Modello matematico di un sistema fisico

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1 Capitolo. NTRODUZONE. Modello matematico di n sistema fisico La costrzione del modello matematico è anche n procedimento che permette di comprendere a pieno il fenomeno fisico che si vol descrivere. Compromesso fra la semplicità del modello e la precisione nella descrizione del fenomeno fisico. Lo stesso fenomeno fisico pò essere descritto mediante modelli matematici diversi. Esempio: dinamica di na popolazione. Eqazione di Malts (modello lineare): ẋ(t) = rx(t) x(t) = x 0 e rt dove x(t) è la densità della popolazione, r è il tasso di crescita e x 0 è la densità all istante t = 0. Qesto modello è valido solamente se la densità è sfficientemente elevata e se non vi sono limitazioni slle risorse ambientali. Eqazione logistica di Verhlst (modello non lineare): ẋ(t) = r x(t) x(t) K dove K rappresenta la capacità portante del sistema. n qesto caso è possibile determinare la solzione in forma chisa: Kx 0 e rt x(t) = K +x 0 x 0 e rt Qesta solzione è stata ottenta in Matlab sando i segenti comandi: syms x(t) r K x0 K x0 exp(r t) x=simplify(dsolve(diff(x)==r*(+x/k)*x,x(0)==x0)); --> pretty(x) K + x0 - x0 exp(r t) Per descrivere altri fenomeni si tilizza n modello più generale: ẋ(t) = r [ a+bx(t) cx 2 (t) ] x(t) n qesto caso non è possibile determinare in modo semplice la solzione in forma chisa dell eqazione differenziale non lineare. Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 205/206

2 Capitolo. NTRODUZONE.2 Modello termico di n edificio Modello statico: Q = K(θ θ e ) θ = θ e + Q K Q : potenza termica erogata (calore nell nità di tempo) θ : temperatra dell edificio; θ e : temperatra esterna; K : condttività termica c : capacità termica Modello dinamico lineare tempo-contino: Qdt = cdθ +K(θ θ e )dt θ = Q c K c (θ θ e) Esempio di modello dinamico discreto Modello tempo-invariante: x(k +) = (+i)[x(k)+(k)] dove x(k) è il valore del capitale all istante k, i è il tasso di interesse e (k) è il versamento effettato all istante k. Modello tempo-variante: x(k +) = (+i(k))[x(k)+(k)] dove i(k) è il tasso di interesse all istante k. Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 205/206

3 Capitolo. NTRODUZONE.3 Esempio. Si consideri na trave fissata ad na estremità e si spponga di caricare l estremità libera con forze costanti di entità pari a P, P 2,... P i s i Qando si applica la forza P i, la trave si flette e, dopo n transitorio, si ferma nella posizione s i. Riportando in n grafico i valori dello spostamento s in fnzione del carico P si ottiene n andamento che, nella sa parte lineare, coincide con la legge di Hook s 3 s 2 s P P 2 P 3 Tale crva costitisce n modello statico del sistema in qanto non fornisce alcna informazione slla dinamica con ci l estremità libera passa da na posizione di eqilibrio all altra. s(t) t Solo n modello dinamico è in grado di fornire informazioni sl tipo di transitorio che caratterizza il sistema. Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 205/206

4 Capitolo. NTRODUZONE.4 Esempio. Si consideri la segente rete elettrica: R C R C V L Modello dinamico POG: V 2 3 R R 2 C Cs V 3 Ls 0 Per determinare il modello dinamico di qesto sistema si procede ad assegnare na variabile di stato ad ogni elemento dinamico del sistema, cioè ad ogni elemento che è in grado di accmlare energia: Q = CV e Φ = L. Le eqazioni dinamiche del sistema sono: dq = C dt V = C = V R dφ dt ndicando con x il vettore di stato V x = = L = V ẋ = le eqazioni dinamiche del sistema possono essere scritte in forma matriciale: V = y(t) = [ CR C L 0 V 0 ] x(t) + V C 0 (t) n qesto caso, qindi, il sistema è lineare tempo-invariante. Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 205/206

5 Capitolo. NTRODUZONE.5 Sisppongaoradivolertenercontonelmodellodelfattochelaresistenzavaria al variare della temperatra: R = R(θ). n qesto caso occorre aggingere al sistema anche la segente eqazione differenziale che descrive la dinamica termica della resistenza: θ = V 2 cr G c θ+ G c θ e parametri hanno il segente significato θ temperatra della resistenza θ e temperatra esterna c capacità termica della resistenza G condttanza termica della resistenza Le eqazioni dinamiche del sistema sono ora le segenti: V = C C V CR(θ) = V L θ = V 2 cr(θ) G c θ+ G c θ e ndicando con x e il vettore di stato e di scita: x = V θ, = il sistema pò essere descritto in forma compatta nel modo segente: ẋ = f(x, ) l sistema è ora non lineare tempo invariante. θ e Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 205/206