Dispense di Matematica Finanziaria. Giacomo Scandolo

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1 Dispense di Matematica Finanziaria Giacomo Scandolo 2 marzo 2011

2 c Giacomo Scandolo Avvertenza 1. Le pagine che avete in mano (o davanti allo schermo), pur nei limiti di una dispensa, vi permettono di affrontare il corso senza dover acquistare ulteriori testi. Mi farebbe molto piacere se la somma che risparmiate nell acquisto di un libro (10 Euro? 20 Euro? fate voi) andasse ad aiutare qualche ente benefico che vi sta a cuore. Se siete indecisi vi suggerisco una donazione all Ospedale pediatrico Meyer di Firenze: trovate tutti i dettagli su Avvertenza 2. Queste dispense contengono senz altro molti errori: mi sarà utile avere un feedback da parte vostra allo scopo di aggiornare una lista di errata/corrige che metterò a vostra disposizione.

3 Matematica Finanziaria - Parte 1 1 Parte 1: Operazioni e regimi finanziari In questa prima parte presentiamo gli oggetti fondamentali della Matematica Finanziaria (classica), ovvero le operazioni finanziarie. Ci muoviamo qui, così come in tutta la prima parte del corso, in condizioni di certezza, ovvero assumiamo che tutti gli importi e i tempi siano perfettamente fissati fin dall inizio. 1.1 Contratti finanziari Un contratto finanziario è un accordo tramite il quale due parti si impegnano a scambiarsi una serie di importi ad una serie di date. Le controparti possono essere di diversa natura: privati cittadini, aziende, istituzioni finanziarie, enti pubblici, lo Stato. La diffusione e la varietà di contratti finanziari risponde a varie esigenze, tra cui quella di posticipare (capitalizzare) o anticipare (attualizzare) la disponibilità di denaro e dunque, in ultima analisi, di consumo. Possiamo affermare che i contratti finanziari consentono il fluire di denaro dalle unità cosiddette in surplus, ovvero che dispongono più di quanto riescono a spendere, a quelle in deficit, ovvero che spendono più di quanto dispongono. In questa prima parte ci occupiamo di contratti in cui importi e date sono quantità certe, non soggette ad aleatorietà. Facciamo qualche semplice esempio: 1. Un deposito in conto corrente in cui un risparmiatore (in surplus) posticipa la disponibilità di denaro, cedendola temporaneamente ad una banca (in deficit). 2. Un mutuo, tramite il quale l acquirente di un immobile (in deficit) anticipa la disponibilità di denaro e a questo bisogno provvede una banca (in surplus). 3. Un prestito concesso da una banca (in surplus) ad una piccola azienda (in deficit). 4. L acquisto di un BOT da parte di un cittadino (in surplus), grazie al quale lo Stato (in deficit) raccoglie fondi. Dai pochi esempi fatti si capisce che una unità (p.e. un cittadino) non è sempre in surplus o sempre in deficit, ma il suo status varia a seconda del momento. Resta il fatto che generalmente: i cittadini sono in surplus: prestano soldi alle banche (conti correnti), alle aziende e allo Stato (obbligazioni, titoli di Stato) le banche sono neutre: quanto ricevono dai cittadini lo prestano alle aziende le aziende sono in deficit: si fanno prestare dai cittadini (obbligazioni) e dalle banche (prestiti) lo Stato è in deficit: si fa prestare dai cittadini (titoli di Stato)

4 Matematica Finanziaria - Parte 1 2 Va inoltre sottolineato che nei 4 esempi fatti sopra c è spesso una componente di discrezionalità: p.e. un correntista può scegliere la data a cui estinguere il conto oppure l acquirente del BOT può sempre decidere di vendere il titolo in anticipo. A volte, come nel caso del BOT, tale discrezionalità introduce anche aleatorietà (il prezzo di vendita anticipata del BOT sarà noto solo in futuro.) 1.2 Rappresentazione come operazione finanziaria Consideriamo un contratto in cui A riceve da B 1000 e in data odierna, e in cambio si impegna a pagargli 3 rate da 400 e tra 1, 2 e 3 anni. Possiamo rappresentare tale contratto, dal punto di vista di A, tramite la corrispondente operazione finanziaria: x/t = (1000, 400, 400, 400)/(0, 1, 2, 3) (1.1) Il vettore 1 x = (x 0,..., x N ) descrive gli importi, mentre t = (t 0,..., t N ) descrive le relative scadenze. Naturalmente, vista da B, l operazione finanziaria diventa: y/t = ( 1000, 400, 400, 400)/(0, 1, 2, 3); (1.2) in altre parole, lo scadenzario rimane invariato, mentre il flusso degli importi cambia di segno. Un contratto si dice a pronti (in inglese spot) se il primo importo viene scambiato in data odierna, ovvero se per le corrispondenti due operazioni finanziarie (una di A e l altra di B), t 0 = 0. Se invece t 0 > 0, allora si parla di contratti a termine (in inglese forward). Esempio. L operazione: x/t = ( 2000, 1500, 700)/(0, 0.5, 2) (1.3) è il flusso per A di un contratto a pronti in cui A paga oggi a B 2000 e e riceverà da B le due somme 1500 e 700 e tra 6 mesi e 2 anni, rispettivamente. Invece: x/t = (1000, 2000, 800)/(1, 2, 3) (1.4) è l operazione per A corrispondente ad un contratto a termine in cui A riceve da B 1000 e tra 1 anno a partire da oggi, data in cui il contratto è stipulato, si impegna a ripagargli 2000 e tra 2 anni e infine riceve ancora da B 800 e tra 3 anni. 1.3 Prestiti elementari La maggior parte dei contratti si presenta naturalmente nella forma di un prestito ovvero prevede un esborso iniziale da A (il creditore) a B (il debitore), seguito da uno o più pagamenti nel verso opposto, ovvero da B ad A. Dal punto di vista del creditore un contratto di prestito dà luogo ad un operazione finanziaria di investimento, in cui il flusso degli importi ha segni del tipo: x (, +,..., +). 1 Un vettore, dal punto di vista matematico, è un insieme ordinato di numeri (reali)

5 Matematica Finanziaria - Parte 1 3 Al contrario, dal punto di vista del debitore l operazione è un finanziamento, ovvero è del tipo: x (+,,..., ). In un prestito elementare il rimborso da parte del debitore avviene in un unica data (detta scadenza). Un classico esempio è l acquisto di un BOT seguito dal possesso fino alla sua scadenza. Visto dalla parte del creditore, un prestito elementare consiste nell operazione 2 x/t = ( C, M)/(0, T) dove C > 0 è il capitale prestato in 0 e M > C è il capitale rimborsato in T > 0. Possiamo interpretare un contratto di prestito elementare sotto tre angolazioni diverse: 1. dal punto di vista del creditore, si tratta di capitalizzare la somma iniziale C, detta capitale, che cresce e diventa M, detto montante 2. dal punto di vista del debitore, si tratta di attualizzare la somma M, detta valore nominale, che riportata in 0 diventa C, detta valore attuale 3. da entrambe le parti (creditore e debitore) si conviene nell equivalenza tra la somma C in 0 e M in T. Questa equivalenza non è universale, ma si limita al contratto stipulato. Schematicamente: capitale valore attuale capitalizzazione attualizzazione montante valore nominale I contratti di prestito prevedono, naturalmente, che il montante sia maggiore del capitale. La differenza I = M C > 0 è detta interesse, mentre i due rapporti m = M C > 1 e c = C M = 1 m < 1 sono detti, rispettivamente, fattore montante e fattore di attualizzazione. Valgono le ovvie uguaglianze: M = m C e C = c M. Esempio. Il prezzo odierno di un BOT, con scadenza fra 6 mesi, è 970 Euro e il capitale rimborsato alla scadenza (chiamato, appunto, valore nominale) è 1000 Euro. In questo caso C = 970 è il valore attuale di M = 1000, oppure M = 1000 è il montante del capitale iniziale C = 970. L interesse è I = M C = 30, il fattore montante è m = 1000/970 = e il fattore di attualizzazione è c = 1/m = Per il momento, ci limitiamo ai contratti spot.

6 Matematica Finanziaria - Parte Leggi e regimi finanziari Spesso, per velocizzare e uniformare la definizione dei contratti, si ha bisogno di stabilire una formula con la quale, nota la durata del prestito e il capitale, sia possibile calcolare il montante. La stessa esigenza si ha anche quando ci siano delle discrezionalità da parte del debitore e/o del creditore; pensiamo, ad esempio, alla discrezionalità del correntista che può scegliere la data in cui chiudere il conto, ovvero la scadenza t del prestito concesso alla banca. Tale formula si chiama legge finanziaria e, dal punto di vista matematico, si rappresenta come una funzione M = M(C, t) C 0, t 0. che esprime il montante M in dipendenza dal capitale C e dalla scadenza t del prestito. semplificare l analisi, facciamo l ipotesi che la legge sia omogenea negli importi, ovvero che: Per M(C, t) = C M(1, t) = C m(t), dove m(t) è il montante relativo ad una unità di capitale iniziale, ovvero il fattore montante. In altre parole, assumiamo che lo stesso trattamento (in termini relativi) sia riservato al capitale investito, indipendentemente dalla sua entità. Anche se a volte ciò non è esattamente vero (p.e. in alcuni depositi in conto corrente il tasso di interesse può crescere leggermente con l entità del capitale), tale ipotesi è una buona approssimazione della realtà. Dunque possiamo pensare ad una legge finanziaria direttamente in termini di una funzione m = m(t) che descrive l evoluzione del montante a partire da un capitale di 1 Euro, ovvero l evoluzione del fattore montante. Ovviamente, la funzione m dovrà perlomeno soddisfare alle seguenti due proprietà: m(0) = 1 m è strettamente crescente Per questioni puramente tecniche, richiediamo inoltre che m sia derivabile. La quantità i e = M(C, 1) C C = m(1) 1, che di solito è espressa come percentuale, è detta tasso (di interesse) annuo effettivo della legge finanziaria m ed è una misura di quanto velocemente cresce il montante. E ovvio che per specificare una legge finanziaria si può anche descrivere come varia il valore attuale di 1 e con la scadenza a cui sarà disponibile, ovvero esprimendo il fattore di attualizzazione in funzione del tempo: c(t) = C M(C, t) = 1 m(t).

7 Matematica Finanziaria - Parte 1 5 La funzione c sarà strettamente decrescente e soddisferà c(0) = 1. Un regime finanziario è una classe di leggi finanziarie, tutte della stessa forma, le quali dipendono da un parametro. Esso può essere il tasso annuo effettivo, oppure un cosiddetto tasso annuo nominale. Specificato dunque il regime e uno dei due tassi, è individuata la legge finanziaria che si sta usando. Assieme alla convenzione per il calcolo dei tempi, di cui parleremo tra breve, questo è un secondo elemento che per legge deve essere sempre esplicitato nei contratti. Illustriamo qui sotto i 4 regimi finanziari più importanti: 1. regime dell interesse semplice 2. regime dell interesse composto k volte l anno 3. regime dell interesse composto (continuamente) 4. regime dello sconto commerciale (o dell interesse anticipato) 1.5 Il regime dell interesse semplice Nel regime dell interesse semplice si assume che l interesse cresca in modo proporzionale al tempo trascorso, secondo una costante di proporzionalità i > 0 che si chiama tasso (di interesse) annuo: I = ict. Equivalentemente, assumiamo che la legge finanziaria, che indichiamo con m s (s per semplice) sia: m s (t) = 1 + it E immediato vedere che il tasso annuo effettivo i e coincide con i. Il fattore di attualizzazione evolverà secondo Esempio. c s (t) = it In regime di interesse semplice con tasso annuo i = 8%, il montante dopo 2 anni del capitale iniziale C = 2000 Euro è M = C(1 + 2i) = 2320; il valore attualizzato di M = Euro disponibili fra 6 mesi è C = M/(1 + i/2) = 9615 Nelle figure 1.5 possiamo vedere che, a parità di scadenza, maggiore è il tasso di interesse, maggiore è il montante e minore è il valore attuale. Il regime dell interesse semplice è utilizzato in genere per calcolare interesse e montante per scadenze ravvicinate e, comunque, che non superino 1 anno. Oltre tale scadenza (o anche scadenze inferiori), scatta in genere la clausola di capitalizzazione degli interessi, che modifica il regime, come andiamo a vedere nel prossimo paragrafo.

8 Matematica Finanziaria - Parte (a) i = 5% (b) i = 30% Figura 1.1: Montante (linea continua) e valore attualizzato (tratteggiata) in regime di interesse semplice per due valori di i 1.6 Il regime dell interesse composto k volte l anno Quando il prestito arriva alla scadenza, gli interessi maturati dal creditore possono essere liquidati (sotto forma ad esempio di cedole di un obbligazione) oppure reinvestiti in un prestito analogo al precedente. In questo secondo caso si dice che gli interessi vengono capitalizzati, ovvero vanno a far parte del capitale. Spesso un contratto prevede che tale pratica sia automaticamente eseguita a favore del creditore e che le condizioni (ovvero il tasso di interesse) rimangano invariate: basta pensare ad un deposito in conto corrente in cui la banca capitalizza periodicamente gli interessi, senza che il correntista debba fare alcuna operazione. Vediamo ora come evolve il montante, supponendo che gli interessi siano capitalizzati 1 volta l anno, al 31 dicembre come spesso accade, e che il tasso di interesse in regime di interesse semplice sia i. In questo contesto, i è detto tasso annuo nominale. Se investiamo 1 Euro il 1 gennaio, il montante, che indichiamo con m 1 (1 è il numero di capitalizzazioni annue) sarà m 1 (t) = m s (t) = 1 + it se t [0, 1]; gli interessi vengono calcolati sul capitale 1 per il tempo t. Si vede subito che il tasso annuo effettivo i e coincide con quello nominale i. Dopo la prima capitalizzazione, ovvero per t [1, 2], il capitale diventa 1 + i e gli interessi vengono calcolati per il tempo t 1, ovvero: m 1 (t) = (1 + i)m s (t 1) = (1 + i)(1 + i(t 1)) se t [1, 2], e così via. Se introduciamo la parte intera 3 t di t: t = max{n N : n t}, 3 In breve, t è il numero t senza la virgola, p.e = 2.

9 Matematica Finanziaria - Parte 1 7 possiamo riscrivere l evoluzione del montante come: m 1 (t) = (1 + i) t (1 + i(t t )) Infatti, t corrisponde al numero di capitalizzazioni prima di t, (1 + i) t è il capitale su cui si calcolano gli interessi al tempo t e t t è il tempo passato dall ultima capitalizzazione. Si vede subito che m 1 (2) = (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = m s (2) + i 2, ovvero che dopo 2 anni, in presenza di capitalizzazione, il montante cresce più velocemente rispetto al regime dell interesse semplice. La differenza m 1 (2) m s (2) = i 2, piccola (se i = 5%, i 2 = ) ma positiva, è dovuta proprio al calcolo degli interessi sugli interessi. Analogamente per il montante dopo n anni 4 m 1 (n) = (1 + i) n > 1 + ni = m s (n). Nel grafico seguente viene confrontato il montante secondo il regime dell interesse semplice e composto 1 volta, a parità di tasso annuo effettivo. Consideriamo ora una capitalizzazione più Figura 1.2: Montante secondo l interesse semplice e la capitalizzazione 1 volta l anno a parità di tasso annuo nominale i = 30%. I cerchi evidenziano le date di capitalizzazione. frequente, ovvero k 2 volte l anno. Questo è quello che succede nella pratica per alcuni conti corrente che capitalizzano ogni 3 mesi (k = 4) oppure ogni 6 mesi (k = 2). Se i è il tasso annuo nominale 5, essendo il periodo tra due capitalizzazioni pari a 1/k, il montante, che indichiamo con 4 Dimostrare la disuguaglianza (1 + i) n > 1 + ni, i > 0, n 2 per induzione su n 5 Che spesso nei contratti viene chiamato tasso nominale convertibile k volte l anno, per sottolineare la frequenza di capitalizzazione.

10 Matematica Finanziaria - Parte 1 8 m k (k è il numero di capitalizzazioni annue) è: m k (t) = 1 + it se t [0, 1/k] = (1 + i/k)(1 + i(t 1/k)) se t [1/k, 2/k] = (1 + i/k) 2 (1 + i(t 2/k)) se t [2/k, 3/k] e così via che possiamo facilmente riscrivere come: m k (t) = 1 + it se kt [0, 1] = (1 + i/k)(1 + i(kt 1)/k) se kt [1, 2] = (1 + i/k) 2 (1 + i(kt 2)/k) se kt [2, 3] e così via ovvero, in forma compatta: m k (t) = ( 1 + i ) kt (1 + ik ) k (kt kt ) (1.5) All istante della n-esima capitalizzazione, ovvero in t = n/k avremo: m k (n/k) = ( 1 + i k ) n ; in particolare, dopo 1 anno abbiamo m k (1) = ( 1 + i ) k k e dunque il tasso annuo effettivo è i e = m k (1) 1 = ( 1 + i k ) k 1, che è diverso da quello nominale i (se k 2) e dipende da k. Esempio. In regime di interesse composto 2 volte l anno con tasso annuo nominale i = 6%, il montante dopo 1 anno del capitale iniziale C = 700 Euro è M = C(1 + i) 2 = 786.5; il valore attualizzato di M = 3000 Euro disponibili fra 8 mesi è (t = 2/3 e kt = 2t = 4/3) C = M (1 + i/2) 4/3 (1 + i/2(4/3 4/3 )) = M (1 + i/2)(1 + i/6) = 2884 Si può dimostrare, usando un po di algebra (e pazienza...) che m k (1), e dunque anche i e, è strettamente crescente in k. Giungiamo dunque ad una conclusione naturale, ma importante: maggiore è la frequenza di capitalizzazione, più velocemente cresce il montante. Vedi la tabella e i grafici alla fine del prossimo paragrafo per un illustrazione numerica di questi fatti.

11 Matematica Finanziaria - Parte 1 9 Il termine anatocismo, dal greco anà (di nuovo) e tokòs (interesse), viene spesso usato per indicare la pratica di capitalizzare periodicamente gli interessi. In passato tale pratica era espressamente vietata dal codice civile, soprattutto per tutelare il debitore. Successivamente, la prassi di capitalizzare gli interessi è stata consentita a livello normativo. Si è però osservata una tendenza da parte delle banche a differenziare la frequenza di capitalizzazione per gli interessi passivi e attivi (per il cliente): i primi venivano di solito capitalizzati trimestralmente, mentre i secondi solo annualmente. Nel 2004 una sentenza della Corte di Cassazione ha posto fine (per ora) alla vicenda, imponendo che la frequenza di capitalizzazione sia la stessa per entrambi i tipi di interessi. Per un approfondimento, vedi l articolo Anatocismo su Wikipedia. 1.7 Il regime dell interesse composto (continuamente) Che cosa succede se la frequenza delle capitalizzazioni diventa grande? Siamo qui interessati al limite per k del montante espresso in (1.5). Il limite che otterremo, che indichiamo con m, definisce la legge finanziaria con tasso annuo nominale i secondo il regime dell interesse composto (continuamente). Tale regime è anche chiamato regime esponenziale. Iniziamo con il montante dopo 1 anno, per cui si ha: ( m (1) = lim m k (1) = lim 1 + i ) k = exp(i); k k k abbiamo applicato la definizione di funzione esponenziale (vedi appendice). Analogamente: ( m (n) = lim 1 + i ) ( kn ( = lim 1 + i ) ) k n = (exp(i)) n = exp(in) k k k k Ci aspettiamo allora che m (t) = exp(it), (1.6) per ogni t 0, ed è effettivamente ciò che accade: la dimostrazione è in appendice. Essendo la successione m k (t) strettamente crescente in k, il regime dell interesse composto è quello che garantisce il massimo montante a parità di tasso annuo nominale. Il tasso annuo effettivo è i e = m (1) 1 = exp(i) 1, (1.7) un facile conto mostra che si può esprimere m in termini di tasso annuo effettivo: m (t) = (1 + i e ) t Nel seguito si utilizzerà maggiormente questa seconda formulazione della funzione montante. Dalla (1.7) e dalla (1.14) (appendice), se i è piccolo in confronto a 1 (e i tassi comunemente lo sono) possiamo scrivere: i e (1 + i) 1 = i.

12 Matematica Finanziaria - Parte 1 10 Teniamo comunque presente che exp(i) 1 + i è un approssimazione per difetto di exp(i) e dunque i e > i. Nella seguente tabella vengono riportati, per un dato valore del tasso annuo nominale (i = 10%), il tasso annuo effettivo e il montante sotto varie frequenze di capitalizzazione, da 0 (interesse semplice) a (interesse composto). k i e m(1) m(2) m(5) m(10) 0 10% % % % % % I due grafici nella Figura 1.3 evidenziano la differenza tra varie frequenze di capitalizzazione. Nel primo è comune il tasso annuo nominale, nel secondo il tasso annuo effettivo (a) Tasso annuo nominale i = 80%, k = 0, 1, 2, 4, (b) Tasso annuo effettivo i e = 80%, k = 0, 1, Figura 1.3: Montante per alcune frequenze k di capitalizzazione. I cerchi evidenziano le date di capitalizzazione. Il regime di capitalizzazione continua è la linea tratteggiata. Il fattore di attualizzazione nel regime dell interesse composto è: c (t) = = 1 exp(it) = exp( it) 1 (1 + i e ) t = (1 + i e) t, dove la prima riga è espressa in termini di tasso annuo nominale, la seconda di tasso annuo effettivo. 6 Si sono assunti tassi esageratamente alti per rendere più chiare le figure.

13 Matematica Finanziaria - Parte 1 11 Esempio. In regime di interesse composto con tasso annuo nominale i = 4%, il montante di C = 900 Euro dopo 1 anno e 6 mesi è M = C exp(i 1.5) = Il tasso annuo effettivo è i e = exp(i) 1 = 4.08% e ritroviamo M = C(1 + i e ) 1.5 = Il valore attualizzato di M = Euro disponibili fra 2 mesi è C = M exp( i/12) = M(1 + i e ) 1/12 = Il regime dello sconto commerciale Nel regime dello sconto commerciale gli interessi vengono pagati in anticipo, secondo un tasso annuo nominale i. In altre parole, si modella il fattore di attualizzazione come: c sc (t) = 1 it. Per attualizzare ad oggi 1 Euro disponibile al tempo t, si decurta tale Euro della quantità it, che può essere interpretata come un interesse anticipato (infatti il regime è anche chiamato degli interessi anticipati). Il montante è m sc (t) = 1 1 it e si vede subito che tale formula ha senso finché t < 1/i, ovvero per tempi sufficientemente brevi. Il tasso annuo effettivo è i e = 1 1 i 1 = i 1 i = i + i2 + i Nel grafico seguente vengono riportati il montante e il valore attualizzato nel caso in cui i = 10%. Si può osservare che, all avvicinarsi di t a 1/i = 10 anni, c va a zero e m diverge all infinito Figura 1.4: Montante (linea continua) e valore attualizzato (linea tratteggiata) in regime di sconto commerciale con i = 10% Esempio. In regime di sconto commerciale con tasso annuo nominale i = 7%, il valore attuale di M = 2000 Euro disponibili tra 6 mesi è C = M(1 i/2) = Il tasso annuo effettivo è i e = i/(1 i) = 7.53%

14 Matematica Finanziaria - Parte Tassi impliciti Data una singola operazione di prestito ( C, M)/(0, T) non è chiaramente possibile determinare quale regime finanziario è stato utilizzato per la sua definizione. Tuttavia, una volta fissato un regime, è possibile ricavare in modo univoco il tasso annuo (nominale o effettivo) compatibile con l operazione. Possiamo chiamare tale tasso annuo implicito nell operazione di prestito data. In particolare: In regime di interesse semplice, il tasso implicito (nominale o effettivo, è lo stesso) i è tale che M = C(1 + it). Risulta i = 1 T M C C Esso viene comunemente chiamato tasso annuo di rendimento semplice dell operazione. In regime di interesse composto, vogliamo avere M = C exp(it) e M = C(1 + i e ) T, da cui si ricava e i e = i = 1 T log M C ( ) M 1/T 1 C Il secondo è spesso chiamato tasso annuo di rendimento composto. Esempio. Consideriamo un prestito di C = 4000 Euro, che produce il montante M = 4400 Euro tra 1 anno e 3 mesi. Il tasso annuo di rendimento semplice è i = 400/( ) = 8%, mentre il tasso annuo di rendimento composto è i e = (4400/4000) 1/ = 7.92% Abbiamo appena visto un utilizzo inverso di un regime finanziario: qui gli importi e la scadenza sono fissati e da questi ci si ricava un tasso. Ciò può servire per confrontare la redditività di due o più investimenti, oppure a definire le condizioni di contratti con scadenze simili. Va fatta un importante precisazione: in genere i prestiti hanno scadenze fissate e non ammettono la discrezionalità propria di un deposito bancario. Dunque il tasso implicito è riferito solo alla scadenza T del prestito, nel senso che lega il capitale C al montante M in T tramite M = C(1 + it). Tuttavia, il montante di C ad un tempo t < T precedente la scadenza potrebbe non essere definito operativamente (perché non è possibile risolvere il contratto in anticipo), oppure potrebbe essere determinato dal mercato: si pensi al prezzo di un BOT, che cambia in continuazione e in modo aleatorio, senza seguire alcuna legge finanziaria precisa. Fissata una controparte, ad ogni scadenza pattuita corrisponderà dunque un tasso specifico. Questo insieme di tassi, al variare della scadenza, si chiama struttura per scadenza (SPS) dei tassi. Normalmente i tassi crescono con l aumentare della scadenza, e dunque il grafico della SPS è una curva crescente, ma a volte si possono avere situazioni diverse. Torneremo su questo importante

15 Matematica Finanziaria - Parte 1 13 concetto nella parte dedicata alle obbligazioni. Vedi la figura 1.14 per un esempio di SPS (di tassi Euribor) 1.10 Tassi equivalenti A volte è conveniente esprimere il tempo in semestri, o trimestri, o addirittura mesi. Nel primo caso il tempo t subisce la trasformazione t 2t (ad es. 5 anni diventano 2 5 = 10 semestri), negli altri casi le trasformazioni t 4t e t 12t. In generale, se l anno viene diviso in k 2 parti uguali, la trasformazione diventa t kt. Come deve cambiare in corrispondenza il tasso annuo (nominale o effettivo)? In altre parole, se con m(, i) indichiamo la legge finanziaria, in un qualche regime fissato, di tasso annuo i, quale deve essere il nuovo tasso, chiamiamolo i k per cui si abbia m(kt, i k ) = m(t, i) per ogni t? Chiameremo tale tasso il tasso equivalente ad i sulla frazione di anno 1/k: ad esempio i 2 sarà il tasso semestrale equivalente (al tasso annuo i), i 4 il tasso trimestrale equivalente, e così via. Il conto è piuttosto semplice: vediamo che cosa succede per l interesse semplice e composto. Per l interesse semplice si vuole avere 1 + i k kt = 1 + it, da cui i k = i k Così, ad esempio, il tasso semestrale equivalente è i 2 = i/2, il tasso mensile è i 12 = i/12. Ovviamente i = ki k (1.8) permette di risalire al tasso annuale, noto il tasso equivalente i k. Per l interesse composto si vuole avere exp(i k kt) = exp(it) e (1 + i e,k ) kt = (1 + i e ) t, da cui i k = i k per i tassi nominali e i e,k = (1 + i e ) 1/k 1 per i tassi effettivi. In particolare, il tasso semestrale effettivo è i e,2 = 1 + i e 1, il tasso trimestrale effettivo e così via. L espressione i e,4 = i e 1, i e = (1 + i e,k ) k 1 permette di risalire al tasso annuale, noto il tasso equivalente i e,k.

16 Matematica Finanziaria - Parte 1 14 Esempio. In regime di interesse semplice, se il tasso annuo è i = 11%, il tasso semestrale equivalente è i 2 = i/2 = 5.5%; se il tasso mensile è i 12 = 0.8%, il tasso annuo equivalente è i = 12i 12 = 9.6%. In regime di interesse composto, se il tasso annuo effettivo è i e = 11%, il tasso semestrale equivalente è i e,2 = 1 + i e 1 = 5.36%; se il tasso trimestrale effettivo è i e,4 = 2.5%, il tasso annuo equivalente è i e = (1 + i e,4 ) 4 1 = 10.38% 1.11 Inflazione e tasso reale Quando si parla di tassi di interesse (nominali o effettivi), bisogna sempre considerare l effetto dell inflazione in termini di possibilità di consumo. La diminuzione della capacità di acquisto di una data somma (o, equivalentemente, l aumento dei prezzi), è un fenomeno noto con il nome di inflazione. L inflazione è misurata dalla variazione di un indice (il cosiddetto indice dei prezzi dei beni al consumo), il quale è misurato periodicamente dall Istat e comunicato al pubblico. Tale indice, J(t), è una media pesata dei prezzi al tempo t di un certo paniere di beni 7, che dovrebbe rappresentare la spesa media di un cittadino. Dunque, 1/ J(t) è una misura di quanto paniere possiamo comperare con 1 Euro al tempo t, ovvero il cosiddetto potere d acquisto (di 1 Euro). Il tasso di inflazione (annuo) è allora definito come la variazione percentuale dell indice J in un anno (ovvero da t a t + 1): j = j(t) = J(t + 1) J(t), (1.9) J(t) di modo che J(t + 1) = J(t)(1 + j). Il tasso di inflazione viene di solo rilevato mensilmente: ad esempio il tasso di inflazione registrato a marzo 2010 si riferisce all arco di tempo 1 marzo marzo 2010; in altre parole, esso è dato dalla (1.9) con t = 01/03/09 e t + 1 = 01/03/10. Il tasso di inflazione medio in un anno è allora la media dei 12 tassi così ottenuti, da gennaio a dicembre. La figura 1.11 mostra l andamento del tasso di inflazione medio negli ultimi 55 anni. In regime di interesse semplice con tasso annuo i, il potere d acquisto di 1 Euro varia da A(0) = 1/J(0) a A(1) = 1 + i J(1) = 1 + i J(0)(1 + j) = A(0) 1 + i 1 + j. Possiamo notare che il potere d acquisto può anche diminuire e questo accade se i < j. variazione percentuale del potere d acquisto, grandezza nota come tasso reale (annuo) e che indichiamo con i R, è dato, dopo semplici conti, da La i R = i j 1 + j. (1.10) Possiamo notare che senz altro i R < i, non appena il tasso di inflazione (j) sia positivo, e che i R diventa negativo se i < j, ovvero se il tasso di interesse è più basso dell inflazione. Notiamo che per ottenere il tasso reale non basta sottrarre a i il tasso di inflazione j, ma bisogna anche dividere per 1 + j, il che porta ad un ulteriore riduzione se j > 0. 7 Il paniere, di tanto in tanto, viene variato

17 Matematica Finanziaria - Parte Figura 1.5: Tasso di inflazione medio ( 100) negli anni dal 1955 al (fonte: sito Istat) Esempio. Supponiamo che il tasso annuo sia i = 7% e che, alla fine dell anno, si sia registrato un tasso di inflazione j = 2%. Allora il tasso reale è i R = che è leggermente inferiore a 5% = 7% 2%. 7% 2% 1 + 2% = 4.90%, Il tasso di inflazione, e dunque anche il tasso reale, è noto solo ex-post. Per ripararsi da questo rischio, sono stati recentemente introdotti prodotti finanziari (cosiddetti inflation-linked) il cui rendimento è fissato in termini reali o, in altre parole, è fissato ex-ante il valore che dovrà avere i R. Di conseguenza, il valore del tasso di interesse i (con il quale verrà calcolato l interesse) sarà noto solo in t. Un esempio di tali prodotti sono i BTP indicizzati Euro dei quali parleremo più avanti. Esempio. Un obbligazione di prezzo iniziale Euro, con scadenza 1 anno, indicizzata al tasso di inflazione, garantisce un tasso reale i R = 3%. Dunque il tasso di interesse, ottenuto dalla (1.10), è i = i R (1 + j) + j = 1.03j ; Notiamo che il tasso di inflazione j e dunque il tasso di interesse i praticato saranno noti solo ex-post. Nello scenario in cui il tasso di inflazione (annuo) sia j = 5% (risp. j = 1%), l interesse pagato sarà I = i = 815 Euro (risp. 403 Euro) 1.12 Convenzioni sul calcolo dei tempi Quando si stipula un contratto, i tempi t di cui è composto lo scadenzario sono sempre delle date precise (p.e. in formato gma, giorno-mese-anno). In ambito bancario si usa il termine valuta per indicare una di queste date. Vari calendari sono poi in uso per stabilire in quali date è possibile regolare i contratti: p.e. spesso non è consentito che una valuta cada in un giorno festivo.

18 Matematica Finanziaria - Parte 1 16 E importante poi poter esprimere il tempo che intercorre tra due date d 1 e d 2 come frazione di anno. Questo è utile in particolare per: poter esprimere gli elementi t n dello scadenzario come dei numeri, una volta convenuto che l origine dei tempi è la data odierna; ciò semplifica molto l analisi quantitativa delle operazioni finanziarie. poter calcolare in modo preciso gli interessi su un impiego effettuato in data d 1 e che scade in data d 2. La distanza tra d 1 e d 2 è in genere definita, in modo del tutto naturale, come t = t(d 1, d 2 ) = n N, dove n = numero di giorni tra le due date N = numero di giorni totali nell anno Tuttavia, e ciò può essere un po sorprendente, esistono diverse convenzioni per le quali n e N sono definiti in modo leggermente diverso. La convenzione scelta, che per legge deve essere riportata esplicitamente nel contratto, specifica allora come si devono determinare i due numeri n e N. Vediamo le due principali: 1. Secondo la convenzione Act/Act (Act sta per Actual), n sono i giorni effettivamente passati tra le due date 8, mentre N sono i giorni effettivi dell anno (365 o 366 a seconda che l anno sia bisestile o meno). Esempio. Il tempo intercorso tra il e il è t = ( ) (23 1) 365 = = Se l anno fosse stato il 2012, che è bisestile, avremmo avuto t = ( ) (23 1) 366 = = Questa è la convenzione usata nell area Euro, negli Stati Uniti e in Gran Bretagna per i Titoli di Stato con scadenze medio-lunghe (p.e. in Italia per i BTP) 2. Secondo la convenzione 30/360 (o dell anno commerciale), N = 360 indipendentemente dall anno considerato e n è calcolato come se tutti i mesi fossero di 30 giorni 9. 8 Il primo giorno conta, l ultimo no 9 Per i pignoli: se la data iniziale cade il 31, si conta comunque un giorno per il primo mese.

19 Matematica Finanziaria - Parte 1 17 Esempio. Riprendendo l esempio visto sopra: t = ( ) (23 1) 360 = = 0.305, da cui si vede che il tempo trascorso tra due date è diverso a seconda della convenzione scelta. La questione sembra una pura pignoleria, ma in realtà non lo è. Se per esempio una banca presta ad un azienda C = 1mln e in data al tasso annuo del 10%, gli interessi (in regime di interesse semplice) al ammonteranno a e secondo la convenzione 30/360 e e secondo la Act/Act: la differenza è di 700 e, pari al costo del pc con cui sto scrivendo. La convenzione 30/360 è usata per esempio negli Stati Uniti per le obbligazioni societarie (corporate bonds). Esistono molte altre convenzioni, ad esempio la Act/360 (usata per i BOT) e la Act/365 (usata soprattutto in Gran Bretagna), in cui N è fissato, pari a 360 o 365, e n è il numero effettivo di giorni come nella Act/Act. Fissata allora una data d 0 (p.e. oggi) come punto di partenza, è possibile esprimere una successione di date future d 1, d 2, ecc, come una successione crescente di tempi: t n = t(d 0, d n ), ed esprimere lo scadenzario in termini di numeri, anziché date. Per semplicità, nel seguito non faremo riferimento ad alcuna convenzione in particolare ed esprimeremo lo scadenzario direttamente in termini dei numeri t n. Nel fare ciò, utilizzeremo come unità di misura 1 anno, come è comune fare Arbitraggi e scindibilità Introduciamo qui un importante concetto di equilibrio che comparirà anche nel seguito e che consentirà di ottenere delle notevoli conseguenze teoriche e pratiche. Si dice che si realizza un arbitraggio quando è possibile sottoscrivere una serie di contratti in modo tale che la risultante operazione finanziaria preveda solo introiti, ovvero ogni componente del flusso di importi x sia positiva. La possibilità di realizzare una tale operazione, in presenza di mercati, è ovviamente in contrasto con l equilibrio degli stessi: il portafoglio composto da questi contratti permetterebbe di realizzare introiti arbitrariamente elevati, senza alcun rischio e senza alcun esborso, ovvero quello che inglese viene chiamata money pump (pompa di denaro). Chiunque vorrebbe approfittare di tali condizioni e l equilibrio presente nei mercati tra domanda e offerta verrebbe compromesso. L ipotesi di assenza di arbitraggi, che appare giustificata alla luce di quanto appena detto, conduce a delle conseguenze anche molto forti e alcuni esempi verranno dati durante il corso. Una prima, basilare, conseguenza riguarda l allineamento dei tassi, a parità di scadenza (e altre condizioni): se è possibile prestare/farsi prestare al tasso annuo i = 5% con una prima controparte

20 Matematica Finanziaria - Parte 1 18 e i = 5.5% con una seconda, è immediato realizzare un arbitraggio facendosi prestare un certo capitale (p.e Euro) dalla prima e prestandolo alla seconda. Se la scadenza comune dei prestiti è 1 anno, l operazione finanziaria risultante è 10 x/t = (1000, 1050)/(0, 1) ( 1000, 1055)/(0, 1) = (0, 5)/(0, 1), che è chiaramente un arbitraggio. 11 Una seconda conseguenza riguarda il concetto di scindibilità di una legge finanziaria. Una legge finanziaria m si dice scindibile se per ogni coppia di scadenze s, t, con s < t si ha m(t) = m(s)m(t s). Il membro di sinistra fornisce il montante in t di 1 Euro, senza alcuna capitalizzazione, mentre nel membro di destra il montante è calcolato ipotizzando di capitalizzare alla data intermedia s. Se i due montanti non fossero uguali e se fosse possibile prestare/farsi prestare somme arbitrarie secondo tale legge, allora sarebbe semplice costruire un arbitraggio. Se ad esempio fosse m(3) < m(1)m(2) (t = 3, s = 2) basterebbe farsi prestare un certo capitale (p.e Euro) con scadenza 3 anni, investire tale capitale oggi con scadenza 3 anni e capitalizzare gli interessi tra 2 anni. L operazione finanziaria risultante sarebbe x/t = (1000, 1000 m(3))/(0, 3) ( 1000, 1000 m(1)m(2))/(0, 3) = (0, 1000 (m(1)m(2) m(3)))/(0, 3), che è un arbitraggio. Possiamo notare che in regime di interesse composto, ogni legge è scindibile: si ha infatti m (s)m (t s) = (1 + i e ) s (1 + i e ) t s = (1 + i e ) t = m (t). La stessa cosa non si può dire per gli altri regimi: in regime di interesse semplice si ha m s (s)m s (t s) = (1 + is)(1 + i(t s)) = 1 + it + i 2 s(t s) > 1 + it = m s (t) La cosa non è sorprendente alla luce di quanto abbiamo detto circa gli effetti della capitalizzazione nel paragrafo 1.6 in regime di sconto commerciale, per contro, si ha c sc (s)c sc (t s) = (1 is)(1 i(t s)) = 1 is + i 2 s(t s) > 1 is = c sc (t), da cui, prendendo i reciproci, si ha m sc (s)m sc (t s) < m sc (t). In questo caso, non è conveniente capitalizzare gli interessi Con il simbolo indichiamo l unione di due operazioni finanziarie, operazione immediata da comprendere. 11 Evidentemente, l importo iniziale nullo non ha alcuna influenza sulla definizione di arbitraggio. 12 E in effetti la clausola della capitalizzazione non è mai attivata sotto questo regime