Fuzzy Logic. Applicazione al Controllo di traiettoria. Tesina di Intelligenza Artificiale II Modulo. Tesina di. Franco Milicchio Federico Tonioni

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1 Fuzzy Logic Applicazione al Controllo di traiettoria Tesina di Intelligenza Artificiale II Modulo Tesina di Franco Milicchio Federico Tonioni

2 Introduzione alla Fuzzy Logic

3 Cos è la Fuzzy Logic? La Fuzzy Logic è una delle aree più affascinanti di ricerca poiché tratta di un problema con cui gli uomini hanno avuto e avranno sempre a che fare ovvero la contrapposizione tra importanza e precisione o, se vogliamo, tra senso pratico e senso teorico. Essa è concettualmente basata sulla relativa importanza della precisione: quanto è importante essere strettamente precisi nella vita quotidiana quando si necessita di una risposta magari più approssimativa? Per capire la differenza tra importanza e precisione con un esempio, si pensi ad una persona che stia per essere investita da un masso e a noi che siamo lì davanti ad osservare la scena con la possibilità di dire qualcosa per aiutarla: si può concordare che Un masso di 1550 kg ti sta per cadere in testa con un'accelerazione di 45 m/sec e 'Attento, spostati!!!' sono due approcci con utilità concreta ben diversa. Il primo commento più che un aiuto può sembrare una presa in giro! Tutti gli articoli o le presentazioni sulla Fuzzy Logic iniziano con alcune frasi di personaggi illustri riguardo a questo interrogativo. La precisione non è la verità. Henri Matisse Talvolta ciò che è più importante viene tralasciato a favore di ciò che è più misurabile. René Dubos Non ci si può sbarazzare dell'indeterminatezza nel mondo della logica più di quanto della frizione nella meccanica. Charles Sanders Peirce Credo che nulla sia incondizionatamente vero, e quindi sono ostile ad ogni tipo di affermazione di verità positiva e a qualunque uomo che la faccia. H. L. Mencken Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe. E finché sono certe non fanno riferimento alla realtà. Albert Einstein Non appena aumenta la complessità, le affermazioni precise perdono significato e le affermazioni che hanno significato perdono di precisione. Lotfi Zadeh

4 Potremmo semplicemente affermare che la Fuzzy Logic è una maniera conveniente di mappare uno spazio di input in uno spazio di output. Questo è il punto di partenza e grande enfasi è messa sull'aggettivo 'conveniente'. Che vuol dire mappare uno spazio di input in uno di output? Ecco qualche esempio: dimmi quanto è buono il servizio del tuo ristorante e ti dirò quale sia la mancia da lasciare al cameriere; dimmi quanto vuoi calda l'acqua e aprirò le manopole al punto giusto; dimmi quanto sia lontano il soggetto della tua fotografia e ti metterò a fuoco la lente; dimmi quanto forte sta andando la tua macchina e quanto il motore sta sforzando, e inserirò le marce per te; Un esempio di una mappa input-output è mostrato qui sotto. La risoluzione del problema risiede esclusivamente nel mappare input in appropriati output: tra input e output c'è una 'scatola nera' che esegue questo compito e che può essere un'infinità di cose: un sistema fuzzy, un sistema lineare, una rete neurale, un sistema di equazioni differenziali o addirittura una guida umana ma la lista di queste cose potrebbe andare avanti. Di tutte le maniere per svolgere questo compito, il sistema fuzzy è spesso quella migliore, perché, anche se nella maggior parte dei casi si può costruire lo stesso prodotto senza utilizzare la Fuzzy Logic, l'approccio fuzzy è più veloce e più economico. Perché utilizzare la Fuzzy Logic? Ecco una lista di osservazioni generali sulla Fuzzy Logic: La Fuzzy Logic è concettualmente facile da capire. La Fuzzy Logic è flessibile. La Fuzzy Logic è tollerante nei confronti di dati imprecisi. La Fuzzy Logic può modellare funzioni non lineari di arbitraria complessità. La Fuzzy Logic può essere costruita sulla base dell'esperienza di esperti. La Fuzzy Logic può facilmente essere utilizzata unitamente alle convenzionali tecniche di controllo. La Fuzzy Logic è basata sul linguaggio naturale.

5 Il linguaggio naturale, quello utilizzato da noi tutti quotidianamente per comunicare, è stato modellato da migliaia di anni di storia umana per essere conveniente e efficiente. Infatti, frasi scritte in linguaggio comune rappresentano un trionfo di comunicazione efficiente e in genere noi non siamo consapevoli di questo perché il linguaggio comune è qualcosa che utilizziamo, quasi inconsciamente, ogni giorno. Poiché la Fuzzy Logic è costruita sulle strutture di descrizione qualitativa usate nel linguaggio di tutti i giorni la Fuzzy Logic è estremamente semplice da usare. Quando non usare la Fuzzy Logic Abbiamo definito la Fuzzy Logic come una maniera conveniente per mappare uno spazio di input in un appropriato spazio di output: se ci rendiamo conto che questa maniera non è conveniente, si provi con qualcos'altro. La Fuzzy Logic è la codifica del (buon) senso comune: se si usa il buonsenso quando si implementa si prenderà probabilmente la giusta decisione. Molti controllori, ad esempio, fanno un ottimo lavoro senza usare la Fuzzy Logic. Un esempio introduttivo: Fuzzy vs. Non-Fuzzy Per capire meglio la differenza tra un approccio Fuzzy e un approccio lineare, a questo punto, è utile fare un esempio specifico. Mostreremo, dapprima, la risoluzione del problema nella maniera convenzionale (non-fuzzy) e in seguito utilizzando la Fuzzy Logic. Consideriamo il famoso problema delle mance: dato un numero da 0 a 10 che rappresenta la qualità di servizio di un ristorante (10 è eccellente), quale deve essere la 'giusta' mancia da dare al cameriere? L approccio Non-Fuzzy Possiamo pensare ad una semplice relazione: si supponga che la mancia da dare sia uguale al 15% del conto da pagare. tip = 0.15; Questa relazione non tiene conto però della qualità del servizio e quindi dobbiamo aggiungere un nuovo termine all'equazione. Poiché il servizio varia in una scala tra 0 e 10, potremmo avere che la mancia vari linearmente dal 5% se il servizio è cattivo fino al 25%:

6 tip = 0.02 * service ; La formula è abbastanza semplice ma, tuttavia, vorremmo che la mancia tenga conto anche della qualità del cibo. Potremmo estendere il problema come segue: Dati due insiemi di numeri tra 0 e 10 (10 è eccellente) che rappresentino rispettivamente la qualità del servizio la qualità del cibo del ristorante, quale deve essere la 'giusta' mancia da dare al cameriere? Vediamo come la formula viene modificata dall'introduzione di una nuova variabile: tip = 0.01 * (service + food) ; In questo caso, il risultato sembra buono, tuttavia si può osservare che se si vuole che il servizio abbia un maggior peso rispetto alla qualità del cibo, la formula va modificata ulteriormente. Supponiamo che vogliamo che il servizio pesi l'80% dell'intero 'grado' di mancia e il cibo il restante 20%. servratio = 0.8; tip = servratio * (0.02 * service ) + (1 - servratio) * (0.02 * food );

7 Tuttavia, la risposta è ancora troppo uniformemente lineare. Supponiamo ora di volere una risposta piatta nel mezzo (ad esempio, in generale vogliamo dare il 15% di mancia ma darne 'di meno' se il servizio è 'troppo' scadente o viceversa 'di più' se il servizio è molto buono). Possiamo considerare a questo punto una funzione di risposta come segue, considerando il caso unidimensionale della sola qualità di servizio: if (service < 3) tip = (0.10 / 3) * service ; elseif (service < 7) tip = 0.15; elseif (service >= 10) tip = (0.10 / 3) * (service 7) ; end Se estendiamo il tutto in due dimensioni, prendendo in considerazione di nuovo la qualità del cibo, avremo: servratio = 0.8; if (service < 3) tip = ((0.10 / 3) * service ) * servratio + (1 servratio) * (0.02 * food ); elseif (service < 7) tip = 0.15 * servratio + (1 servratio) * (0.02 * food ); else tip = ((0.10/3) * (service 7) ) * servratio + (1 - servratio) * (0.02 * food ); end Ora abbiamo raggiunto un risultato più che accettabile ma la funzione per la mancia risulta alquanto complicata: infatti il codice scritto non è così leggibile e quindi neanche facilmente modificabile in futuro. Inoltre, non è molto comprensibile come l'algoritmo funzioni per qualcuno che non abbia assistito alla sua progettazione. L approccio Fuzzy Sarebbe cosa buona catturare l'essenzialità di questo problema, trascurando tutti i fattori arbitrari. Se pensiamo a ciò che è rilevante ed essenziale per questo problema, potremmo scrivere le seguenti regole: 1. Se il servizio è scadente, allora la mancia sarà bassa 2. Se il servizio è buono, allora la mancia sarà media 3. Se il servizio è ottimo, allora la mancia sarà elevata

8 L'ordine con cui le regole vengono presentate qui è del tutto arbitrario: non importa quale regola venga per prima. Se vogliamo includere l'effetto della qualità del cibo sulla mancia, possiamo aggiungere le due seguenti regole: 4. Se il cibo è rancido, allora la mancia sarà bassa 5. Se il cibo è buono, allora la mancia sarà elevata A questo punto, possiamo combinare i due set di regole per ottenere una lista unica: 1. Se il servizio è scadente o il cibo è rancido, allora la mancia sarà bassa 2. Se il servizio è buono, allora la mancia sarà media 3. Se il servizio è eccellente o il cibo è buono, allora la mancia sarà elevata Queste tre regole sono il nucleo della nostra soluzione e, allo stesso tempo, abbiamo definito le regole per un sistema Fuzzy Logic. Se diamo un significato matematico alle variabili espresse in linguaggio naturale (cosa è una mancia 'media', per esempio), avremo un sistema di inferenza fuzzy completo. Ovviamente, abbiamo trascurato numerosi aspetti della metodologia della Fuzzy Logic: Come sono combinate le regole? Come si può definire matematicamente una mancia 'media'? A queste domande daremo una risposta più avanti. I dettagli del metodo non cambiano molto da problema a problema: i meccanismi della Fuzzy Logic non sono terribilmente complessi. Qui è mostrata la figura associata con il sistema fuzzy che risolve questo problema che è stata generata a partire dalle tre regole che abbiamo ricavato e utilizzando il Fuzzy Logic Toolbox di Matlab. Alcune osservazioni Utilizzando il metodo Non-Fuzzy, abbiamo trovato una relazione lineare che risolve il problema ma che è fastidiosa da ricavare e, inoltre, una volta scritto il codice non era così facile da interpretare. Al contrario, il sistema fuzzy è basato su alcune affermazioni di 'buonsenso comune' e, in più, siamo stati in grado di aggiungere due regole ulteriori alle precedenti, senza per questo disfare quello che avevamo precedentemente fatto: la modifica è stata, in altre parole, molto semplice. Una cosa interessante è che, utilizzando la Fuzzy Logic, la nozione di mancia 'media' può variare di giorno in giorno, di città in città o di paese in paese, ma la logica sottostante rimarrà sempre la stessa: se il servizio è buono, allora la mancia sarà media. Si può 'ricalibrare' il metodo

9 semplicemente traslando in maniera opportuna il fuzzy set che definisce la media senza riscrivere le regole. Questa ricalibrazione è, ovviamente possibile anche con il metodo lineare, ma in generale non sarà così veloce e semplice. Di seguito, è mostrato come rendere la soluzione lineare più generica(in realtà, basta parametrizzare le variabili): % Definizione delle costanti lowtip = 0.05; avertip = 0.15; hightip = 0.25; tiprange = hightip lowtip; badservice = 0; okayservice = 3; goodservice = 7; greatservice = 10; servicerange = greatservice badservice; badfood = 0; greatfood = 10; foodrange = greatfood badfood; % Se il servizio è scadente o il cibo è rancido, allora la % mancia sarà bassa if (service < okayservice) tip = (((avertip lowtip) / (okayservice badservice)) * service + lowtip) * servratio + (1 servratio) * (tiprange / foodrange * food + lowtip); % Se il servizio è buono, allora la mancia sarà media else if (service < goodservice) tip = avertip * servratio + (1 servratio) * (tiprange / foodrange * food + lowtip); % Se il servizio è eccellente o il cibo è buono, allora la % mancia sarà elevata else tip = (((hightip avertip) / (greatservice goodservice)) * (service goodservice) + avertip) * servratio + (1 servratio) * (tiprange / foodrange * food + lowtip); end Si può facilmente vedere, come l'impressione che si ha di questo codice sia un qualcosa di poco leggibile anche se non stiamo facendo nulla di così complicato: se invece togliamo tutto il codice e lasciamo solo i commenti, quello che rimarrà sono esattamente le regole fuzzy che abbiamo scritto prima: % Se il servizio è scadente o il cibo è rancido, allora la mancia sarà bassa % Se il servizio è buono, allora la mancia sarà media % Se il servizio è eccellente o il cibo è buono, allora la mancia sarà elevata Con questo, appare evidente, come sfruttando l'approccio fuzzy si riduca il gap tra persone e macchine, impartendo 'ordini' alla macchina nel nostro linguaggio lasciando alla macchina stessa il compito di tradurre tali operazioni.

10 Principi di Fuzzy Logic Si può intuire il grado di vaghezza di una cosa solo quando si è provato a renderla precisa. Bertrand Russell

11 Fuzzy sets Un fuzzy set è un insieme senza un confine chiaramente delineato ovvero in cui viene 'sconvolta' la consueta nozione di appartenenza:esso può infatti contenere elementi soltanto con un parziale grado di appartenenza. Pensiamo alla nozione classica di insieme:esso è un contenitore che o include totalmente o 'esclude totalmente' qualsiasi dato elemento. Ad esempio, l'insieme dei giorni della settimana contiene inequivocabilmente Lunedì, Giovedì, Sabato; altrettanto inequivocabilmente, non sono giorni della settimana il lucido per scarpe, il burro o le pinne di un pesce. Questa nozione di insieme è definita classica, in quanto Aristotele con la legge del Terzo Escluso, asserì che un elemento X o appartiene ad un insieme A oppure, necessariamente, fa parte dell'insieme non-a. Nel nostro caso, possiamo asserire che Lunedì appartiene all'insieme dei giorni della settimana, e inoltre, necessariamente, non appartiene all'insieme dei 'non-giorni della settimana'. Si consideri ora l'insieme dei giorni che fanno parte del weekend: il diagramma sottostante ne è una possibile rappresentazione. Si può facilmente essere d'accordo sul fatto che Sabato e Domenica appartengano a tale insieme, ma cosa si può dire riguardo a Venerdì? Potremmo definirlo un elemento che 'sta al confine' di tale insieme, in quanto, secondo il senso comune, si può sia escluderlo che includerlo nei giorni del weekend. Gli insiemi 'classici' non tollerano questo tipo di situazioni: o dentro o fuori. Tuttavia, l'esperienza quotidiana ci insegna che molte situazioni non sono nettamente definite e che lo 'stare al confine' è proprio di tali situazioni: si pensi a tutte le situazioni in cui, come in questo caso, entrano in ballo le percezioni dei singoli individui o le loro abitudini: in effetti per una persona che lavora fino alla sera tardi del venerdì, inizierà a pensare al weekend solo il sabato mattina; viceversa chi finisce di lavorare all'una del pomeriggio, parlerà di weekend già a partire dal venerdì pomeriggio. Analogo

12 discorso può essere fatto per il momento in cui termina il weekend. Insomma, un approccio nonfuzzy, ovvero di netta separazione tra weekend e non-weekend, non modellerebbe la realtà in modo soddisfacente e sarebbe utile solo se si volesse considerare un modello riduttivo e semplificato della realtà. Nella Fuzzy Logic, la verità di ogni affermazione diventa una questione di grado. Lo strumento che la Fuzzy Logic mette a disposizione è la capacità di rispondere ad una domanda secca con una risposta 'non secca': anche se una domanda è semplice raramente siamo in grado di dare una risposta altrettanto semplice o definita e, se da un lato per noi esseri umani questo fatto è la normalità per i computer è piuttosto una complicazione non indifferente. Il ragionamento fuzzy è un'estensione della logica booleana a due valori: se assegniamo 'vero' al valore numerico 1 e 'falso' al valore numerico 0, la Fuzzy Logic consente di utilizzare anche tutti i valori reali intermedi come 0.3 o Ad esempio: D: Sabato è un giorno del weekend? R: 1 (sì, o vero) D: Martedì è un giorno del weekend? R: 0 (no, o falso) D: Venerdì è un giorno del weekend? R: 0.8 (in gran parte sì, ma non del tutto) D: Domenica è un giorno del weekend? R: 0.95 (sì, ma non nella stessa misura del Sabato) Sotto a sinistra, il grafico mostra i valori di verità per la 'weekendezza' nel caso in cui siamo costretti a rispondere con un no o con un sì netti. A destra, invece, il grafico mostra il caso in cui possiamo rispondere con valori intermedi fuzzy. La rappresentazione a destra è tratta dal dominio della logica multivalente ovvero le cui variabili possono assumere uno degli infiniti valori compresi in un intervallo chiuso: essa è in contrasto con il concetto più familiare di logica a due valori o bivalente. Per tornare al nostro esempio, si consideri il grafico tempo-continuo sottostante della weekendezza. Considerando un grafico continuo, abbiamo definito il grado fino al quale ogni dato istante appartiene al weekend piuttosto che un intero giorno. Nella figura di sinistra, si noti che alla

13 mezzanotte e un secondo del Sabato, si ha una discontinuità nel valore di verità. Questo modo di descrivere il weekend è semplice e utilizzabile in alcuni modelli di studio ma non ha a molto a che fare con l'esperienza del mondo reale. La figura di destra, invece, mostra una curva che varia dolcemente, modellando il fatto che tutto Venerdì e, per un basso grado, anche Giovedì prendono parte alla determinazione del grado della weekendezza, guadagnandosi così la parziale appartenenza nel fuzzy set dei giorni del weekend. La curva che definisce la weekendezza di ogni istante nel tempo è una funzione che mappa lo spazio di input (i giorni, o più precisamente gli istanti temporali di una settimana) in uno spazio di output (la weekendezza): tale funzione è detta funzione di appartenenza. Ne parleremo più avanti. Come secondo esempio di fuzzy set, si consideri al questione delle stagioni. Anch'esso, nella pratica è un concetto poco definito e variabile da luogo a luogo della terra. Nell'emisfero nord, l'estate inizia ufficialmente nell'istante esatto in cui il Polo Nord è rivolto esattamente verso il sole: questa cosa accade una volta l'anno, alla fine di Giugno. Usando le definizioni astronomiche di stagione, abbiamo confini definiti come mostrato nella figura in basso a sinistra. Tuttavia, l'esperienza ci dice che le stagioni variano più o meno continuamente come mostrato dalla figura in basso a destra (in più si noti che quest'osservazione è valida solo per l'emisfero nord). Funzioni di appartenenza Una funzione di appartenenza - membership function (MF) è una curva che definisce come ogni punto nello spazio di input sia mappato in un valore di appartenenza (o grado di appartenenza) compreso tra 0 e 1. Uno degli esempi più comunemente usati di un fuzzy set è l'insieme delle persone alte. In questo caso, lo spazio di input è costituito da tutte le potenziali altezze, diciamo da 90 cm a 2 metri e mezzo, e la parola 'alto' corrisponderà ad una curva che definisce, appunto, il grado di altezza di una persona. Se l'insieme delle persone alte è dato assumendo un confine ben definito, potremmo dire che tutte le persone sopra il metro e 80 cm sono considerate alte. Una tale distinzione è chiaramente assurda, poiché nella realtà è irragionevole dire che una persona è bassa e un altra è alta, sebbene differiscano in altezza di un solo millimetro! Un giusto modo per definire l'insieme delle persone alte è quello di definire una funzione di appartenenza che vari dolcemente passando da non-alto a alto. Si guardi la figura sotto, in cui la funzione di appartenenza è denominata µ.

14 Si osservi che interpretazioni soggettive e appropriate unità di misura sono definite all interno dei fuzzy set. Se dico 'Lei è alta', la funzione di appartenenza tiene già conto se mi sto riferendo ad una bambina di sei anni o ad una signora; analogamente le unità di misura sono incluse nella curva: non ha senso, ovviamente, dire: ' E' alta in metri o in piedi' L'unica condizione che una funzione di appartenenza deve necessariamente soddisfare è che deve variare tra 0 e 1. La funzione può essere una curva arbitraria che possiamo scegliere mediante considerazioni di semplicità, convenienza, velocità e efficienza. Un insieme classico può essere espresso come: A={x x 6} Un fuzzy set è un estensione di un insieme classico. Sia X il dominio di interesse e x i suoi elementi, allora un fuzzy set A in X è definito come un insieme di coppie ordinate: A={ x, μ A x x X } dove µa(x) è la funzione di appartenenza (MF) di x in A. Esistono diverse funzioni che sono spesso usate in pratica: triangoli, trapezi, la funzione di distribuzione Gaussiana, il sigmoide e curve quadratiche e cubiche polinomiali. Qui sotto ne sono mostrati alcuni esempi.

15 Operazioni Logiche Possiamo affermare che, essendo la Fuzzy Logic un superinsieme della logica standard booleana ovvero, in altre parole, se consideriamo i valori estremi fuzzy 0 e 1 si otterranno le tabelle di verità consuete rappresentate qui sotto. Poiché nella Fuzzy Logic la verità di ogni affermazione è una questione di grado, bisogna estendere il significato assunto dagli operatori logici in logica booleana. Infatti, poiché i valori che i due operandi possono assumere sono numeri reali tra 0 e 1, una corretta estensione dell'and è l'utilizzo della funzione min. Analogamente si può pensare di estendere l'or con la funzione max ovvero A OR B diverrebbe equivalente a max(a, B).Infine, l'operazione di NOT A è estesa mediante la computazione di 1 - A (complemento "a uno"). La figura sottostante, mostra come si ottengano gli stessi risultati che in precedenza nel caso dei valori limite. La figura seguente usa un grafico per mostrare lo stesso concetto. La parte superiore della figura mostra i grafici corrispondenti alle tavole di verità "a due valori", mentre la parte sotto mostra come le operazioni lavorino su un range di valori di verità A e B che varia in modo continuo a seconda di come abbiamo definito le operazioni fuzzy.

16 Operatori Fuzzy aggiuntivi Abbiamo finora definito solo un particolare tipo di estensione tra operazioni logiche a due valori e quelle multivalore: tuttavia, sono possibili varie altre possibilità. In termini più generali, si definiscono la cosiddetta intersezione fuzzy o congiunzione (AND), l'unione fuzzy o disgiunzione (OR) e il complemento fuzzy (NOT). min, Abbiamo definito sopra gli operatori cosiddetti "classici" per queste funzioni AND OR max e NOT complemento a uno; tipicamente, la maggior parte delle applicazioni in Fuzzy Logic usano queste operazioni. In generale, possono esistere numerose implementazioni degli operatori logici fuzzy, ma tali implementazioni devono soddisfare delle condizioni ben precise. L'intersezione di due fuzzy set A e B è definita come un mapping binario T, che accorpa due funzioni di appartenenza come segue: A B x =T A x, B x Per esempio, l'operatore binario T può rappresentare la moltiplicazione di µa(x) e µb(x) Questi operatori binari d'intersezione, che sono usualmente denominati operatori T-norma (norma triangolare) soddisfano le seguenti condizioni: condizioni al contorno: monotonicità: commutatività: associatività: T 0,0 =0, T a,1 =T 1, a =a T a, b T c, d if a c b d T a, b =T b, a T a, T b, c =T T a, b, c La prima condizione impone la corretta generalizzazione a insiemi deterministici, mentre la seconda implica che un decremento dei valori di appartenenza in A o in B non può produrre un incremento nel valore di appartenenza in A intersezione B. La terza condizione indica che l'operatore è indifferente all'ordine secondo cui si combinano i fuzzy set, mentre, infine, la quarta condizione garantisce di poter prendere l'intersezione di qualsiasi numero di insiemi in ogni ordine a coppie di due. Analogamente, l'operatore fuzzy di unione è specificato in generale da una funzione binaria S.

17 A B =S A x, B x Ad esempio, l'operatore binario S può rappresentare l'addizione tra µa(x) e µb(x). Questi operatori operatori fuzzy di unione, che sono spesso denominati come T-conorme (o Snorme) devono soddisfare le seguenti condizioni: condizioni al contorno: monotonicità: commutatività: associatività: S 1,1 =1, S a, 0 =S 0, a =a S a, b S c, d if a c b d S a, b =S b, a S a, S b, c =S S a, b, c Diverse T-norme e corrispettive T-conorme duali sono state proposte nel passato come quelle di Yager, Dubois e Prade, Schweizer e Sklar, e Sugeno.Ognuna di queste fornisce un modo per variare il "guadagno" sulla funzione così che essa può essere o molto selettiva o molto lasca. Regole If-Then Una semplice regola fuzzy if-then assume la seguente forma: se x è A allora y è B in cui A e B sono I valori linguistici definiti dai fuzzy set sugli intervalli X e Y rispettivamente. La parteif della regola "x è A" è detta antecedente o premessa, mentre la parte-then della regola "y è b" è detta conseguente o conclusione. Un esempio di tale regola potrebbe essere: se il servizio è buono allora la mancia è media Si noti che buono è rappresentato da un numero reale compreso tra 0 e 1, e quindi l'antecedente è un'interpretazione che restituisce un singolo numero tra 0 e 1. D'altra parte, media è rappresentata come un fuzzy set, e quindi il conseguente è un'assegnazione che associa l'intero fuzzy set B alla variabile di output y. In una regola if-then la parola "è" viene usata in due maniere completamente diverse a seconda se compare nell'antecedente o nel conseguente. In termini di programmazione, questa è la distinzione che c'è tra un test di uguaglianza ('==') e un'assegnazione di variabile ('='). Quindi, per chiarire l'idee si può scrivere: se servizio == buono allora mancia = media Generalmente, l'input per un regola if-then è il valore corrente per la variabile di input (in questo caso servizio) e l'output è un intero fuzzy set (in questo caso, media). Questo insieme verrà poi defuzzificato, assegnando un valore all'output. Il concetto di defuzzificazione è descritto più avanti. L'interpretazione di una regola if-then coinvolge parti distinte: prima si valuta l'antecedente (ovvero si fuzzifica l'input e si applicano gli operatori fuzzy necessari); quindi, si applica tale risultato al conseguente (implicazione). Nel caso della logica a due valori, le regole if-then non presentano particolari problemi: se la premessa è vera allora la conclusione è vera. Se rilasciamo l'ipotesi di operare nell'ambito di una logica bivalente e se l'antecedente è un affermazione fuzzy, come viene influenzata la conclusione? La risposta è semplice: se l'antecedente è vero con un certo grado di appartenenza, allora il conseguente è altrettanto vero con lo stesso grado. In altre parole: In logica binaria si ha: p q (p e q o sono entrambi vere o sono entrambi false) In Fuzzy Logic: 0.5 p 0.5 q (antecedenti parziali danno un'implicazione parziale) Ovviamente, l'antecedente di una regola può avere parti multiple:

18 se il cielo è grigio e il vento è forte e c'è nebbia In tal caso tutte le parti dell'antecedente sono calcolate simultaneamente e associate a un singolo numero usando gli operatori logici descritti in precedenza. Analogamente anche il conseguente di una regola può avere parti multiple: se la temperatura dell'acqua è calda allora la manopola dell'acqua calda è aperta dell'acqua fredda è chiusa e quella In tal caso, tutti i conseguenti sono influenzati equamente dal risultato dell'antecedente:il conseguente specifica un fuzzy set da assegnare all'output e la funzione di implicazione quindi modifica quel fuzzy set del grado specificato dall'antecedente. La maniera più comune di modificare il fuzzy set di output è il troncamento per mezzo della funzione min (in cui il fuzzy set è "tagliato via" come mostrato nella figura della prossima pagina) oppure uno scaling usando la funzione prod (in cui il fuzzy set di output è 'schiacciato'). Riassumendo, l'interpretazione delle regole if-then è un processo che consta di tre parti: 1 Fuzzificazione degli input: si associa a tutte le affermazioni fuzzy nell'antecedente un grado di appartenenza compreso tra 0 e 1. Se c'è solo un'unica parte nell'antecedente si può saltare il secondo passo.questo è il cosiddetto grado di supporto per la regola. 2 Applicazione degli operatori fuzzy ad antecedenti con parti multiple: se l'antecedente è costituito da parti multiple, si applicano gli operatori fuzzy e si associa così l'antecedente a un singolo numero tra 0 e 1. Questo è il cosiddetto grado di supporto per la regola.

19 3 Applicazione del metodo di implicazione: si usa il grado di supporto per l'intera regola per modellare il fuzzy set di output. Il conseguente di una regola fuzzy assegna un intero fuzzy set all'output: questo è rappresentato da una funzione di appartenenza che è scelta per indicare le "qualità" del conseguente. Se l'antecedente è solo parzialmente vero (ovvero ha un valore minore di uno), allora il fuzzy set di output è troncato secondo il metodo di implicazione prescelto. In generale, una regola da sola non è sufficiente: quello che serve sono due o più regole che possano interagire insieme. L'output di ogni regola è un fuzzy set: i fuzzy set di output per ogni regola sono poi aggregati in un singolo fuzzy set di output. Infine, il risultato viene defuzzificato, ovvero associato ad un singolo numero. Sistemi di inferenza fuzzy Si definisce inferenza fuzzy il processo di mappatura da uno spazio di input dato a uno opportuno di output utilizzando la Fuzzy Logic. La mappatura fornisce così, implicitamente, una base da cui partire per poter prendere decisioni sul comportamento del sistema. Il processo di inferenza fuzzy coinvolge tutti concetti precedentemente illustrati: funzioni di appartenenza, operatori fuzzy logic e regole if-then. Vi sono due tipi di inferenza che vengono maggiormente usati: quello di Mamdani e quello di Sugeno, i quali si differenziano per come gli output vengono determinati. In particolare, la principale differenza tra i due metodi è che le funzioni di output sono solo lineari o costanti per il metodo di Sugeno (una tipica regola fuzzy in un modello di Sugeno di ordine zero ha questa forma if x is A and y is B then z = k). Vengono qui riportati, senza scendere nel dettaglio, I vantaggi dell'uno e dell'altro metodo: Vantaggi del metodo di Sugeno Efficienza computazionale Funziona bene con tecniche lineari (e.g., controllore PID). Funziona bene con tecniche di ottimizzazione e adattative. La superficie di output è continua. Si adatta bene all analisi matematica. Vantaggi del metodo di Mamdani E' intuitivo. E' accettato diffusamente ed è il più usato. Si adatta bene ad un input umano. La nostra scelta per la realizzazione della simulazione è caduta sul metodo Mamdani, avendo a che fare con un modello non lineare.il metodo Mamdani fu tra I primi sistemi di controllo costruito per essere utilizzato con la teoria dei fuzzy set: fu proposto nel 1975 da Ebrahim Mamdani per tentare di controllare un motore a vapore e una caldaia che cooperavano mediante la sintesi di un insieme di regole di controllo linguistico ottenute da operatori umani esperti. Il lavoro di Mamdani era basato sul documento del 1973 di Lotfi Zadeh sugli algoritmi fuzzy per sistemi complessi e processi decisionali. Il meccanismo di inferenza proposto qui (che è quello utilizzato dal Fuzzy Logic Toolbox di Matlab) differisce leggermente dal metodo originale ma l idea di base è pressoché la stessa. Il sistema di inferenza di Mamdani definito nel Fuzzy Logic Toolbox definisce le funzioni di appartenenza di output come fuzzy set; successivamente al processo di aggregazione, c'è un fuzzy set per ogni variabile di output che deve essere defuzzificato. E' possibile, e in molti casi più efficiente, usare uno spike singolo come funzione di appartenenza dell'output piuttosto che un fuzzy set distribuito. Questo è noto come una funzione singleton e può essere pensato come un insieme 'pre-defuzzificato'. Esso incrementa l'efficienza del processo di

20 defuzzificazione perché semplifica enormemente la computazione richiesta dal più generale metodo di Mamdani, che trova il centroide di una funzione bi-dimensionale. Piuttosto che integrare su una funzione bi-dimensionale per trovare il suo centroide, si può utilizzare la media pesata di pochi punti (il metodo di Sugeno utilizza questo metodo di defuzzificazione). Ancora il problema delle mance Riprendiamo, l'esempio iniziale delle mance, entrando qui in maggiori dettagli.la struttura base dell'esempio è mostrata nella figura qui sotto: l'informazione 'viaggia' da sinistra a destra, da due input ad un solo output. La natura parallela delle regole è uno degli aspetti più importanti dei sistemi basati sulla Fuzzy Logic: si può passare dolcemente da regioni in cui il comportamento del sistema è dominato maggiormente o da una regola o da un altra: si ha una migrazione graduale e senza 'punti di rottura'. Il Fuzzy Logic Toolbox divide, per così dire, il processo di inferenza fuzzy in 5 passi: fuzzificazione delle variabili di input, applicazione degli operatori fuzzy (AND oppure OR) nell'antecedente, applicazione del metodo di implicazione dall'antecedente al conseguente, aggregazione dei conseguenti attraverso le regole, defuzzificazione. Passo 1. Fuzzificazione degli input Il primo passo è considerare gli input e determinare il grado con il quale essi appartengono ad ognuno degli appropriati fuzzy set per mezzo delle funzioni di appartenenza. Nel Fuzzy Logic ToolBox, l'input è sempre un valore numerico preciso limitato nel dominio della variabile di input (in questo caso l'intervallo compreso tra 0 e 10) e l'output è un grado fuzzy di appartenenza compreso sempre nell'intervallo tra 0 e 1. La fuzzificazione dell'input consiste o in una valutazione di una funzione o in una consultazione di una tabella, magari costruita da esperti. L'esempio che utilizziamo è costruito su tre regole e ognuna di queste dipende

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