 3 4 x +, determinarne i punti di massimo e minimo relativo e assoluto nell intervallo [, ].

15 Si ha Poiché si ottiene x 3 4 x x [ 3 4, ) fx) = 4 x 3 x x [, 3 4) 4 x 3 + x + x, ). 3x x 3 4, ) f x) = 3x x, 3 4) 3x + x, ), f crescente in 3, ) 3 4, ) f decrescente in, 3 ), 3 4). Quindi x =, x = / e x = sono punti di massimo locale, e x = / 3 e x = 3 4 sono punti di minimo locale. Per determinare gli estremi assoluti confrontiamo i valori: poiché f ) = 9 = 4 + > f ) = > f) = 4 5, x = è punto di massimo assoluto; analogamente, si ottiene che x = 3 4 è punto di minimo assoluto. *) [ Determinare i punti di massimo locale e i punti di minimo locale della funzione f : π 4, ] 3π 4 R definita da fx) = 0 sinx) cosx), x [ π 4, ] 3π 4. Si ha quindi Perciò x = π 4 e x = 3π 4 f x) = 0 cosx) + sinx) = cosx)sinx) + 5), f x) < 0 x > π per x [ π 4, ] 3π 4. sono punti di minimo locale, x = π è punto di massimo locale. *) Determinare, purché esistano, i punti di massimo locale e i punti di minimo locale della funzione f : 0, + ) R definita da fx) = 3x + x ) log8x)) x, x 0, + ). Risposta: x = 8 punto di massimo locale. *) Sia f : domf R la funzione definita da fx) = arctanx) x ; determinarne il dominio naturale, l estremo superiore, l estremo inferiore, gli eventuali punti di massimo locale e gli eventuali punti di minimo locale.

16 domf = R. Si ha quindi sup f = + e inf f =. Si ha quindi f x) = arctanx) x fx) =, x ± + x ) log, f x) > 0 se x, ), f x) = 0 se x = ±, f x) < 0 altrimenti; perciò f ha un punto di massimo locale in x = e un punto di minimo locale in x =. *) Determinare A R in modo tale che la funzione f : domf R definita da { x + ) 4 se x fx) = A arctgx + 3) se x < risulti continua nel suo dominio; per tale valore di A, determinare l estremo superiore, l estremo inferiore e gli eventuali punti di massimo e minimo locale e assoluto di f nel suo dominio. domf =, ], ed f C, ] \ { }) per le proprietà elementari delle funzioni continue. Si ha f C, ]) se e solo se In tal caso, si ha f ) = = fx) = A π x ) 4 A = 8 π. quindi: { 4x + ) f 3 < x x) = 8 π x+3) + x <, f crescente in, ) e in, ), f decrescente in, ). Pertanto x = è un punto di massimo locale, x = è un punto di minimo locale, e x = 0 è un punto di massimo locale. Poiché f ) = > f ) = 6, x = è in effetti un punto di massimo globale e sup f =. Poiché x fx) = 5 < f ) = 0, inf f = 5. *) a) Studiare la funzione ) fx) = log x x e tracciarne un grafico qualitativo nell ipotesi che il numero di flessi sia minimo. b) Utilizzando a), tracciare senza ulteriori calcoli un grafico qualitativo della funzione gx) = log x x domf =, + ), fx) = 0 se e solo se x = 3/, fx) + per x +, f strettamente decrescente in, ], fx) = log per ogni x [, + ). ). 05/06)

17 *) a) Studiare la funzione fx) = sin x 3 sin x + e tracciarne un grafico qualitativo nell ipotesi che il numero di flessi sia minimo. b) Utilizzando a), tracciare un grafico qualitativo della funzione gx) = fx) ; dire se la funzione gx) è derivabile nei punti x = π e x = 5π 6. 05/06) 7. Applicazioni dei teoremi di de l Hopital e di Peano *) Determinare se esiste) il seguente ite: 05/06) e cosx ) ) x 0 + x sinx)) Si ha cosx ) = x4 + o)), da cui e cosx) ) = e x4 +o)) = x4 + o)). Inoltre x sin x = 6 x3 + o)) da cui x sinx)) = 36 x6 + o)). Pertanto il ite vale. *) Determinare se esiste) il seguente ite: [ log x 0 x x) + log + x)) + x )] x. 05/06)

18 Si ha Pertanto x 0 log x) = x x + ox ), log + x)) = x + ox)) = x + ox ). [ log x x) + log + x)) + x )] x / x = x 0 x =. *) Determinare se esiste) il seguente ite: logx) + sin x) cos 3x 3) x + x ). Ponendo y = x 0 + per x +, si ottiene logx) + sin x) cos 3x 3) x + x ) log + y) + sin y) cos 3y) = y 0 + y y = y + oy )) y + oy )) 3 y + oy)) y 0 + y =. *) Determinare, purché esista, l ordine di infinito o di infinitesimo per x + della funzione f : 0, + ) R definita da fx) = 3 x log + 3 ). x Poiché log + y) = y y / + oy ) per y 0 e / 3 x 0 per x +, mediante la sostituzione y = / 3 x si ottiene ) ) /3 fx) = x /3 x /3 x /3 + ox /3 ) = + o)) per x +. x Perciò la funzione è infinitesima per x + e il suo ordine di infinitesimo è /3. *) Determinare purché esistano) i valori di α R per i quali il seguente ite è uguale a zero: x 3 x 0 + x 8α sinx). Si ha x 8α sin x = x 8α + o)) se 8α < x sinx) = x3 6 + o)) se 8α = x + o)) se 8α >. per x 0+.

19 Perciò x 3 x 8α sinx) = x 3 8α + o)) se 8α < 6 + o)) se 8α = x + o)) se 8α >. per x 0+. Poiché 3 8α > 0 se 8α <, si conclude che il ite è zero per ogni α /8. *) Determinare se esiste) sin3x) x 0 54x 3 cos3x) ) 8x 4. Risposta: /4. *) Determinare se esiste) il seguente ite: ) ) x 0 + x + x 3. log x) Risposta: +. *) Determinare il polinomio di Taylor di ordine di centro x 0 = della seguente funzione: ) πx 5 fx) = x + 3) cos. 3 Si ha f) = e da cui ) πx f 5 x) = cos x + 3) 5πx4 3 3 f ) = 0π 3. ) πx 5 sin 3 Pertanto T [f, x 0 ]x) = + 0π ) x ). 3 *) Determinare il polinomio di Taylor di ordine centrato in x = π/4 della seguente funzione: fx) = e tan x. Si ha f tan x x) = e f x) = e tan x cos x, Perciò fπ/4) =, f π/4) =, f π/4) = 8, e quindi T x) = + x π/4) + 4x π/4). cos 4 x + sin x cos 3 x ).

20 Determinare il polinomio di Taylor di ordine con centro in x = 0 della funzione fx) = log + x x ). Risposta: T x) = x 3x /. *) Sia fx) = e sin x ; a) utilizzando il teorema di de l Hôpital, calcolare il ite fx) x x 0 + x ; b) determinare il polinomio di Taylor di f di ordine 3 centrato in x = 0. a) Si ottiene: e sin x x x 0 + x? e sin x cos x? e sin x cos x sin x) = = = x 0 + x x 0 +. b) Dal calcolo precedente segue che T x) = x + x e che f x) = e sin x cos x sin x). Poiché f x) = e sin x cos 3 x 3 sin x cos x cos x), si conclude che f 0) = 0 e quindi T 3 x) = T x) + 6 f 0)x 3 = x + x. *) Determinare, purché esistano, i valori del parametro α R per i quali la serie k α+ e + ) ) k k è convergente. k= Si ha e Perciò + k ) k = e e k log+ k ) = e e +o))) k = e e )) = e + o)) + o + o)) = e + o)) k k k k α+ e + ) ) k k = e + o)) kα+ e quindi la serie è convergente se e solo se α >. k +o))) per k +, per k +. *) Determinare i valori del parametro α R per i quali la seguente serie è convergente: sinn α ) n α n 5α. + n= α > /4 e α < /3.

21 *) Calcolare x 5 sin4x 3 ) e x) dx. 8. Calcolo integrale per funzioni da R in R *) Calcolare coslogx )) dx. Per sostituzione, ponendo x = e y/ quindi y = logx )), si ottiene coslogx )) dx = e y/ cos y dy 05/06) che si integra per parti: e y/ cos y dy = e y/ sin y dy e y/ sin y dy = e y/ sin y + ey/ cos y e y/ cos y dy. 4 Pertanto ovvero e y/ cos y dy = 5 ey/ sin y + cos y) + C, coslogx )) dx = 5 x sinlogx )) + coslogx ))) + C. Ponendo y = x, e x dx = e y dy = ey + C = ex + C. Ponendo y = x 3, x 5 sin4x 3 )dx = 3 y sin4y)dy = y cos4y) + = sin4y) 4y cos4y)) + C 48 = 48 sin4x3 ) 4x 3 cos4x 3 )) + C. cos4y)dy Perciò x 5 sin4x 3 ) e x) dx = 48 sin4x3 ) 4x 3 cos4x 3 )) ex + C. *) Determinare le primitive della seguente funzione: fx) = e3x 6 + e 6x. Risposta: F x) = arctan e 3x 4 ) + C.

22 *) Determinare le primitive della seguente funzione: t 7 + 4t ) 3/ dt. Risposta: t ) 5/ + C. *) Calcolare 3π/4 π/ max { }, sinx) dx. Si ha, ponendo t = x, 3π/4 max { }, sinx) dx = π/ 3π/ π 7π/6 max { }, sint) dt = sint)dt π 4 3 = 4 π. 3π/ 7π/6 dt *) Calcolare 4 4 log + ) x La funzione integranda è pari. Perciò, ponendo t = x, si ottiene 4 log + ) 4 x dx = log + x ) dx 4 = dx. t log + t) dt = t log + t) 0 = 8 log 3 = 6 log 3. 0 t 0 + t dt t + ) dt + t *) Calcolare π/ π/3 sin x dx. Ponendo t =tanx/), si ottiene π/ π/3 sin x dx = / 3 t dt = log t / 3 = log 3.

23 *) Sia a) Calcolare F x) = x fx) = fs) ds; { 4x + per x 0 per x < 0. b) la funzione F è una primitiva della funzione f? a) Si ha F x) = { x ds = x se x 0 0 ds + x 0 4s + )ds = x + x se x > 0. b) no, poiché F x) non è derivabile in x = 0. *) Determinare se esistono) i punti di massimo locale e i punti di minimo locale della seguente funzione nell intervallo I: x 4 π ) 4 fx) = sin t dt, x I = [ 3, 3]. 0 La funzione è pari. Si ha Per x [0, 3] si ha x 3 0 e π ) f x) = 4x 3 sin x. π ) sin x > 0 x 0, ). Perciò, ricordando che f è pari, si ottiene che f è crescente in [ 3, ] e in [0, ] e decrescente in [, 0] e in [, 3]. Perciò x = ±3 e x = 0 sono punti di minimo locale, e x = ± sono punti di massimo locale. *) Sia f : R R definita da fx) = x 0 sint t) dt. Determinare se esiste) fx) x 0 x. Sono verificate le ipotesi del Teorema di de l Hôpital: perciò fx) x 0 x? sinx x) = x 0 x. *) a) Determinare purché esista) l ordine di infinitesimo per x 0 + della funzione f : R R definita da fx) = x 6 x6 + x 0 e t5 dt ;

24 b) calcolare purché esista) fx). x 0 + x 0 x 0 x a) Applicando, nell ordine, il Teorema di de l Hopital e il Teorema di Peano, si ottiene fx)? x 5 + e x 5 = x 0 + x α x 0 + αx α = x 0 + = x0 + ox 0 ) αx α se α =. Perciò l ordine di infinitesimo esiste ed è. b) Si può ad esempio procedere osservando che x 0 x 0 x = x 0 ) x = x 0 ) x + ox ) Perciò, utilizzando anche il punto a), si conclude che per x 0 +. x 0 + x 0 fx) x 0 x = x 0 + x + o)) x + o)) =. *) Calcolare, purché esista, il ite x 0 + x x 7 e t dt. Il ite non è una forma indeterminata in quanto x 0 + x 7 e t dt = 0 7 e t dt = C e C < 0 poiché la funzione integranda è sempre positiva in 0, 7). Perciò il ite esiste e vale. Si noti che, proprio perché la forma non è indeterminata, il Teorema di de l Hopital non è applicabile la sua applicazione condurrebbe alla conclusione errata che il ite valga ). *) Calcolare + 0 e x cos x dx.

25 Per parti, utilizzando l identità sin x = cos x: e x cos x dx = e x cos x e x cos x sin x dx = e x cos x sin x cos x) e x cos x sin x) dx = e x cos x sin x cos x) 4 e x cos x dx e x. Quindi ovvero + 0 e x cos x dx = 5 e x + cos x sin x cos x) + C, e x cos x dx = 3 5 x + 5 e x + cos x sin x cos x) = 3 5. *) Data la funzione 3 fx) = log x x )) : a) determinare il dominio naturale di f; b) determinare l equazione della retta tangente ad f nel punto, f)); c) determinare i valori del parametro α 0, ) per i quali la funzione fx)) 3α è integrabile in senso improprio in 3/, ). a) Si ha 3 x x ) > 0 x x 6 > 0 x, ), 3), x ) perciò domf =, ), 3). b) Si ha f) = 0 e f x) = 3 x ) 3 x x da cui f ) = 7/4; perciò la retta tangente ha equazione y = 7/4x ). c) La funzione è continua in [3/, ), quindi dobbiamo considerare solo il comportamento di f per x : per b), Perciò fx) = 7 4 x ) + o)) per x. fx)) 3α ) 3α 4 7 x) 3α per x, e dal criterio del confronto segue che fx)) 3α è integrabile in senso improprio in [3/, ) se e solo se α < /3., *) Determinare i valori di α R per i quali il seguente integrale improprio è convergente: arctanx) x + xα ) dx. 05/06)

26 La funzione è continua in [, + ), quindi dobbiamo solo considerarne il comportamento per x +, dove π arctanx) α < 0 x + xα ) x π / α = 0 per x +. 4x / π α > 0 x α+/ Quindi, per il criterio del confronto asintotico, l integrale è convergente se e solo se α+/ >, ovvero α /, + ). *) Determinare purché esistano) i valori di α 0, + ) per i quali il seguente integrale improprio converge: x ) 5α dx. x α ) 3/ La funzione integranda è continua in, ]. Poiché α > 0, si ha x α = + x )) α = αx ) + o)) per x e quindi x ) 5α x α ) = x 3/ )5α 3/ + o)) per x +. Perció, per il criterio del confronto asintotico, l integrale improprio converge se e solo se 5α 3/ >, ovvero se e solo se α > /0. *) Determinare purché esistano) i valori di α R per i quali il seguente integrale improprio converge: e 3α 5)x x α dx. Risposta: α, 5/3]. 9. Calcolo differenziale per funzioni da R in R *) Dire se esiste una funzione f : D R R che soddisfa le tre seguenti proprietà: - f C D); - f x) > 0 per ogni x D; - f non è monotona in D in caso affermativo fornire un esempio, in caso negativo motivare la risposta). Risposta: Si. La funzione fx) = /x verifica le proprietà richieste. 05/06) *) Sia f : domf R R definita da fx, y) = x logxy ) ; determinare l equazione del piano tangente al grafico di f nel punto,, f, )).

27 Si ha f, ) = e f x x, y) = x, f yx, y) = y x, y) dom f da cui f x, ) = 0 e f y, ) =. Perciò il piano tangente ha equazione z = y ) = 3 y. *) Determinare se esistono) i punti critici della seguente funzione: fx, y) = e y x 4y 7x). Si ha: { Perciò fx, y) = 0 f x x, y) = e y x 7x 4y 7) f y x, y) = e y x 4y 7xy + ). { 7x 4y = 7 y4y 7x) = da cui segue che l unico punto critico è 57/49, /7). { 7x 4y = 7 7y = *) Determinare i punti stazionari della funzione f : R R definita da fx, y) = y x y 3 x3. Risposta: 0, 0) e, /). *) Siano w =, ), v = w/ w e f : R R definita da fx, y) = xy arctanxy). Calcolare f, ). v Si ha v =, )/ 5 e Perciò fx, y) = ) y y + x y, xy x + x y. f, ) = f, ), v = 4 + /5, 4 /5),, ) = 3. v 5 5 *) Sia v =, )/ e sia f : R R definita da fx, y) = log + sin x )) x + y. Calcolare f v π, ).

28 Risposta: 3 π+. *) Fornire l esempio di una funzione f : R R che nel punto 0, 0) non è continua ma è derivabile nel punto 0, 0) lungo la direzione v = 5, ); verificare che la f prescelta soddisfa tali proprietà. La funzione fx) = non è continua in x = 0 in quanto ma è derivabile nella direzione v in quanto { se x > 0 e y = 0 0 altrimenti = 0 = f0, 0), x,y) 0,0) x>0,y=0 ft/ 5, t/ 5) f0, 0) = 0 = 0. t 0 t t 0 05/06) *) Determinare, se esistono, i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione nell insieme fx, y) = x x + y) y 4y D = {x, y) R : x 0, y 0, x + y }. Si determinano anzitutto i punti stazionari: { { x3x + y) = 0 x = 0 y + x 4 = 0 y = { y = 3x oppure y + x 4 = 0. Sommando e due equazioni del secondo sistema e risolvendo l equazione risultante, si ottiene che i punti stazionari sono 0, ),, 3/) e 4, 6). Nessuno dei tre punti è interno a D; perciò i punti di massimo e minimo assoluto che esistono per il teorema di Weierstrass) si trovano sulla frontiera di D. Su x = 0 si ha f0, y) = y 4y che è decrescente per y [0, ]; su y = 0 si ha fx, 0) = x 3 che è crescente per x [0, ]; su x + y = si ha f y, y) = y) y 4y = 6y che è decrescente per y [0, ]. Combinando queste informazioni si conclude che, 0) è punto di massimo assoluto e 0, ) è punto di minimo assoluto. *) Sia f : R R definita da fx, y) = 3 x3 + 3 y3 + x y 4y ; determinare se esistono) i punti di massimo locale e i punti di minimo locale di f in R. Risposta: 0, ) punto di minimo locale, 0, ) punto di massimo locale 4, )/ 5 e 4, )/ 5 punti di sella). 05/06)

29 *) Determinare gli eventuali punti di massimo locale, di minimo locale e di sella della funzione f : R R definita da fx, y) = xx y)e x+y). Risposta: 0, 0) punto di sella, /, 3/) punto di minimo locale. 0. Integrali doppi *) Determinare l area del seguente insieme: D = {x, y) R : 5 x y 3}. Un grafico qualitativo elementare mostra che D è un triangolo di vertici 0, ),, 3),, 3). Quindi l area è 5. *) Determinare l area del seguente insieme: D = {x, y) R : y, x y 6 x}. Risposta: 5. *) Calcolare x + y dxdy, D = {x, y) R : x 0, y 0, x + y }. D Si ha x + y 0 in D. Perciò x + y dxdy = D = / y 0 / 0 = x + y)dx dy y) + y y ) dy *) Calcolare 05/06) x y dxdy, D = {x, y) R : x y e x y}. D

30 Si ha D x y dxdy = = x 0 0 = 60. x x y) dy dx = x x ) dx = 0 [ x y) ] y=x [ 3 x3 x4 + 5 x5 y=x ] x= x=0 dx *) Calcolare { } y dxdy, D = x, y) R : y x, y. D Si ha y se e solo se y 3. Quindi D si riscrive come dominio semplice come segue: { } D = x, y) R : y [, ], y x. Perciò D y dxdy = = = = y y dx dy y y )dy y + y)dy + y + ) y= 3 y3 = 7/6. y= y3 y)dy + 3 y ) y= 3 y3 y= *) Calcolare x dxdy, D = { x, y) R : 0 5x y x + 3 }. D Poiché 5x x + 3 x, si ha D = { x, y) R : x [0, ], 5x y x + 3 }. Pertanto x+3 x dxdy = x dy dx D = 0 0 = /. 5x 3x x) dx

31 *) Calcolare l area del seguente insieme: A = { x, y) R : x y 5 x }. A è simmetrico rispetto all asse x = 0; inoltre { } x 0 x 5 x x 3, { x 0 x 5 x } quindi A = {x, y) R : x [ 3, 3], x 5 x } lo studente verifichi per via grafica) e A = = 3 5 x 0 0 x 3 4dx + = ). dydx = 5 x 0 x dydx x x x, dydx 6 x )dx = ) ) *) Calcolare l area della seguente regione piana: D = {x, y) R : y 3 x 3 x)}. 05/06) Risposta: 3/0. *) Calcolare dove D x + y dxdy, D = { x, y) R : x 0, y 0, x + y 4 }. Passando in coordinate polari, si ha Perciò D D = {r cos θ, r sin θ) R : r, x + y dxdy = = = 7 3 π π/ π 3 r 3 π/ 3π/4 π/ = 7 3 ). r cos θ + sin θ drdθ cos θ + sin θ dθ sin θ + cos θ)dθ 7 3 π θ π}. π 3π/4 sin θ + cos θ)dθ

32 *) Sia D = {x, y) R : x 0, y 0, x + y } ; calcolare x + y D 4 dxdy. Risposta: 5π/64.. Equazioni differenziali ordinarie *) Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale ordinaria: z t) + zt) = e t log3e t + ). Si tratta di una EDO lineare del primo ordine. L equazione omogenea associata ha integrale generale z o t) = Ce t. Cerchiamo una soluzione particolare della forma z p t) = Ct)e t ; sostituendo si ottiene C t)e t = e t log3e t + ) C t) = e t log3e t + ). Integrando, Ct) = e t log3e t + ) dt y=et = = y log3y + ) log3y + ) dy 3y dy = y log3y + ) 3y + = y log3y + ) y + log3y + ) 3 = e t + 3 ) log3et + ) e t. Pertanto l integrale generale cercato è: zt) = Ce t + e t + 3 e 3t ) log3e t + ) e t, C R. ) dy 3y + *) Determinare l integrale generale dell equazione differenziale 05/06) y t) + y t) + yt) = sint). Le radici del polinomio caratteristico sono λ = ± i). Quindi l omogenea associata ha integrale generale y o t) = e t/ C cost/) + C sint/)). Cerchiamo una soluzione particolare con il metodo di somiglianza: da cui sostituendo si ottiene y p t) = A cos t + B sin t, A + B) cos t + B A) sin t = sin t A = 5 4, B = 5 8.

33 Pertanto l integrale generale è yt) = e t/ C cost/) + C sint/)) 5 cos t + sin t). 8 *) Determinare la soluzione dell equazione differenziale y t) + 8 y t) + 5 yt) = 0, t R tale che y0) = 0 e y 0) =. Risposta: yt) = 3 e 4t sin3t). *) a) Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y t) y t) + yt) = te t ; b) tra le soluzioni ottenute al punto a) determinare, se esistono, quelle per le quali esiste t + yt). Si tratta di un equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. Il polinomio caratteristico soddisfa λ λ + = 0 λ = ± i, quindi l omogenea associata ha integrale generale y o t) = e t A cos t+b sin t). Una soluzione particolare che si determina con il metodo di somiglianza) è data da y p t) = te t. Pertanto b) è verificata da tutte le soluzioni: a) : yt) = e t A cos t + B sin t + t), A, B R. e t A cos t + B sin t + t) = te t + o)) + per t + A, B R. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale: y x) + 8y x) + 5yx) = cos x. Riposta: yx) = e 4x C cos3x) + C sin3x)) + 3 cos x + sin x)/80. *) Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale ordinaria: y x) y x) = e 3x. Ponendo y = z, si ottiene un equazione lineare del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti: z z = e 3x. L integrale generale dell omogenea associata è z o x) = Ae x + Be x. )

34 Per determinare una soluzione particolare si può utilizzare il metodo di variazione delle costanti. In alternativa, una soluzione particolare si ottiene con metodo ad-hoc: posto z p = Ce 3x, si ottiene Perciò l integrale generale di ) è Integrando, si ottiene la risposta: z p z p = 9C C)e 3x! = e 3x C = /7. zx) = z 0 x) + z p x) = Ae x + Be x + 7 e 3x. yx) = C e x + C e x + C 3 e 3x. *) a) Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y + t + y = t + ; b) risolvere il problema di Cauchy y + t + y = t + y ) =. a) Si tratta di un equazione del primo ordine lineare. Risolvendo l omogenea per separazione di variabili, si ottiene y o t) = 0 oppure log y o t) = t + dt = t/ ) + dt = arctg t ) + C, C R 05/06) ovvero y o t) = C e arctg t/ ), C R. La soluzione particolare è immediata: y p t) = che si può ovviamente anche ottenere con il metodo di variazione delle costanti). Pertanto l integrale generale è yt) = + C e arctg t/ ), C R. b) La soluzione del problema di Cauchy deve verificare = + Ce arctg / ), da cui C = 0 e quindi yt) =. *) Determinare la soluzione yx) del seguente problema di Cauchy, specificandone il dominio massimale di esistenza: { y = y e /y sinx/) y0) = log. Per separazione di variabili: e /y + C = y e /y dx y = sinx/) dx = cosx/) + C,

35 ovvero e da y0) = log yx) = logcosx/) + C), segue C = /. Perciò yx) = logcosx/) /), il cui dominio naturale è D = {x R : cosx/) > /}; perciò il dominio massimale di esistenza della soluzione è π/3, π/3). *) Risolvere il problema di Cauchy { y t) = yt)3 + yt)) y0) = 6 specificando il dominio massimale di esistenza della soluzione. L integrale generale si determina per separazione di variabili: dy yy + 3) = 3 y ) = ) y y log y + 3 da cui ) yt) log = 3t + C yt) + 3 yt) yt) + 3 = Ke3t yt) = 3Ke3t, K R \ {0}, Ke3t a cui bisogna aggiungere le soluzioni costanti yt) = 0 e yt) = 3. Sostituendola condizione iniziale si ottiene K =, quindi la soluzione è yt) = 6e3t e 3t il cui intervallo massimale di esistenza è 3 log, ). *) Risolvere il seguente problema di Cauchy, determinando anche l intervallo massimale di esistenza della soluzione: { y = y 7y + y0) =. Risposta: yx) = 6e x 4)/e x ), I = log, + ). *) Determinare la soluzione yx) del seguente problema di Cauchy, specificandone l intervallo massimale di esistenza: y = y x y) = 3. Risposta: yx) = /3 + log x)), I =, e 3 ).

36 *) Risolvere il problema di Cauchy { y t) = t + tyt)) 05/06) y0) = specificando l intervallo massimale di esistenza della soluzione. ) π Risposta: yt) = tan 4 + t, t I = π/, ) π/.