Calcolo delle aste composte

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1 L acciaio. Strutture in acciaio 1 Calcolo delle aste composte Calcolo della snellezza equivalente La snellezza equivalente viene calcolata con le seguenti relazioni: aste calastrellate: λ eq λ y + λ 1 λ y β l 1 i y i y raggio d inerzia della sezione composta rispetto all asse y l 1 lunghezza d inflessione dell intera asta L 0 interasse dei calastrelli i 1min raggio d inerzia minimo della sezione dell elemento longitudinale singolo. Deve però risultare: L 0 i 1y λ 1 L 0 i 1min c λ x 4 ω N A σ adm N c sforzo normale di compressione che grava sul pilastro composto; A area della sezione complessiva di tutti i correnti; ω coefficiente relativo a λ eq. [1] con il secondo membro maggiore di 50, e in caso contrario deve essere: L 0 i 1y 50 aste a traliccio: per lo schema a) di figura a si assume: λ eq λ 10 A l q + l d + t [] L 0 l t A d mentre per gli schemi di figura b si ha: λ eq λ 10 A l y + d [] L 0 l t A d λ y assume il valore definito per le aste calastrellate A d area della sezione di una o due diagonali esistenti nel campo di altezza L 0 A t area della sezione del montante l d lunghezza della diagonale L 0 lunghezza della diagonale proiettata sull asse dei correnti longitudinali l t interasse dei correnti longitudinali A area della sezione complessiva di entrambi i correnti. Ai fini della verifica all inflessione laterale si prendono in considerazione tre gruppi di sezioni composte. A t Fig. a Fig. b SEI - 01

2 L acciaio. Strutture in acciaio Gruppo I Uno degli assi principali d inerzia (asse x-x in fig. c) della sezione composta costituita di elementi uniti con calastrelli o diagonali taglia tutte le sezioni delle aste componenti, cioè coincide con l asse principale 1x di tutte le sezioni. Per la flessione intorno all asse x-x, la snellezza viene calcolata come se si trattasse di un asta semplice, ossia: λ x l 1 i x e quindi si effettua la verifica con la nota relazione: N σ x c ω x σ adm A Per la flessione intorno all asse y-y, la sezione viene sempre considerata come se fosse un asta semplice, assumendo però una snellezza equivalente calcolata con la [1] per asta calastrellata, oppure con la [] o la [] per asta a traliccio, con le limitazioni indicate, e quindi si effettua la verifica: N σ y c ω y σ adm A I coefficienti ω x e ω y sono quelli corrispondenti rispettivamente alle snellezze λ x e λ eq. Gruppo II La sezione composta è costituita di due o quattro profili [figg. c e d] fra loro distanziati di una quantità pari allo spessore delle piastre di attacco e comunque non superiore a tre volte lo spessore dei profili. Quando i profili sono collegati con calastrelli la verifica all inflessione laterale si effettua come per le aste semplici, con riferimento alla snellezza reale, purché i calastrelli siano disposti a un interasse non superiore a: 50 i 1min per acciai tipo S5 ed S75 40 i 1min per acciai S55 i 1min raggio d inerzia minimo del singolo profilato Se l asta composta è costituita di due angolari a lati uguali a farfalla come quelli di figura d, i calastrelli devono essere disposti alternativamente ortogonali fra loro. Invece quando i profili sono collegati con imbottiture, ossia con piastre di attacco interposte [fig. e], saldate o bullonate, la verifica della sezione composta per la flessione intorno all asse che taglia tutte le sezioni componenti (asse x-x) viene effettuata come per un asta semplice, assumendo la snellezza reale della sezione composta come se fosse un profilato unico. Per la flessione intorno all asse y-y, che non taglia le sezioni componenti, la verifica si effettua assumendo la snellezza equivalente calcolata con la [1]. Fig. c Fig. d Fig. e SEI - 01

3 L acciaio. Strutture in acciaio Gruppo III Gli assi principali di inerzia x-x e y-y della sezione composta non tagliano le sezioni dei profili componenti [fig. f]; in questo caso per la flessione intorno a entrambi gli assi si deve assumere la snellezza equivalente λ eq calcolata con le formule [1], [] oppure [] a seconda che si tratti di aste a calastrello oppure a traliccio. Fig. f Aste composte Calcolo dei calastrelli e delle diagonali Prendendo in esame un tratto di asta con lunghezza L 0 [fig. g], comprendente un calastrello o una diagonale, questo può essere progettato in base a una forza di taglio virtuale pari a: ω N V* c [1] 100 che alla forza di taglio V* agente sui correnti si contrapponga uno sforzo di taglio V che agisca su ogni calastrello, cioè deve sussistere l uguaglianza: V* L 0 V l t n dove N c rappresenta il carico gravante sull asta e il coefficiente ω è quello relativo alla curva c (oppure d se t > 40 mm). Se il collegamento è realizzato con soli calastrelli e il loro interasse è superiore a 0 i 1min, la forza tagliante V* calcolata con la [1] deve essere maggiorata della percentuale: l t 5 0 % i 1min l t lunghezza dei calastrelli; i 1min raggio d inerzia minimo della sezione del montante longitudinale singolo. Dimensionamento dei calastrelli e delle imbottiture Per il calcolo dei calastrelli o delle imbottiture si ammette che la forza di taglio V* si ripartisca in quote uguali fra i due correnti longitudinali come indicato in figura g; per l equilibrio alla rotazione del tratto di asta con lunghezza L 0 è necessario Fig. g SEI - 01

4 L acciaio. Strutture in acciaio 4 essendo n il numero dei calastrelli compresi nel tratto L 0 : n 1 nel caso delle figure ha e hb e n nel caso di figura hc; ricavando V si ha: V V* n L 0 l t che mantiene valore costante per tutta la lunghezza l t, ma con inversione di segno a metà del calastrello. [] (per diagonali doppie incrociate) secondo gli assi dei correnti e delle diagonali; si ottiene: aste a traliccio con diagonali semplici [fig. l]: P d V* n sen α essendo n (1 o ) il numero delle diagonali in ogni campo, poste su piani paralleli; [] Fig. l Le due coppie costituite dagli sforzi V* e V determinano una sollecitazione di flessione con un valore massimo del momento flettente M in corrispondenza delle estremità di ogni calastrello, fissato ai correnti con bulloni o saldature, per cui il vincolo può considerarsi come un incastro; si ha quindi: M max ±V l t Fig. h Il punto di inversione dei momenti si considera nella sezione di mezzeria di ogni calastrello. I diagrammi V ed M sono riportati in figura g. aste a traliccio con diagonali doppie [fig. m]: P d V* n sen α In entrambi i tipi di aste, quando queste sono costituite di quattro correnti, come le sezioni appartenenti al gruppo III, il calcolo deve essere effettuato per le diagonali appartenenti alle coppie di piani paralleli agli assi x e y. [4] Dimensionamento delle diagonali (aste a traliccio) Quando i correnti presentano un notevole distanziamento [fig. i], le aste a traliccio con diagonali di collegamento presentano una maggiore affidabilità; per sezioni tipo quella di figura i, al fine di evitare deformazioni come quella indicata, dovute a «instabilità diagonale», è opportuno disporre aste interne secondo le diagonali AC e BD. Lo sforzo di trazione o compressione in ogni diagonale si ottiene scomponendo la forza di taglio virtuale V* (per diagonali semplici) oppure V* Fig. i Fig. m SEI - 01

5 L acciaio. Strutture in acciaio 5 ESERCIZI SVOLTI 1 Progettare un pilastro di acciaio S5 vincolato a cerniera su entrambe le estremità, alto 5,50 m, che risulta soggetto a uno sforzo assiale di compressione N c 760 kn. La lunghezza libera d inflessione risulta: l 1 β l 1 5,50 5,50 m La sezione appartiene al gruppo I e i calastrelli vengono disposti a un interasse: L 0 5,50 5 1,10 m Verifica rispetto all asse x -x La snellezza vale: λ x l ,86 ( 65) i x 8,48 Si stabilisce di realizzare il pilastro con sezione composta, formata di due profilati UPN disposti con ali esterne, con giunzioni a calastrello. Si procede inizialmente a un dimensionamento approssimato a carico di punta, assumendo ad arbitrio un coefficiente ω 1,50 e si ha: N A c ω 1, mm 160 ω adm Dal sagomario si ricava la sezione occorrente costituita di due profilati UPN da 0 80, fissando un distanziamento netto a 150 mm, che viene scelto fra quelli riportati dai manuali; i valori geometrici e statici della sezione composta sono: A 7480 mm I x 58 cm 4 I y 747 cm 4 i x 8,48 cm i y 9,91 cm e y 1,4 mm t m 1,5 mm l t a + e y 15 +,14 19,8 cm mentre quelli relativi a un solo profilo valgono: I 1y 196 cm 4 i 1y,9 cm Essendo lo spessore medio dell ala t m 1,5 mm < 40 mm, la sezione appartiene alla curva c e dalla tabella 4, del paragrafo.1. si ricava ω x 1,9 e quindi: σ x ω x Nc 1, A , N/mm < σ adm 160 N/mm Verifica rispetto all asse y -y Si deve prendere in considerazione la snellezza equivalente λ eq : λ y l 1 i y 550 9,91 55,50 λ 1 L ,0 < 50 i 1y,9 λ eq λ y + λ 1 55, ,0 7,40 > λ x Per λ 74 dalla tabella 4 del paragrafo.1. si ricava ω y 1,5 e quindi si ha: σ y ω y Nc A 1, ,44 N/mm < σ adm 160 N/m SEI - 01

6 L acciaio. Strutture in acciaio 6 L asta di parete di una travatura reticolare di tipo Howe [fig.a], in acciaio S5, è soggetta a uno sforzo assiale di compressione N c 80 kn; progettare la sezione dell asta ed effettuare le verifiche richieste dalla normativa. a Con procedimento analogo a quello seguito nell Esercizio svolto 1, si effettua il dimensionamento approssimato, assumendo ω 1,40: N A c ω 1, mm 160 L asta viene progettata con sezione composta costituita da due angolari uguali disposti come in figura b con distanziamento: d 10 mm < s 8 4 mm e presenta le seguenti caratteristiche geometriche e statiche: A 460 mm I x 45 cm 4 I y 0 cm 4 i x 4,1 cm i y,06 cm e x e y,6 cm s 8 mm mentre quelle del profilato singolo sono: I 1y 9,90 cm 4 i 1y 1,56 cm La lunghezza dell asta è: b l d ω adm L 0 sen cm sen 45 I due profilati vengono collegati con calastrelli disposti a un interasse: L 0 l d cm inferiore a: 50 i 1min 50 1,56 78 cm Verifica rispetto all asse x -x L asta viene considerata incernierata alle estremità e quindi la snellezza vale: λ x l d i x 171 4,1 40,6 e dalla tabella 4 del paragrafo.1. risulta ω x 1,14 per λ 41: σ x ω x N c A 1, ,76 N/mm < σ adm 160 N/mm Verifica rispetto all asse y -y L asta composta è del tipo calastrellato appartenente al gruppo I, curva c, e la snellezza equivalente risulta: λ y l d i y 171,06 55,88 λ 1 L ,54 < 50 i 1y 1,56 λ eq λ y + λ 1 55,88 + 6,54 66,77 > λ x Dalla tabella 4 del paragrafo.1. si ricava ω y 1,4 per λ 67 e quindi: ω σ y y N c 1, A ,6 N/mm σ adm 160 N/mm Valore accettabile in quanto superiore di appena l 1% circa alla tensione ammissibile. SEI - 01

7 L acciaio. Strutture in acciaio 7 Dimensionare i calastrelli di un pilastro di acciaio S5 vincolato a cerniera su entrambe le estremità, alto 5,50 m, che risulta soggetto a uno sforzo assiale di compressione N c 760 kn [fig. a]. L asta viene suddivisa in cinque campi per cui l interasse dei calastrelli risulta L 0 1,10 m, mentre la loro lunghezza è l t 19,8 cm. Il piano di inflessione dei calastrelli è quello parallelo all asse x e quindi il coefficiente ω da considerare per il calcolo di V*, e relativo all asta completa, è quello valutato in funzione della snellezza equivalente λ eq, ossia: ω 1,5 e pertanto la forza di taglio vale: ω Nc V* 100 Percentuale di maggiorazione L cm > 0 i 1min 0,9 45,80 l t ,8 i 1min,9 0 57,90 < 0 e pertanto non viene presa in considerazione. In ogni campo si hanno n. calastrelli, ognuno dei quali è sollecitato da: sforzo di taglio V V* n L l t 19,8 954,6 N momento flettente 1, N M ±V l t 19,8 10 ±954,6 176,80 10 Nmm Progetto della sezione del calastrello La sezione viene dimensionata in funzione delle due sollecitazioni di flessione e taglio presenti nel calastrello: 176,80 10 W M mm σ adm 160 a A V 954,6 55,44 mm τ adm 0, Dal sagomario relativo ai piatti unificati si sceglie la sezione di mm per la quale risulta: W 1 6 b h mm > mm A mm > 55,44 mm b ESERCIZIO 1 Dimensionare i calastrelli del pilastro con sezione composta costituito da due profilati VPN ad ali interne con giunzioni a calastrello in acciaio S5, vincolato alle estremità a cerniera, con altezza l 6,00 m, sul quale grava il carico assiale N c 800 kn. [calastrelli ottenuti con piatti di sezione mm ; per λ eq 84,58 si ha ω 1,70; sforzo di taglio V N; sforzo di taglio nei calastrelli V 48, N; M Nmm] SEI - 01