ANALISI VETTORIALE. Giovanni Maria Troianiello. 31 ottobre Approfondimenti sull integrale di Riemann 3. 2 Integrali impropri e serie 5

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1 ANALISI VETTORIALE Giovnni Mri Troiniello 31 ottobre 2010 Indice 1 Approfondimenti sull integrle di Riemnn 3 2 Integrli impropri e serie 5 3 Criterio del confronto, convergenz ssolut, convergenz condiziont 6 4 Integrli di Riemnn dipendenti d prmetri 10 5 Integrli impropri dipendenti d prmetri 14 6 Il Teorem di Dini per funzioni sclri 18 7 Il Teorem di Dini per sistemi e l invertibilità locle 21 8 Integrle delle funzioni scl 23 9 Integrle superiore e integrle inferiore Integrle doppio di Riemnn Insiemi PJ misurbili e criteri di integrbilità Alcune estensioni Domini normli e formule di riduzione Cmbimenti di vribili 37 1

2 15 Alcuni risultti prticolri con le dimostrzioni L formul di Guss Green Funzioni vlori complessi e opertori differenzili lineri Un prim seprzione delle vribili L seprzione dell vribili in generle Equzioni differenzili estte L equzione di Bernoulli L equzione del II ordine L equzione omogene Il metodo dei coefficienti indeterminti per le equzioni del II ordine L risonnz 62 2

3 sec1 1 Approfondimenti sull integrle di Riemnn Nello studio dell integrbilità secondo Riemnn e di tnti ltri rgomenti! un ruolo fondmentle è svolto dll nozione di uniforme continuità in un insieme I. Si trtt dell proprietà di cui dicimo che gode un funzione f : I R se d ogni ε > 0 si può ssocire un δ = δ ε > 0 tle che f(x ) f(x ) < ε per ogni coppi di punti x, x I con x x < δ. Ogni f lipschitzin in I, cioè tle che esist un costnte K > 0 per l qule f(x ) f(x ) K x x l vrire di x, x in I, è uniformemente continu: bst prendere δ = ε/k. Se I è un intervllo si chiuso che limitto un f C 1 (I) vi è uniformemente continu. Inftti l su derivt f è dott in I di mssimo e di minimo ssoluti per il Teorem di Weierstrss, e di conseguenz è soddisftt l condizione di Lipschitz: f(x ) f(x ) (mx I f ) x x per x, x I grzie l Teorem di Lgrnge. Notimo tuttvi che un comunissim funzione come x non è C 1, e non è lipschitzin, in I = [0, 1]. Vi è, comunque, uniformemente continu? Sì, semplicemente perché vi è continu, m questo lo vedremo solo nelle considerzioni finli di quest sezione. Affrontimo ll luce dell uniforme continuità il criterio di integrbilità di un funzione f definit e limitt nell intervllo chiuso e limitto I = [, b]. Affinché esist l integrle (di Riemnn) di f è necessrio e sufficiente che d ogni ε > 0 si poss ssocire un prtizione {x 0 = < x 1 < x 2 < < x m = b} di [, b] tle che ( ) m h=1 sup f ]x h 1,x h [ inf f ]x h 1,x h [ M qundo f è continu negli [x h 1, x h ] esistono (x h x h 1 ) < ε. (1) sum sup f = mx f = ]x h 1,x h [ [x h 1,x h ] f(x h ), inf f = min f = ]x h 1,x h [ [x h 1,x h ] f(x h ) per opportuni x h, x h [x h 1, x h ], sicché l condizione (1) divent m ( f(x h ) f(x h )) (x h x h 1 ) < ε. h=1 Quest ultim disuguglinz è immedit qundo in più si s che f è uniformemente continu in [, b]: richiedendo che x h x h 1 < δ per h = 1,..., m, con δ > 0 tle che f(x ) f(x ) < ε/(b ) per ogni coppi di punti x, x I con x x < δ, si ottiene m h=1 ( f(x h ) f(x h )) (x h x h 1 ) < ε b m (x h x h 1 ) = ε. E perché vlg l uniforme continuità un condizione sufficiente, come bbimo visto, è che f si lipschitzin, o più sbrigtivmente che sti in C 1 ([, b]). Però con questo pproccio già non si ottiene, d esempio, l integrbilità di x, 0 x 1. È dunque chiro che vle l pen di pssre d un criterio di integrbilità un po più mneggevole. Eccolo: h=1 tint Teorem 1.1. Un funzione limitt f : [, b] R è integrbile se è di clsse C 1 l di fuori di un numero finito di punti ξ 0,..., ξ n. Dimostrzione. Ci si convince fcilmente ricorrendo se necessrio d un opportun suddivisione dell intervllo in sottointervlli che non è restrittivo limitrsi l cso che f si di clsse C 1 in tutto [, b] privto solo di un estremo, dicimo di ξ 0 = b per fissre le idee. 3

4 Dto rbitrrimente ε > 0 sceglimo innnzitutto un B ], b[ tle che 2 sup f (b B) < ε. (2) b-b [,b] 2 Applicndo poi l uniforme continuità di f in [, B] ottenimo l esistenz di un δ > 0 tle che f(x ) f(x ) < ε 2(b ) per tutti i punti x, x di tle intervllo che verificno x x < δ. Si {x 0 = < < x m 1 = B < x m = b} un prtizione di [, b] con x h x h 1 < δ per h = 1,..., m 1. Allor, servendoci fr l ltro delle mggiorzioni ottenimo = m 1 h=1 sup f ]x m 1,x m[ inf f ]x m 1,x m[ ( m sup f ]x h 1,x h [ h=1 ( f(x h ) f(x h )) (x h x h 1 ) + m 1 ε (x h x h 1 ) + 2 2(b ) h=1 ( sup ]x m 1,x m[ inf f ]x h 1,x h [ ( sup f [,b] f + inf f ]x m 1,x m[ ) sup f ]x m 1,x m[ ) (b B) < Ne segue che l (1) è soddisftt, e quindi che f è integrbile. (x h x h 1 ) inf f ]x m 1,x m[ 2 sup [,b] ) f, (x m x m 1 ) ε 2(b ) (b ) + ε 2 = ε. Questo teorem si pplic subito per esempio x, che è C 1 in ]0, 1] e C 0 in [0, 1], quindi limitt, m nche funzioni che in lcuni o tutti gli ξ k presentino un numero finito di veri e propri slti (discontinuità). Tornimo desso dl punto di vist più generle sull nozione di uniforme continuità in un insieme I. È fcile convincersi che ess implic l continuità in ogni punto di I: nzi, prim vist verrebbe ftto di dire che si trtti proprio dell stess cos. E invece no, perché non vle il vicevers, come mostrno i seguenti esempi. Esempio 1.1. Si I =]0, 1] (intervllo limitto, m non chiuso). L funzione f(x) = sin(1/x) è di clsse C 0 (I), ovvero continu in ogni punto di I, m non uniformemente in I: l quntità f(1/(2nπ + π/2)) f(1/(2nπ)) = sin(2nπ + π/2) sin(2nπ) è sempre = 1, dunque > ε non ppen ε < 1, nonostnte che per ogni scelt di δ > 0 si possno sempre trovre infiniti n tli che 0 < 1/(2nπ) 1/(2nπ + π/2) < δ. Esempio 1.2. Si I = [0, [ (intervllo chiuso, m non limitto). L funzione f(x) = x 2 è di clsse C 0 (I), ovvero continu in ogni punto di I, m non uniformemente in I: per ogni scelt di δ > 0 e di x 0 1/δ l quntità f(x 0 + δ/2) f(x ) = (2x 0 + δ/2)δ/2 è > x 0 δ 1, dunque > ε non ppen ε < 1, e questo nonostnte tutti i punti x 0, x 0 + δ/2 con x 0 1/δ distino meno di δ. Si noti che in ciscuno dei due esempi l f è di clsse C 1, nzi C, nell intervllo I in cui è stt definit, m con derivt f illimitt com è ovvio, ltrimenti il teorem di Lgrnge implicherebbe l lipschitzinità (con costnte di Lipschitz K = sup I f ) e quindi l uniforme continuità. 4

5 Ebbene: l importntissimo Teorem di Heine Cntor fferm che qundo I è un sottoinsieme si chiuso che limitto di R, nzi più in generle di un qulunque R N (con l distnz tr due punti l posto del modulo dell differenz di due numeri), ogni f : I R continu in I, come d esempio x in I = [0, 1], vi è uniformemente continu. Questo ci consente di riformulre, nell portt più generle che è in effetti l su, l condizione di integrbilità fornit dl Teorem 1.1. Nell dimostrzione bbimo inftti sfruttto in modo essenzile l uniforme continuità di f in [, B], e per ottenerl ci simo serviti dell ipotesi che lì f si di clsse C 1. All luce del Teorem di Heine Cntor possimo desso dire che bst molto meno, e cioè che il Teorem 1.1 vle con l clsse C 1 dell ipotesi sostituit dll clsse C 0 : tint Teorem 1.2. Un funzione limitt f : [, b] R è integrbile se è continu l di fuori di un numero finito di punti ξ 0,..., ξ n. Nel seguito, pur senz ver dimostrto il Teorem di Heine Cntor, fremo il più delle volte riferimento (mgri tcito) l Teorem 1.2 invece che ll Integrli impropri e serie Per < < b indichimo con f un funzione [, b[ R integrbile secondo Riemnn d d B per ogni B ], b[. Se ggiungimo le ipotesi che (i) b si finito e (ii) f si limitt, l funzione è dott di integrle di Riemnn d b, con b B f(x) dx = lim f(x) dx. (3) int2 B b Dto rbitrrimente ε > 0, inftti, si B ], b[ come nell (2) e si {x 0 = < < x m 1 = B} un prtizione di [, B] per l qule, grzie ll ipotesi di integrbilità su [, B], risulti m 1 h=1 ( sup f ]x h 1,x h [ inf f ]x h 1,x h [ ) (x h x h 1 ) < ε 2. Allor {x 0 = < < x m 1 = B < x m = b} è un prtizione di [, b] per l qule risult ( ) m sup f inf f (x h x h 1 ) < ε ]x h 1,x h [ ]x h 1,x h [ h=1 (cfr. l dimostrzione del Teorem 1.1), d cui l integrbilità secondo Riemnn di f su [, b]. Che poi vlg l (3) è conseguenz immedit di b B f(x) dx b f(x) dx = f(t) dt sup f (b B) < ε/2. B Lscimo cdere lmeno un tr l (i) e l (ii). Il primo membro dell (3) non h più senso come integrle di Riemnn: lo chimimo integrle improprio di f d b. Il limite nel secondo membro (con l intes che b si legg come se b = ) non è detto che esist, né, se esiste, che si finito. Se esiste dicimo che il suo vlore è quello dell integrle improprio primo membro, che chimimo convergente o divergente second che si finito o no. [,b] 5

6 In mnier nlog qunto bbimo ppen visto si ffront poi il cso di un funzione f definit su un ], b], dove < b <, e integrbile secondo Riemnn su ogni sottointervllo [A, b], < A < b, col vlore dell integrle improprio dto d b f(x) dx = lim A + b A f(x) dx (4) int3 nel cso che il limite esist (e con l intes che + si legg come se = ). Se infine f è un funzione definit su un ], b[ con < b e integrbile secondo Riemnn su ogni sottointervllo [A, B] con < A < B < b, il suo integrle improprio d b vle b f(x) dx = B lim f(x) dx (5) int4 A +,B b A nel cso che entrmbi i limiti indipendenti! esistno senz essere uguli uno + e l ltro. e2.1 Esempio 2.1. (i) Si f(x) = x α, 0 < K x <. L funzione B K x α dx vle (B 1 α K 1 α )/(1 α) se α 1 e log B log K se α = 1. Ne segue che x α è dott di integrle improprio d 1 convergente (e ugule K 1 α /(α 1)) o divergente ( + ) second che α > 1 o α 1. (ii) Si f(x) = x α, 0 < x K <. L funzione K A x α dx vle (K 1 α A 1 α )/(1 α) se α 1 e log K log A se α = 1. Ne segue che x α è dott di integrle improprio d 0 1 convergente (e ugule K 1 α /(1 α)) o divergente ( + ) second che α < 1 o α 1. 3 Criterio del confronto, convergenz ssolut, convergenz condiziont Un serie rele n=k n (dove K è qulche nturle) si può scrivere come integrle improprio dell funzione [K, [ x n 1 [n,n+1[ (x) n=k (che su ogni intervllo limitto soddisf l ipotesi del Teorem 1.1 e di conseguenz è integrbile). Ciò rende interessnte, nel contesto dell integrzione impropri, pprofondire lcune questioni reltive lle serie. Ricordimo il criterio del confronto per le serie termini non negtivi: se due successioni reli { n } e {b n } verificno definitivmente 0 n b n 6

7 l convergenz dell b n implic quell dell n, mentre l divergenz dell n implic quell dell b n. Qundo i termini di un serie soddisfno, d un certo punto in poi, le disuguglinze strette n > 0, un utile ppliczione del criterio del confronto è il criterio del rpporto: condizione sufficiente ffinché n converg è che esist un numero ϱ ]0, 1[ tle che dove K è un opportuno nturle. Inftti dlle disuguglinze n+1 / n ϱ per n K (6) rpporto K+1 K ϱ, K+2 K+1 ϱ,..., n+k n 1+K ϱ si ricv che n+k n+k 1 ϱ K+1 ϱ n 1 K ϱ n e quindi che l serie n n+k è mggiort termine termine dll serie convergente n Kϱ n (prodotto di un costnte per l serie geometric di rgione ϱ). Se il rpporto n+1 / n tende un limite L < 1, l (6) vle con un qulunque ϱ fissto in ]L, 1[ ptto di prendere K = K(ϱ) sufficientemente grnde. Esempio 3.1. (i) Siccome 1 (n + 1)! n! = 1 n per n l serie n 1/n! converge (e si dimostr che l su somm è e). (ii) L serie n n!/nn converge perché (n + 1)! n n ( ) n n ( (n + 1) n+1 n! = = 1 1 ) n 1 n + 1 n + 1 e < 1. Se n+1 / n tende un limite L > 1 l serie diverge, perché per un opportuno ν N i suoi ddendi verificno n+1 / n 1 per n ν, e quindi ν+p ν per p N: viene meno l condizione n 0 che sppimo essere necessri per l convergenz. Se n+1 / n 1 può ccdere si che l serie converg, come l n α con α > 1, e si che diverg, come l n α con α 1. E se i termini n dell serie non sono di segno costnte? Si può pssre llo studio dell serie n dei moduli e controllre se converge. In tl cso, ess soddisf l condizione di Cuchy. M llor soddisf l condizione di Cuchy nche l n : inftti il primo membro dell disuguglinz n+1 + n n+1 n+1 + n n+1 è minore di ε > 0 se lo è il secondo membro. Ne segue llor nche l convergenz, che chimimo ssolut, dell serie di prtenz n. Tornimo gli integrli impropri. Nell mggior prte dei csi di specifiche funzioni bisogn spettrsi che il clcolo esplicito dei limiti che compiono nelle formulzioni generli secondo membro dell (3) o dell (4) o dell (5) si riveli semplicemente impossibile. È dunque utile poter disporre di un criterio di convergenz/divergenz di integrli impropri, che rigurd funzioni non negtive e costituisce l generlizzzione del criterio del confronto per serie termini non negtivi. 7

8 tint1 Teorem 3.1 (del confronto). Sino f, g : [, b[ R, dove < < b, funzioni entrmbe integrbili secondo Riemnn d B per ogni B [, b[ m né l un né l ltr d b, con 0 f(x) g(x) per x < b. (7) int5 Allor l integrle improprio d b di f converge se converge quello di g, mentre quello di g diverge se diverge quello di f. Dimostrzione. Dll (7) segue che B f(x) dx B g(x) dx. Entrmbi gli integrli sono funzioni crescenti dell B dl momento che i loro integrndi sono 0, e di conseguenz mmettono limite per B b. L conclusione segue subito. Proseguimo con l nlogi l (e in effetti con l generlizzzione del) cso delle serie. Su [, B] [, b[ l integrbilità secondo Riemnn di f implic quell del modulo f, dell prte positiv f + e dell prte negtiv f ; se d b converge l integrle improprio di f dicimo che quello di f converge ssolutmente, e grzie l Teorem del confronto vle il tint2 Teorem 3.2. Per < < b l integrle improprio di un f : [, b[ R, integrbile secondo Riemnn d B per ogni B [, b[ m non d b, se è ssolutmente convergente è nche convergente. Dimostrzione. Siccome 0 f +, f f l convergenz dell integrle improprio di f implic quell degli integrli impropri di f + e di f, dunque quell di f = f + f. Il precedente enuncito non si inverte: può ben ccdere che un integrle improprio converg m non ssolutmente, ovvero che converg condiziontmente. ex32 Esempio 3.2. L integrle improprio (detto di Dirichlet) D = 0 converge condiziontmente. Per vedere questo bst limitrsi ll intervllo di integrzione [1, [, visto che l integrndo, posto ugule un qulunque numero rele per x = 0, è integrbile secondo Riemnn d 0 1. Per 1 < K < si ottiene, integrndo per prti, K 1 sin x x cos x dx = x sin x x K 1 dx K Siccome l integrndo nel secondo membro è mggiorto in vlore ssoluto dll funzione x 2 che è dott di integrle improprio convergente d 1, il limite per K esiste finito. Dunque D è un integrle improprio convergente. Non ssolutmente convergente, però: 1 cos x x 2 dx. (2k+1)π 2kπ sin x x dx = (2k+1)π 2kπ sin x x dx 1 (2k+1)π sin x dx = (2k + 1)π 2kπ 8 1 (2k + 1)π cos x (2k+1)π = 2kπ 2 (2k + 1)π

9 e quindi D k=1 (2k+1)π 2kπ sin x x dx k=1 In mnier nlog si verific che l integrle improprio J = 1 cos x x dx 1 (k + 1)π =. converge, m non ssolutmente. A questo punto si verific nche che converge, m non ssolutmente, l integrle improprio l sostituzione y = x 2 dà inftti F = F = sin x 2 dx : sin y y dy = 1 2 J. Il prossimo esempio estende, prtire dll Esempio 2.1, l clsse delle funzioni su cui ppoggirsi per l utilizzo prtico del criterio del confronto. Esempio 3.3. (i) L integrle improprio su R di 1/(1+ x α ) converge o diverge second che α > 1 o α 1. Per convincersene bst limitrsi ll semirett x K > 0 (per K x K non ci sono problemi e per x K si utilizz l simmetri del modulo): siccome lim x x α /(1 + x α ) = 1, esiste un K > 0 tle che x α x α 2xα per x K e si conclude tenendo conto dell Esercizio 2.1 (i). (ii) Per < < b < gli integrli impropri di 1/(x ) α e di 1/(b x) α d b convergono o divergono second che α < 1 o α 1. Inftti si vede, sostituendo y = x nel primo e y = b x nel secondo, che entrmbi sono uguli b dy y α e per concludere si tiene conto dell Esercizio 2.1 (ii). 0 Il criterio del confronto per l convergenz/divergenz degli integrli impropri si può pplicre in prticolre d un serie n n ( termini 0) qundo esiste un funzione f continu e decrescente in un semirett [K, [ (K N) che verific f(n) = n e quindi n+1 f(x) n. In tl cso inftti risult d cui n+1 n+1 n=k n+1 n K f(x) dx n f(x) dx n, e si rriv l criterio integrle di convergenz o divergenz per le serie: se l integrle improprio di f converge, converge n n+1 e quindi nche n n; se l integrle improprio di f diverge, n n diverge. n=k 9

10 Questo criterio può rivelrsi uno strumento prezioso qundo gli ltri criteri sono di ppliczione un po troppo complict. Si pensi già ll serie rmonic generlizzt n α : dll Esempio 2.1 segue subito l convergenz o l divergenz second che α 1 o α > 1. Ancor più illuminnte è il cso dell (n log n) 1 : il confronto con le serie rmoniche generlizzte non fornisce nessun informzione che permett di concludere, mentre bst osservre che l funzione (x log x) 1, essendo l derivt di log(log x), h integrle improprio divergente, per ottenere l divergenz dell serie. L nlogi tr integrli impropri e serie deve perltro essere mneggit con cutel. Se, d esempio, un serie n converge, si pure solo semplicemente, il suo termine generle n è infinitesimo per n, mentre se l integrle improprio di un funzione f su un intervllo superiormente illimitto converge non è fftto detto che f(x) 0 per x : si pensi f(x) = sin x 2, 1 x < (Esempio 3.2), o ncor meglio ll funzione f(x) = n1 [n,n+1/n 3 ](x), n=1 ddirittur illimitt su ogni semirett [K, [ eppure dott di integrle improprio ssolutmente convergente ugule n=1 1/n2. Dunque non si può pensre di estendere dlle serie gli integrli impropri un qulche versione puntule! del criterio di convergenz di Cuchy (e inftti per dimostrre col Teorem 3.2 che l convergenz ssolut implic l convergenz simo ricorsi l Teorem del confronto 3.1, mentre per le serie si utilizz trnquillmente Cuchy). 4 Integrli di Riemnn dipendenti d prmetri Nel corso di Clcolo 1 si incontrno delle prticolri, e importntissime, funzioni definite medinte integrli: quelle dell form [c, d] x x c f(t) dt. Pssimo desso ll mbito delle funzioni di più vribili, servendoci in mnier rilevnte dell uniforme continuità di un funzione continu in un chiuso e limitto C grntit dl Teorem di Heine Cntor 1. Comincimo col T6 Teorem 4.1. Si f un funzione continu in I [c, d] con I intervllo chiuso e limitto, < c < d <. Allor F (x) = d c f(x, t) dt è continu in I. Se poi si suppone che per ogni t [c, d] esist l derivt f x (x, t) di I x f(x, t) e che f x C 0 (I [c, d]), llor nche F è dott di derivt continu in I. F (x) = d c f x (x, t) dt (8) L Dimostrzione. Sino x 0, x I. Grzie ll uniforme continuità dell funzione f nel rettngolo chiuso e limitto I [c, d] possimo ssocire d ogni ε > 0 un δ = δ ε > 0 tle che f(x, t) f(x 0, t) ε per t [c, d] 1 Anche in più vribili l uniforme continuità in C segue, senz pssre per Heine Cntor, d proprietà più forti dell continuità, come l lipschitzinità. M quest ultim, senz qulche ulteriore ipotesi su C, come d esempio l convessità che consente di pplicre su ogni segmento contenuto in C il Teorem del vlor medio in un vribile, non è più su volt conseguenz utomtic dell regolrità C 1. 10

11 e quindi, mggiorndo in modulo l incremento ottenere F (x) F (x 0 ) = F (x) F (x 0 ) d c d c [f(x, t) f(x 0, t)] dt, f(x, t) f(x 0, t) dt ε(d c) purché x I verifichi x x 0 δ. Ciò mostr l continuità in x 0. Pssimo ll derivbilità in x 0, sfruttndo stvolt l uniforme continuità in I [c, d] dell funzione f x. Si dunque dto rbitrrimente ε > 0, e si δ = δ ε > 0 tle che f x (x, t) f x (x 0, t) ε per t [c, d] (9) J se x I con x x 0 δ. Si 0 < h δ tle che x 0 + h I. Applichimo il teorem di Lgrnge: d ogni t [c, d] corrisponde un η ]0, 1[, che dipende nche d h, tle che f(x 0 + h, t) f(x 0, t) h = f x (x 0 + ηh, t) (e, sebbene non si sppi null dell dipendenz di η d t, l funzione t f x (x 0 + ηh, t) è continu in [c, d] perché è ugule (f(x 0 + h, t) f(x 0, t))/h). Dunque, mggiorndo in modulo l differenz F (x 0 + h) F (x 0 ) d d [ ] f(x0 + h, t) f(x 0, t) f x (x 0, t) dt = f x (x 0, t) dt h h ottenimo F (x 0 + h) F (x 0 ) h c b = d c c [f x (x 0 + ηh, t) f x (x 0, t)] dt d f x (x 0, t) dt f x (x 0 + ηh, t) f x (x 0, t) dt < ε(d c). A questo punto l (8) per x = x 0 segue dll rbitrrietà di ε. Applicndo poi f x (x, t) il precedente risultto di continuità si ottiene nche l continuità di F in I. Nturlmente nel Teorem 4.1 gli estremi di integrzione possono essere scmbiti tr di loro: questo signific semplicemente pssre d F e F G = F e G = F. Adesso fccimo vrire gli estremi di integrzione. c T66 Teorem 4.2. Si f continu in I [c, d]. In C = I [c, d] [c, d] l funzione Φ(x, y, z) = è continu e dott di derivte przili continue z y f(x, t) dt Φ y (x, y, z) = f(x, y), Φ z (x, y, z) = f(x, z). (10) L Se poi si ggiunge l ipotesi che per ogni t [c, d] esist l derivt f x (x, t) di I x f(x, t) e che f x C 0 (I [c, d]), llor per ogni (y, z) [c, d] [c, d] l I x Φ(x, y, z) è dott nche dell derivt Φ x (x, y, z) = su volt continu in C. z y 11 f x (x, t) dt, (11) N

12 Dimostrzione. Per (x 0, y 0, z 0 ), (x, y, z) C scrivimo Φ(x, y, z) Φ(x 0, y 0, z 0 ) come somm z0 y 0 [f(x, t) f(x 0, t)] dt + y0 y f(x, t) dt + z z 0 f(x, t) dt. (12) U Il secondo e terzo ddendo sono rispettivmente mggiorti in modulo di prodotti di y y 0 e di z z 0 per il mssimo di f su I [c, d]. Si ε un qulunque rele positivo. Grzie l Teorem 4.1 sppimo che il primo ddendo dell (12) è mggiorto in vlore ssoluto d ε purché x x 0 si mggiorto d un opportuno δ = δ ε > 0. Poichè null impedisce di prendere δ ε, l quntità Φ(x, y, z) Φ(x 0, y 0, z 0 ) è mggiort dl prodotto di un costnte per ε non ppen (x, y, z) K verific x x 0 δ, y y 0 δ, z z 0 δ, e questo dimostr che in ogni punto (x 0, y 0, z 0 ) K l Φ è continu. Le (10) sono conseguenze immedite del teorem fondmentle del clcolo integrle pplicto, per ogni fissto x, ll funzione t f(x, t). Per ottenere l (11) in un punto (x 0, y 0, z 0 ) di K bst pplicre il risultto di derivzione del Teorem 4.1 ll funzione x z0 y 0 f(x, t) dt; pplicndo poi il precedente risultto di continuità con Φ sostituit d Φ x si ottiene l continuità di quest ultim in (x 0, y 0, z 0 ). oss42 Osservzione 4.1. Nelle due precedenti dimostrzioni è stt utilizzt l ipotesi che I si, oltre che chiuso, nche limitto. Però esse si ripetono tli e quli con le intersezioni [x 0 r, x 0 + r] I, r > 0, l posto di I, per cui i Teoremi 4.1 e 4.2 continuno vlere con l intervllo I chiuso m non limitto. Dl teorem precedente possimo finlmente dedurre il T5 Teorem 4.3. Si f C 0 (I [c, d]) con I intervllo chiuso, < c < d <, e sino ϕ, ψ C 0 (I) tli che c ϕ(x), ψ(x) d. L funzione G(x) = ψ(x) ϕ(x) f(x, t) dt è continu su I; se poi si ggiungono le ipotesi che per ogni t [c, d] esist l derivt f x (x, t) di I x f(x, t) continu in I [c, d] e che ϕ, ψ pprtengno C 1 (I), llor G è dott di derivt continu in I. G (x) = ψ(x) ϕ(x) f x (x, t) dt + f(x, ψ(x))ψ (x) f(x, ϕ(x))ϕ (x) Dimostrzione. Continuità dell funzione compost G(x) = Φ(x, ϕ(x), ψ(x)); derivbilità dell funzione compost (dl momento che Φ è C 1 ), e dunque poi le (10) e l (11). G (x) = Φ x (x, ϕ(x), ψ(x)) + Φ y (x, ϕ(x), ψ(x))ϕ (x) + Φ z (x, ϕ(x), ψ(x))ψ (x), 12

13 Il Teorem 4.3 h un ppliczione importnte nel metodo di Duhmel per l risoluzione di equzioni differenzili lineri non omogenee coefficienti costnti. Comincimo dl I ordine. Per R e f C 0 (]c, d[) si verific in un ttimo che l funzione y(t) = t t 0 e (t s) f(s) ds (13) ord1 soddisf l equzione linere y + y = f(t) (insieme ll condizione di Cuchy y(t 0 ) = 1): non c è bisogno di ricorrere l Teorem 4.3, visto che il secondo membro si riscrive e t t t 0 e s f(s) ds con l integrndo che non dipende dl prmetro t, e di conseguenz si deriv elementrmente. Tuttvi l (13) è istruttiv, perché fornisce l I ordine l formul di Duhmel y(t) = t t 0 Y (t s)f(s) ds (14) P con Y (t) che qui denot l soluzione e t dell equzione omogene Y + Y = 0 che soddisf l condizione di Cuchy Y (0) = 1. Pssimo l II ordine. TDu Teorem 4.4. Sino, b R, f C 0 (]c, d[). L funzione (14) con Y (t) soluzione del problem di Cuchy Y + Y + by = 0, Y (0) = 0, Y (0) = 1 è un soluzione dell equzione non omogene y + y + by = f(t), (15) Du e più esttmente l unic d nnullrsi in t 0 insieme ll su derivt prim. Dimostrzione. Adesso bisogn pplicre, per due volte, l regol di derivzione degli integrli dipendenti d un prmetro. Si ottiene prim poi e infine t t y (t) = Y (0)f(t) + Y (t s)f(s) ds = t 0 Y (t s)f(s) ds, t 0 t t y (t) = Y (0)f(t) + Y (t s)f(s) ds = f(t) + t 0 Y (t s)f(s) ds t 0 t y (t) + y (t) + by(t) = f(t) + [Y (t s) + Y (t s) + by (t s)]f(s) ds = f(t) t 0 cioè l tesi. (Abbimo utilizzto l equzione omogene soddisftt d Y nei punti t s.) 13

14 Esempio 4.1. Si b R. L integrle generle dell equzione y + by = f(t) vle per b > 0, e invece c 1 sin t b + c 2 cos t t sin (t s) b b + f(s) ds t 0 b t c 1 e t b + c 2 e t b e (t s) b e (t s) b + t 0 2 f(s) ds b per b < 0. Prendimo in prticolre b = 1, f(t) = 1/ cos t per π/2 < t < π/2. L funzione (14) con t 0 = 0 è llor t 0 sin(t s) cos s ds = t 0 sin t cos s cos t sin s cos s = t sin t + cos t log(cos t). t sin s ds = t sin t cos t 0 cos s ds Il metodo di Duhmel che bbimo finor illustrto per le equzioni del I e del II ordine si trsport immeditmente un qulunque ordine N: per 0,..., N 1 R e f C 0 (]c, d[) l equzione y (N) + N 1 y (N 1) y + 0 y = f(t) è soddisftt dll funzione y(t) che h l espressione (14) con Y (t) soluzione desso dell omogene Y (N) + N 1 Y (N 1) Y + 0 Y = 0 che soddisf le condizioni di Cuchy Y (0) = Y (0) = = Y (N 2) (0) = 0, Y (N 1) (0) = 1. L verific troppo lung! si f con N derivzioni successive ttrverso il Teorem 4.3. Qui ci limitimo d osservre che nel cso prticolrissimo 0 = = N 1 = 0 l funzione Y (t) richiest è l t n 1 /(n 1)!, per cui 1 t y(t) = (t s) n 1 f(s) ds (n 1)! t 0 è l soluzione di y (N) = f(t) che si nnull in t 0 insieme tutte le sue derivte fino ll (n 1) esim. 5 Integrli impropri dipendenti d prmetri Per dimostrre, tr un ttimo, il Teorem 5.2 ci serviremo dell definizione e del risultto seguenti. Si dt un successione di funzioni F n definite su un intervllo I. Le F n convergono uniformemente in I un funzione F se, dto comunque ε > 0, esiste un ν = ν ε N tle che F n (x) F (x) < ε per x I, n ν. (16) unif T6 Teorem 5.1. (i) Se le funzioni F n : I R sono continue in un punto x 0 I e convergono uniformemente in I, llor nche F = lim n F n è un funzione continu in x 0. 14

15 (ii) Se le funzioni F n : I R sono continue in ogni punto di I e convergono uniformemente in I, llor F = lim F n verific lim n b F n (x) dx = b F (x) dx per, b I. (17) unif (iii) Se le funzioni F n : I R sono di clsse C 1 in I, con {F n (x 0 )} convergente per qulche scelt di x 0 I e le F n uniformemente convergenti in I, llor F = lim n F n è di clsse C 1 con lim n F n = F. (18) unif Dimostrzione. (i) Fissimo rbitrrimente un ε > 0 e ssocimogli ν N in modo che vlg l (16). Grzie ll ipotesi di continuità di ogni F n in x 0 esiste un δ = δ ε,ν > 0 tle che Allor (tecnic dei tre ε) F ν (x) F ν (x 0 ) < ε per x I, x x 0 < δ. F (x) F (x 0 ) F (x) F ν (x) + F ν (x) F ν (x 0 ) + F ν (x 0 ) F (x 0 ) < 3ε, d cui l continuità di F in x 0. (ii) Innnzitutto sottolineimo che F è continu in ogni punto di I grzie l punto (i), e di conseguenz è integrbile l pri di tutte le F n su ogni intervllo chiuso e limitto di I. Fissimo poi un rbitrrio ε > 0 e ssocimogli ν N in modo che vlg l (16). Allor b F (x) dx b b F n (x) dx F (x) F n (x) dx < ε(b ) per n ν. Ciò prov l (17). (iii) Per ogni x I il Teorem fondmentle del Clcolo dà F n (x) = F n (x 0 ) + x x 0 F n(t) dt. Ponendo α = lim n F n (x 0 ) e G = lim n F vedimo che, in virtù del punto (ii), il secondo membro tende α + x x 0 G(t) dt. (19) unif M llor F (x) = lim n F n (x) esiste e ssume il vlore (19) per ogni x, d cui α = F (x 0 ) e, derivndo, G(x) = F (x). Osservzione 5.1. Nel punto (i) del teorem l ipotesi di uniforme convergenz delle F n è essenzile, come si vede con semplicissimi esempio: per dirne uno, quello delle funzioni continue F n (x) = 1 e nx2, x I = R, che convergono puntulmente ll funzione discontinu che vle 0 in 0 e d 1 in R \ {0}. Invece si l (17) e si l (18) vlgono sotto ipotesi molto più deboli dell uniforme convergenz rispettivmente delle F n e delle F n. Estendimo il Teorem 4.1 gli integrli impropri. 15

16 T6 Teorem 5.2. Si f un funzione continu in I ]c, d[ con I intervllo chiuso, c < d. Supponimo che f(x, t) g(t) per (x, t) I ]c, d[ (20) Q con g funzione rele 0 dott di integrle improprio (ssolutmente) convergente su ]c, d[. Allor l funzione I x F (x) = d c f(x, t) dt è continu. Se poi si ggiungono le ipotesi che per ogni t ]c, d[ esist l derivt f x (x, t) di I x f(x, t), che f x C 0 (I ]c, d[) e che vlg un disuguglinz llor l funzione F st in C 1 (I) con f x (x, t) g(t) per (x, t) I ]c, d[, (21) es F (x) = d c f x (x, t) dt. Dimostrzione. Sino {c n }, {d n } ]c, d[ tli che c n c e d n d. Dl Teorem 4.1 (e ll luce dell Osservzione 4.1 se I è illimitto) sppimo che per ogni n l funzione dn I x F n (x) = f(x, t) dt (22) prm c n è continu. D ltr prte, dll convergenz dell integrle improprio di g segue che, dto comunque ε > 0, esiste un ν = ν ε N tle che cn c g(t) dt + d d n g(t) dt ε per n ν. (23) eqg Dunque l (20), oltre grntire che per ogni x I l funzione t f(x, t) è dott di integrle improprio ssolutmente convergente, ovvero che F (x) è ben definit, fornisce nche l disuguglinz cn d f(x, t) dt + f(x, t) dt ε per x I, n ν. c d n M llor cn d F (x) F n (x) f(x, t) dt + f(x, t) dt ε per x I, n ν. d n c Ne segue che in I l successione delle funzioni continue F n (x) converge uniformemente in I d F (x), e quindi (Teorem 5.1 (i)) che quest ultim è continu. In mnier nlog, sotto l ipotesi di derivbilità di x f(x, t) si ricv innnzitutto, grzie l Teorem 4.1 (e ll Osservzione 4.1 se I è illimitto), che per ogni n l funzione (22) è derivbile in I con F n(x) = bn n f x (x, t) dt. Dll (21) segue poi che per ogni x I l funzione t f x (x, t) è dott di integrle improprio ssolutmente convergente, ovvero che l funzione I x G(x) = 16 d c f x (x, t) dt

17 è ben definit; inoltre G C 0 (I) grzie ll prim prte del teorem. Si ε > 0 rbitrrimente fissto, e si di nuovo ν = ν ε N tle che vlg l (23). Allor risult per cui cn G(x) F n(x) c d f x (x, t) dt + f x (x, t) dt ε d n cn c per x I, n ν d f x (x, t) dt + f x (x, t) dt ε per x I, n ν. d n Ne segue che l successione delle funzioni continue F n(x) converge uniformemente G(x), e quindi (Teorem 5.1 (iii)) F (x) = lim n F n (x) è derivbile con F (x) = G(x). Nturlmente non è fftto restrittivo richiedere che le disuguglinze (20) e (21) vlgno con l stess funzione g(t): se si prte d due diverse funzioni nei secondi membri bst prendere l loro somm per ricondursi lle ipotesi del teorem. Esempio 5.1. Fissimo x in I = [, [, > 0. Su ]c, d[=]0, [ si l funzione t f(x, t) = t 1 e tx sin t che l su derivt t f x (x, t) = e tx sin t sono mggiorte in modulo dll funzione continu g(t) = e t, che h integrle improprio ssolutmente convergente. Dunque l F (x) = è continu e nzi derivbile per x, con F (x) = 0 0 tx sin t e dt t e tx sin t dt. Esempio 5.2. L funzione f(x, t) = xe xt soddisf tutte le ipotesi del Teorem 4.1 con I = R e [c, d] qulunque. Si può dedurre d questo che il suo integrle di Riemnn su [c, d] è un funzione continu, nzi derivbile dell x; più direttmente, bst tener conto che xe xt = ( e xt ) e pplicre il Teorem Fondmentle del Clcolo. Invece F (x) = è definit su [0, [, m non è continu in 0: 0 xe xt dt = e xt F (0) = 0, F (x) = 1 per x > 0 (e in qulunque intervllo [0, b] si h convergenz puntule m non uniforme di F n (x) = n 0 xe xt dt = e xt n F (x): cfr il Teorem 5.1 (i)). Inftti non si pplic il Teorem 5.2: non esiste un funzione ]0, [ t g(t) dott di integrle improprio convergente e tle che vlg l (20), dl momento che per 1/t b il sup 0 x b xe xt vle (et) 1. Per gli integrli impropri semplicemente convergenti non vle il teorem di derivzione sotto il segno di integrle, come mostr il seguente

18 Esempio 5.3. Per x > 0 l funzione F (x) = 0 sin tx t è costnte, come si vede operndo il cmbimento u = tx dell vribile d integrzione. Dunque F (x) = 0, mentre l integrle improprio dell derivt dell funzione x (sin tx)/t, cioè di cos tx, non solo non vle identicmente 0, m non è neppure convergente. 6 Il Teorem di Dini per funzioni sclri Nel pino euclideo l equzione di un rett dt F (x, y) = x + by + c = 0 con, b, c numeri reli ed 2 +b 2 > 0 è risolubile rispetto y in funzione dell x (con y = x/b c/b) se F y = b 0, cioè se l rett non è verticle, e rispetto x in funzione dell y (con x = by/ c/) se F x = 0, cioè se l rett non è orizzontle. Per frl breve, qui tutto l insieme dei punti del pino che verificno l equzione è sempre il grfico di un funzione dell x o dell y second che F y 0 o F x 0 (senz che un cso esclud necessrimente l ltro). Se però F è un generic funzione Ω R con Ω perto di R 2 non è fftto detto che l insieme dei punti (x, y) Ω che soddisfno l equzione F (x, y) = 0 si sempre il grfico di un funzione y = f(x) o di un funzione x = g(y) e nemmeno che si un curv, né, perfino, che si. Per rendersene conto già bsterebbe osservre che un qulunque sottoinsieme S del pino coincide con l insieme delle soluzioni dell equzione F (x, y) = 1 S (x, y) 1 = 0. M quest è un F che in generle non h l minim regolrità. Ebbene, prendimo un F regolrissim: Esempio 6.1. Per ogni r R si F (x, y) = x 2 + y 2 r. L insieme Z delle soluzioni dell equzione F (x, y) = 0 è vuoto se r < 0 e coincide col solo punto (0, 0) se r = 0: dunque non è un grfico in nessuno dei due csi. Si r > 0. Nenche llor è vero che tutto Z, essendo l circonferenz di centro l origine e rggio r, si un grfico. Però Z è loclmente grfico di un funzione o dell x oppure dell y (senz che un cso esclud necessrimente l ltro). Vedimo i dettgli. In un opportuno intorno perto A di un punto (x 0, y 0 ) Z tle che F y (x 0, y 0 ) = 2y 0 0, per cui l rett tngente ll circonferenz nel punto non è verticle, i punti di Z sono quelli del grfico di y = r x 2 o di y = r x 2 second che y 0 > 0 (e llor A è l intero semipino delle y > 0) o y 0 < 0 (e llor A è l intero semipino delle y < 0). Se però y 0 = 0, e quindi x 0 = r o x 0 = r, non esiste nessun intorno del punto, per qunto piccolo, l cui intersezione con Z si grfico di un funzione dell x. In un opportuno intorno perto A di di un punto (x 0, y 0 ) Z tle che F x (x 0, y 0 ) = 2x 0 0, per cui l rett tngente ll circonferenz nel punto non è orizzontle, i punti di Z sono quelli del grfico di x = r y 2 o di x = r y 2 second che x 0 > 0 (e llor A è l intero semipino delle x > 0) o x 0 < 0 (e llor A è l intero semipino delle x < 0). Invece non esiste nessun intorno, per qunto piccolo, del punto (0, r) o del punto (0, r) l cui intersezione con Z si grfico di un funzione dell y. 18

19 Il precedente esempio illustr significtivmente il cso di un clsse bbstnz generle di equzioni F (x, y) = 0, trnne per un spetto (non di poco conto). Come vedremo col prossimo risultto, inftti, sotto opportune ipotesi esiste un intorno di un soluzione (x 0, y 0 ) dell equzione in cui quest ultim definisce implicitmente un delle due vribili come funzione dell ltr, nel senso che le soluzioni dell equzione che cdono nell intorno sono tutti e soli punti del grfico di tle funzione; di quest ultim però srà impossibile, in genere, dre un espressione esplicit come invece si è fcilmente ftto nell esempio. t6.1 Teorem 6.1. Si F di clsse C 1 in un perto Ω di R 2. Supponimo che per un (x 0, y 0 ) Ω risulti F (x 0, y 0 ) = 0 e F y (x 0, y 0 ) 0. Allor esiste un perto A =]x 0 α, x 0 + α[ ]y 0 β, y 0 + β[ Ω in cui (F y si mntiene 0, e) l equzione F (x, y) = 0 definisce implicitmente un funzione y = f(x) continu, ed nzi di clsse C 1 ; l derivt di f si ottiene derivndo rispetto d x l identità F (x, f(x)) = 0, d cui F x (x, f(x)) + F y (x, f(x))f (x) = 0 e quindi f (x) = F x(x, f(x)) F y (x, f(x)) per x x 0 < α. (24) der Se poi l posto dell ipotesi F y (x 0, y 0 ) 0 vle l F x (x 0, y 0 ) 0 sussiste un enuncito che enuncimo sbrigtivmente così: l equzione F (x, y) = 0 definisce implicitmente, in un opportuno intorno di (x 0, y 0 ), un funzione x = g(y) di clsse C 1, l cui derivt si ottiene derivndo rispetto d y l identità F (g(y), y) = 0. Dimostrzione. Per fissre le idee supponimo F y (x 0, y 0 ) > 0. Grzie ll continuità di F y in Ω possimo pplicre il Teorem dell permnenz del segno e trovre due numeri reli positivi e β con l seguente proprietà: per x x 0 e y y 0 β risult F y (x, y) > 0, e di conseguenz ogni funzione y F (x, y) d x fissto è crescente. Poiché F (x 0, y 0 ) = 0, questo implic F (x 0, y 0 β) < 0 e F (x 0, y 0 + β) > 0. Applichimo di nuovo il Teorem dell permnenz del segno, quest volt lle due funzioni x F (x, u 0 β) e x F (x, y 0 + β): se α = α β è un numero rele positivo sufficientemente piccolo (per intendersi, tnto più piccolo qunto più piccolo è β) bbimo si F (x, y 0 β) < 0 che F (x, y 0 + β) > 0 per x nell intervllo chiuso [x 0 α, x 0 + α]. Fissimo l x nell intervllo perto 2 ]x 0 α, x 0 +α[ ed pplichimo il Teorem di esistenz degli zeri ll funzione continu e strettmente monoton y F (x, y): ottenimo F (x, f(x)) = 0 per un unico vlore f(x) strettmente compreso tr y 0 β e y 0 + β, cioè tle che f(x) y 0 < β. (25) cont Nturlmente f(x 0 ) = y 0. Pssimo ll dimostrzione dell (28). Come è detto nell enuncito, ess segue subito dll identità F (x, f(x)) = 0 in ]x 0 α, x 0 + α[ grzie ll regol di derivzione delle funzioni composte, ptto però di spere preliminrmente che f è derivbile, cos quest che non bbimo ncor ftto vedere. Comincimo col mostrre l continuità di f in ]x 0 α, x 0 +α[. Per x fissto in ]x 0 α, x 0 +α[ si h nche x + h ]x 0 α, x 0 + α[, e quindi (x + h, f(x + h)) A, se h è sufficientemente piccolo, dicimo h < k. Il teorem del vlor medio ssicur l esistenz di un τ ]0, 1[ tle che F (x + h, f(x + h)) F (x, f(x)) 2 Nturlmente qui nche l intervllo chiuso ndrebbe bene. Però qundo poi si psserà dll vribile sclre x d un vettorile frà comodo limitre quest ultim d un perto, in modo di poterle ssocire senz difficoltà l nozione di regolrità C 1 che nei chiusi divent delict se le vribili sono più di un. 19

20 = F x (x + τh, f(x) + τ(f(x + h) f(x)))h + F y (x + τh, f(x) + τ(f(x + h) f(x)))(f(x + h) f(x)). Il primo membro di quest identità è nullo, e dividendo per F y (x + τh, f(x) + τ(f(x + h) f(x))) m > 0, dove m = min A F y, ottenimo f(x + h) f(x) = F x(x + τh, f(x) + τ(f(x + h) f(x))) h. (26) incr F y (x + τh, f(x) + τ(f(x + h) f(x))) Il secondo membro si mggior con M h /m dove M = mx A F x, e questo mostr l continuità di f nel punto x. Grzie d ess l frzione nel secondo membro è il rpporto di due funzioni continue di h ] k, k[. Dividimo entrmbi i membri dell (26) per h 0: ottenimo f(x + h) f(x) h = F x(x + τh, f(x) + τ(f(x + h) f(x))) F y (x + τh, f(x) + τ(f(x + h) f(x))) e quindi l derivbilità di f fcendo tendere h 0. Osservzione 6.1. Come bbimo già ftto presente, in generle non possimo sperre di riuscire d esplicitre l f(x) ottenut grzie l Teorem di Dini. E questo f sì che tnto meno possimo servirci dell (28) per il clcolo di f (x), trnne per x = x 0. Se F è solo C 1 ci fermimo lì. M se F è più regolre possimo procedere oltre: derivimo entrmbi i membri dell (28) e ottenimo f (x) = F y 2 F xx 2F x F y F xy + Fx 2 F yy Fy 3. Tutte le funzioni del secondo membro sono clcolte in (x, f(x)), per cui è dto il loro vlore per x 0 = 0: desso disponimo dei vlori non solo di f(x 0 ) e di f (x 0 ), m nche di f (x 0 ). Così procedendo (beninteso nei limiti dell umnmente, e nche numericmente, possibile) possimo pensre di rrivre dre ll f un buono sviluppo di Tylor di punto inizile x 0. Osservzione 6.2. Abbimo visto che se F pprtiene C 1 (Ω), dove Ω è un perto di R 2, e per un (x 0, y 0 ) A verific F (x 0, y 0 ) = 0, F y (x 0, y 0 ) 0, llor esiste un intorno di (x 0, y 0 ) in cui l insieme di livello F = 0 coincide col grfico di un funzione y = f(x) di clsse C 1, cioè con un curv dott in (x 0, y 0 ) di rett tngente ovvero e quindi y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) y y 0 = F x(x 0, y 0 ) F y (x 0, y 0 ) (x x 0) F x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + F y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = 0. (27) 4.1 Per ottenere l equzione (27) dell rett tngente in (x 0, y 0 ) ll curv F = 0 bbimo utilizzto il Teorem di Dini sotto l ipotesi F y (x 0, y 0 ) 0. Però sremmo rrivti llo stesso risultto sotto l ipotesi F x (x 0, y 0 ) 0. Dunque possimo concludere che ogni punto (x 0, y 0 ) di Ω in cui F si nnull e F non è il vettore nullo h un intorno nel qule l equzione F = 0 definisce un curv regolre con rett tngente (l sostegno) in (x 0, y 0 ) dt dll equzione (27) o, ciò che è lo stesso, con rett normle di direzione F (x 0, y 0 ). 20

21 Il Teorem di Dini per le funzioni sclri di 2 vribili si estende con ovvie modifiche lle funzioni di N + 1 vribili. Privilegimo, m solo per semplificre l esposizione, il ruolo dell N + 1 esim vribile rispetto lle ltre, ed indichimo con (x, y), dove x = (x 1,..., x N ) R N e y R, il generico vettore di R N+1. t4.1 Teorem 6.2. Si F di clsse C 1 in un perto Ω di R N+1. Supponimo che per un (x 0, y 0 ) Ω risulti F (x 0, y 0 ) = 0 e F y (x 0, y 0 ) 0. Allor esiste un perto A = A 0 ]y 0 β, y 0 + β[ Ω con A 0 perto di R N in cui (F y si mntiene 0, e) l equzione F (x, y) = 0 definisce implicitmente un funzione y = f(x) continu, ed nzi di clsse C 1 ; l derivt di f rispetto d x k si ottiene derivndo rispetto d x k l identità F (x, f(x)) = 0, d cui F xk (x, f(x)) + F y (x, f(x))f xk (x) = 0 e quindi f xk (x) = F x k (x, f(x)) per x A 0. (28) der F y (x, f(x)) Nturlmente questo teorem continu vlere con l (N + 1) esim vribile sostituit d un qulunque delle prime N nell ipotesi che si divers d 0 l corrispondente derivt di F nel punto. Osservzione 6.3. Occupimoci di N = 2, ovvero dell equzione F (x, y, z) = 0. Se F pprtiene C 1 (Ω) con Ω perto di R 3 e in un punto (x 0, y 0, z 0 ) di Ω si h F (x 0, y 0, z 0 ) = 0, F z (x 0, y 0, z 0 ) 0, llor esiste un intorno di (x 0, y 0, z 0 ) in cui l insieme di livello F = 0 coincide col grfico di un funzione z = f(x, y) di clsse C 1, cioè con un superficie dott in (x 0, y 0, z 0 ) di pino tngente ovvero e quindi z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) z z 0 = F x(x 0, y 0, z 0 ) F z (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0) F y(x 0, y 0, z 0 ) F z (x 0, y 0, z 0 ) (y y 0) F x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + F y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + F z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0. (29) 4.1 Per ottenere l equzione (29) del pino tngente in (x 0, y 0, z 0 ) ll superficie F = 0 bbimo utilizzto il Teorem di Dini sotto l ipotesi F z (x 0, y 0, z 0 ) 0. Però sremmo rrivti llo stesso risultto sotto l ipotesi F x (x 0, y 0, z 0 ) 0 o l ipotesi F y (x 0, y 0, z 0 ) 0. Possimo dunque ffermre che ogni punto (x 0, y 0, z 0 ) di Ω in cui F si nnull e F non è il vettore nullo h un intorno nel qule l equzione F = 0 definisce un superficie con pino tngente (l sostegno) in (x 0, y 0, z 0 ) dt dll equzione (29) o, ciò che è lo stesso, con rett normle di direzione F (x 0, y 0, z 0 ). 7 Il Teorem di Dini per sistemi e l invertibilità locle Il Teorem di Dini si estende i sistemi di P equzioni in P + Q vribili. Qui ci occupimo di P = 2 e Q = 1, comincindo dl semplice cso linere { F (x, y, z) = x + by + cz + d = 0 G(x, y, z) = x + b y + c z + d (30) pi = 0 delle equzioni di due pini. Se i due pini sono prlleli, ovvero l mtrice jcobin [ ] [ ] (F, G) (x, y, z) = Fx F y F z b c = G x G y G z b c 21

22 h rngo 1, l loro intersezione o è vuot o coincide con entrmbi. Supponimo che il rngo si 2, dicimo con l mtrice jcobin [ ] [ ] (F, G) (y, z) = Fy F z b c = b c (31) pi G y di determinnte 0 per fissre le idee. Le soluzioni di (30) sono llor tutti e soli i punti di un rett, e possimo risolvere il sistem (31) rispetto y e z (come funzioni di x, ovvimente), ottenendo y = f(x) e z = g(x) dove G z [ ] [ ] f(x) (F, G) 1 [ ] x + d = g(x) (y, z) x + d. Nel cso generle pplichimo due volte di seguito il Teorem 6.2 per studire un più generle sistem di 2 equzioni sclri in 3 vribili { F (x, y, z) = 0 (32) ee4.2 G(x, y, z) = 0 indicndo con (x 0, y 0, z 0 ) un su soluzione. seguenti pssggi: Mettimoci in ipotesi che consentno di operre i mostrre, servendosi del Teorem 6.2 per N = 2, che in un intorno di (x 0, y 0, z 0 ) l prim delle (32) definisce implicitmente un funzione z = ϕ(x, y) di clsse C 1, con ϕ(x 0, y 0 ) = z 0 ; mostrre, servendosi stvolt del Teorem 6.1, che in un intorno di (x 0, y 0 ) l equzione Γ(x, y) = G(x, y, ϕ(x, y)) = 0 definisce implicitmente un funzione y = f(x) di clsse C 1, con f(x 0 ) = y 0. A questo punto bst porre g(x) = ϕ(x, f(x)) per verificre che in un intorno di (x 0, y 0, z 0 ) il sistem (32) definisce implicitmente due funzioni sclri y = f(x), z = g(x) di clsse C 1 ; derivndo le identità F (x, f(x), g(x)) = 0, G(x, f(x), g(x)) = 0 si ottengono le derivte przili di f e g come soluzioni del sistem di 2 equzioni { Fx (x, f(x), g(x)) + F y (x, f(x), g(x))f (x) + F z (x, f(x), g(x))g (x) = 0 G x (x, f(x), g(x)) + G y (x, f(x), g(x))f (x) + G z (x, f(x), g(x))g (x) = 0 ovvero [ ] f = g [ (F,G) (y,z) ] [ ] 1 Fx. L ipotesi che consente di effetture i pssggi richiesti è l seguente: [ ] (F, G) det (y, z) (x Fy (x 0, y 0, z 0 ) = det 0, y 0, z 0 ) F z (x 0, y 0, z 0 ) G y (x 0, y 0, z 0 ) G z (x 0, y 0, z 0 ) G x 0. (33) e4.4 22

23 Inftti l (33) implic innnzitutto che in (x 0, y 0, z 0 ) un lmeno delle derivte F y, F z si divers d 0, e non è restrittivo supporre che si trtti dell F z. Ottenimo così l ϕ, che inoltre sppimo derivre, in prticolre rispetto d y: ϕ y = F y F z. Clcolimo F y Γ y = G y + G z ϕ y = G y G z = 1 (F, G) det F z F z (y, z). Grzie di nuovo ll (33), Φ y (x 0, t 0, y 0 ) 0, per cui possimo ottenere l f e d qui concludere. 8 Integrle delle funzioni scl Indichimo con R un rettngolo (sottintendendo d or in poi, slvo esplicit indiczione in ltro senso, comptto): dicimo R = [, b] [c, d]. Un prtizione di R è un fmigli Π = {(x h, y k ) x 0 = < x 1 < < x m = b, y 0 = c < y 1 < < y n = b} (dove m ed n dipendono d Π). In mnier equivlente si può individure Π nche ssegnndo l fmigli F(Π) dei sottorettngoli S hk = [x h 1, x h ] [y k 1, y k ] ssociti Π. Un ltr prtizione ˆΠ di R è un rffinmento dell Π se l contiene. Si trtt di nozioni che qusi bnlmente trsferiscono ll dimensione 2 quelle utilizzte nel cso unidimensionle per lo studio dell integrle di Riemnn in un vribile, e noi qui ce ne servimo ppunto per introdurre l integrle di Riemnn in due vribili. Com è prevedibile, si trtt di un teori più compless d vri punti di vist. Il primo di essi v messo in luce fin d or: mentre un intervllo costituisce sostnzilmente il più generle dominio di integrzione sull rett, è intuitivmente ovvio che un rettngolo non può rppresentre l generlità dei possibili domini di integrzione nel pino. Ciò spieg perché desso, pur utilizzndo comunque in modo crucile il ruolo dei rettngoli e delle loro prtizioni, ci liberimo d vincoli predeterminti sugli insiemi di definizione delle funzioni e comincimo col prenderle definite su tutto R 2, nche se supporti 3 comptti. Un funzione limitt R 2 R supporto comptto, dunque null l di fuori di un rettngolo R, è un funzione scl se ssume vlori costnti negli interni S =]x hk h 1, x h [ ]y k 1, y k [ dei sottorettngoli S hk ssociti qulche prtizione Π di R; è degenere se ssume vlori non nulli solo su segmenti limitti verticli o orizzontli. Dunque un generic funzione scl si scrive sotto l form ϕ(x, y) = λ hk 1 S (x, y) + ϕ 0(x, y) (34) A hk h,k con λ hk R e ϕ 0 degenere. (Qui, come nel seguito, h,k st per h=1,...,m, k=1,...,n.) In tle definizione Π può essere sostituito d un suo qulunque rffinmento ˆΠ: se, d esempio, ˆΠ si ottiene ggiungendo Π i punti (x 1, y k), k = 1,..., n, con x 0 < x 1 < x 1, risult ϕ = λ 1k si nei sottorettngoli perti ]x 0, x 1 [ ]y k 1, y k [ che negli ]x 1, x 1[ ]y k 1, y k [. Inoltre R può essere sostituito d un qulunque rettngolo che lo conteng. Rientrno bnlmente nell definizione i csi di funzioni scl degeneri, cioè nulle l di fuori di un rettngolo degenere. Si ψ un ltr funzione scl, null l di fuori di un rettngolo R e costnte negli interni dei sottorettngoli ssociti d un opportun prtizione Π di R. Per quello che bbimo visto, possimo sempre ricondurci R = R (pssndo se necessrio un terzo rettngolo contenente 3 Il supporto di un funzione è l chiusur dell insieme dei punti in cui ess non si nnull. 23

24 R R ) e, un volt ftto questo, Π = Π (pssndo se necessrio l rffinmento comune Π Π ). Dunque nche ψ ssume un vlore costnte in ciscun S hk, dicimo ψ(x, y) = h,k µ hk 1 S hk (x, y) + ψ 0(x, y) (35) B con ψ 0 degenere. A questo punto si vede subito che l combinzione linere ϕ + bψ con, b R è ncor un funzione scl, che vle λ hk + bµ hk in S. hk Con l notzione A(S) per l re ( bse per ltezz ) di un qulunque rettngolo S, definimo integrle (elementre) dell ϕ dt in (34) il numero ϕ = λ hk A(S hk ). h,k In quest definizione l prtizione Π può essere sostituit d un suo qulunque rffinmento ˆΠ senz che veng lterto il vlore del secondo membro: per convincersene bst tornre ll esempio di ˆΠ dto un ttimo f ed osservre che λ 1k (x 1 x 0 )(y k y k 1 ) = λ 1k (x 1 x 0 )(y k y k 1 ) + λ 1k (x 1 x 1)(y k y k 1 ). L integrle elementre gode di tutte le proprietà che ci si spett d un buon integrle. Inftti si vede subito, servendosi delle espressioni (34) e (35) di ϕ e ψ, che è positivo: ϕ ψ per ϕ ψ dl momento che l condizione ϕ ψ si trduce nelle condizioni λ hk µ hk λ hk A(S hk ) µ hk A(S hk ). h,k h,k e quindi Inoltre è linere: (ϕ + bψ) = ϕ + b ψ per, b R dl momento che (λ hk + bµ hk )A(S hk ) = λ hk A(S hk ) + b µ hk A(S hk ). h,k h,k h,k Infine, ϕ = 0 se ϕ è degenere. 9 Integrle superiore e integrle inferiore Introducimo l notzione f L c col seguente significto: f è un funzione R 2 R limitt ed supporto comptto, dunque null l di fuori di un rettngolo R. L fmigli S + f delle funzioni semplici ϕ tli che ϕ f non è vuot, e l quntità { } f = inf ϕ ϕ S + f 24

25 è dett integrle superiore di Riemnn dell f. Notimo che un funzione di S + f come l (34) dovendo soddisfre ϕ f in S, quindi λ sup hk hk S hk S f per h = 1,..., m e k = 1,..., n verific nche λ hk A(S hk ) ( ) sup f A(S hk ). h,k h,k S hk Il secondo membro è l integrle elementre dell funzione semplice ( ) ψ(x, y) = h,k sup f S hk 1 S hk (x, y) + ϕ 0(x, y) (e dunque rimne inlterto se Π è sostituit d un suo rffinmento o R d un rettngolo che lo contiene). M ψ st su volt in S + f, e d qui si rriv o più concismente f = inf Π f = inf Π S F(Π) S F(Π) ( ) sup f A(S) S ( ) sup f A(S) S (e le sommtorie nel secondo membro sono chimte somme integrli superiori). Si constt subito che sulle funzioni di L c l integrle superiore è positivo f g per f g (dl momento che f g = S + f S+ g ), nonché positivmente omogeneo (f) = f per [0, [ (36) D e subdditivo (f + g) f + g (37) C (grzie ll linerità dell integrle elementre delle funzioni scl). Il prossimo esempio mostr che l integrle superiore non h, sull totlità delle funzioni di L c, l proprietà di linerità: pur essendo positivmente omogeneo non è omogeneo, e pur essendo subdditivo non è dditivo. e1 Esempio 9.1. Indichimo con f l funzione di Dirichlet 1 (Q [0,1]) 2. Siccome ( ) ( ) sup f A(S) = 1, sup( f) A(S) = 0 S S S F(Π) S F(Π) qule che si l prtizione Π di R = [0, 1] 2, e quindi f + ( f) = 1, con l presente scelt di f non vlgono né l identità dell (37) qundo = 1, né il segno ugule nell disuguglinz debole dell (36) qundo g = f. 25

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

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