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1 Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale e approssimazioni, formula di Taylor Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 22

2 Outline 1 Differenziale e approssimazione lineare 2 Formula di Taylor MacLaurin con resto di Peano 3 La formula di Taylor-MacLaurin con resto di Lagrange 4 Serie di Taylor A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 2 / 22

3 Differenziale e approssimazione lineare Approssimazione lineare Operazione di linearizzazione: approssimare una funzione non lineare tramite una funzione lineare, ottenendo informazioni sull errore commesso. Caso tipico: incremento di una funzione. Sia f : (a, b) R una funzione derivabile in x 0 (a, b) e diamo ad x 0 un incremento dx (che assumiamo molto piccolo in valore assoluto, cioè dx 1). In conseguenza f subisce un incremento f(x 0 ) = f(x 0 + dx) f(x 0 ). In generale f(x 0 ) non è proporzionale a dx (ossia non è lineare rispetto a dx). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 3 / 22

4 Differenziale e approssimazione lineare Differenziale Invece, risulta essere proporzionale a dx l incremento di f lungo la retta tangente al grafico di f in x 0. Infatti tale incremento è uguale a f (x 0 )dx. Definizione Sia f : (a, b) R una funzione derivabile in x 0 (a, b). Si chiama differenziale di f in x 0 (e si denota con df(x 0 )) l incremento di lungo f lungo la retta tangente al grafico di f in x 0 : df(x 0 ) = f (x 0 )dx. Qual è l errore che si commette approssimando f in un intorno di x 0 con df(x 0 )? A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 4 / 22

5 Differenziale e approssimazione lineare Differenziale Sappiamo che f(x 0 + dx) f(x 0 ) dx f (x 0 ) per dx 0 da cui f(x 0 + dx) f(x 0 ) f (x 0 ) = ε(dx) dx ove ε(dx) 0 per dx 0. Quindi f(x 0 + dx) f(x 0 ) = f (x 0 )dx + dx ε(dx) f(x 0 ) = df(x 0 ) + dx ε(dx) ove dx ε(dx) è una funzione che divisa per dx tende a 0 cioè dx ε(dx) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dx. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 5 / 22

6 Differenziale e approssimazione lineare o piccolo Una simbologia utile in questa circostanza: Definizione Siano f e g due funzioni definite in un intorno di x 0. Se f(x) lim x x 0 g(x) = 0 si scrive f(x) = o(g(x)) per x x 0 e si legge f(x) è un o piccolo di g(x). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 6 / 22

7 Differenziale e approssimazione lineare Se g(x) è un infinitesimo per x x 0, f(x) = o(g(x)) significa che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x). Dunque si ha f(x 0 ) = df(x 0 ) + o(dx) per dx 0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 7 / 22

8 Differenziale e approssimazione lineare o grande Una definizione simile a quella di o piccolo, utile per lo studio della complessità degli algoritmi. Definizione Siano f e g due funzioni definite in un intorno di x 0. Se esiste M > 0 tale che si scrive f(x) g(x) M definitivamente per x x 0 f(x) = O(g(x)) per x x 0 e si legge f(x) è un o grande di g(x). Se per x x 0, f(x) = o(g(x)) allora f(x) = O(g(x)) A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 8 / 22

9 Differenziale e approssimazione lineare Relazione tra o piccolo e asintotico Teorema Sono equivalenti: 1 f(x) g(x) per x x 0 ; 2 f(x) = g(x) + o(g(x)) per x x 0. I limiti notevoli si possono rileggere tramite uguaglianze che coinvolgono o piccolo : sen x = x + o(x) per x 0; e x 1 = x + o(x) per x 0; 1 cos x = 1 2 x2 + o(x 2 ) per x 0. In modo equivalente, per x 0 cos x = x2 + o(x 2 ). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 9 / 22

10 Formula di Taylor MacLaurin con resto di Peano Formula di Taylor MacLaurin con resto di Peano Vogliamo ora generalizzare il procedimento di approssimazione per linearizzazione a quello di approssimazione polinomiale. Più precisamente, se f è derivabile n volte, esiste un polinomio di grado n che in un intorno di un punto fissato x 0 approssima la funzione meglio della sua retta tangente? Primo passo: individuare un polinomio che abbia tutte le derivate fino all ordine n uguali a quelle di f in x 0. Secondo passo: provare che il polinomio trovato approssima bene f in un intorno di x 0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 10 / 22

11 Formula di Taylor MacLaurin con resto di Peano Polinomio di MacLaurin Per semplicità, consideriamo prima il caso in cui x 0 = 0. Teorema Data una funzione f derivabile n volte in x = 0, esiste uno ed un solo polinomio T n di grado n tale che Inoltre tale polinomio è dato da T (k) n (0) = f (k) (0) k = 0,..., n. T n (x) = n k=0 f (k) (0) x k k! e si chiama polinomio di MacLaurin di f(x) di grado n. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 11 / 22

12 Formula di Taylor MacLaurin con resto di Peano Formula di MacLaurin all ordine n con resto secondo Peano Il polinomio T n approssima bene f in un intorno di 0. Teorema Sia f : (a, b) R una funzione derivabile n volte in 0 (a, b). Allora il polinomio di Maclaurin di grado n T n verifica f(x) = T n (x) + o(x n ) per x 0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 12 / 22

13 Formula di Taylor MacLaurin con resto di Peano Formula di Taylor all ordine n con resto di Peano Quanto detto di può generalizzare al caso x 0 0. Data una funzione f derivabile n volte in x 0, il suo polinomio di Taylor in x 0 è dato da Teorema T n,x0 (x) = n k=0 Vale il risultato di approssimazione. f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! Sia f : (a, b) R una funzione derivabile n volte in x 0 (a, b). Allora f(x) = T n,x0 (x) + o((x x 0 ) n ) per x x 0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 13 / 22

14 Formula di Taylor MacLaurin con resto di Peano Formula di MacLaurin di ordine n per alcune funzioni elementari. e x = n k=0 log(1 + x) = sen x = cos x = arctg x = 1 k! xk + o(x n ) per x 0; n k=0 n k=0 n ( 1) k 1 x k + o(x n ) per x 0; k k=1 ( 1) k (2k + 1)! x2k+1 + o(x 2n+2 ) per x 0; ( 1) k (2k)! x2k + o(x 2n+1 ) per x 0; n k=0 ( 1) k 2k + 1 x2k+1 + o(x 2n+2 ) per x 0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 14 / 22

15 La formula di Taylor-MacLaurin con resto di Lagrange La formula di Taylor-MacLaurin con resto di Lagrange Nelle applicazioni, si utilizza il polinomio di Taylor per approssimare una funzione f in un intorno di un punto fissato. Occorre stimare l errore commesso E n (x) = f(x) T n (x). Teorema (Formula di Taylor con resto di Lagrange) Sia f : [a, b] R una funzione derivabile n + 1 volte in [a, b] e x 0 [a, b]. Allora, per ogni x [a, b], x x 0, esiste c compreso tra x 0 e x tale che f(x) = T n,x0 (x) + f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 15 / 22

16 La formula di Taylor-MacLaurin con resto di Lagrange La formula di Taylor-MacLaurin con resto di Lagrange Per n = 0 la formula di Taylor con resto di Lagrange è il teorema di Lagrange. L errore E n (x) è dunque dato da f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 detto resto secondo Lagrange. Il punto c dipende da x 0, x e n ed è compreso tra x 0 e x. Se si riesce a provare che esiste M > 0 tale che f (n+1) (t) M per ogni t compreso tra x 0 e x allora f(x) T n,x0 (x) M (n + 1)! x x 0 n+1 che è una stima dell errore di approssimazione commesso. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 16 / 22

17 La formula di Taylor-MacLaurin con resto di Lagrange Formula di Taylor e convessità La formula di Taylor con resto di Lagrange è per n = 1 diventa f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (c) (x x 0 ) 2 2! ove c è compreso tra x e x 0. Se f è convessa in un intorno di x 0 allora f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) quindi il grafico di f si mantiene al di sopra della retta tangente a f in x 0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 17 / 22

18 Serie di Taylor Serie di Taylor La formula di Taylor con resto di Lagrange si può scrivere come ove f(x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + E n (x) k! E n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 e c è un opportuno numero compreso tra x e x 0 A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 18 / 22

19 Serie di Taylor Serie di Taylor Se f ha derivate di ogni ordine si può considerare la serie (di potenze) k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. (1) k! Definizione La serie di potenze in (1), se ben definita, è detta serie di Taylor della funzione f centrata in x 0. Il polinomio di Taylor di f rappresenta la somma parziale della serie di Taylor di f. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 19 / 22

20 Serie di Taylor Convergenza Problema: stabilire se esiste un intorno di x 0 in cui vale l uguaglianza f(x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. (2) k! Definizione Se la (2) è soddisfatta per ogni x in un certo intervallo I (contenente x 0 ) si dice che f è sviluppabile in serie di Taylor in I. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 20 / 22

21 Serie di Taylor Convergenza Osservazioni: Come per ogni serie si potenze, può accadere che I = R o che I = {x 0 } o che I sia un intorno di x 0 del tipo (x 0 δ, x 0 + δ). Una funzione f è sviluppabile in serie di Taylor in I se per ogni x in I E n (x) 0 per n +. Esempi: e x, sen x, cos x sono sviluppabili in serie di Taylor in R. Esistono funzioni che non sono sviluppabili in serie di Taylor. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 21 / 22

22 Serie di Taylor Esempio La funzione definita da f(x) = { e 1/x2 se x 0 0 se x = 0 non è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x 0 = 0. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 22 / 22

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