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1 MATEMATICA FINANZIARIA A e B - Prova scritta del 30 maggio (11 pti) Un tale deve pagare un debito di ammontare D. L ammortamento viene strutturato su 3 anni valutando gli interessi coi tassi variabili i 1, i 2 e i 3 (rispettivamente sugli anni (0,1), (1,2), (2,3)) e considerando le quote capitali che si avrebbero se l ammortamento fosse a rate costanti sui 3 anni al tasso vigente sul primo anno (i 1 ). a. stendere il piano d ammortamento del mutuo. D i 1 10% 11% 9% 12% i 2 11% 12% 10% 11% i 3 9% 10% 8% 10% b. Verificare la condizione di chiusura finanziaria finale. N.B. I calcoli vanno effettuati con il massimo numero possibile di cifre decimali esatte, salvo esporre i risultati finali relativi ad importi di denaro mediante numeri interi, e gli altri parametri con un numero di cifre significative variabile da 2 a 4, secondo buon senso. 2. (11 pti) Si determinino i punti di massimo della funzione: x 2 y 2 sotto il vincolo: x 2 y 2 1a 1b 2a 2b (11 pti) Il corso di un obbligazione è 98 E dove E è una variabile aleatoria uniforme che varia tra a e a. L obbligazione ha scadenza 1 anno e dà una cedola annuale del % del valor nominale, pari a 100. a. si determini la variabile aleatoria X, tasso di rendimento annuo composto dell obbligazione, in funzione di E, precisandone il supporto; b. si determinino la funzione di densità di probabilità e la funzione di ripartizione di X. a % 4% 6% 5% N.B. Caratteristiche di una variabile aleatoria uniforme: 0 per x a 0 per x a f X x 1 b a per a x b F X x x a b a per a x b 0 per x b 1 per x b E X a 2 b, 2 2 b a X 12 Tempo disponibile 1h 30

2 MATEMATICA FINANZIARIA corsi A e B Prova scritta del 5 luglio (11 pti) Un debito di ammontare D viene pagato con un ammortamento alla francese con rate annue posticipate in 5 anni con tasso contrattuale annuo i. Al momento di pagare la terza rata il debitore si trova in crisi di liqudità e, non potendo pagarla, chiede di differire di un anno le restanti tre rate. Questo gli viene concesso, a scapito di una penalità da aggiungere al debito residuo, pari ad una percentuale del debito residuo e di un tasso di interesse maggiorato di 2 punti percentuali. a. stendere il piano d ammortamento originario; b. stendere il piano d ammortamento relativo alle ultime tre rate, dopo la rinegoziazione del debito dovuta al mancato pagamento della terza rata. D i 7% 8% 9% 10% 2% 3% 1% 2% 2. (11 pti) Calcolare il max della funzione: 3x y sotto il vincolo: 2x 2 3y 1a 1b 2a 2b (11 pti) Una struttura dei tassi per scadenza è piatta con tasso I aleatorio descritto da una variabile aleatoria esponenziale negativa con parametro. a. si determini la variabile aleatoria X, fattore di montante su k anni determinato dalla struttura, specificandone il supporto; b. si determinino la funzione di densità di probabilità e la funzione di ripartizione di X k N.B. Caratteristiche di una variabile aleatoria esponenziale negativa, di parametro : f X x e x per x 0, F X x 1 e x per x 0, E X 1, X 2 1, g X t 2 t Tempo disponibile 1h 30

3 MATEMATICA FINANZIARIA corsi A e B Prova scritta del 19 settembre (11 pti) Un obbligazione, avente vita residua di 2 anni e 4 mesi, paga cedole annue a tasso cedolare j sul nominale ed ha un valore di rimborso pari al nominale. Il tasso di rendimento effettivo è i. Si chiede di calcolare: a. il corso secco ed il corso tel quel del titolo; b. la variazione assoluta del corso tel quel del titolo conseguente alla variazione del tasso di rendimento effettivo da i a i 1%; c. l indice di volatilità del titolo e, mediante tale indice, il valore approssimato della variazione di cui al punto b, facendo riferimento allo sviluppo in serie di Taylor della funzione P tq i arrestata al 1 ordine. j 7% 8% 9% 10% i 6% 7% 8% 9% 2. (11 pti) Dalle miniere, denotate con 1 e 2, si estrae un minerale dal quale, attraverso un complesso processo di lavorazione, si ottengono 3 metalli, denotati con a, b, c. Le caratteristiche del minerale nelle due miniere sono diverse per cui le quantitò di metallo ottenibili da una tonnellata di minerale sono rispettivamente: miniera 1 : 10 kg metallo a, 15 kg metallo b, 8 kg metallo c; miniera 2 : 12 kg metallo a, 18 kg metallo b, 7 kg metallo c. L estrazione e la lavorazione di una tonnellata di minerale nelle due miniere ha costi C 1 e C 2 e le capacità estrattive delle due miniere sono rispettivamente B 1, B 2 tonnellate nel periodo in esame. I tre metalli sono venduti ai prezzi unitari p a, p b, p c. Denotate con x 1, x 2 le quantità in tonnellate del minerale da estrarre e lavorare nelle due miniere e con y a, y b, y c le quantità in kg, dei tre metalli, si chiede: a. esprimere y a, y b, y c in funzione di x 1, x 2 ; b. esprimere in funzione di x 1, x 2 i vincoli che impongono di non superare la capacità estrattiva delle miniere; c. esprimere in funzione di x 1, x 2 la funzione guadagno; d. formalizzare il problema di programmazione lineare di ricerca del massimo guadagno; e. risolvere il problema di programmazione lineare mediante l algoritmo del simplesso p a p b p c C C B B

4 3. (11 pti) Il montante dopo un anno di un investimento di importo 100 è una variabile aleatoria X esponenziale negativa di valor medio m. Si chiede: a. esprimere il tasso di rendimento Y dell operazione in funzione del montante X; b. calcolare la probabilità che il tasso di rendimento Y sia 0; c. calcolare la probabilità che il tasso di rendimento Y sia 10%; d. calcolare il valore atteso e la varianza del tasso di rendimento Y. m N.B. Caratteristiche di una variabile aleatoria esponenziale negativa, di parametro : f X x e x per x 0, F X x 1 e x per x 0, E X 1, X 2 1 2, g X t t Tempo disponibile 1h 30

5 MATEMATICA FINANZIARIA corsi A e B Prova scritta del 18 ottobre (11 pti) Data l operazione di investimento 1000, , 1, 1200, 2 e la legge a due variabili definita mediante i prezzi per unità di nominale degli 0-coupon bond B 0, 1, B 0, 2, si chiede: a. calcolare il GNPV (Generalized Net Present Value) dell operazione; b. supposto di finanziare una porzione dell esborso iniziale in due rate eguali in base ai tassi di periodo h 0 0, 1 ed h 0 1, 2 della legge finanziaria di riferimento, aumentati di 1 punto percentuale, si calcolino l importo della rata costante; c. si calcoli il GAPV (Generalized Adjusted Present Value). B 0, B 0, % 50% 60% 70% 2. (11 pti) Si intende costituire un capitale di importo M all epoca 3 mediante il versamento di 3 rate anticipate di importi 1200, 1300, 1300, capitalizzate mediante la legge finanziaria in due variabili definita mediante i prezzi degli 0-coupon bond B 0, 1, B 0, 2, B 0, 3. Si chiede: a. calcolare il montante M che si otterrebbe versando le rate preventivate; b. calcolare l importo costante da aggiungere alle rate per colmare la differenza M-M. B 0, B 0, B 0, M (11 pti) Date due variabili aleatorie X ed Y uniformi negli intervalli 0, a e 0, b, si chiede: a. calcolare la probabilità che X Y; b. dire se una delle due variabili aleatorie domina stocasticamente l altra, giustificando appropriatamente la risposta. a b N.B. Caratteristiche di una variabile aleatoria uniforme con supporto l intervallo a, b : 0 per x a 0 per x a f X x 1 b a per a x b F X x x a b a per a x b 0 per x b 1 per x b E X a b 2, X 2 Tempo disponibile 1h 30 b a 12 2

6 MATEMATICA FINANZIARIA - Prova scritta del 15 gennaio Un titolo paga cedole semestrali calcolate a tasso annuo cedolare j, ha una vita residua di 20 mesi ed un tasso di rendimento effettivo (tasso interno) annuo i. Si chiede di calcolare: a. il corso tel quel ed il corso secco del titolo, scrivendone anche la formula in funzione del tasso i; b. le variazioni assolute di corso del titolo conseguenti alla variazione del tasso di rendimento effettivo da i a i i 1% e da i a i i 1%; c. la duration e l indice di volatilità del titolo, assumendo come tasso di mercato il tasso di rendimento effettivo; d. in corrispondenza ad una variazione i del tasso i lo sviluppo, in forma puramente simbolica, secondo la formula di Taylor arrestata al termine di 2^ ordine; e. usando la formula sub d) limitata al termine di 1^ ordine i valori numerici approssimati delle variazioni sub b), eventualmente sfruttando i calcoli già effettuati per ottenere quanto richiesto al punto c; j i 1.a 10% 9% 1.b 8% 9% 2.a 10% 11% 2.b 8% 7% Tempo disponibile:1h

7 MATEMATICA FINANZIARIA - Quesiti scritti del 19 gennaio Discutere, in base alla definizione ed ai teoremi conosciuti, le proprietà della funzione F x, y e y x, dicendo se essa rappresenta una legge di capitalizzazione a due variabili e, nel caso, se è scindibile. 1.a b a b

8 MATEMATICA FINANZIARIA Prova scritta del 5 Febbraio Siano dati tre titoli obbligazionari con le seguenti caratteristiche. Il primo titolo paga cedole annuali al tasso annuo cedolare j, ha vita residua di 18 mesi e valore di rimborso al nominale di 100. Il secondo titolo paga cedole annuali al tasso annuo cedolare i, ha vita residua di 24 mesi e valore di rimborso al nominale di 100. Il terzo titolo è uno zero-coupon bond con vita residua di 30 mesi e valore di rimborso 100. Nel mercato, privo di opportunità di arbitraggio, la struttura dei tassi a scadenza è piatta con tasso annuo di interesse costante i. Si chiede di: a. calcolare il corso tel quel dei primi due titoli ed il prezzo dello z.c.b.; b. calcolare la duration e la duration modificata dei tre titoli; c. determinare le quote percentuali di un portafoglio composto dal primo e dal terzo titolo in modo che il portafoglio sia immunizzato dal rischio di tasso per un orizzonte temporale di 24 mesi; d. determinare le quote percentuali di un portafoglio composto dal secondo e dal terzo titolo in modo che il portafoglio sia immunizzato dal rischio di tasso per un orizzonte temporale di 24 mesi; e. determinare l insieme dei portafogli che si possono costruire con tutti e tre i titoli che siano immunizzati per lo stesso orizzonte temporale di 24 mesi; f. mostrare algebricamente che ogni combinazione lineare convessa dei portafogli ottenuti ai punti c e d appartiene all insieme definito al punto e, dandone un interpretazione finanziaria. (Si ricorda che si dice combinazione lineare convessadi 2 vettori una combinazione lineare con coefficienti entrambi nonnegativi la cui somma vale uno) i 1.a 9% 12% 1.b 10% 11% 2.a 11% 10% 2.b 12% 9% j Tempo disponibile:1h

9 MATEMATICA FINANZIARIA A e B Prova scritta del 10 aprile Un mercato finanziario è descritto da tre ZCB di durata rispettivamente 1, 2 e 3 anni e aventi prezzi per unità di nominale pari a B 0, h, h 1, 2, 3. Un operatore economico contrae un debito di importo A con l impegno a pagare per 3 anni ogni anno il solo interesse sul debito A calcolato mediante i tassi forward uniperiodali aumentati del 2% e a rimborsare all istante 3 l intero debito A. Per poter fare fronte all impegno di rimborso della somma A all istante 3, l operatore accantona all istante 1 l importo 2 5 A e all stante 2 l importo 1 3 A, investendoli nel suddetto mercato di ZCB. Si chiede: a. calcolare i tassi a pronti h 0 0, h, h 1, 2, 3 ed i tassi forward h 0 1, 2, h 0 2, 3, h 0 1, 3 ; b. calcolare le somme pagate dall operatore agli istanti 1, 2, 3 a titolo di interesse; c. calcolare l importo versato all istante 3 per completare il piano di costituzione della somma A; d. calcolare gli importi complessivamente sborsati agli istanti 1, 2, 3 e calcolarne il valore attuale mediante la struttura dei tassi di mercato; e. messo in relazione il valore attuale calcolato al punto precedente con l importo A, dare un interpretazione finanziaria della differenza. B 0, 1 B 0, 2 B 0, 3 1.a b a b Tempo disponibile:1h A N.B.: lo studente è tenuto a compilare il tracciato per la soluzione, in allegato al presente testo, e ad indicare esplicitamente i passaggi rilevanti necessari al calcolo dei risultati, inserendo i valori dei dati del problema.

10 MATEMATICA FINANZIARIA A e B Quesiti scritti dell 11 aprile Scrivere l espressione di n i in funzione di i ed n. Chiarire il significato finanziario di n i. Calcolare il limite per i tendente a 0 di n i facendo riferimento a quanto esposto in precedenza e dando l interpretazione finanziaria del risultato ottenuto.

11 MATEMATICA FINANZIARIA A, B e serale Prova scritta dell 11 settembre Molti rivenditori di automobili, in aggiunta all incentivo rottamazione, hanno inserito la facoltà di pagamento a rate senza interessi di una parte della somma dovuta. Un annuncio-tipo sui giornali suona all incirca così: L senza interessi in 12 rate mensili posticipate di L Le spese di istruzione della pratica di finanziamento sono di importo A In altra parte dell annuncio compaiono una dichiarazione ed un altro messaggio commerciale: T.A.N. 0%, T.A.E.G. x Per pagamenti in contanti viene concesso uno sconto di importo B Formulando l ipotesi aggiuntiva che le spese di istuttoria della pratica, di importo A, costituiscano una partita di giro per il rivenditore, ossia la somma di denaro versata dal cliente a tale titolo viene immediatamente girata dal rivenditore a terzi per l espletamento della pratica, si chiede: a. il TAEG per il compratore è maggiore del 2% annuo? b. se il tasso di interesse di opportunità del denaro proprio per il rivenditore è il 7% annuo composto, è più conveniente per il rivenditore riscuotere il pagamento immediato di L decurtate dello sconto B oppure il pagamento dilazionato in 12 rate mensili? c. Qual è, in lire, il confine superiore dello sconto che il rivenditore può offrire in alternativa al pagamento dilazionato trovando più conveniente per sè la riscossione immediata? d. un cliente, non disponendo della somma di denaro occorrente, vorrebbe valutare l eventualità di farsi finanziare da altri all 11% annuo composto la somma necessaria per il pagamento in contanti, con rimborso mediante 12 rate mensili eguali e pagamento, a parte, delle spese di istruttoria sempre pari ad A. Quale sarebbe il minimo sconto da richiedere al rivenditore per trovare più conveniente l acquisto in contanti ottenuti per mezzo del finanziamento esterno? e. confrontando i risultati sub c e sub d, esiste un intervallo di valori dello sconto B conveniente sia per il rivenditore sia per il cliente? A B N.B. Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella di propria competenza. Gli importi in lire (fino al 31/12/01) devono essere interi e, per le variabili che possono assumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione nei calcoli deve essere la massima possibile e i risultati vanno riportati con 4 cifre significative esatte; ad esempio un tasso , va scritto nella forma 12.34% e non 12%. Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vanno scritte in forma simbolica e in forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nel problema nella propria versione di competenza. Tempo disponibile: 1h

12 MATEMATICA FINANZIARIA A, B e serale Prova scritta del 6 giugno Siano dati tre titoli obbligazionari con le seguenti caratteristiche: - il primo titolo è uno 0-coupon bond scadente fra un anno, avente un prezzo B 0, 1 per unità di valor nominale; - il secondo titolo paga cedole annuali al tasso annuo 7%, ha vita residua di 2 anni (cedola appena staccata), valore di rimborso pari al nominale e corso secco pari a P; - il terzo titolo paga cedole annuali al tasso annuo 8%, ha vita residua di 3 anni (cedola appena staccata), valore di rimborso pari al nominale e corso secco pari a P. Si chiede di: a. calcolare il corso tel quel del secondo e del terzo titolo; b. calcolare la struttura dei tassi per scadenza del mercato caratterizzato dai tre titoli sopra descritti e soddisfacente l ipotesi di impossibilità di arbitraggio; c. calcolare la somma complessiva da investire nei tre titoli da parte di un investitore che deve far fronte ai seguenti impegni: al tempo 1, al tempo 2, al tempo 3; d. calcolare come ripartire nei tre titoli al tempo zero la somma calcolata sub c in modo da coprire le spese indicate senza dover fare successivamente altre operazioni (si suggerisce di normalizzare i flussi dei singoli titoli per unità investita anzichè per unità di nominale e di calcolare prima la somma da investire nel terzo titolo, poi quella da investire nel secondo ed infine quella da investire nel primo). B 0, 1 0, 952 0, 948 0, 943 0, 939 P 1, 033 1, 023 1, 014 1, 005 P 1, 068 1, 054 1, 041 1, 027

13 MATEMATICA FINANZIARIA A, B e serale Prova scritta del 21 giugno In un mercato con struttura piatta dei tassi caratterizzata dal tasso i, sono presenti due titoli obbligazionari con le seguenti caratteristiche: - il primo titolo ha vita residua due anni, cedole annue costanti, rimborso pari al nominale e corso A per unità di nominale; - il secondo titolo ha vita residua tre anni, cedole annue costanti e rimborso pari al nominale e corso B per unità di nominale. Si chiede: a. calcolare i tassi cedolari j A e j B dei due titoli, con 4 cifre significative esatte; b. calcolare le duration D A e D B dei due titoli; c. calcolare la duration di un portafoglio di valore complessivo C composto al 30% del primo titolo ed al 70% del secondo titolo; i 5% 5.5% 6% 6.5% A 1, , , , 0091 B 1, , , , Dati due titoli azionari aventi rendimenti aleatori X 1 e X 2, con valori attesi X1 e X2 e matrice di covarianza 2 X1 cov X 1, X 2 cov X 2, X 1 si chiede: a. calcolare il valor atteso Z e la varianza Z 2 del rendimento Z di un generico portafoglio composto nelle percentuali 1 e 2 dei due titoli; b. calcolare il valore atteso Z e la varianza Z 2 in corrispondenza al portafoglio definito da 1 30% ed 2 70%. 2 X2 X1 5% 10% 5% 10% X2 10% 15% 10% 15% X1 4% 5% 4% 5% X1 6% 8% 6% 8% cov X 1, X

14 MATEMATICA FINANZIARIA A, B e serale Prova scritta del 5 luglio Dati due titoli azionari aventi rendimenti aleatori X 1 e X 2, con valori attesi X1 e X2 e 2 X1 cov X 1, X 2 matrice di covarianza, si chiede: cov X 2, X 1 a. calcolare il valor atteso Z e la varianza Z 2 del rendimento Z di un generico portafoglio composto nelle percentuali 1 ed 2 dei due titoli; b. calcolare il valore atteso Z e la varianza Z 2 in corrispondenza al portafoglio definito da 1 20% ed 2 80%; c. vi sono altri portafogli con la stessa varianza calcolata sub b, ma con un diverso valore atteso? d. alla luce di quanto visto nei punti b e c, il portafoglio caratterizzato da 1 20% e 2 80% è efficiente? e. trovare il portafoglio di varianza minima, senza alcun vincolo sul rendimento atteso. 2 X2 X1 3% 5% 3% 5% X2 5% 7% 5% 7% 2 X1 2% 4% 2% 4% 2 X2 6% 8% 6% 8% cov X 1, X

15 MATEMATICA FINANZIARIA A, B e serale Prova scritta del 25 settembre In un mercato con struttura piatta dei tassi caratterizzata dal tasso i, sono presenti due titoli obbligazionari con le seguenti caratteristiche: - il primo titolo ha vita residua due anni, cedole annue costanti, rimborso pari al nominale e corso A per unità di nominale; - il secondo titolo ha vita residua tre anni, cedole annue costanti, rimborso pari al nominale e corso B per unità di nominale. Si chiede: a. calcolare i tassi cedolari j A e j B dei due titoli, con 4 cifre significative esatte; b. calcolare le duration D A e D B dei due titoli; c. calcolare la duration di un portafoglio di valore complessivo C investito al 70% nel primo titolo ed al 30% nel secondo titolo; d. calcolare il corso e la duration dei due titoli fra un anno, subito dopo aver riscosso la cedola annua di entrambi i titoli; e. calcolare il nuovo valore del portafoglio sub c) anch esso tra un anno, escludendo da tale calcolo le cedole appena riscosse; f. escludendo, come al piunto precedente le cedole appena riscosse, determinare la nuova ripartizione del valore del portafoglio calcolato sub e) fra i due titoli e la duration del portafoglio; i 5% 5.5% 6% 6.5% A 1, 04 1, 03 1, 02 1, 01 B 1, 08 1, 07 1, 055 1, 04 N.B. Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella di propria competenza. Gli importi in lire (fino al 31/12/01) devono essere interi e, per le variabili che possono assumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione nei calcoli deve essere la massima possibile e i risultati vanno riportati con 4 cifre significative esatte; ad esempio un tasso , va scritto nella forma 12.34% e non 12%. Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vanno scritte in forma simbolica e in forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nel problema nella propria versione di competenza. Tempo disponibile: 1h

16 Prova scritta dell 8 gennaio 2002 Parte A 1. Si versa una somma costante R nelle 3 date sotto precisate su un conto corrente bancario sul quale maturano interessi a tasso annuo semplice i nel corso di ogni trimestre e vengono corrisposti tali interessi maturati alla fine di ogni trimestre. Si chiede: a. scrivere i fattori di montante dalle date di versamento al 31/12, tenendo conto del meccanismo di calcolo degli interessi (per semplicità un trimestre sia 1 di anno ed un 4 mese 1 di anno, indipendentemente dal numero effettivo di giorni dei trimestri e dei 12 mesi in esame); b. calcolare l importo R in modo che il montante della rendita costituita dalle 3 rate versate alle date prefissate risulti pari ad M. i 5% 6% 5% 6% t 1 01/02 01/02 01/03 01/03 t 2 01/08 01/09 01/09 01/08 t 3 01/10 01/11 01/11 01/12 M Una rendita dà diritto a N rate costanti semestrali anticipate di importo unitario pari a R, essendo N un numero aleatorio che può assumere le determinazioni 1 con probabilità 1/3, 2 con probabilità 1/2, 3 con probabilità 1/6. Si chiede: a. determinare la legge di probabilità del valore attuale della rendita a tasso annuo composto effettivo i; b. calcolare il valore atteso e la varianza del valore attuale della rendita; i 5% 6% 5% 6% R N.B. Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella di propria competenza. Gli importi in euro devono avere 2 cifre decimali e, per le altre variabili che possono assumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione nei calcoli deve essere la massima possibile e i risultati vanno riportati con 4 cifre significative esatte; ad esempio un tasso , va scritto nella forma 12.34% e non 12%. Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vanno scritte in forma simbolica e in forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nel problema nella propria versione di competenza. Tempo disponibile: 1h

17 Parte B Quesiti 1. Calcolare il valore di un portafoglio composto di due 0-coupon con scadenze 1 anno e 2 anni e 4000 euro e 6000 euro di valor nominale, rispettivamente, avendo una struttura piatta dei tassi di interese i. Calcolare la duration del portafoglio. i 5% 6% 5% 6%

18 Prova scritta del 22 gennaio 2002 Parte B Quesiti 1. Dato un portafoglio composto, nelle percentuali 30%, 50%, 20%, di 3 zero - coupon bonds aventi durate residue, rispettivamente, 1, 2, 3 anni e prezzi per unità di nominale pari a B 0, 1, B 0, 2, B 0, 3, si chiede di calcolare la duration di tale portafoglio. E l unico portafoglio composto dei tre titoli avente tale duration? B 0, B 0, B 0,

19 Prova scritta di gennaio 2002 Parte A 1. Una rendita dà diritto a N rate costanti annue posticipate di importor, dove N è una variabile aleatoria discreta che può assumere i valori 1 con probabilità p 1 1, 2 con 4 probabilità p 2 1, 3 con probabilità p Si chiede: 12 a. scrivere la legge di probabilità del montante della rendita calcolato a tasso di interesse composto annuo i; b. calcolare valore atteso e varianza del montante; c. scrivere la funzione di ripartizione del montante e tracciarne il grafico; d. calcolare l importo R della rata costante di una rendita posticipata certa composta di 3 rate avente montante pari al valore atteso calcolato sub b. i 5% 6% 5% 6% R N.B. Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella di propria competenza. Gli importi in euro devono avere 2 cifre decimali e, per le altre variabili che possono assumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione nei calcoli deve essere la massima possibile e i risultati vanno riportati con 4 cifre significative esatte; ad esempio un tasso , va scritto nella forma 12.34% e non 12%. Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vanno scritte in forma simbolica e in forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nel problema nella propria versione di competenza.

20 Prova scritta del 5 aprile 2002 Parte A 1. Dati 3 zero - coupon bonds aventi durate residue, rispettivamente, 1, 2, 3 anni e prezzi per unità di nominale pari a B 0, 1, B 0, 2, B 0, 3, si chiede di calcolare: B 0, B 0, B 0, a. i tassi spot h 0 0, t, t 1, 2, 3 e forward h 0 s, t, s t 1, 2, 3; b. la rata di ammortamento costante con tassi di interesse h 0 s, s 1, s 0, 1, 2 nei tre periodi di un debito di ammontare euro; c. il piano d ammortamento dettagliato; d. la duration della rendita costituita dalle rate di ammortamento. B 0, B 0, B 0, N.B. - Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella di propria competenza. - Gli importi in euro devono avere 2 cifre decimali e, per le altre variabili che possono assumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione nei calcoli deve essere la massima possibile e i risultati vanno riportati con 4 cifre significative esatte; ad esempio un tasso , va scritto nella forma 12.34% e non 12%. - Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vanno scritte in forma simbolica e in forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nel problema nella propria versione di competenza. Tempo disponibile: 1h

21 Parte B 1 1. Dimostrare che la funzione F x, y esprime il fattore di montante di una legge 1 d y x finanziaria non scindibile. d Trovare il numero minimo di rate costanti posticipate di importo R necessario per ottenere un montante almeno pari a M, con tasso di interesse i. Dire se vi sono condizioni di realtà sui dati del problema, R,M e i e, in caso affermativo, indicarle. R M i 8% 9% 9% 8%

22 Prova scritta del 4 giugno 2002 Parte A 1. Siano date le seguenti quotazioni (per lira di nominale) degli zero-coupon bond B 0, s per le scadenze s da 1 a 3 anni: B 0, 1 0, , , , 9174 B 0, 2 0, , , , 8573 B 0, 3 0, , , , 8162 Si calcolino: a. i corrispondenti rendimenti a scadenza h 0 0, s, s 1, 2, 3; b. i corrispondenti tassi forward da s a s 1, h 0 s, s 1, s 0, 1, 2; c. il valore P 0 (quotazione) in 0 di un titolo che scade in 3 con nominale di 100 e cedole annue al tasso cedolare: i 3% 4% 5% 6% d. il valore del titolo di cui al punto c) alla data 2, immediatamente prima del pagamento della cedola; e. il corso tel quel e il corso secco del titolo sub c) all epoca 1, 5 supponendo che all interno di ciascuno dei tre anni considerati la struttura dei tassi sia piatta. N.B. Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella di propria competenza. Gli importi in euro devono avere 2 cifre decimali e, per le altre variabili che possono assumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione nei calcoli deve essere la massima possibile e i risultati vanno riportati con 4 cifre significative esatte; ad esempio un tasso , va scritto nella forma 12.34% e non 12%. Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vanno scritte in forma simbolica e in forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nel problema nella propria versione di competenza. Tempo disponibile: 1h

23 1. Dato il sistema di equazioni lineari Parte B Quesiti 2x 1 x 3 x x 2 2ax 3 ax 4 12, a. dimostrare che il rango del sistema di equazioni è 2 e vi sono 2 soluzioni; b. risolvere per diagonalizzazione il sistema nelle incognite x 3 e x 4, considerando x 1 e x 2 come parametri. a Data la funzione f X x 0 x a k x a a x b b a 0 x b a. trovare la costante k in modo che essa sia una funzione di densità di probabilità; b. calcolare la corrispondente funzione di ri partizione. a b

24 Prova scritta del 18 giugno 2002 Parte A 1. Un debito di euro contratto in t 0 viene estinto in tre rate posticipate a tasso variabile secondo le seguenti modalità. La prima rata R 1 viene calcolata come se l intero debito dovesse essere estinto in tre rate uguali a tasso costante i 1 ; la seconda rata R 2 viene calcolata come se il debito residuo D 1 dovesse venire estinto in due rate uguali a tasso costante i 2 ; infine il debito residuo D 2 viene estinto in un unica soluzione mediante la rata R 3 calcolata a tasso i 3 (modalità alla francese per inseguimento). Si chiede: a. di stendere il piano di ammortamento; b. di verificare la condizione di chiusura finanziaria finale; c. nel caso i 3 sia una variabile aleatoria uniforme X 3 tra i 3 0, 005 e i 3 0, 015 di calcolare valore atteso e varianza della terza rata nonché del suo valore attuale in t 0. (Si rammenta che se la variabile uniforme X ha per supporto l intervallo a, b risulta E X a b e 2 2 X b a 2 ) 12 i 1 5% 4% 7% 6% i 2 6% 5% 6% 5% i 3 7% 6% 5% 4% N.B. Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella di propria competenza. Gli importi in euro devono avere 2 cifre decimali e, per le altre variabili che possono assumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione nei calcoli deve essere la massima possibile e i risultati vanno riportati con 4 cifre significative esatte; ad esempio un tasso , va scritto nella forma 12.34% e non 12%. Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vanno scritte in forma simbolica e in forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nel problema nella propria versione di competenza. Tempo disponibile: 1h

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