Matematica finanziaria: svolgimento prova di esame del 21 giugno 2005 (con esercizio 1 corretto)

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Antonietta Pesce
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1 Matematica finanziaria: svolgimento prova di esame del giugno 5 (con esercizio corretto). [6 punti cleai, 6 punti altri] Si possiede un capitale di e e lo si vuole impiegare per anni. Supponendo che eventuali ricavi intermedi vengano reinvestiti con una legge di interesse composto al % trimestrale, calcolare il montante nelle seguenti due ipotesi di investimento: (a) regime di interesse composto al tasso d interesse effettivo del 9% annuo; (b) regime di interesse composto al tasso d interesse nominale dell 8% annuo, pagabile ogni 6 mesi. Svolgimento. Il punto (a) è immediato. In regime d interesse composto con un tasso d interesse effettivo non ci sono ricavi intermedi da reinvestire, pertanto il montante è M a = ( +.9) = 95.. Nel caso (b), invece, si ha a che fare con un tasso d interesse nominale: 8% di e significa 8e all anno, e pagabili ogni 6 mesi significa che ogni 6 mesi si incasserà una cedola di e. Alla fine del periodo d investimento, inoltre, ci verrà restituito il capitale iniziale di e. Il grafico di questo investimento è dunque Notare che conviene usare come unità di misura il trimestre, visto che il tasso di reinvestimento è trimestrale, e dunque la prima cedola viene incassata al tempo due trimestri (cioè un semestre) e così via. I ricavi intermedi (le cedole semestrali di e) vanno reinvestiti tramite la legge r(t) = ( +.) t (dove t misura il tempo, come già detto, in trimestri). La prima cedola essendo capitalizzata per trimestri, fornirà un montante di., la seconda fornirà un montante di. 8, e così via. Il montante finale sarà M b = = [7 punti cleai, 6 punti altri] Sapendo che la forza d interesse è δ(t) =.t +.t calcolare la legge finanziaria r(t), dire se si tratta di una legge scindibile e calcolare il montante di proseguimento M(, ) al terzo anno di un capitale che al primo anno risulta di e. Svolgimento. Data la forza d interesse δ(t) di una legge finanziaria r(t), sappiamo che r(s) = exp s δ(t) dt. L esercizio si può quindi apparentemente svolgere solo se si è in grado di calcolare s.t +.t dt. Non è così. Sappiamo infatti che la forza d interesse è r.t (t)/r(t), e il numeratore di è proprio +.t la derivata del denominatore! Quindi anche senza fare esplicitamente l integrale abbiamo trovato r(t) = +.t.

interesse composto al tasso d interesse effettivo del 9% annuo; (b) regime di interesse composto al tasso d interesse nominale dell 8% annuo, pagabile ogni 6 mesi. Svolgimento.

2 Le leggi scindibili in una variabile sono solo quelle esponenziali, quindi r(t) non è scindibile (cosa evidente anche dal fatto che la forza d interesse non è costante). Il montante di proseguimento, infine, si ottiene scontando e di un anno, e poi capitalizzando il risultato per anni. Dunque M = r() r() = +. ( +. ) = 6.6. Notare che poiché r(t) non è scindibile, il montante di proseguimento è diverso da quello che si otterrebbe semplicemente capitalizzando i euro per i restanti due anni: M ( +. ) = 8.. [ punti cleai, punti altri] Calcolare il tasso mensile di rendimento dell operazione finanziaria consistente nell acquistare due cedole da e mensili posticipate al prezzo di 7.55e. Svolgimento. Il grafico dell operazione finanziaria consistente nell acquisto delle due cedole è 7.55 Posto ν = /( + i), il rea(i) di questa operazione finanziaria è rea(i) = ν + ν L equazione che permette di determinare il tasso mensile di rendimento i è rea(i) =, cioè ν + ν = ν = = Notare che abbiamo scartato la soluzione negativa, in quanto priva di significato finanziario. soluzione scelta è sicuramente positiva, per il teorema di Cartesio. Il tasso mensile di rendimento i è quindi La i = ν = [ punti cleai, punti altri] Si vuole concedere un prestito di e rimborsabile in anni con quota capitale costante, con rate annuali e posticipate. Si vuole che il rendimento effettivo del prestito sia del %. Scrivere il piano di ammortamento. Svolgimento. Essendo l ammortamento dei e di tipo italiano su anni, la quota capitale è pari a / = 5e. La quota interessi sarà ogni anno pari al % del capitale da versare, e dunque I =, I = 5, I =, I = 5. Il piano di ammortamento è allora: anno QC QI Rata DR

6. Notare che poiché r(t) non è scindibile, il montante di proseguimento è diverso da quello che si otterrebbe semplicemente capitalizzando i euro per i restanti due anni: M ( +. ) = 8.

3 5. [5 punti cleai, punti altri] Calcolare (al meglio di due cifre decimali) il tan e il taeg di un finanziamento di e in rate annuali da 55e, supponendo le spese accessorie pari a 5e per l apertura del finanziamento. Svolgimento. Questo finanziamento si sintetizza, dal punto di vista del debitore, nel seguente grafico: Sia tan che taeg esistono perchè l operazione è un finanziamento. 55 Il tan non è, visto che la somma delle rate è maggiore della somma finanziata. risolvendo con metodi numerici l equazione in ν = /( + i) Calcoliamolo Poiché f(ν) = 55ν 55ν 55ν 55ν =. f(.9) >, f() <, f(.95) >, f(.96) >, f(.97) <, f(.965) < otteniamo che ν (.96,.965), e possiamo approssimarlo al meglio di due cifre decimali con.96. Il tan è allora: tan = ν.. Il taeg si trova risolvendo Poiché f(ν) = 95 55ν 55ν 55ν 55ν =. f(.9) >, f() <, f(.95) >, f(.96) <, f(.955) < otteniamo che ν (.95,.955), e possiamo approssimarlo al meglio di due cifre decimali con.95. Il taeg è allora: taeg = ν [ punti cleai, punti altri] Un industria concepisce un nuovo prodotto, i cui costi di produzione sono descritti nel seguente modo: e al tempo t =, 5e al tempo t = ; ore di lavoro all anno, al costo di e per ora, e tonnellate di materiale grezzo all anno, al costo di 8e per tonnellata; Indagini di mercato stimano che: (a) il prodotto resterà in commercio per 5 anni esatti; (b) ogni anno si venderanno unità di prodotto, al prezzo di 5e per unità; Il costo di produzione iniziale (e solo quello) può essere detratto dal ricavo di cui al punto b in maniera uniforme durante i 5 anni, e su quel che resta si applica una tassazione del %. Determinare la funzione rea-tasso di valutazione, e in particolare calcolare rea(.). Svolgimento. Si tratta solo di determinare i numeri da mettere sull asse dei tempi per rappresentare graficamente l operazione finanziaria. Per la produzione, ogni anno si spende = e di manodopera e 8 = 8e di materiale grezzo. Inoltre, si hanno i costi una tantum di e all inizio e di 5e dopo tre anni. Vendendo il prodotto si stima di incassare 5 = 5e ogni anno, per 5 anni. Quindi, l operazione finanziaria senza tasse è (in migliaia di euro):

55 Il tan non è, visto che la somma delle rate è maggiore della somma finanziata. risolvendo con metodi numerici l equazione in ν = /( + i) Calcoliamolo Poiché f(ν) = 55ν 55ν 55ν 55ν =. f(.9) >, f() <, f(.

4 I 5e di ricavo annuale vanno tassati al %, ma prima bisogna detrarre il costo di produzione iniziale, cioè i e, in maniera uniforme sui 5 anni. Le tasse da pagare annualmente non vanno perciò calcolate su 5e, ma su 5 /5 = e. Al grafico di cui sopra dobbiamo pertanto aggiungere un uscita annuale di 6e(% di e). 5 Denotando con i il tasso di valutazione, la funzione richiesta è: 5 e in particolare si ottiene rea(i) = +. + i +. ( + i) + 5. ( + i) +. ( + i) +. ( + i) 5 () rea(.) = = 5.6. () 7. [5 punti cleai, punti altri] I titoli A, B, C, D dati dalla tabella sono venduti in maniera tale da produrre ytm =.. Calcolare la durata media finanziaria e la convessità per ciascuno di essi. Tabella : Titoli A, B, C, D. anno di pagamento A B C D anno 8 7 anno 8 7 anno 8 8 Svolgimento. Dobbiamo calcolare la dmf e la convessità per ciascuno dei titoli in tabella. Per i titoli senza cedole (il C e il D) la risposta è immediata: dmf(c) =, conv(c) = 9, dmf(d) = = conv(c). Per A e B, dobbiamo prima di tutto scrivere le loro funzioni rea-forza di interesse: Le loro derivate sono allora: rea A (δ) = 8e δ + 8e δ + 8e δ rea B (δ) = 7e δ + 7e δ + 8e δ rea A(δ) = 8e δ 6e δ e δ rea B(δ) = 7e δ e δ e δ rea A(δ) = 8e δ + e δ + 97e δ rea B(δ) = 7e δ + 8e δ + 97e δ

5 Denotando con i il tasso di valutazione, la funzione richiesta è: 5 e in particolare si ottiene rea(i) = +. + i +. ( + i) + 5. ( + i) +. ( + i) +. ( + i) 5 () rea(.) = +.. +.. + 5.. +.. +.. 5 = 5.6.

5 Ricordando allora che ytm =. implica δ = ln., si ottiene rea A (.) = 8e ln. + 8e ln. + 8e ln. = 95.6 rea B (.) = 7e ln. + 7e ln. + 8e ln. = 9.98 rea A(.) = 8e ln. 6e ln. e ln. = 69. rea B(.) = 7e ln. e ln. e ln. = 6.6 rea A(.) = 8e ln. + e ln. + 97e ln. = rea B(.) = 7e ln. + 8e ln. + 97e ln. = e infine: dmf(a) =.7776, conv(a) = 8.985, dmf(b) =.856, conv(b) = [no cleai, punti altri] Si assuma una struttura per scadenze descritta dalla tabella, e la si utilizzi per calcolare il rea del progetto di cui all esercizio 6. Si riesce a dire prima di eseguire il calcolo se tale rea sarà minore o maggiore del rea(.) calcolato nell esercizio 6? Tabella : Tassi spot rilevati per i prossimi 5 anni. anno 5 tasso spot Svolgimento. La tabella fornisce i tassi annuali per investimenti di durata,,,, 5 anni rispettivamente. Notiamo che questi tassi sono tutti minori di., e dunque il rea del progetto (che è funzione decrescente del tasso di valutazione) sarà sicuramente maggiore del rea(.) calcolato in (). I fattori di sconto presenti nella formula () vanno opportunamente modificati usando questi tassi spot: rea = ( +.6) + 5. ( +.7) +. ( +.8) +. ( +.9) 5 =

Si riesce a dire prima di eseguire il calcolo se tale rea sarà minore o maggiore del rea(.) calcolato nell esercizio 6? Tabella : Tassi spot rilevati per i prossimi 5 anni. anno 5 tasso spot.5.6.7.8.

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