Progetto Una Scuola per Tutti, Tutti per la Scuola CTS Ferrara Dirigente: prof. M. Urbinati Responsabile: prof. A. Difonzo

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1 Progetto Una Scuola per Tutti, Tutti per la Scuola CTS Ferrara Dirigente: prof. M. Urbinati Responsabile: prof. A. Difonzo Laboratori di riflessione/ricerca in Didattica della Matematica per alunni con DSA

2 Laboratorio Dal testo alla formula matematica SUGGERIMENTI PER L INTERVENTO DIDATTICO scuola secondaria primo e secondo grado Coordinatori di gruppo: prof.ssa Accorsi Rita e prof.ssa Fornasiero Marianna IT V. Bachelet - Ferrara

3 Differenti tipologie di discalculia Discalculia per i fatti aritmetici Discalculia procedurale Problem Solving Dislessia per le cifre

4 Metodo didattico consigliato Basato su una comprensione ragionata -apprendimento mnemonico e meccanico di procedimenti aritmetici non aiuta -numeri e operazioni risultano più comprensibili quando se ne capisce meglio il senso -apprendimento concreto: utilizzo di disegni o semplici diagrammi/grafici come rappresentazioni schematiche, di strumenti cognitivi concreti -linguaggio trasparente: descrivere concetti e procedure in termini semplici, tradurre i simboli matematici in linguaggio semplice

5 Insegnamento strutturato -non precedere con troppa rapidità ed offrire la possibilità di fare molta pratica -insegnare le basi: impadronirsi di strategie per il calcolo a mente -programma didattico strutturato a lungo termine -porre molti quesiti durante l introduzione/spiegazione di argomenti nuovi: qual è l incognita del problema? Quale passaggio devo eseguire ora? Perchè? -privilegiare anche il lavoro con linguaggio simbolico e/o schemi (se l alunno non ha problemi visuospaziali o di disprassia)

6 Dedicare parte del tempo ai lavori di coppia e/o gruppo, secondo la logica del cooperative learning Somministrare verifiche sommative più brevi e più frequenti Introdurre molti esempi durante le spiegazioni e invitare gli alunni a produrne in modo autonomo Dedicare alcune ore agli approfondimenti (relazioni di gruppo/attività di laboratorio) stimolare capacità critica, di sintesi, curiosità matematica Accompagnare gli alunni nella risoluzione dei problemi più complessi (dimostrazioni guidate)

7 Diverse strategie didattiche per i diversi tipi di discalculia: Discalculia per i fatti aritmetici Suggerimenti didattici utilizzo della calcolatrice scientifica se necessario, tavola pitagorica, formulari, utilizzo di disegni e/o schemi/simboli, utilizzo colori nelle formule, mappe concettuali

8 Discalculia procedurale: Suggerimenti didattici utilizzo di schemi riassuntivi nelle parti teoriche, formulario (www.math.it/formulario/index.htm, diagrammi di flusso per schematizzazione di problemi algebrici (come per algoritmi), organigrammi in.ppt, Guida SPM test (Erickson): suddivisione del problema in comprensione, rappresentazione, categorizzazione, piano di soluzione, svolgimento, autovalutazione, Mate+, Vol. 2 A. Demattè, calcolatrice scientifica, verifiche scritte con linguaggio semplificato software Aplusix (vedi guida), Excel LIM o materiale video (vedi materiale didattico Zanichelli per LIM)

9 Dislessia per le cifre Suggerimenti didattici utilizzo dei colori per le diverse cifre, per gli esponenti, per numeratore/denominatore di frazioni, per le lettere nel calcolo letterale, per le quattro operazioni; calcolatrici parlanti Software Aplusix/Excel Utilizzo di linguaggio simbolico Utilizzo di schemi/mappe concettuali

10 PROBLEM SOLVING Riconoscere abilità mentali specifiche per il problem-solving (da Lorusso febbraio Lucangeli e Passolunghi, 1995) 1. Prendere consapevolezza della natura dei problemi matematici 2. Riconoscere l importanza di un procedimento operativo per trovare la soluzione a un problema 3. Riconoscere l importanza dei diversi piani di rappresentazione

11 4. Riconoscere la consequenzialità dei procedimenti matematici 5. Riconoscere che esistono più percorsi di soluzione 6. Riconoscere che il problem solving dipende dall organizzazione delle conoscenze della persona 7. Riconoscere l importanza della precisione nelle procedure

12 Riconoscerele abilità cognitive implicate in situazioni matematiche e le loro interconnessioni (da Lorusso febbraio Lucangeli e Passolunghi, 1995) 1. Riconoscere il ruolo dell attenzione nella competenza matematica 2. Riconoscere il ruolo del linguaggio verbale nella competenza matematica 3. Riconoscere il ruolo delle abilità visuospaziali nella competenza matematica

13 4. Riconoscere che la mente umana lavora in maniera interconnessa: matematica e memoria 5. Riconoscere il ruolo della memoria di lavoro nelle abilità matematiche 6. Riconoscere il ruolo e la capacità della memoria a breve e a lungo termine 7. Riconoscere l importanza della percezione di autoefficacia nella competenza matematica

14 Modello di Montague: Problem Solving Matematico STRATEGIE E PROCESSI COGNITIVI LETTURA Comprensione PARAFRASI Traduzione VISUALIZZAZIONE Trasformazione

15 FORMULAZIONE DI IPOTESI Pianificazione delle operazioni da fare STIMA Previsioni del risultato COMPUTAZIONE Calcoli CONTROLLO Valutazione

16 Modello di Montague: intervento sul problem-solving matematico STRATEGIE E PROCESSI COGNITIVI LETTURA PARAFRASI VISUALIZZAZIONE FORMULAZIONE DI IPOTESI STIMA COMPUTAZIONE CONTROLLO STRATEGIE METACOGNITIVE Consapevolezza e autoregolazione delle strategie cognitive AUTOISTRUZIONE Conoscenza delle caratteristiche e utilità delle strategie e suggerimenti per il loro utilizzo AUTOINTERROGAZIONI Microverifica continua sul corretto utilizzo delle strategie AUTOMONITORAGGIO Controllo generale sulle strategie

17 Difficoltà nella traduzione da testo a formula Apprendimento spesso mnemonico e non ragionato: Esempio (tratto da Prove Invalsi vedi Conferenza DoReMat, relatore Bolondi, docente universitario in Didattica della Matematica) =. Risposta più comune: = Confusione nell interpretazione della regola: Il PRODOTTO di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la SOMMA degli esponenti confusa con La SOMMA di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il PRODOTTO degli esponenti

18 Progetto Inter-Assiale COMUNICARE E COMPRENDERE La matematica e il linguaggio: un dialogo possibile Miniprogetto dell asse matematico Docenti e Discipline coinvolte: ACCORSI RITA (MATEMATICA), ZANARDO ORNELLA (LINGUA INGLESE), BERTELLI CHIARA (TRATTAMENTO TESTI) Classe coinvolta: 1^A Periodo: da ottobre 2009 a maggio 2010

19 Semplici problemi-gioco L enunciato di un problema pone sempre un legame tra l incognita e i dati una relazione che si può scrivere sotto forma di uguaglianza : Si suppone che il problema sia possibile e si indica la soluzione con una lettera, ad esempio x (oppure y, z, t, ecc.) Difficoltà: capire chi sia la x. Dall enunciato del problema, si deduce sempre che uno stesso determinato valore è rappresentabile con due espressioni diverse contenenti i dati e l incognita Difficoltà: ricavare queste due espressioni. Si conclude che queste due espressioni devono essere uguali, poiché si è supposto il problema possibile. Si scrive un uguaglianza tra due espressioni, che si chiama equazione del problema e che traduce algebricamente il problema

20 1 un ragazzo dice a un suo amico: <<pensa a un numero intero; aggiungi il numero immediatamente successivo; aggiungi 9 alla somma; dividi il risultato per 2; sottrai il numero pensato>>.a questo punto il ragazzo dice all amico esterrefatto: <<il risultato è 5>>. Non si tratta di lettura del pensiero, ma del semplice utilizzo di operazioni algebriche. Infatti le istruzioni del ragazzo possono essere rappresentate nel modo seguente: Pensa a un numero: x Aggiungi il numero immediatamente successivo: x+ (x+1) Aggiungi 9 alla somma: x+ (x+1) +9 Dividi il numero per 2: x+ (x+1) +9 2 Sottrai il numero pensato: x+ (x+1) +9 -x 2 È facile vedere che, qualunque sia il numero pensato x, il risultato è sempre 5; quindi l equazione del gioco è: x+ (x+1) +9 x =5 2 Che è verificata per ogni x Gamboni Marco

21 Le maggiori difficoltà che gli alunni, sia DSA sia non, incontrano nell affrontare una situazione problematica dipendono 1. dalle loro carenti abilità logico-matematiche 2. dalle difficoltà di estrarre dal testo linguistico gli indizi e le informazioni di tipo strettamente matematico, cioè direttamente collegate alla soluzione del problema stesso. Vedi Guida SPM test (Erickson): suddivisione del problema in comprensione, rappresentazione, categorizzazione, piano di soluzione, svolgimento, autovalutazione, Analogo: Mate+, Vol. 2 A. Demattè

22 Tipologie di difficoltà che un allievo può incontrare.nel processo di ricerca della soluzione di un problema, il primo ostacolo con cui l allievo deve misurarsi è costituito dalla comprensione linguistica del testo L alunno non conosce tutte le parole presenti nel testo non ricorda le definizioni matematiche richieste dal problema non è in grado di attribuire ad alcune parole il giusto significato ovvero ne sconosce la funzione sintattica manca la comprensione lessicale/semantica delle parole

23 Esempi: il cubo di non sa che significa la potenza di ordine 3 Considerare la bisettrice dell angolo α e non sa la definizione di bisettrice di un angolo Il rapporto tra un numero ed il doppio di un altro è non sa cosa significa il rapporto tra due valori Il reciproco di non sa cosa sia il reciproco. il quadruplo di. la quarta parte di il quadrato di spesso confuso col concetto di il doppio di

24 Costruzione di un vocabolario matematico Il vocabolario-glossario. In lingua italiana: ogni alunno si è occupato di una lettera dell alfabeto, la classe quindi ha costruito un glossario relativamente alle parole della tematica incontrate nel corso dell anno scolastico. In lingua inglese: analisi dei termini incontrati nella risoluzione di problemi proposti nella sezione test your skills del libro di testo di matematica. Costruzione di un piccolo glossario dall inglese all italiano vedi vocabolario costruito dalla classe 1^A

25 Altre tipologie di difficoltà legate alla comprensione linguistica del testo non ha compreso il significato logico di alcune parole, quali i connettivi logici La decodificazione nei termini prettamente logico matematici non avviene in maniera corretta La pertinenza dei dati aritmetici alla situazione matematica presa in considerazione il senso della domanda: l alunno non comprende cosa chiede il problema, chi è l incognita, cosa deve trovare.

26 I colori nelle equazioni piu complesse vedi sito di Rita Bartole. Colore differente per indicare l incognita (ad esempio sempre x in grassetto rosso ) Colore differente per indicare gli esponenti di eventuali potenze (es: verde) Colore differente per gli eventuali denominatori ( o evidenziati in giallo )

27 Risoluzione di problemi di algebra/ geometria Problema 1: Il rettangolo ABCD viene trasformato in quadrato, diminuendo di 25 cm la lunghezza dell altezza e aggiungendo 12 cm alla lunghezza della base. Calcola il perimetro del rettangolo sapendo che la lunghezza dell altezza è doppia di quella della base. + -? = perimetro ABCD incognite = base x e altezza y perchè 2p= 2x+2y Problema1: rettangolo ABCD quadrato EFGH 25 x-25 Che proprietà hanno i lati del quadrato? x y+12 Sono.. Quindi: y 12 x-25. y+12 Poi altezza doppia della base x= 2 y quindi il sistema lineare è:..

28 Dalle parole alle espressioni esempi con eventuale utilizzo dei colori Traduciamo in espressione la frase: <<Aggiungi al quadrato di a il quadrato di b e sottrai il doppio prodotto di a con b>>, poi calcoliamo il valore dell'espressione per a = 9 e b = 5. quadrato di a a 2 ; quadrato di b b 2 ; prodotto di a con b a b; doppio prodotto 2 a b L'espressione è: a 2 +b 2-2 a b Sostituiamo a = 9, b = 5: = = = 16.

29 L espressione richiesta è la seguente: (3a + 5b)² (a² b²) Prima di sostituire i valori, riscriviamo l espressione mettendo fra parentesi le lettere: o cerchiandole (anche con colori diversi) [3 ( a ) + 5 ( b )]² [( a )² ( b )²] Tale procedimento aiuta l alunno con DSA a sostituire in modo corretto anche i valori con segno negativo: [3 ( 2) + 5 ( 3)]² [( 2)² ( 3)²] = = ( 6 15)² [+ 4 (+ 9)] = = ( 21)² (4 9) = = ( 5) = = = + 446

30 Facciamo una traduzione analitica: triplo di a 3 a quintuplo di b 5 b somma del triplo di a con il quintuplo di b 3a + 5b quadrato della somma del (3a + 5b)² sottrai dal quadrato (3a + 5b)² la differenza fra il quadrato di a e il quadrato di b a² b² Attenzione: differenza di quadrati e quadrato della differenza per alunno DSA potrebbe essere la stessa espressione Laboratorio di Informatica: utilizzo in questa fase del software Excel

31 Proposta di lavoro 1 Dopo aver individuato un argomento specifico (pb su eq. di primo o secondo grado, pb di geometria, ) agire sui testi dei problemi, utilizzando Colori Parentesi Simboli e fare una traduzione analitica dei problemi Proporre alla classe, suddivisa a gruppi/coppie, la creazione di risoluzioni guidate dei problemi di cui al punto precedente

32 La decodifica corretta consente di affrontare con successo le fasi successive, relative alla rappresentazione dei dati e alla relazione tra questi, e alla pianificazione dei calcoli. Le diverse formulazioni verbali con le quali può essere presentato un medesimo problema possono favorire o meno una risposta corretta Fase della categorizzazione: Prosentazione alla classe di una stesso problema sotto vesti differenti

33 categorizzazione Esempi (alcuni tratti da libri di testo Zanichelli) Eq. di primo grado: In una gita in barca partecipano 48 persone. Il prezzo del biglietto è di 15 euro per gli adulti e ridotto dei 3/5 per i bambini. Se l incasso totale è di euro 576, quanti sono gli adulti e quanti i bambini? [sol: 13;16] In un supermercato ci sono 48 vasi. Il prezzo di un vaso grande è di 15 euro, il prezzo di un vaso piccolo è pari ai 3/5 del precedente. Se il prezzo totale dei vasi è di euro 576, quante sono i vasi grandi e quanti quelli piccoli? Stessa formulazione matematica: X= numero adulti= numero vasi grandi 15 x + (3/5 15) (48 x) = 576

34 Eq. di primo grado Determina la semiarea di un rettangolo sapendo che il semiperimetro è 72 cm e un lato è i 5/7 dell altro Determina l area di un rombo sapendo che la somma delle due diagonali è 72 cm e una diagonale è i 5/7 dell altra Determina il semiprodotto di due numeri sapendo che la loro somma è 72 e uno è i 5/7 dell altro Incognita x =lato maggiore=diagonale maggiore =numero maggiore x+ 5/7 x=72 x = = / 2 = 630

35 l aspetto procedurale ed i risultati numerici sono gli stessi Una scatola di biscotti costa i 2/3 del prezzo di una confezione di cioccolatini. Sapendo che la spesa totale è di euro 7,50, quanto costano i cioccolatini? Una confezione di farina pesa i 2/3 del peso di una confezione di sale. Sapendo che il peso totale è di Kg 7,50, quanto pesa la confezione di sale? Una ragazza ha 2/3 degli anni della sorella. Sapendo che in totale le due sorelle hanno 15 anni, quanti anni ha la sorella maggiore? Un segmento è i 2/3 di un altro. Sapendo che la lunghezza totale dei due segmenti è di 7,50 cm, quanto è lungo il maggiore? Incognita x= prezzo cioccolatini = peso sale = età sorella maggiore = lunghezza lato maggiore x + 2/3 x = 7,50 ( oppure = 15)

36 Sistemi lineari In un negozio di alimentari vi sono 23 scatole di cioccolatini. Alcune contengono 3 cioccolatini e altre 10. Sapendo che complessivamente ci sono 111 cioccolatini, calcola quante scatole da 3 e da 10 vi sono. In una classe prima elementare vi sono 18 iscritti. Sapendo che alcuni di questi hanno 5 anni e altri 6 e che l età complessiva degli iscritti è di 100 anni, determina quanti sono I bambini con 5 anni e quanti quelli con 6. In un parcheggio vi sono 20 tra automobili e camion. Sapendo che i camion hanno 6 ruote e le auto 4 e ci sono complessivamente 86 ruote, calcola quante sono le auto e quanti i camion. Un rettangolo ha semiperimetro che vale 20 cm. Sapendo che moltiplicando per 6 la base e per 4 l altezza si ottiene un nuovo rettangolo con semiperimetro uguale a 86, calcola le lunghezze della base e dell altezza del primo rettangolo. Incognite x= numero scatole di cioccolatini da 3=numero alunni da 5 anni =numero camion=base rettangolo y= numero scatole di cioccolatini da 10=numero alunni da 6 anni =numero auto=altezza rettangolo x + y = 23 3x + 10y= 111 analogamente per gli altri sistemi.

37 Eq. di secondo grado Anna ha il doppio dell età di suo cugino. Sapendo che moltiplicando l età di Anna per quella del cugino ed aggiungendo sei volte l età del cugino si ottengono 20 anni, calcolare l età di Anna La mamma ha dato ai figli le paghette settimanali: al figlio maggiore la paghetta doppia rispetto al minore. Sapendo che moltiplicando le due paghette tra loto ed aggiungendo 6 volte quella del figlio minore si ottengono 20 euro, calcolare la paghetta del maggiore Un azienda produce giornalmente una quantità doppia di viti rispetto ai bulloni. Sapendo che moltiplicando tra loro il numero di viti per quello dei bulloni prodotti in un giorno ed aggiungendo il numero dei bulloni si ottengono in totale 20 pezzi, quanti bulloni l azienda produce giornalmente? Incognita x= età cugino =paghetta figlio minore = numero bulloni 2x x = 20 x 1 = 2 x 2 = -5 (non accettabile)

38 Proposta di lavoro 2 Trarre dai libri di testo i diversi problemi di algebra/geometria/aritmetica (anche inerenti un solo argomento) e cercare di categorizzarli, creando per ciascuno un modello matematico Creare una attività per gruppo classe da svolgere o in aula o laboratorio (vedi proposta lavoro 2 ) in cui alunni, suddivisi a gruppi, devono risolvere ciascuna categoria di pb un gruppo = una categoria di problemi

39 Attività in classe e/o in Laboratorio 1. Invitare gli alunni, suddivisi a coppie o gruppi, a ricercare nel libro di testo esercizi linguisticamente diversi, ma matematicamente uguali 2. Evidenziare la struttura matematica: -sottolineare cosa chiede il problema: DOMANDA -evidenziare l incognita o le incognite -evidenziare gli altri dati del pb impostare l equazione (o sistema lineare ) risolvente il problema 2. Impostare in Laboratorio con software Excel le diverse procedure per risolvere ogni categoria di problemi

40 Esercizio in Laboratorio con Excel: dalle parole alle espressioni letterali Traduciamo ad esempio in espressione la frase dati due numeri a e b, sottrai dal quadrato della somma del triplo di a con il quintuplo di b la differenza fra il quadrato di a e il quadrato di b, poi calcoliamo il valore dell espressione per a = 2 e b = 3

41 Vantaggi dell utilizzo di Excel Utilizzo delle celle per ogni incognita e dato del problema Risoluzione dei pb appartenenti alla stessa «categoria» utilizzando lo stesso modello/foglio di lavoro predefinito Calcolatrice per la risoluzione Possibilità di risoluzione guidata Apprendimento per categorie di problemi ( vedi fase di categorizzazione ) 41

42 Altro problema similare (=della medesima categoria) «dato un rettangolo, sottrai dal quadrato della somma del triplo della base b con il quintuplo dell altezza h la differenza fra il quadrato di b e il quadrato di h» Trovare il risultato se b = 3 cm e h= 4 cm Utilizzo lo stesso foglio Excel, solo sostituendo i dati numerici. 42

43 Proposta di lavoro 3 Relativamente problemi di algebra/geometria/aritmetica, già precedentemente suddivisi per categorie (vedi proposta di lavoro 1 ), creare dei fogli predisposti in Excel con risoluzione guidata dei problemi per ognuna delle categorie individuate Proporre attività di laboratorio con Excel attuabili con gruppo classe, inerenti problemi di algebra/geometria su un determinato argomento (pb su equazioni di primo grado, sistemi lineari, eq. di secondo grado, 43

44 La traduzione dall italiano al matematichese Tratto da Difficoltà in Matematica, n. 2 Febbraio articolo di Cristiano Bechelli

45

46 L importanza della domanda giusta

47 E il viceversa? Dalla equazione alla formula Data la difficoltà per alunni con DSA di tradurre il testo scritto in equazione matematica, abituarli prima a svolgere «l operazione inversa» Trovare dei testi di problemi su differenti argomenti (vita quotidiana, geometria,statistica, ) che si «adattino» alla equazione data Vedi A. Demattè, «Mate+», Vol.2, Erickson 47

48 A. Demattè, «Mate+», ed. Erickson Pregi: Esercizi facilmente adattabili ai diversi contesti scolastici, con diversi spunti anche per le scuole secondarie superiori Esercizi e problemi trattati «da differenti punti di vista» Accenni alla storia della matematica Problemi e testi che prendono spunto da quesiti antichi, rompicapo, (accenni alla matematica ai tempi degli egizi, dei greci, )

49 Proposta di lavoro 4 Proporre una attività alla classe, suddivisa a gruppi/coppie, su traduzione dall equazione al testo del pb: Preparare ed assegnare a ciascun gruppo delle semplici equazioni (di primo grado) Chiedere agli alunni di creare tre o piu testi di problemi la cui risoluzione porti all equazione assegnata loro Risolvere l equazione 49

50 Richiami ai PRODOTTI NOTEVOLI: formulario Discalculia Evolutiva Fornasiero Marianna

51 Bibliografia 1. La discalculia e altre difficoltà in matematica Dario Ianes, Daniela Lucangeli, Irene C. Mammarella 2. L'intelligenza numerica - volume 4 Daniela Lucangeli, Carla Bertolli, Adriana Molin, Silvana Poli 3. Test SPM (CD-ROM) Daniela Lucangeli, Patrizio Emanuele Tressoldi, Michela Cendron, Laura Bertolo, Francesca Potenza, Maria Rita Stocchi 4. Test AC-MT Test di valutazione delle abilità di calcolo e problem solving, Cesare Cornoldi, Chiara Cazzola 5. Didattica per la discalculia - Attività pratiche per gli alunni con DSA in matematica, Brian Butterworth, Dorian Yeo 6. Numeri e calcolo-lo sviluppo delle competenze aritmetiche e la discalculia evolutiva, Brian Butterworth 7. Collana STRUMENTI PER LA DIDATTICA DELLA MATEMATICA Diretta da Bruno D'Amore 8. Collana "Programmi di potenziamento della cognizione numerica e logico-scientifica" diretta da Daniela Lucangeli 9. Mate+ -Vol. 2, Adriano Demattè, Calcolare a mente 10. Esercizi secondo l'approccio analogico-intuitivo, Camillo Bortolato

52 Sitografia --> DSA sito A.I.D. sito Le Ali sezione Docet e scuola (in inglese) o

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