Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab"

Transcript

1 Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab Algoritmi Metodo di Gauss-Seidel con sovrarilassamento Metodo delle Secanti Metodo di Newton Studente Amelio Francesco 556/00699 Anno Accademico: 2003/04

2 Metodo di Gauss-Seidel (con sovrarilassamento) per la soluzione di sistemi lineari con matrici sparse. Scopo Descrizione Risolvere un sistema di equazioni lineari di una matrice sparsa utilizzando il metodo di sovrarilassamento (Gauss-Seidel con accelerazione di convergenza). L algoritmo calcola le soluzioni in modo iterativo usando la formula: x ( k+ ) i = b i i n ( k+ ) aij x j aij j= j= i+ a ii x ( k ) j Il miglioramento fatto ad ogni iterazione dall algoritmo è: r = x x ( k ) ( k+ ) ( k ) i i i Per ottenere un accelerazione della convergenza viene usata la seguente formula: x = x + wr ( k+ ) ( k ) ( k ) i i i w (omega) è il fattore di accelerazione che viene passato alla funzione per migliorare la convergenza (per maggiori informazioni vedi i parametri) Prototipo e parametri SOR (ele, col, rig, b, x, w, toll, maxiter) Parametri in input: ele col rig b x w toll vettore contenente gli elementi non nulli della matrice sparsa in ordine di lettura. vettore contenente gli indici di colonna degli elementi non nulli presenti nella matrice vettore contenente gli indici del vettore col corrispondente al primo elemento non nullo di ogni riga della matrice il vettore dei termini noti. il vettore approssimazione iniziale. Valore di omega che accelera la convergenza. Occorre adoperare un valore tra e 2. Se w = il metodo equivale al metodo di Gauss-Seidel senza sovrarilassamento.

3 precisione richiesta all'algoritmo. maxiter il numero massimo di iterazioni richieste all'algoritmo. Valore restituito: x le soluzioni approssimate del sistema lineare Routine ausiliarie Indicatori di errore Accuratezza Per testate la convergenza viene usata la routine testconvergenza che calcola si massimo del valore assoluto degli autovalori della matrice di iterazione B = D - C. Per prendere l elemento A ij dai tre vettori rappresentanti la matrice sparsa viene utilizzata la funzione getsparseelement. Se il sistema non è convergente viene stampato un messaggio di errore e l algoritmo esce. Durante le iterazioni viene costruito un vettore che memorizza la stima dell errore ad ogni passo. Alla fine il vettore viene stampato. Se non viene raggiunta la precisione richiesta nel numero di iterazioni indicate in maxiter l algoritmo mostra un warning e l approssimazione viene restituita. L indice di accuratezza viene scelto dall utente che utilizza la routine specificando il valore nel parametro toll. Per verificare se è stata raggiunta l accuratezza richiesta l algoritmo effettua questo controllo: norm( abs(x)-abs(prev) ) <= toll*norm(x) Non appena non viene più soddisfatta l algoritmo considera buona l accuratezza. Ad esempio se vogliamo un accuratezza di 0-4 invocheremo la funzione con i seguenti parametri: SOR ( ele, col, rig, b, x, w, 0^-4, maxiter) Per testate il software sono stati effettuate alcune verifiche sulle seguenti tipologie di matrici: ) Matrice fornita dal docente 2) Matrice non a diagonale dominante 3) Matrice singolare 4) Matrice a diagonale dominante 5) Matrice mal condizionata E sono stata fatti vari test quali: test di convergenza, calcolo indice di condizionamento, modifiche al parametro omega. L indice di condizionamento viene calcolato dalla formula norm(a)*norm(a^-)). Il raggio spettrale della matrice di iterazione viene calcolato usando la funziona ausiliaria 2

4 testconvergenzasor. Un teorema dimostra che se il raggio spettrale della matrice di iterazione è maggiore uguale di il metodo non converge. Test () Matrice fornita dal docente I vettori che memorizzano la matrice sono: elem = [2,4,23,-7,4,5,6, -,2,-9,,-8,2,-,8,4,5,-6,-6,9,,20,2, -9,22,-7,5,-8,2,7,2,3,5,6,,9]; col = [,8,2,2,3,5,4,7,5,,6,3,4,4,7,,8,9,8,9, 6,0,3,5,,2,2,6,0,3,6,4,3,5,9,6]; rig = [,3,5,7,9,,4,6,9,22,24,26,28,3,33,35,37]; b = [ ]; L indice di condizionamento della matrice è: e+00 La soluzione data dai comandi in linea di MatLab (A\b) è:

5 Effettuiamo il primo test su questa matrice con i seguenti parametri: w = ; toll = eps; maxiter = 200 Il raggio spettrale è e-00 che è minore di. Invocando l algoritmo con i parametri indicati otteniamo il seguente output: L'algoritmo ha raggiunto la precisione desiderata in 33 iterazioni. e le soluzioni trovate sono: Potremmo provare ad incrementare il fattore di accelerazione omega per ridurre il numero di iterazioni. Utilizziamo l algoritmo con i seguenti parametri: w =.367; toll = eps; maxiter = 200 Il raggio spettrale è e-00 che è minore di ed è migliore del precedente. Invocando l algoritmo con i parametri indicati otteniamo il seguente output: L'algoritmo ha raggiunto la precisione desiderata in 38 iterazioni. e le soluzioni trovate sono:

6 Vediamo ora che succede se al vettore dell approssimazione iniziale impostiamo un valore molto vicino alla soluzione reale. Assegniamo ad x il vettore delle soluzione a meno di un 0.2. Chiamiamo l algoritmo con gli stessi parametri del precedente test e vediamo l output mostrato: L'algoritmo ha raggiunto la precisione desiderata in 35 iterazioni. Abbiamo recuperato solo 3 iterazioni, evidentemente il maggior numero di passi vengono fatti quando ci si avvicina di più alla soluzione reale. Test (2) Matrice non a diagonale dominante A = ; b = 4 ; I vettori che memorizzano la matrice sono: elem = [8,.2, 2, -4, 4, 4, 0.008, 24, -8, 7.92]; col = [, 5,, 2, 2, 3, 5, 4, 3, 5]; rig = [, 3, 5, 8, 9, ]; b = [8, 0, -4, 0.76, ]; L indice di condizionamento della matrice è: e+00 La soluzione data dai comandi in linea di MatLab (A\b) è: Effettuiamo il primo test su questa matrice con i seguenti parametri: w = ; toll = eps; maxiter = 00 5

7 Il raggio spettrale è e-00 che è minore di. Invocando l algoritmo con i parametri indicati otteniamo il seguente output: L'algoritmo ha raggiunto la precisione desiderata in 46 iterazioni Il vettore delle soluzioni date è Proviamo ora a cambiare il valore di omega e impostiamolo a.06 lasciando invariati gli altri parametri. Il raggio spettrale, in questo caso è e-00 e l'algoritmo raggiunge la precisione desiderata in 25 iterazioni ottenendo le stesse soluzioni di prima. Se provassimo ad incrementare omega portandolo a.5 il controllo sulla convergenza dell algoritmo ci informerà che l algoritmo non converge (nel caso il controllo sulla convergenza nel codice fosse commentato, l algoritmo potrebbe iterare fino a raggiungere il massimo numero di iterazioni). Supponiamo ora di voler ottenere una precisione minore di eps, ad esempio proviamo ad impostare toll a 0^-2. Con questi valori otteniamo le soluzioni che come si vede sono molto meno vicine a quelle corrette. Test (3) Matrice singolare A = ; b = ; I vettori che memorizzano la matrice sono: elem = [ ]; col = [, 2, 2,4,,3,2,4]; rig = [,3,5,7,9]; b = [, -2, 4, 3]; 6

8 L indice di condizionamento della matrice è: e+032 (calcolato con cond(a)) Un valore alto dell indice di condizionamento indica che la matrice singolare o quasi. L algoritmo in linea di MatLab da come soluzioni un vettore di Inf. Il nostro algoritmo cicla sempre fino al massimo numero di iterazioni. Test (4) Matrice a diagonale dominante A =. ; b = ; I vettori che memorizzano la matrice sono: elem = [.7, -2.6, -.3, 5.2, 7.8, 9., 6.5, -.3, 2.6, -2.6, 5.2, -3.9, 9.] col = [ ] rig = [ ] b = [2, 0.5, 0.6,, 0, 3] L indice di condizionamento della matrice è: e+000 La soluzione data dai comandi in linea di MatLab (A\b) è: Effettuiamo il primo test su questa matrice con i seguenti parametri: w = ; toll = eps; maxiter = 00 Il raggio spettrale è e-00 che è minore di. Invocando l algoritmo con i parametri indicati otteniamo il seguente output: 7

9 L'algoritmo ha raggiunto la precisione desiderata in 24 iterazioni E il risultato ottenuto è: Che è molto molto simile a quello ottenuto dal comando in linea. Per verificarlo assegnamo il risultato del comando in linea alla variabile cpu e il risultato del SOR alla variabile mia ed eseguiamo la seguente istruzione: otteniamo abs(mia)-abs(cpu)<eps che sta a significare che la condizione è vera per tutti gli elementi della soluzione. Effettuando un ultimo test aumentando il valore di w: w =.2; toll = eps; maxiter = 00 notiamo che l algoritmo non termina nel massimo numero di iterazioni perchè non è convergemte. Infatti si vede dal vettore che contiene le stime dell errore che i suoi valori aumentano ad ogni iterazione, ovvero l algoritmo non è convergente. Test (5) Matrice mal condizionata 2^ A = ; b = ; 0 2*0^ ^35 5 I vettori che memorizzano la matrice sono: elem = [2^00, 0.3, 3, 40000, 2*0^-9, ^35]; col = [ ]; 8

10 rig = [ ]; L indice di condizionamento della matrice è:.43969e+047 La soluzione data dai comandi in linea di MatLab (A\b) è: e-03-5e e-048 Effettuiamo il primo test su questa matrice con i seguenti parametri: w = ; toll = eps; maxiter = 00 Il raggio spettrale è e-045 che è molto minore di. Invocando l algoritmo con i parametri indicati otteniamo il seguente output: L'algoritmo ha raggiunto la precisione desiderata in 2 iterazioni Le soluzioni trovate sono: e-03-5e e-048 Lo stesso comando in linea di MatLab ci informa del fatto che la matrice è mal condizionata e che quindi la soluzione non è accurata. 9

11 Metodo delle secanti per il calcolo degli zeri di un equazione non lineare Scopo Descrizione Calcolo degli zeri di un equazione non lineare. A partire da un approssimazione iniziale (gli estremi di un intervallo di partenza) l algoritmo cerca il punto in cui la funzione si annulla. L algoritmo itera su intervalli i cui estremi cambiano ad ogni passo. Gli estremi X k X k+ dell intervallo vengono ricalcolati ad ogni passo usando la formula: x k+ = x k f ( xk )( xk x f ( x ) f ( x k k k ) ) Dove X k+ è l intersezione della secante ai punti X k X k+ con l asse ascisse. Prototipo e parametri secanti ( funzione, x0, x, toll, maxiter) Parametri in input: funzione la funzione su cui deve lavorare. x0 primo estremo dell'intervallo di partenza x secondo estremo dell intervallo di partenza toll è la tolleranza minima ammessa della differenza tra una iterazione e quella successiva. maxiter è il numero massimo di iterazioni dopo le quali l'algoritmo si arresta. Valore restituito: zero lo zero della funzione Routine ausiliarie Indicatori di errore Solo funzioni incluse nelle librerie standard di MatLab quali feval, disp, warning ecc. Se il prodotto della funzione valutata negli estremi dell intervallo dato non è minore di 0 ( f(a)*f(b) >= 0), viene mostrato un warning in cui si comunica all utente che la funzione potrebbe non avere uno zero nell intervallo ma l algoritmo continua. Se non viene raggiunta la precisione richiesta nel numero di iterazioni indicate in maxiter l algoritmo mostra un warning e l ultima approssimazione ottenuta viene restituita. 0

12 Accuratezza L indice di accuratezza viene scelto dall utente che utilizza la routine specificando il valore nel parametro toll. Per verificare se è stata raggiunta l accuratezza richiesta l algoritmo effettua i due controlli sottostanti: abs(x(2)-x()) > toll (accuratezza orizzontale) abs(y(2)) > toll (accuratezza verticale) Non appena non viene più soddisfatta una delle seguenti condizioni l algoritmo considera buona l approssimazione. Ad esempio se vogliamo un accuratezza di 0-4 invocheremo la funzione con i seguenti parametri: secanti( funzione, x0, x, 0^-4, maxiter ) Complessità computazionale La complessità computazionale è data dal numero di valutazioni della funzione nei punti. In realtà per ogni iterazione viene fatta una valutazione della funzione più le due valutazioni iniziale fatta sugli estremi in input. Quindi in totale avremo: Θ ( [numero iterazioni] + 2 ) A seguire vengono mostrati alcuni test effettuati su delle funzioni di esempio.

13 . y = cos x log x Passando l intervallo [/8,2] otteniamo lo zero contrassegnato da [*] nella figura: Per ottenere l altro zero della funzione basta passare l intervallo [-,-/8] Facciamo ora un ulteriore verifica sul comportamento dell algoritmo. Passando alla routine l intervallo[,6] il prossimo punto dell intervallo sostituirà l estremo e porterà ad una situazione di non convergenza che darà una radice immaginaria. Infatti l output sarà: con risultato: Warning: L'algoritmo non ha raggiunto la precisione desiderata nel massimo numero di iterazioni specificate e e+00i Proviamo ora ad utilizzare lo stesso intervallo con gli estremi invertiti [6,] otteniamo: Raggiunta la precisione richiesta in 8 iterazioni. Complessità computazionale (in numero di valutazioni della funzione): 9 2

14 Lo zero trovato è: che è il risultato che volevamo ottenere. 3

15 2x 2. y = e + x 8 x Per trovare lo zero contrassegnato passiamo alla funzione l intervallo [-,-/8]. L output del programma è: Raggiunta la precisione richiesta in 2 iterazioni. Complessità computazionale (in numero di valutazioni della funzione): 3 Lo zero trovato è: e-00 Proviamo ora ad utilizzare lo stesso intervallo con gli estremi invertiti [-9,-8] otteniamo: Warning: Attenzione: la funzione potrebbe non avere degli zeri nell'intervallo fornito. Raggiunta la precisione richiesta in 30 iterazioni. Complessità computazionale (in numero di valutazioni della funzione): 3 Lo zero trovato è: 4

16 Il numero di iterazioni richieste, partendo da questo intervallo sono maggiori, ma la soluzione è la stessa. 5

17 y = 5 2cos x 4sin x 2cos x Passando l intervallo [-/20,0], l algoritmo mostra il messaggio Warning: Attenzione: la funzione potrebbe non avere degli zeri nell'intervallo fornito. Raggiunta la precisione richiesta in 38 iterazioni. Complessità computazionale (in numero di valutazioni della funzione): 39 In effetti la funzione valutata nei due estremi ha valori di uguale segno. Quindi potrebbe non esserci uno zero nell intervallo (per il teorema degli zeri). L algoritmo mostra un semplice avviso ma procede comunque alla ricerca dello zero che verrà trovato e sarà uguale a: e-00 Possiamo fare un ulteriore test cambiando il valore della tolleranza. Passiamo alla funzione toll = 0e-5 L output del programma sarà: Warning: Attenzione: la funzione potrebbe non avere degli zeri nell'intervallo fornito. 6

18 Raggiunta la precisione richiesta in 0 iterazioni. Complessità computazionale (in numero di valutazioni della funzione): Lo zero trovato è: e-00 Come si vede dall output la precisione richiesta è stata raggiunta in 0 iterazioni invece di 38 ma la radice è molto più imprecisa. 7

19 Metodo di Newton (o delle tangenti) per il calcolo degli zeri di un equazione non lineare Scopo Descrizione Calcolo degli zeri di un equazione non lineare. A partire da un approssimazione iniziale l algoritmo cerca il punto in cui la funzione si annulla. L algoritmo trova il punto X k+ in cui la tangente in Xk si interseca con le ascisse. Il nuovo punto viene calcolato con la formula: x k+ = x k f ( xk ) f '( x ) k Prototipo e parametri Come si nota è necessario conoscere la derivata della funzione per ottenere l approssimazione k+ esima dello zero. newton ( funzione, derivata, x0, toll, maxiter) Parametri in input: funzione la funzione su cui deve lavorare. derivata la derivata della funzione fornita dall utente x0 approssimazione iniziale dello zero toll è la tolleranza minima ammessa della differenza tra una iterazione e quella successiva. maxiter è il numero massimo di iterazioni dopo le quali l'algoritmo si arresta. Valore restituito: zero lo zero della funzione Routine ausiliarie Indicatori di errore Solo funzioni incluse nelle librerie standard di MatLab quali feval, disp, warning ecc. Se alla iterata k la derivata nel punto approssimato x0 assume valore molto vicino a 0 rischiamo di fare una divisione per un numero molto piccolo e in ogni caso il prossimo valore dell approssimazione sarebbe un numero troppo grande. Per questo motivo newton probabilmente non converge. In questo caso viene stampato un messaggio di errore e si esce. Se non viene raggiunta la precisione richiesta nel numero di iterazioni i di i I l l i i l i i 8

20 indicate in maxiter l algoritmo mostra un warning e l approssimazione viene restituita. Accuratezza L indice di accuratezza viene scelto dall utente che utilizza la routine specificando il valore nel parametro toll. Ad ogni iterazione viene verificata la condizione: abs( feval(funzione,x0) ) > toll Se non viene soddisfatta vuol dire che è stata raggiunta l accuratezza richiesta. Se vogliamo un accuratezza di 0-4 invocheremo la funzione con i seguenti parametri: newton( funzione, derivata, x0, 0^-4, maxiter ) La complessità computazionale è data dal numero di valutazioni della funzione nei punti. In realtà per ogni iterazione viene fatta una valutazione della funzione e una della sua derivata. Quindi in totale avremo: Complessità computazionale Θ ( [numero iterazioni] * 2 ) A seguire vengono mostrati alcuni test effettuati su delle funzioni di esempio. 9

21 d. y = 2sin 2 x 3cos x (2sin 2 x 3cos x) = 4sin xcos x + 3sin x dx La routine è stata invocata con un approssimazione iniziale di.4 e una toll di 0e-2 e ha raggiunto l accuratezza richiesta in 2 iterazioni. Lo zero trovato è: Provando ad aumentare la tolleranza alla precisione di macchina eps e passando maxiter = 6 l algoritmo ottiene il seguente output. Warning: L'algoritmo non ha raggiunto lo zero nel numero di iterazioni specificate. E l ultima approssimazione calcolata è:

22 d 2. y = cos 2x 3 cos x + = 0 (cos 2x 3 cos x + ) = 2sin 2x + 3sin x in [0,2π] dx Lo zero contrassegnato è stato trovato invocando la routine con un x iniziale uguale a.9, una tolleranza uguale alla precisione di macchina e un numero massimo di iterazioni = 6. L output dell algoritmo è: L'algoritmo ha raggiunto l'accuratezza in 5 iterazioni. E lo zero trovato è: Cambiando il valore di toll a 0e-2 otteniamo L'algoritmo ha raggiunto l'accuratezza in 2 iterazioni. Lo zero trovato è:

23 4 3 2 d y = x + 30x + 263x + 644x 490 ( x + 30x + 263x + 644x 490) = 4x + 90x + 526x dx 8 x Lo zero contrassegnato è stato trovato invocando la routine con un valore di x iniziale uguale a 4 e una tolleranza uguale alla precisione di macchina, e un numero massimo di iterazioni = 0. L output dell algoritmo è: L'algoritmo ha raggiunto l'accuratezza in 7 iterazioni. Lo zero trovato è: e-00 Proviamo ora a cambiare la tolleranza e la impostiamo a 0e-2. Otteniamo il seguente output: Lo zero è: L'algoritmo ha raggiunto l'accuratezza in 5 iterazioni e-00 22

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Calcolo Numerico Dottssa MC De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi 1. Studio del grafico di una funzione: esercizi Esercizio 1.6. Studiare ciascuna delle seguenti funzioni in base allo schema di pagina 194, eseguendo anche il computo della derivata seconda e lo studio

Dettagli

Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici

Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici C. Vergara 3. Metodo della fattorizzazione LU per la risoluzione di un sistema lineare Errori di arrotondamento. Prima di affrontare la

Dettagli

Equazioni e sistemi non lineari

Equazioni e sistemi non lineari Capitolo 4 Equazioni e sistemi non lineari 4.1 Introduzione Sia f(x):ir IR una funzione continua almeno su un certo intervallo I e si supponga che f(x) non sia della forma f(x) = a 1 x + a 0 con a 1 e

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Equazioni non lineari

Equazioni non lineari CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA ELETTRICA Equazioni non lineari Metodi iterativi per l approssimazione di radici Corso di calcolo numerico 2 01/11/2010 Manuela Carta INDICE Introduzione Metodo

Dettagli

9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU

9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU 9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A LU 9.1 Il metodo di Gauss Come si è visto nella sezione 3.3, per la risoluzione di un sistema lineare si può considerare al posto

Dettagli

Equazioni non lineari

Equazioni non lineari Dipartimento di Matematica tel. 011 0907503 stefano.berrone@polito.it http://calvino.polito.it/~sberrone Laboratorio di modellazione e progettazione materiali Trovare il valore x R tale che f (x) = 0,

Dettagli

3. Quale affermazione è falsa?

3. Quale affermazione è falsa? 1. Quale affermazione è falsa? Se la funzione f) è continua e monotona crescente su R e se f) = 1 e f4) =, allora ha un unico zero nell intervallo, 4) f) non si annulla mai in R f ) > nell intervallo,

Dettagli

Approssimazione polinomiale di funzioni e dati

Approssimazione polinomiale di funzioni e dati Approssimazione polinomiale di funzioni e dati Approssimare una funzione f significa trovare una funzione f di forma più semplice che possa essere usata al posto di f. Questa strategia è utilizzata nell

Dettagli

Corso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti

Corso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti Corso di Analisi Numerica - AN1 Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari Roberto Ferretti Richiami sulle norme e sui sistemi lineari Il Metodo di Eliminazione di Gauss Il Metodo di Eliminazione con

Dettagli

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può

Dettagli

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6 ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II Margini di stabilità Introduzione... Margine di ampiezza... Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di ode... 6 Introduzione

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Corso di Matematica per la Chimica

Corso di Matematica per la Chimica Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10 FUNZIONE OMOGRAFICA ASINTOTO VERTICALE: ASINTOTO ORIZZONTALE: 1 abbiamo verificato che, applicando all iperbole equilatera base, la dilatazione verticale di coefficiente 7 e la traslazione di vettore di

Dettagli

LUOGO DELLE RADICI. G(s) H(s) 1+KG(s)H(s)=0

LUOGO DELLE RADICI. G(s) H(s) 1+KG(s)H(s)=0 LUOGO DELLE RADICI Il progetto accurato di un sistema di controllo richiede la conoscenza dei poli del sistema in anello chiuso e dell influenza che su di essi hanno le variazioni dei più importanti parametri

Dettagli

Interpolazione ed approssimazione di funzioni

Interpolazione ed approssimazione di funzioni Interpolazione ed approssimazione di funzioni Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ 9 novembre 2007 Outline 1 Polinomi Valutazione di un polinomio Algoritmo di Horner

Dettagli

Lezione2 Ricerca di zeri. http://idefix.mi.infn.it/~palombo/didattica/lab-tnds/corsolab/lezionifrontali. Fernando Palombo

Lezione2 Ricerca di zeri. http://idefix.mi.infn.it/~palombo/didattica/lab-tnds/corsolab/lezionifrontali. Fernando Palombo Lezione2 Ricerca di zeri http://idefix.mi.infn.it/~palombo/didattica/lab-tnds/corsolab/lezionifrontali Fernando Palombo Aritmetica Finita nel Computer Nel computer l aritmetica è a precisione finita cioè

Dettagli

Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari

Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari N Del Buono 1 Introduzione Consideriamo un sistema di n equazioni in n incognite a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x

Dettagli

Integrazione numerica

Integrazione numerica Integrazione numerica Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ Lezione 6-20-26 ottobre 2009 Indice 1 Formule di quadratura semplici e composite Formule di quadratura

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

APPUNTI DEL CORSO DI LABORATORIO DI CALCOLO AVANZATO Metodi Numerici per le Equazioni Differenziali Ordinarie

APPUNTI DEL CORSO DI LABORATORIO DI CALCOLO AVANZATO Metodi Numerici per le Equazioni Differenziali Ordinarie APPUNTI DEL CORSO DI LABORATORIO DI CALCOLO AVANZATO Metodi Numerici per le Equazioni Differenziali Ordinarie MARCO LIMONGI Istituto Nazionale di Astrofisica Osservatorio Astronomico di Roma 1. EQUAZIONI

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

Studente: SANTORO MC. Matricola : 528

Studente: SANTORO MC. Matricola : 528 CORSO di LAUREA in INFORMATICA Corso di CALCOLO NUMERICO a.a. 2004-05 Studente: SANTORO MC. Matricola : 528 PROGETTO PER L ESAME 1. Sviluppare una versione dell algoritmo di Gauss per sistemi con matrice

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica, Università di Roma La Sapienza Corso di ANALISI NUMERICA Esercitazioni in Laboratorio, 16 Maggio 2011

Corso di Laurea in Matematica, Università di Roma La Sapienza Corso di ANALISI NUMERICA Esercitazioni in Laboratorio, 16 Maggio 2011 Corso di Laurea in Matematica, Università di Roma La Sapienza Corso di ANALISI NUMERICA Esercitazioni in Laboratorio, 16 Maggio 2011 Foglio 4: Metodi diretti per i sistemi lineari Scrivere un programma

Dettagli

METODI MATEMATICI PER LA FISICA

METODI MATEMATICI PER LA FISICA Si svolgano cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (6 PUNTI) METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 2 GENNAIO 25 Una volta identificato, nel piano complesso α, il dominio di convergenza della

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x

Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1

Dettagli

LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE

LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE FLAVIO ANGELINI Sommario Queste note hanno lo scopo di indicare a studenti di Economia interessati alla finanza quantitativa i concetti essenziali

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

Precondizionamento per sistemi lineari simmetrici a grande dimensione

Precondizionamento per sistemi lineari simmetrici a grande dimensione Corso di Laurea magistrale in Statistica Per l Impresa Tesi di Laurea Precondizionamento per sistemi lineari simmetrici a grande dimensione Relatore Prof. Giovanni Fasano Laureando Mirko Scavetta Matricola

Dettagli

Rappresentazione nello spazio degli stati

Rappresentazione nello spazio degli stati Chapter 1 Rappresentazione nello spazio degli stati La modellazione di un sistema lineare di ordine n, fornisce un insieme di equazioni differenziali che una volta trasformate nel dominio discreto, possono

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio DUE PROPOSTE DI ANALISI MATEMATICA Lorenzo Orio Introduzione Il lavoro propone argomenti di analisi matematica trattati in maniera tale da privilegiare l intuizione e con accorgimenti nuovi. Il tratta

Dettagli

Lezione 9: Cambio di base

Lezione 9: Cambio di base Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Sistemi di Numerazione Sistema decimale La

Dettagli

MATLAB. Caratteristiche. Dati. Esempio di programma MATLAB. a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; b = [1 2 3] ; c = a*b; c

MATLAB. Caratteristiche. Dati. Esempio di programma MATLAB. a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; b = [1 2 3] ; c = a*b; c Caratteristiche MATLAB Linguaggio di programmazione orientato all elaborazione di matrici (MATLAB=MATrix LABoratory) Le variabili sono matrici (una variabile scalare equivale ad una matrice di dimensione

Dettagli

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it Esercizi di Matematica Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue a.a. 203/204 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni continue Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014 Analisi Matematica

Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014 Analisi Matematica Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014 Analisi Matematica Nome... N. Matricola... Ancona, 29 marzo 2014 1. (7 punti) Studiare la funzione determinandone: f(x) = e x x il dominio;

Dettagli

4. Matrici e Minimi Quadrati

4. Matrici e Minimi Quadrati & C. Di Natale: Matrici e sistemi di equazioni di lineari Formulazione matriciale del metodo dei minimi quadrati Regressione polinomiale Regressione non lineare Cross-validazione e overfitting Regressione

Dettagli

Metodi Stocastici per la Finanza

Metodi Stocastici per la Finanza Metodi Stocastici per la Finanza Tiziano Vargiolu vargiolu@math.unipd.it 1 1 Università degli Studi di Padova Anno Accademico 2011-2012 Lezione 6 Indice 1 Il metodo bootstrap 2 Esercitazione 3 Interpolazione

Dettagli

Le catene di Markov come metodologia utilizzata dai motori di ricerca per classificare le pagine web su internet.

Le catene di Markov come metodologia utilizzata dai motori di ricerca per classificare le pagine web su internet. Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli Dottorato di Ricerca in Statistica e Finanza Quantitativa - XXI Ciclo Sergio Salvino

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato

Dettagli

Flusso a costo minimo e simplesso su reti

Flusso a costo minimo e simplesso su reti Flusso a costo minimo e simplesso su reti La particolare struttura di alcuni problemi di PL può essere talvolta utilizzata per la progettazione di tecniche risolutive molto più efficienti dell algoritmo

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO

Dettagli

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto

Dettagli

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:

Dettagli

Confronto tra i codici di calcolo QUAD4-M e LSR2D

Confronto tra i codici di calcolo QUAD4-M e LSR2D 2 Confronto tra i codici di calcolo QUAD4-M e LSR2D Introduzione Questo documento riporta un confronto tra i risultati di un analisi di risposta sismica locale condotta con il codice di calcolo LSR2D (Stacec

Dettagli

Cenni sull'impiego di Matlab. Matrici

Cenni sull'impiego di Matlab. Matrici Cenni sull'impiego di Matlab Il Matlab è un potente valutatore di espressioni matriciali con valori complessi. Lavorando in questo modo il Matlab indica una risposta ad ogni comando od operazione impartitagli.

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R?

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R? PROVA N 1 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(). Studiare la funzione f()= 8+ 7 9 (Sono esclusi i flessi) 3. Data la funzione f()= 1 6 3 - +5-6

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d. 1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità

Dettagli

Analisi Matematica 3 appunti

Analisi Matematica 3 appunti Corso di Laurea in Statistica Matematica e trattamento Informatico dei Dati Analisi Matematica 3 appunti Francesca Astengo Università di Genova, A.A. 20/202 Indice Capitolo. Serie numeriche. Brevi richiami

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1.

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1. NOME:... MATRICOLA:.... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 007/008 Analisi Matematica, Esame scritto del 08.0.008 Indicare per quali R vale la seguente diseguaglianza : + >. Se y - - è il grafico

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

d 2 dx ψ + 2 m E V x ψ = 0 V x = V x + a. ψ(x+a) = Q ψ(x). ψ x = e " i k x u k ψ x + a = e " i k x + a u k x + a = e " i k a e " i k x u k

d 2 dx ψ + 2 m E V x ψ = 0 V x = V x + a. ψ(x+a) = Q ψ(x). ψ x = e  i k x u k ψ x + a = e  i k x + a u k x + a = e  i k a e  i k x u k Teorema di Bloch Introduzione (vedi anche Ascroft, dove c è un approccio alternativo) Cominciamo col considerare un solido unidimensionale. Il modello è quello di una particella (l elettrone) in un potenziale

Dettagli

SOLUZIONI D = (-1,+ ).

SOLUZIONI D = (-1,+ ). SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati

Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati 1 Esercizi per il corso di Algoritmi e Strutture Dati Esercizi sulla Tecnica Divide et Impera N.B. Tutti gli algoritmi vanno scritti in pseudocodice (non in Java, né in C++, etc. ). Di tutti gli algoritmi

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta

Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Francesco Zumbo www.francescozumbo.it http://it.geocities.com/zumbof/ Questi appunti vogliono essere

Dettagli

Stabilità di Lyapunov

Stabilità di Lyapunov Stabilità di Lyapunov Flaviano Battelli Dipartimento di Scienze Matematiche Università Politecnica delle Marche Ancona Introduzione. In queste note presentiamo i primi elementi della teoria della stabilità

Dettagli

Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile

Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile di funzioni reali di una variabile Corso di Analisi Matematica - capitolo VI Facoltà di Economia, UER Maria Caterina Bramati Université Libre de Bruxelles ECARES 22 Novembre 2006 Intuizione di ite di funzione

Dettagli

Alcune note sulle serie di potenze 1

Alcune note sulle serie di potenze 1 Alcune note sulle serie di potenze Contents G. Falqui Preliminari 2 Serie di potenze 3 3 Rappresentazione di funzioni mediante serie di potenze 7 3. Esempi notevoli........................... 9 3.2 Formula

Dettagli

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile 1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

Grafici tridimensionali

Grafici tridimensionali MatLab Lezione 3 Grafici tridimensionali Creazione di un Grafico 3D (1/4) Si supponga di voler tracciare il grafico della funzione nell intervallo x = [0,5]; y=[0,5] z = e -(x+y)/2 sin(3x) sin(3y) Si può

Dettagli

Lezione 8. 8 Ottobre 2014 2 ore (La derivata, la tangente, calcolo delle derivate, massimi e minimi.)

Lezione 8. 8 Ottobre 2014 2 ore (La derivata, la tangente, calcolo delle derivate, massimi e minimi.) Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari, anno accademico 2014/15 Corso di Matematica e Statistica I Lezione 8. 8 Ottobre 2014 2 ore (La derivata, la tangente, calcolo delle derivate, massimi e minimi.)

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

Definire all'interno del codice un vettore di interi di dimensione DIM, es. int array[] = {1, 5, 2, 4, 8, 1, 1, 9, 11, 4, 12};

Definire all'interno del codice un vettore di interi di dimensione DIM, es. int array[] = {1, 5, 2, 4, 8, 1, 1, 9, 11, 4, 12}; ESERCIZI 2 LABORATORIO Problema 1 Definire all'interno del codice un vettore di interi di dimensione DIM, es. int array[] = {1, 5, 2, 4, 8, 1, 1, 9, 11, 4, 12}; Chiede all'utente un numero e, tramite ricerca

Dettagli

matematica per le quinte

matematica per le quinte istituto professionale versari-macrelli, cesena lorenzo pantieri matematica per le quinte Dipartimento di Matematica Anno scolastico 2015-2016 Questo lavoro spiega il programma di matematica agli alun-

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

Piccola guida all'uso del programma GRAPH

Piccola guida all'uso del programma GRAPH Piccola guida all'uso del programma GRAPH Che cosa e'? E' un programma per disegnare grafici di funzioni e delle loro derivate, per calcolare integrali, trovare le soluzioni di una equazione o di un sistema

Dettagli

Design of Experiments

Design of Experiments Design of Experiments Luigi Amedeo Bianchi 1 Introduzione Cominciamo spiegando cosa intendiamo con esperimento, ossia l investigare un processo cambiando i dati in ingresso, osservando i cambiamenti che

Dettagli