Esercizi di Matematica Finanziaria su foglio elettronico Excel

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1 Esercizi di Matematica Finanziaria su foglio elettronico Excel Antonella Basso Riccardo Gusso Pierangelo Ciurlia Dipartimento di Matematica Applicata e SSAV Università Ca Foscari di Venezia (Maggio 2006) I Quaderni di Didattica sono pubblicati a cura del Dipartimento di Matematica Applicata dell Università di Venezia. I lavori riflettono esclusivamente le opinioni degli autori e non impegnano la responsabilità del Dipartimento. I Quaderni di Didattica vogliono promuovere la circolazione di appunti e note a scopo didattico. Si richiede di tener conto della loro natura provvisoria per eventuali citazioni o ogni altro uso.

2 Introduzione Questa dispensa si propone di presentare e commentare lo svolgimento di alcuni esercizi di matematica finanziaria con l ausilio di un foglio di calcolo elettronico. Data la grande diffusione del software per ufficio Microsoft Office si è scelto nell esposizione di utilizzare il foglio elettronico Excel. Tuttavia, quasi tutte le procedure risolutive utilizzate possono essere implementate allo stesso modo anche su altri fogli di calcolo, ad esempio sul foglio elettronico Calc del software gratuito per ufficio Openoffice. La maggior parte degli esercizi sono tratti dai compiti d esame dei corsi di Matematica Finanziaria I e Metodi Matematici dell Economia e delle Scienze Attuariali e Finanziarie I dell Università Ca Foscari di Venezia, e presuppongono la conoscenza degli argomenti trattati nel libro di testo Basso A., P. Pianca (2004), Appunti di Matematica Finanziaria, CEDAM, Padova. Questa dispensa è rivolta principalmente agli studenti del corso di Matematica Finanziaria I. Tuttavia riteniamo che, per gli argomenti trattati negli esercizi e per l utilizzo di strumenti software di uso ricorrente nella pratica finanziaria, essa possa essere utile anche a chi, nella propria attività lavorativa, è chiamato a risolvere problemi di matematica finanziaria. 1 Esercizio sui regimi finanziari Tra le diverse forme di investimento proposte ai risparmiatori dalle Poste Italiane, figurano i Buoni Fruttiferi Postali Ordinari. Questa tipologia di investimento ha una durata massima di venti anni nei quali frutta interessi in regime di interesse composto in base ad un tasso annuo crescente nel tempo. I Buoni Postali Ordinari diventano infruttiferi dal giorno successivo alla scadenza di 20 anni e trascorsi ulteriori 10 da tale scadenza si prescrivono. Nella tabella che segue sono riportati i tassi nominali annui (lordi) di interesse dei Buoni Fruttiferi Postali Ordinari serie B17: Tasso annui lordi Periodo di possesso 1.70% alla fine del 1 anno 1.80% nel 2 anno 1.90% nel 3 anno 2.15% nel 4 e 5 anno 2.55% nel 6 e 7 anno 2.85% nel 8 e 9 anno 3.05% negli anni dal 10 al % negli anni dal 15 al 20 Si determinino il montante e il tasso di rendimento medio annuo (al lordo e al netto della ritenuta fiscale del 12.5% sugli interessi maturati), supponendo che un risparmiatore intenda detenere i Buoni Postali Ordinari per un durata di T anni, con T = 1,..., 20. 1

3 Si calcoli inoltre dopo quanto tempo il montante fornito dai Buoni Fruttiferi Postali Ordinari supera del 50% il capitale iniziale. Soluzione. Nella figura 1 sono mostrati i montanti finali MT l e Mn T e i tassi effettivi di rendimento i l eff e in eff, rispettivamente al lordo e al netto della ritenuta fiscale, effettuata applicando l aliquota γ = 12.5%, ottenuti impostando i calcoli su un foglio elettronico a partire dalla tabella dei tassi annui lordi, riportata per ogni durata T nella colonna B, e supponendo che il risparmiatore abbia investito un capitale iniziale C 0 = 1000 euro. Figura 1: Montanti finali e tassi effettivi di rendimento (lordi e netti) dell investimento in Buoni Postali Fruttiferi Ordinari (Esercizio 1). Indicati con i k, con k = 1,..., T, i tassi annui (lordi) di interesse, in regime di interesse composto il montante finale lordo al tempo T, con T = 1,..., 20, è definito dalla seguente relazione T MT l = M 0 (1 + i k ), (1) k=1 dove M 0 = C 0 è il capitale iniziale depositato all epoca 0. Sfruttando la proprietà di scindibilità, è possibile riscrivere la precedente equazione nella forma 2

4 M l T T 1 = M 0 (1 + i k )(1 + i T ) k=1 = M l T 1(1 + i T ). (2) Pertanto, fissato il valore del capitale iniziale C 0 (cella B2) e calcolato il montante finale alla epoca T = 1 con la formula C10 = C9*(1+B10), si può ricavare facilmente la colonna dei montanti finali lordi copiando la formula della cella C10 nelle celle da C11 a C29. Per la determinazione del montante finale netto all epoca T, MT n, si può utilizzare la seguente relazione MT n = C 0 + (1 γ) ( MT l ) C 0, (3) da cui si ricava che la formula per il calcolo di M n 1 è D10 = $D$9 + (1 $B$3)*(C10 $D$9). Analogamente, copiando nelle celle da D11 a D29 la formula della cella D10, si ottengono i montanti finali netti. Noti i montanti finali lordo e netto si possono determinare i corrispondenti tassi effettivi di rendimento in regime di interesse composto in base alle seguenti relazioni i l eff = i n eff = ( M l T C ( M n T C ) 1 T 1, (4) ) 1 T 1. (5) Con riferimento all epoca T = 1, i tassi effettivi di rendimento lordo e netto sono calcolati rispettivamente con le formule E10 = (C10/$C$9)ˆ(1/A10) 1, F10 = (D10/$D$9)ˆ(1/A10) 1. Le celle da E11 a E29 e da F11 a F29 si ricavano copiando le formule delle celle E10 e F10, rispettivamente. Per determinare la durata in corrispondenza alla quale il montante netto dei Buoni Postali supera del 50% il capitale iniziale, supponiamo di utilizzare il regime dell interesse composto per il calcolo degli interessi anche nel caso in cui il montante venga prelevato in corso d anno. Come si osserva nella figura 1, tale durata T è compresa tra 16 e 17 anni. Possiamo perciò scrivere T = 16 + τ, dove 0 < τ < 1 rappresenta la frazione di anno oltre 3

5 il 16 e si può determinare utilizzando l equazione (3) con M n T = 3 2 C 0. Pertanto, il valore di τ si può ricavare risolvendo l equazione dove C 0 2 = ( MT l C ) 0 (1 γ), (6) M l T = Ml τ = τ. Sostituendo tale espressione nell equazione (6) si ottiene e con alcuni passaggi algebrici si ricava e quindi risulta 500 = ( τ 1000)0.875, τ = τ = = log log = Pertanto, il montante netto dei Buoni Postali Fruttiferi Ordinari supera del 50% il capitale iniziale per durate superori a T = 16 anni giorni. 2 Esercizio sui regimi finanziari In previsione di intraprendere un nuovo progetto di investimento, un imprenditore programma di costituire un capitale di euro tra 5 anni e mezzo mediante cinque versamenti di ammontare decrescente in progressione aritmetica di ragione pari a 1500 euro. Si trovi l ammontare dei singoli versamenti sapendo che il primo viene versato subito, il secondo fra un anno e mezzo, il terzo fra 3 anni, il quarto fra 4 anni e mezzo e il quinto alla scadenza e che la società finanziaria italiana presso cui i versamenti vengono depositati remunera i fondi in base alla legge di capitalizzazione continua ad un tasso anno istantaneo δ = Si consideri inoltre l alternativa che prevede di effettuare, alle stesse epoche e in modo che risultino ancora decrescenti in progressione aritmetica di ragione pari a 1500 euro, dei versamenti presso una società finanziaria statunitense che remunera i depositi in dollari in base alla legge di capitalizzazione composta ad un tasso annuo del 5.5%. Si calcoli l ammontare in euro delle rate da versare con questa alternativa e il loro controvalore in dollari, sapendo che il tasso di cambio euro/dollaro all epoca del primo versamento è 1 euro = dollari e che nei prossimi anni ci si attende una rivalutazione del dollaro nei confronti dell euro in base ad un tasso medio annuo del 2%. Si stabilisca infine quale delle due alternative è più vantaggiosa. Soluzione. Indicato con R 1 l importo del primo versamento e con z = 1500 euro la ragione della progressione aritmetica, i versamenti da effettuare presso la società finanziaria 4

6 italiana possono essere scritti in funzione di R 1 e z come segue R k = R 1 (k 1)z, k = 1, 2, 3, 4, 5. Figura 2: Importo dei versamenti R k da effettuare presso la società finanziaria italiana (Esercizio 2). L equivalenza finanziaria richiede che all epoca finale T = 5.5 e in regime di interesse composto al tasso istantaneo di interesse δ = 0.065, il montante M = euro eguagli la somma dei montanti dei versamenti effettuati {(R k, t k ), k = 1,..., 5}, ossia M = R 1 e δ(t t 1) + R 2 e δ(t t 2) + R 3 e δ(t t 3) + R 4 e δ(t t 4) + R 5 e δ(t t 5) = R 1 e δ (R 1 z)e δ 4 + (R 1 2z)e δ (R 1 3z)e δ + (R 1 4z) = R 1 [ e δ e δ 4 + e δ e δ + 1 ] z [ e δ 4 + 2e δ e δ + 4 ]. (7) Nella figura 2 sono riportati i risultati ottenuti impostando i calcoli con un foglio elettronico. Le celle da C2 a C7 sono relative ai dati del problema mentre nelle celle da C20 a C24 sono mostrati gli importi dei versamenti R k. Al fine di determinare il valore del primo versamento R 1, occorre procedere al calcolo delle due sommatorie raccolte all interno delle parentesi quadre dell equazione (7). Per far questo è sufficiente calcolare il primo termine della 1 a e della 2 a sommatoria come segue C10 = EXP($C$4*($B$14 B10)), D10 = (A10 1)*EXP($C$4*($B$14 B10)), 5

7 e ricavare tutti gli altri termini copiando nelle celle da C11 a C14 e da D11 a D14 le formule delle celle C10 e D10, rispettivamente. E ora possibile determinare il valore di R 1 nel seguente modo C20 = (C2 + C3*SOMMA(D10:D14))/SOMMA(C10:C14). Noto il valore di R 1 = e calcolato l importo di R 2 con la formula C21 = $C$20 (A21 1)*$C$3, si ricavano agevolmente gli importi degli altri versamenti R k copiando nelle celle da C22 a C24 la formula della cella C21. Scriviamo ora l equivalenza finanziaria nell ipotesi che i versamenti, indicati con R k e ancora decrescenti in progressione aritmetica di ragione z, siano effettuati alle stesse epoche 1 t k presso la società finanziaria statunitense. Indicato con S t1 = il tasso di cambio vigente all epoca t 1 = 0, espresso in termini di unità di moneta nazionale (euro) necessarie per acquistare un unità di valuta estera (dollari), l andamento nel tempo del tasso di cambio S tk è del tipo S tk = S t1 (1 + ex) t k t 1, k = 1,..., 5 dove ex = 0.02 è il tasso medio annuo previsto per la rivalutazione del dollaro. Ne segue che 1/S tk è il tasso di cambio all epoca t k espresso in termini di unità di valuta estera ottenibile cedendo un unità di moneta nazionale. Tenendo conto delle variazioni nel tempo del tasso di cambio, il controvalore in dollari del montante M deve eguagliare la somma dei montanti dei controvalori in dollari dei versamenti {(R k, t k), k = 1,..., 5}, dove la capitalizzazione è effettuata in regime di interesse composto al tasso annuo di interesse per i depositi in dollari i F = 5.5%. Deve perciò valere l equazione R 1 1 (1 + i F ) (T t1) + R 1 2 (1 + i F ) (T t2) + R 1 3 (1 + i F ) (T t3) + S t1 S t2 S t3 + R 4 1 (1 + i F ) (T t4) + R 1 5 (1 + i F ) (T t5) = M 1. (8) S t4 S t5 S T Pertanto, l importo in euro del primo versamento R 1, nell ipotesi che i versamenti vengano effettuati presso la società finanziaria statunitense, si trova risolvendo la seguente equazione: [ 1 R 1 (1 + i F ) (1 + i F ) (1 + i F ) (1 + i F ) + 1 ] S t1 S t2 S t3 S t4 = M 1 S T + z [ 1 S t2 (1 + i F ) S t3 (1 + i F ) S t4 (1 + i F ) + 4 S t5 S t5 ]. (9) Nella figura 3 sono mostrati i tassi di cambio, S tk e 1/S tk, e gli importi R k e = R k e R $ k, rispettivamente in euro e in dollari, dei versamenti da effettuare alle epoche t k presso la società finanziaria statunitense. All epoca iniziale t 1 = 0, i tassi di cambio S t1 e 1/S t1 sono rispettivamente ottenuti come segue 6

8 C28 = $C$6*(1+$C$7)ˆ(B28), D28 = 1/C28. Copiando nelle celle da C29 a C32 e da D29 a D32 rispettivamente le formule delle celle C28 e D28, si ricavano i valori delle due formulazioni dei tassi di cambio in corrispondenza delle diverse epoche di pagamento t k. Al fine di determinare agevolmente l importo in euro del primo versamento R 1, sono stati calcolati e mostrati sul foglio elettronico i valori dei termini all interno delle parentesi quadre presenti in entrambi i membri dell ultima equazione. Per calcolare il primo termine del membro di sinistra e del membro di destra si utilizzano rispettivamente le seguenti formule C36 = D28*(1+$C$5)ˆ($B$40 B36), D36 = (A28 1)*D28*(1+$C$5)ˆ($B$32 B28). Figura 3: Importo dei versamenti R k da effettuare presso la società finanziaria statunitense (Esercizio 2). Gli altri termini si ottengono copiando nelle celle da C37 a C40 e da D37 a D40 le formule delle celle C36 e D36, rispettivamente. Ne segue che, ottenuto R 1 = con la formula C47 = (C2*D32 + C3*SOMMA(D36:D40))/SOMMA(C36:C40), 7

9 gli importi in euro degli altri versamenti si ricavano in modo analogo a quanto visto in precedenza per i versamenti R k. Il controvalore in dollari dei versamenti in euro è R k $ = R e k 1, k = 1,..., 5. S tk Pertanto, è sufficiente calcolare il primo importo R $ 1 D47 = C47*D28; mediante la formula copiando nelle celle da D48 a D51 la formula della cella D47 si ottengono gli importi in dollari degli altri versamenti. Dal confronto dell ammontare dei versamenti in euro dovuti alle diverse epoche di pagamento (ossia, confrontando le celle da C20 a C24 per l alternativa I con le corrispondenti celle da C47 a C51 per l alternativa II), si evince che l alternativa I richiede versamenti tutti di importo superiore rispetto a quelli della seconda; è perciò quest ultima l alternativa da preferire. 3 Esercizio sulle rendite Un risparmiatore versa in banca alla fine di ogni mese e per tre anni delle somme in progressione aritmetica di ragione 100 e primo versamento pari a 500 euro. Nei successivi due anni versa alla fine di ogni trimestre delle somme in progressione geometrica di ragione 1.2 con primo versamento pari a 700 euro. Sapendo che la banca remunera il denaro con un tasso annuo di interesse del 3% nel primo triennio e del 4% nel biennio successivo, si calcoli il montante alla fine del quinquennio. Si calcoli inoltre quante rate mensili posticipate di euro ciascuna il risparmiatore potrà prelevare a partire dalla fine del quinquennio prima di esaurire la somma accumulata se il tasso d interesse dopo il quinquennio continua ad essere del 4%. Soluzione. Il montante della rendita con rate variabili in progressione aritmetica di ragione z = 100 e primo versamento R 1 = 500 alla fine del quinquennio è M5 a = V0 a ( ) 3 ( ) i 1 + ĩ, (10) dove i = 0.03, ĩ = 0.04 e V a 0 si può calcolare con la formula sintetica V a 0 = R 1 a n i12 + z a n i 12 nv n i 12, (11) con n = 36, i 12 = (1 + i) 1/ e v = (1 + i 12 ) 1. Notiamo che il valore attuale della rendita con rate variabili in progressione aritmetica V0 a si può calcolare in modo equivalente con la formula estesa V a 0 = 36 k=1 [ R1 + (k 1)z ]( 1 + i 12 ) k. (12) 8

10 Figura 4: Calcolo del valore attuale e del montante della rendita con rate variabili in progressione aritmetica (Esercizio 3). Nella figura 4 sono riportati i risultati ottenuti impostando i calcoli con un foglio elettronico. Nelle celle da C3 a C7 sono mostrati i dati relativi alla rendita in progressione aritmetica mentre nella cella C9 è calcolato il tasso mensile. Al fine di determinare il valore attuale della rendita V0 a in base all equazione (12), occorre procedere al calcolo dell importo e del valore attuale delle singole rate R k, con k = 1,..., 36. Noto il valore della prima rata R 1, copiato nella cella C13, e calcolato l importo della seconda rata R 2 con la formula C14 = C13+$C$4, si ricavano agevolmente gli importi degli altri versamenti R k copiando nelle celle da C15 a C48 la formula della cella C14. Per determinare il valore attuale delle singole rate è sufficiente calcolare il valore attuale della prima rata mediante la formula D13 = C13*(1 + $C$9)ˆ( B13), e ricavare tutti gli altri termini copiando nelle celle da D14 a D48 la formula della cella D13. Sommando i valori delle celle da D13 a D48 si trova V0 a = e applicando l equazione (10) otteniamo M5 a =

11 Per il calcolo del valore attuale all inizio del quarto anno della rendita con rate variabili in progressione geometrica di ragione q = 1.2 e primo versamento R 1 = 700, si utilizza la seguente formula V b 3 = R 1 v 1 (qv)n, se qv 1 1 qv n R 1 v, se qv = 1. dove n = 8, v = (1+ĩ 4 ) 1 e ĩ 4 = (1+ĩ) 1/ Equivalentemente, è possibile ricavare il valore V4 b utilizzando la seguente espressione V b 4 = (13) 8 ( R1 q j 1)( ) j. 1 + ĩ 4 (14) j=1 La figura 5 mostra i calcoli relativi alla determinazione del valore attuale e del montante della rendita in progressione geometrica. Nelle celle da C56 a C59 sono riportati i dati della rendita e nella cella C61 è determinato il tasso trimestrale. Noto il valore della prima rata R 1, si procede al calcolo dell importo della seconda rata R 2 con la formula ricorsiva C66 = C65*$C$57, e successivamente si ricavano gli importi delle altre rate R j copiando nelle celle da C67 a C72 la formula della cella C66. In modo analogo a quanto fatto in precedenza, si calcola il valore attuale delle singole rate nelle celle da D65 a D72 e sommando gli importi così ottenuti si ricava V4 b = Il montante alla fine del quinquennio della rendita con rate variabili in progressione geometrica è dato da M b 5 = V b 4 ( 1 + ĩ ) 2 = Per il calcolo del montante complessivo alla fine del quinquennio è sufficiente sommare i montanti alla fine del 5 anno della prima rendita e della seconda rendita, ossia M 5 = M a 5 + M b 5 =

12 Figura 5: Calcolo del valore attuale e del montante della rendita con rate variabili in progressione geometrica (Esercizio 3). Cerchiamo ora di determinare il numero massimo di rate di uguale importo P = euro che si possono prelevare alla fine di ogni mese prima di esaurire la somma S = M 5 accumulata alla fine del quinquennio. Indicato con n tale numero, deve essere rispettata la limitazione S Pa n ĩ 12, dove ĩ 12 = (1 + ĩ) 1/ Con alcuni passaggi si ricava la seguente formula log ( 1 Sĩ 12 /P ) n = log ( 1 + ĩ 12 ), (15) dove x indica la parte intera del numero reale x. Notiamo che l interesse maturato sul deposito iniziale, S ĩ , risulta minore dell importo P, per cui non è possibile effettuare un numero illimitato di prelievi periodici. 11

13 Figura 6: Ricerca del numero di rate della rendita mensile posticipata a rata costante (Esercizio 3). I calcoli relativi alla determinazione del numero massimo di rate n sono mostrati nella figura 6. Le celle da C84 a C87 riportano i dati del problema e nelle celle C90 e C91 sono calcolati rispettivamente il tasso mensile i 12 e l interesse mensile maturato sulla somma S. Per la determinazione del numero di rate n si può utilizzare la seguente funzione finanziaria di Excel NUM.RATE(Tasso interesse; Pagamento; Valore attuale; [Valore futuro]; [Tipo]), la quale restituisce il numero di periodi relativi a un investimento che prevede pagamenti periodici di importo costante e un tasso di interesse costante. L ultimo argomento della funzione NUM.RATE indica la scadenza dei pagamenti ed assume il valore logico 1 o 0 a seconda che i pagamenti vengano effettuati rispettivamente all inizio o alla fine del periodo di tempo considerato. Notiamo inoltre che gli argomenti indicati tra parentesi quadre possono essere omessi e che gli argomenti che rappresentano esborsi in contanti, quali ad esempio i pagamenti, devono essere rappresentati da numeri negativi. Sostituendo agli argomenti specificati nell apposita finestra della funzione NUM.RATE i valori relativi al problema otteniamo il seguente risultato C94 = NUM.RATE(C90;-C84;C85;;0) = Pertanto, possono essere effettuati 124 prelievi mensili. 12

14 4 Esercizio sulle rendite All età di 45 anni un lavoratore stipula con una società finanziaria un contratto che lo impegna ad effettuare per 20 anni dei versamenti all inizio di ogni semestre di importo pari a 1000 euro in un Fondo remunerato al tasso del 4% annuo. In cambio, a carico della società finanziaria e a favore del lavoratore sono previste le seguenti prestazioni: il pagamento all epoca del pensionamento del lavoratore (alla fine del 65 anno di età) del 50% dell ammontare raggiunto dal Fondo e la corresponsione nei successivi 20 anni di una rendita mensile a rata costante posticipata. Si calcoli il valore di tale rata. Si determini inoltre quale dovrebbe essere l epoca di pensionamento affinché l importo della rata mensile fosse di 250 euro, supponendo che il pensionamento possa avvenire solo in corrispondenza del 30 giugno e del 31 dicembre di ciascun anno. Soluzione. L ammontare raggiunto dal Fondo all epoca del pensionamento del lavoratore (alla fine del 65 anno di età) rappresenta il montante di una rendita semestrale anticipata a rata costante R = 1 000, ossia: M = R s n i2, (16) dove n = 40 e i 2 = (1 + i) 1/ , con i = Figura 7: Calcolo del montante della rendita semestrale anticipata (Esercizio 4). Nella figura 7 sono mostrati i calcoli ottenuti con il foglio elettronico. I dati del problema 13

15 sono indicati nelle celle da C3 a C5 mentre nella cella C7 è calcolato il tasso semestrale equivalente al tasso i. Per la determinazione del montante della rendita semestrale anticipata si può applicare la funzione finanziaria di Excel VAL.FUT(Tasso interesse; Periodi; Pagamento; [Valore attuale]; [Tipo]), che restituisce il valore futuro di un investimento sulla base di pagamenti periodici di importo costante e di un tasso di interesse costante. Sostituendo agli argomenti della funzione i dati relativi al problema si ottiene C9 = VAL.FUT(C7;C5;-C3;;1) = Figura 8: Calcolo della rata costante della rendita mensile posticipata (Esercizio 4). Si noti che all argomento Tipo è stato attribuito il valore logico 1, essendo i pagamenti effettuati all inizio di ogni semestre. Per calcolare invece il valore attuale di un investimento sulla base di pagamenti periodici di importo costante e di un tasso di interesse costante si può ricorrere alla seguente funzione finanziaria di Excel VA(Tasso interesse; Periodi; Pagamento; [Valore futuro]; [Tipo]). La rata costante R della rendita mensile posticipata, corrisposta al termine della vita lavorativa per una durata di 20 anni, è data da R = S a n i 12, (17) 14

16 dove S = (1 0.5)M, n = 240 e i 12 = (1 + i) 1/ La figura 8 riporta i calcoli effettuati sul foglio elettronico. In Excel, per la determinazione della rata costante R si può utilizzare la seguente funzione finanziaria RATA(Tasso interesse; Periodi; Valore attuale; [Valore futuro]; [Tipo]), che calcola la rata di pagamento di un prestito sulla base di pagamenti di importo costante e di un tasso di interesse costante. Assegnati i valori del problema agli argomenti specificati nella finestra della funzione RATA si ottiene il risultato C19 = RATA(C17;C15;-C14;;0) = Per poter invece percepire una rendita mensile posticipata a rata costante R = 250, il lavoratore dovrebbe corrispondere durante l età lavorativa un numero n di rate semestrali anticipate di importo costante R = 1000 euro tale che cioè 1 2 R s n i a n i 12, (18) [ ] i2 250 a n log i 12 n (1 + i 2 )R/2 + 1 = log(1 + i 2 ) = = 49. Pertanto, il lavoratore dovrebbe andare in pensione all età di =69.5 anni, ossia il 30 giugno del suo 70 anno di vita. 5 Esercizio sulle rendite Al fine di promuovere e sostenere lo sviluppo delle piccole e medie imprese del settore terziario una banca persegue un programma di finanziamenti agevolati. Nel caso specifico di un impresa di commercio, che aveva la necessità di rifornire il proprio magazzino di nuove scorte, è stato concesso un finanziamento di euro con l impegno di restituirlo mediante 14 versamenti mensili posticipati di 1000 euro ciascuno. Si vuole determinare il tasso di costo del finanziamento. Soluzione. Il fattore a n i12 può essere espresso come funzione del tasso di costo del finanziamento su base mensile i 12, ossia a n i12 = f(i 12 ) = 1 (1 + i 12) n i 12. (19) Ne segue che, per determinare il tasso incognito i 12, occorre risolvere l equazione a n i12 = V 0 R, (20) 15

17 dove n = 14, V 0 = e R = 1 000, rispetto al tasso di interesse mensile i 12. Figura 9: Ricerca del tasso di costo del finanziamento mediante il comando Ricerca obiettivo (Esercizio 5). Nella figura 9 sono riportati i calcoli effettuati sul foglio elettronico. Le celle da C3 a C5 contengono i dati relativi al problema e nella cella C8 è calcolato il valore V 0 /R. Utilizzando l espressione (19) e un valore iniziale del tasso mensile i 12, ad esempio 0.01 come riportato nella cella C13, si può calcolare il valore del fattore a n i12 mediante la formula C10 = (1 (1 + C13)ˆ( C5))/C13. Si noti che nella cella C14 è stato calcolato il tasso di costo del finanziamento su base annua sfruttando la relazione tra tassi equivalenti e il valore iniziale di i 12. Al fine di determinare il valore di i 12 tale per cui a n i12 = 12.5 si può ricorrere al comando Ricerca obiettivo del menù Strumenti di Excel, che permette di ricavare il valore di una variabile che risolve un equazione assegnata, ossia il valore di x tale per cui f(x) = b. Nella finestra di dialogo Ricerca obiettivo la voce Imposta la cella rappresenta il riferimento alla forma della funzione, la cella Al valore rappresenta il valore che vogliamo assuma la funzione data e infine la cella Cambiando la cella rappresenta il riferimento al valore iniziale della variabile. Si noti che la prima voce deve contenere una formula mentre le restanti due voci richiedono dei valori. 16

18 Figura 10: Ricerca del tasso di costo del finanziamento mediante la funzione finanziaria TASSO (Esercizio 5). Dopo aver inserito nelle voci della finestra di dialogo gli opportuni riferimenti di cella, come mostrato in figura 9, si ottiene che il tasso cercato è i 12 = , che corrisponde ad un tasso del 20.25% su base annua. Come si osserva nella figura 10, il valore di i 12 trovato mediante l utilizzo del comando Ricerca obiettivo viene sostituito automaticamente al valore iniziale i 12 = 0.01 (cella C13). Un modo equivalente per trovare il tasso di costo del finanziamento i 12 si basa sull utilizzo della seguente funzione finanziaria di Excel TASSO(Periodi; Pagamento; Valore attuale, [Valore futuro]; [Tipo]; [Ipotesi]), che restituisce il tasso di interesse periodico di un investimento con pagamenti di importo costante in ciascun periodo. Inserendo nella finestra di dialogo, come mostrato in figura 10, gli opportuni valori degli argomenti richiesti dalla funzione si ottiene il valore di i 12 C19 = TASSO(C5;-C4;C3;;0) =

19 6 Esercizio sugli ammortamenti Un imprenditore ottiene da un istituto di credito un prestito di euro, che rimborserà in 4 rate semestrali anticipate di importo costante in base al tasso di interesse annuo dell 8%. Si rediga il piano di ammortamento del prestito, indicando per esteso come sono stati effettuati i calcoli di almeno due righe del piano stesso. Si valuti inoltre il valore residuo del prestito dopo undici mesi al tasso di valutazione del 7% annuo. Si calcoli infine l importo che l imprenditore avrebbe dovuto richiedere a prestito per ricevere all epoca iniziale un importo effettivo di euro (al netto della rata iniziale). Soluzione. Innanzitutto, data la periodicità delle rate è necessario calcolare il tasso equivalente su base semestrale i 2 = (1 + i) Per determinare poi l importo della rata costante possiamo sfruttare l equivalenza finanziaria fra la somma mutuata e il valore attuale delle rate 3 S = R k (1 + i 2 ) k = R ä 4 i2 (21) k=0 da cui si ricava immediatamente l importo R = S = (22) ä 4 i Per completare il piano di ammortamento, dato che siamo nel caso di rate anticipate, è opportuno cominciare dalla fine. Dovendo essere D 3 = 0, dalla relazione generale Ïk = D k i i 2, si ha immediatamente Ï3 = 0, e quindi C3 = R Ï3 = R; ed inoltre si ha subito D 2 = D 3 = D 3 + C 3 = C 3 = R. Possiamo a questo punto ricavare Ï2 da D 2 e ripetere il ragionamento appena visto, fino a completare tutto il piano. Vediamo come è possibile completare il piano attraverso l utilizzo di Excel. Innanzitutto scriviamo la colonna relativa agli importi delle rate, costanti per ogni epoca, che abbiamo sopra calcolato. 18

20 Figura 11: Inserimento della rata costante (Esercizio 6). Dopodiché cominciamo a riempire dal basso la tabella inserendo in ogni cella la formula che permette di calcolare l importo della grandezza corrispondente: nella cella K5 inseriremo il valore corretto per D 3, cioè 0; nella cella I5 la formula per l interesse, cioè = K5 $B$3; nella cella H5 la formula per la quota capitale, cioè = G5 I5, ed infine nella cella J5 la formula per il debito residuo immediatamente prima del pagamento della terza rata, cioè = K5 + H5. Figura 12: Completamento dell ultima riga del piano di ammortamento (Esercizio 6). A questo punto per completare in modo semi-automatico il piano, basta spostarsi nella cella K4 ed inserire la formula che esprime il fatto che il debito residuo subito dopo il pagamento della seconda rata è uguale a quello immediatamente prima del pagamento della terza rata, cioè = J5, e successivamente fare copia e incolla nelle celle della penultima riga usando quelle dell ultima riga, mantenendo l ordine visto sopra: cioè prima copiamo I5 in I4, poi H5 in H4, e così via fino alla prima riga. Se non abbiamo commesso errori, l ultima cella che andremo a riempire, cioè J2, dovrà restituire il valore della somma mutuata. 19

21 Figura 13: Completamento del piano di ammortamento (Esercizio 6). Questo metodo però può andar bene quando il numero di epoche non è elevato, altrimenti è preferibile avere a disposizione un modo completamente automatico per redigere il piano di ammortamento. A tale scopo ricordiamo che per i piani a rate anticipate vale la relazione D k+1 = (D k R k )(1 + i 2 ), da cui è possibile ricavare i debiti residui alle varie epoche note le rate. Possiamo dunque procedere in questo modo: una volta inseriti i valori nella colonna delle rate, immettiamo il valore noto di D0 nella cella J2, dopodiché inseriamo nella cella J3 la formula precedente, cioè = (J2 G2) (1+$B$2), e con un copia e incolla nelle celle sottostanti ricaviamo immediatamente i valori di D k alle varie epoche (si veda la Figura 14). Figura 14: Calcolo dei debiti residui (Esercizio 6). A questo punto possiamo ricavare le quote capitale come differenza tra debiti residui ad epoche successive; immettendo la formula J2 J3 nella cella H2 e copiandola ed incollandola nelle celle sottostanti ricaviamo quindi tutte le quote capitale. In modo analogo si ottengono le quote interesse e i debiti residui immediatamente dopo il pagamento delle rate. 20

22 Figura 15: Completamento automatico del piano di ammortamento (Esercizio 6). Per calcolare il valore residuo del prestito osserviamo che dopo 11 mesi resteranno da pagare solo due rate, e quindi il valore residuo sarà V = R((1 + r) (1 + r) 7 12) , (23) dove r è il tasso di valutazione annuo. Infine, per rispondere all ultima domanda osserviamo che per ricevere euro al netto della prima rata si sarebbe dovuto richiedere una cifra S tale che S = R, dove R è la nuova rata costante del piano di ammortamento, che quindi deve soddisfare all equivalenza finanziaria S = R ä 4 i2. Queste due relazioni insieme formano un sistema lineare di due equazioni in due incognite facile da risolvere, che fornisce come soluzione S = Esercizio sui prestiti obbligazionari Il giorno 19/12/2005 un B.T.P. di valore nominale 100 che paga cedole semestrali in data 01/01 e 01/07 in base al tasso nominale annuo convertibile semestralmente dell 8.75% e verrà rimborsato alla pari il 01/07/2006 è quotato euro (corso secco); l aliquota di tassazione è pari al 12.5%. Si calcolino il tasso di rendimento alla scadenza su base annua e la durata media finanziaria dell obbligazione in tale data (nell ipotesi che questa sia la data di regolazione degli scambi). Si dia inoltre una stima della variazione che il prezzo del titolo subisce in seguito ad un aumento del tasso di interesse di mercato di su base annua. Soluzione. L ammontare netto delle cedole è dato da Ced = F r

23 Per calcolare i dietimi di interesse osserviamo che dallo stacco dell ultima cedola sono trascorsi = 168 giorni (usando la regola 30/360) per cui essi sono dati da Die = Ced Possiamo a questo punto ricavarci il prezzo tel quel: P tq = P s + Die = Dato che il B.T.P. viene rimborsato alla pari si ha che il prezzo di rimborso netto è dato da CN = 100 max{0, } = 100. Per trovare il tasso semestrale di rendimento alla scadenza, dato che mancano solo due cedole alla scadenza del B.T.P., dobbiamo quindi trovare il valore di i 2 che verifica l equivalenza finanziaria = a 2 i2 (1 + i 2 ) (1 + i 2 ) Definiamo f(i 2 ) := a 2 i2 (1 + i 2 ) (1 + i 2 ) che (24) Osserviamo d di a n i(1+i) t = d di [(1+i)t 1 + +(1+i) t n ] = (1 t)(1+i) t 2 (n t)(1+i) t n 1 e quindi se 0 < t < 1 si ha d di a n i(1 + i) t < 0, da cui ovviamente deduciamo subito anche df di 2 < 0. A questo punto, sfruttando la decrescenza di f rispetto ad i 2 possiamo calcolare il tasso di rendimento alla scadenza tramite una procedura iterativa: utilizziamo come stima iniziale i (0) 2 = Ced + (CN P s)/ (CN + P s )/3 e cerchiamo uno zero di f(i 2 ); si ha f(i (0) 2 ) ; dato che f(i(0) 2 ) < 0 per avvicinarci allo zero della funzione dovremo prendere un valore i (1) 2 un po più piccolo di i (0) 2 ; provando con i(1) 2 = si ottiene f(i (1) 2 ) Diminuendo ancora un po scegliamo i (2) 2 = 0.008, e otteniamo f(i (2) 2 ) che può già, ai nostri fini, essere considerata una buona approssimazione dello zero della funzione. Tuttavia, allo scopo di ottenere una migliore precisione, effettuiamo un altra iterazione prendendo i (3) 2 = 0.007, ottenendo f(i (3) 2 ) 0, , da cui deduciamo che lo zero della funzione verrà realizzato da un valore compreso fra e 0.007, e dunque una stima migliore si avrà prendendo la media di questi due valori, cioè i 2 = , cui corrisponde su il tasso su base annua i = Il procedimento sopra descritto si può facilmente implementare in Excel, inserendo in una colonna la formula della funzione, e nell altra il valore iniziale del tasso, dopodiché 22

24 basterà inserire i successivi valori del tasso sotto quello iniziale e nell altra colonna con un semplice copia e incolla otterremo il valore corrispondente della nostra funzione. Figura 16: Metodo iterativo (Esercizio 7). Possiamo tuttavia ottenere una migliore stima di i 2 utilizzando il risolutore 1 di Excel: a tale scopo copiamo il valore di partenza per il tasso di interesse nel metodo iterativo e l espressione della funzione f(i 2 ) nelle celle F8 e H8 rispettivamente, e applichiamo a quest ultima il risolutore imponendo che la cella obiettivo assuma il valore 0 cambiando la cella F8 corrispondente al tasso di interesse (si veda la figura Figura 17). Si ottiene in questo modo un valore di i , per il quale la nostra funzione assume il valore 3, , e dunque ci siamo avvicinati molto di più allo zero. Su base annua questo corrisponde a un tasso di rendimento alla scadenza i = Un metodo alternativo è quello di utilizzare la funzione REND che fa parte delle funzioni finanziarie di Excel: per utilizzarla clicchiamo sul pulsante con il simbolo di funzione nella barra della formula, e nella maschera di scelta che compare a video selezioniamo la categoria funzioni finanziarie, e poi la funzione REND. A questo punto dobbiamo inserire i valori necessari per il calcolo dello ytm; si noti che come tasso di interesse va inserito il tasso cedolare netto, il numero di rate deve essere posto uguale a 2, dato che stiamo considerando cedole semestrali, e la base va posta uguale a 0, dato che stiamo utilizzando la convenzione dell anno commerciale; per maggiori dettagli si consulti la guida di Excel relativa a questa funzione. Si noti bene che il risultato fornito dalla funzione REND segue la convenzione statunitense, e quindi si tratta di un tasso nominale annuo convertibile semestralmente, per cui per ottenere lo ytm su base semestrale da noi cercato dovremo dividere il risultato ottenuto per 2, e lo ytm su base annua può poi essere ottenuto attraverso la formula i = 1 In realtà è sufficiente utilizzare lo strumento Ricerca obiettivo visto nell Esercizio 5; qui si è utilizzato il risolutore per offrire una maggiore panoramica delle possibilità risolutive. Si noti che in Openoffice Calc il risolutore non è ancora stato compiutamente implementato, per cui in tal caso è opportuno utilizzare la ricerca obiettivo. 23

25 (1 + i 2 ) 2 1. Osserviamo nella figura Figura 18 come i risultati ottenuti sono pressoché identici a quelli ottenuti attraverso l uso del risolutore. Figura 17: Utilizzo del risolutore (Esercizio 7). Figura 18: Utilizzo della funzione REND (Esercizio 7). Un ulteriore possibilità è costituita dall utilizzo della funzione TIR.X di Excel, che calcola il tasso di rendimento interno di un impiego di flussi di cassa. Tuttavia questa funzione non utilizza la base 30/360 bensì la convenzione dell anno civile; dunque dovremo tenerne conto nel calcolo dei dietimi di interesse e del prezzo tel quel che risultano essere rispettivamente Ced e = , e otterremo comunque dei risultati 184 leggermente diversi da quelli sin qui ricavati. Considerando dunque il B.T.P. come un pro- 24

26 getto finanziario, i suoi flussi di cassa consistono con il pagamento iniziale del prezzo tel quel a fronte della corresponsione delle cedole e del rimborso finale. Inseriamo questi valori in una colonna di Excel, con a fianco le date corrispondenti a ciascun flusso, e successivamente applichiamo la funzione TIR.X. Figura 19: Utilizzo della funzione TIR.X (Esercizio 7). Come possiamo osservare nella Figura 19, il valore ottenuto per lo ytm su base annua, , è leggermente diverso da quello ottenuto in precedenza, per via della diversa convenzione nel computo dei giorni. Si può facilmente verificare che lo stesso risultato si otterrebbe utilizzando il risolutore come descritto in precedenza, questa volta però applicandolo alla funzione g(i) := (1 + i) ( )(1 + i) Per quanto riguarda la durata media finanziaria del titolo espressa su base semestrale, ricordiamo che essa è data dalla formula: MD 2 = n k=1 (t k t)ced(1 + i 2 ) (t k t) + (t n t)cn(1 + i 2 ) (tn t) P tq (25) dove n è il numero di semestri che mancano alla scadenza del titolo, t k sono le epoche di godimento delle cedole espresse in base semestrale, e t è la data in cui si fa la valutazione. Nel nostro caso dunque la formula diventa: MD 2 = 168 (1 180 )3.8281(1 + i 2) ( ) (1 + i 2) (26) Per calcolare la durata media finanziaria con Excel la cosa migliore da fare è riportare in una colonna le epoche t k di godimento delle cedole e del rimborso finale, a fianco le differenze t k t, e ancora a fianco i termini della sommatoria corrispondenti ad ogni epoca. Dopodiché 25

27 basterà fare la somma dei valori di questa colonna e dividere per P tq ; si veda a tale proposito la figura Figura 20, dove come stima dello ytm su base semestrale abbiamo utilizzato quella calcolata con il risolutore. Figura 20: Calcolo della durata media finanziaria (Esercizio 7). Un alternativa è costituita dall usare la funzione DURATA di Excel, che calcola la durata media finanziaria di un obbligazione noti la data di liquidazione, la data di scadenza, il tasso cedolare netto, il tasso di rendimento alla scadenza su base annua, il numero di rate e la base utilizzata per il calcolo. Anche qui, dato che l implementazione di questa funzione è stata fatta secondo la pratica statunitense, come stima del tasso di rendimento alla scadenza su base annua andrà utilizzato quello nominale annuo convertibile semestralmente calcolato attraverso la funzione REND visto in precedenza. Il valore ottenuto sarà espresso su base annua, e si ottiene MD Dovremo ricordarci di moltiplicarlo per due per confrontarlo con il valore ottenuto in precedenza, secondo la nota relazione MD m = m MD 1 (si veda la figura Figura 21). Per calcolare la stima della variazione che il prezzo del B.T.P. ha in seguito ad un aumento del tasso di interesse di mercato dello su base annua a questo punto è sufficiente utilizzare la stima P tq MD 1 1+i ip tq, e con i dati a nostra disposizione si ottiene P tq

28 Figura 21: Uso della funzione DURATA (Esercizio 7). 8 Esercizio sui problemi di scelta fra progetti finanziari certi Si analizzi la convenienza dei progetti di investimento alternativi A, B e C che presentano i seguenti flussi di cassa (in euro) in corrispondenza delle epoche t = 0, 1, 2, 3, 4: Epoca Progetto A Progetto B Progetto C Soluzione. Le espressioni analitiche dei REA dei tre progetti sono date da: REA A = (1 + i) (1 + i) (1 + i) 3 REA B = (1 + i) (1 + i) (1 + i) 3 REA C = (1 + i) (1 + i) (1 + i) 4. (27) 27

29 Cominciamo con il confrontare i primi due progetti; la differenza fra i due REA è: REA A REA B = 2400(1 + i) (1 + i) (1 + i) 3. (28) Per studiarne il segno effettuiamo la sostituzione (1 + i) 1 = v e cerchiamo gli zeri del polinomio v( v 2100v 2 ); con facili calcoli si trova che le radici sono v 1 = 0, v 2 = , v 3 = , da cui si deduce che la differenza è positiva per v < e 0 < v < , negativa per < v < 0 e v > Siccome siamo interessati solo a valori di i positivi, ci restringiamo a considerare per v i valori dell intervallo ]0, 1], per cui alla fine si ricava che A è preferibile a B per 0 < v < , che corrisponde a i > 47.02%, ed è dominato da B per < v 1, che corrisponde a 0 i < 47.02%, mentre si ha indifferenza fra i due progetti nel caso i = 47.02%. In modo analogo si può procedere per gli altri due casi. Per vedere come effettuare il confronto fra i progetti finanziari usando Excel, iniziamo con il riportare i dati del problema, cioè i flussi di cassa relativi ai REA dei tre progetti e alle differenze tra essi: Figura 22: REA dei progetti A, B e C e differenze fra essi (Esercizio 8). Dopodiché costruiamo delle tabelle del variare dei REA al variare del tasso di interesse i: in una colonna inseriamo il valore 0 di partenza e lo incrementiamo nella casella sottostante di 0.005; in questo modo trascinando con il mouse la casella selezionata lungo la colonna otterremo tutti i valori di i da 0 al valore finale desiderato (0.5 nel nostro caso). Nelle tre colonne adiacenti, dopo aver inserito nella prima riga l espressione del REA dei tre progetti, con un semplice procedimento di copia e incolla otterremo i valori dei tre REA corrispondenti al variare del tasso di interesse. 28

30 Figura 23: Tabella dei REA al variare di i (Esercizio 8). Per cominciare il confronto da un punto di vista qualitativo, è utile disegnare un grafico in cui sia rappresentato simultaneamente l andamento dei tre REA; a tale scopo utilizziamo il menù Inserisci Grafico di Excel, scegliamo il tipo Dispers. (XY) e fra le scelte possibili utilizziamo Dispersione con coordinate unite da linee, senza indicatori di dati. Dopo aver cliccato su avanti, nella finestra successiva clicchiamo nella casella Intervallo dati e successivamente selezioniamo nel foglio di calcolo le celle da B14 A E115 contenenti i nostri dati, ed Excel automaticamente creerà un grafico in cui in ascissa verrà inserita la prima colonna, e per i valori delle ordinate verranno presi quelli delle altre tre colonne. Figura 24: Inserimento del grafico (Esercizio 8). 29

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