Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

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1 Matematca II: Calcolo delle Probabltà e Statstca Matematca ELT A-Z Docente: dott. F. Zucca Eserctazone # 8 Gl esercz contrassegnat con (*) sono tratt da Eserc Prof. Secch # 0 - Statstca Matematca A Regressone lneare semplce Eserczo Per quattro Ingegner s sono osservat gl ann trascors dalla Laurea X e l reddto annuale lordo Y msurato n euro. I rsultat sono rassunt dalla seguente tabella: Ingegnere X Y 575, , ,42 436,55. S determn la retta d regressone d Y su X 2. Se Z = X 2, la retta d regressone d Y su Z spega una maggore proporzone d varabltà d Y rspetto alla retta determnata al punto precedente? 3. S stm l reddto annuale lordo d un Ingegnere laureato da 3 ann Eserczo 2 I valor assunt da due grandezze X ed Y n 20 dvers cas fornscono per entrambe le grandezze meda camponara nulla e varanze camponare s 2 X = 9 e s2 Y = 4 rspettvamente.. S determn la retta d regressone d Y su X sapendo che essa passa per l punto (3, ) 2. S calcol l coeffcente rxy 2 3. S determn la retta d regressone d X su Y Eserczo 3 (*)In una tabella sono raccolt seguent dat X Y Calcolare la retta d regressone d Y su X 2. Calcolare l coeffcente d correlazone d X ed Y 3. Calcolare l coeffcente d correlazone d X e Z = ln Y. Questo modello è mglore del precedente?

2 Eserczo 4 (*) S vuole studare la relazone tra le varabl Peso delle madr (X) e Peso de fgl (Y), entrambe msurate n Kg. Le osservazon (x, y ) per =,..., 2 sono tal che 2 = x = 800, 2 = y = 8, 2 = x2 = 5348, 2 = y2 = 54849, 2 = x y = Determnare la retta d regressone d Y su X. 2. Proporre uno stmatore non dstorto per la varanza σ 2 delle component d errore ε del modello d regressone. Supposte valde le potes gaussane: 3. verfcare l potes nulla H 0 : β = 0 contro H : β 0 al lvello del 2%. 4. verfcare se la retta d regressone passa per l orgne al lvello del 2%. Eserczo 5 (*) Nel corso d uno studo naturalstco sono stat raccolt dat su 8 esemplar d una certa spece d albero: sono state msurate le altezze x (n metr) e pes y (n Kg.). Nell ntento d evdenzare una relazone tra le grandezze s potzza un legame lneare: y = β 0 + β x + ε sotto le potes gaussane (coè ε N ( 0; σ 2) ). Dopo l esecuzone della regressone, s sono trovat seguent valor per le stme de parametr e la somma de resdu al quadrato: ˆβ 0 = 0.2; ˆβ = 25.3; SS E = 72.5 con stme degl error standard d ˆβ 0 e ˆβ date da se ˆβ0 = ; se ˆβ = Calcolare un ntervallo d confdenza al lvello 80% per β 0 e per β 2. verfcare se la retta d regressone passa per l orgne al lvello 20% ed al lvello 0% 3. calcolare gl ntervall d confdenza al 90% per la prevsone meda e per la prevsone del peso d un albero alto 0 metr. Eserczo 6 (*) In una certa comuntà s regstrano menslmente l consumo d gelat X msurato n Kg. e l numero d cas d allerga al pollne Y. I dat raccolt nell ultmo anno fornscono le seguent nformazon: Il coeffcente d correlazone vale 0.93 X = 20; S X = 00 Ȳ = 22; S Y = 5. S determn la retta d regressone d Y su X e se ne dsegn l grafco 2. S stm (puntualmente) l numero d cas d allerga n un mese n cu l consumo d gelat è par a 300 Kg. La prevsone ottenuta è buona? 2

3 2 Regressone lneare multpla Eserczo 7 (*) Da un elaborazone prelmnare su seguent dat: x y rsultano le seguent devazon standard camponare σ X = 2.427, σ Y = ed l coeffcente d correlazone ρ xy = S esegue una regressone lneare supponendo e che valgano le potes gaussane.. Stmare coeffcent β 0 e β. Y = β 0 + β x + ɛ 2. Calcolare un ntervallo d confdenza per β 0 al 95%. 3. S valut l opportuntà d aggungere l nuovo regressore x 2 Y = β 0 + β x + β 2 x 2 + ɛ con un test al 5% sapendo che per l modello n questone SS E = S consdera l seguente modello Y = β 0 + β x 3 + ɛ; quanto dovrebbe valere la somma de quadrat resdua affnché sa preferble questo modello a quello d regressone semplce? Eserczo 8 (*) Ad un gruppo d 4 uomn vengono msurat peso X, altezza Y e crconferenza toracca Z; l rsultato è rassunto nella seguente tabella: X (n Kg) Y (n cm) Z (n cm)

4 Eseguendo una regressone d X rspetto ad Y e Z s ottene n SS E = ( x x ) 2 = , SS R = SS T = = n ( x x) 2 = , = n (x x) 2 = 94.. Esegure un test per la sgnfcatvtà della regressone al 0%. 2. Determnare l P-value del test. Eserczo 9 = Una compagna d sondagg ha raccolto seguent dat crca l prezzo de vol aere (Y), la dstanza chlometrca tra l aeroporto d partenza e d arrvo (X) e l numero d post dsponbl Y X X all atto dell acqusto (X2): Stmare coeffcent della regressone multpla 2. Calcolare l coeffcente d detrmnazone multpla corretto R 2 adjusted 3. Stmare la varanza dell errore 3 Svolgment Soluzone Es.. Ipotzzamo che valga un modello del tpo Y = β 0 + β x. Per determnare la retta d regressone occorre calcolare le stme ˆβ 0 e ˆβ d β 0 e β rspettvamente. È noto che ˆβ = sxy s xx e ˆβ 0 = y ˆβ x; utlzzando queste formule e calcolando s xy = , s xx = 42 s yy = s ottene ˆβ 0 = 9904, 87 e ˆβ = 295, 9. L espressone della retta d regressone (stmata) è dunque ŷ = 9904, , 9x. 2. Per confrontare due modell d regressone utlzzamo l coeffcente d correlazone; è mglore l modello che presenta l coeffcente d correlazone pù alto. Il coeff. per la regressone d Y su Z è dato dala relazone r xy = s xy = 0, 969 sxx s yy mentre, calcolando quello d Z su X è dato da s yz = , s zz = 584, r zy = s zy szz s yy =. Il fatto che r zy = ndca non solo che l secondo modello è preferble al prmo (ha un coeff. d correlaz. maggore), ma anche che la relazone Y = ˆγ 0 + ˆγ z = 5493, , 23z è esatta. 4

5 3. Utlzzando dunque l secondo modello prevedamo che un Ingegnere laureato da 3 ann guadagn Y = 5493, , = 787, 76 euro. Soluzone Es. 2. Dett ˆβ 0 e ˆβ coeffcent della retta d regressone, s deve avere che = ˆβ 0 + ˆβ 3.. Questa equazone non è suffcente da sola a determnare ˆβ 0 e ˆβ. Per l modo n cu vene costruta la retta de mnm quadrat deve anche accadere che y = ˆβ 0 + ˆβ x. Dal testo sappamo che x = 0 e y = 0.. Rsolvendo l sstema ottenamo ˆβ 0 = 0 e ˆβ = 3. Dunque la retta d regressone (stmata) ha equazone y = 3 x. 2. Notamo che rxy 2 s può scrvere come rxy 2 cov(x,y )2 = var(x)var(y ). Non conoscendo dat, non possamo calcolare drettamente cov(x, Y ). Possamo però rcavarla osservando che ˆβ = cov(x,y ) var(x) (la varanza camponara d X è nota dal testo). S ha dunque cov(x, Y ) = ˆβ var(x) = 3 9 = 3. Da cò rcavamo nfne r2 xy = = 4 3. Chamamo ˆα 0 ed ˆα coeffcent della retta d regressone d X su Y. Utlzzando quanto vsto ne punt precedent possamo determnare ˆα come ˆα = cov(y, X) var(y ) = cov(x, Y ) var(y ) = 3 4. Inoltre, dalla relazone y = ˆα 0 + ˆα x rcavamo ˆα 0 = x ˆα y = 0. La retta d regressone d X su Y ha qund equazone ˆx = 3 4 y Soluzone Es.3 a) Calcolamo nnanztutto le mede camponare d X e Y. x = = ȳ =... = 3.75 Calcolamo ora coeffcent della retta d regressone d Y su X: ˆβ = S xy = (x x) (y ȳ) (x x) 2 =... = ˆβ 0 = ȳ ˆβ x = L espressone della retta d regressone (stmata) è dunque ŷ = x. b) Sccome s xx = 4.875, s yy = e s xy = , l coeffcente d correlazone d Y e X è dato da r xy = s xy sxx s yy = c) Per confrontare due modell d regressone utlzzamo l coeffcente d correlazone; è mglore l modello che presenta l coeffcente d correlazone pù alto. Facendo cont, trovamo che z = 2.58 e l coeffcente d correlazone d Z e X è dato da r zx = s zx szz s xx = Sccome r xz < r xy deducamo che è mglore l modello n a) d quello n c). Soluzone Es.4 5

6 . Per calcolare la retta d regressone ncomncamo a rcavare s xx e s xy da nostr dat. x = x = n ȳ = y = 67.6 n s xx = x 2 n x 2 = s xy = x y n xȳ = qund ˆβ = S xy = ˆβ 0 = ȳ ˆβ x = Uno stmatore non dstorto della varanza degl error della regressone è dato da ˆσ 2 = SS E n 2 = (y ŷ ) 2 (y ˆβ 0 ˆβ ) 2 x = =... 2 n 2 n 2 3. Voglamo testare l potes contro H 0 : β = 0 = β,0 H : β 0 Utlzzamo qund la statstca test ˆβ β,0 ˆσ2 / t n 2 accettando l potes nulla al lvello d sgnfcatvtà α se t α/2;n 2 ˆβ β,0 ˆσ 2 / t α/2;n 2. Sccome ˆβ ˆσ 2 /s xx = 3.6 > t α/2;n 2 = 2.764, allora rfutamo H 0 al lvello del 2%. 4. Voglamo testare l potes contro H 0 : β 0 = 0 = β 0,0 H : β 0 0 Utlzzamo qund la statstca test ˆβ 0 β 0,0 [ ] ˆσ t n 2 2 n + x2 2h ˆβ 0 β 0,0 rˆσ n + x2 accettando l potes nulla al lvello d sgnfcatvtà α se 2h t α/2;n 2 t Sxx α/2;n 2. [ ] Sccome x2 = 5.84, ˆσ 2 n + x2 ˆβ = , 0 = > t rˆσ n sxx α/2;n 2 = 2.764, + x2 allora rfutamo H 0 al lvello del 2%. 6

7 Soluzone Es.5. Gl ntervall d confdenza per parametr β 0 e β della regressone sono della forma: ˆβ 0 t α/2;n 2 se ˆβ0 β 0 ˆβ 0 + t α/2;n 2 se ˆβ0 ˆβ t α/2;n 2 se ˆβ β ˆβ + t α/2;n 2 se ˆβ Avendo qund α/2 = 0.; n = 8; t α/2;6 =.440, ottenamo qund:.87 β β Voglamo testare l potes contro H 0 : β 0 = 0 = β 0,0 H : β 0 0 Sccome β 0,0 = 0 non appartene all ntervallo d confdenza trovato sopra, rfutamo H 0 al lvello d sgnfcatvtà 20%. Mentre l ntervallo d confdenza al lvello 90% è, sapendo che n questo caso t α/2,n , [.043, 2.43]; n questo caso β 0 = 0 appartene all ntervallo, pertanto l potes nulla è accettata. 3. Da dat rcavamo mmedatamente σ 2 = SS E /(n 2) Rcordando che [ ] se( β 0 ) = ˆσ 2 n + x2 ˆσ se( β ) = 2 da cu s xx e x 2 = ( se( β 0 ) 2 σ 2 n ) ma, essendo per la natura del problema x 0, s ha nfne x = Infne σ 2 (x x) n ( σ 2 + ) (x x) n da cu, calcolando come al punto precedente t α/2,n 2 =.9432 (con α = 0.), due ntervall sono, rspettvamente, [ , ] [ , ]. Soluzone Es.6 7

8 . Per calcolare la retta d regressone ncomncamo a rcavare s xx e s xy da nostr dat. Sccome SX 2 = n (x x) 2 e analogamente per SY 2, ottenamo: Sccome 2. Dalla retta d regressone ottenamo s xx = (n ) s 2 X = 00 s yy =... = 55 ˆβ = s xy s yy = r xy = s xx s xx ˆβ 0 = ȳ ˆβ x = 6.42 ŷ (300) = = 30.37, qund l numero stmato d cas d allerga n un mese n cu l consumo d gelat è par a 300 Kg. è Soluzone Es.7 Anche n questo eserczo dat sono rdondant n quanto tutt coeffcent che s servono possono essere rcavat da dat n tabella.. Ponamo s xx = dove x = 0.73 e y = 3.254; allora Da cu faclmente s yy = s xy = n (x x) 2, = n (y y) 2, = n (x x)(y y), = s xx = σ 2 x(n ) = = , s yy = σ 2 y(n ) = = , s xy = ρ xy sxx s yy = = β = s xy s xx = , β 0 = y β x = = Consderando la matrce x, x k, X = x,2 x k,2 x,n x k,n s calcola faclmente (X t X), = n + x2 s xx = =

9 Rcordamo che l errore quadratco medo ( o meda quadratca de resdu) è σ 2 = MS E := n p n (y ŷ ) 2 (n questo caso n = 0 e p = k + = 2). Nel caso d regressone semplce σ 2 = (SS T β ) s xy n 2 = s yy s2 xy s xx n 2 = = Allora l ntervallo d confdenza a lvello α è [ β o, β + o ] dove e se( β o ) := β ± o := β 0 ± se( β o ) t α 2,n p σ 2 (X t X), = =.4277, qund, essendo t 0.025,8 = 2.306, s ha che l ntervallo cercato è [ 8.705,.5859]. 3. Nel modello con regressore aggunto, s tratta d testare l potes nulla H 0 : β 2 = 0. S calcola da cu β 0 β = β = (X t X) X t Y β = = Pertanto e qund Lo stmatore che s utlzza è con regone d accettazone σ 2 = SS E n p = = , se( β 2 ) = σ 2 (X t X) 3,3 = T 0 := β 2 se( β 2 ) = = T 0 t α/2,n p t 0.025,7 = L potes nulla è pertanto accettata e non è opportuno aggungere l regressore x 2. 9

10 4. Il secondo modello, con k 2 regressor, rsulta mglore del prmo, con k regressor, se e solo se SS E2 n k 2 < SS E n k. Nel caso n questone s ha n = 0, k = k 2 = ed SS E = per cu l modello con regressore x 3 sarà mglore d quello con x se e solo se Soluzone Es.8 SS E2 < Osservamo che dat del problema sono rdondant e che gl error quadratc srcavano banalmente da dat n tabella. D altro canto conoscut gl error quadratc, non samo pù nteressat a dat della tabella se non per conoscere l ampezza del campone n = 4 ed l numero d regressor k = 2.. S consder l potes nulla Lo stmatore è H 0 : β 0 = β = β 2 = 0. F 0 := SS R /k SS E /(n p) (dove p = k + ) con la regone d accettazone a lvello α Eseguendo calcol s ottene f 0 = f 0 < f α,k,n p / /(4 3) = = e f 0.,2, = Pertanto accetto H 0 al lvello del 5% pertanto la regressone non è sgnfcatva. 2. Se utlzzamo le tabelle de quantl ottenamo f 0.25,2, = 7.5 > da cu α > Utlzzando un calcolatore s ottene Soluzone Es.9 α = f,2, (3.7992) = F f 2, (3.7992) = La stma de coeffcent della regressone: Y = β 0 +β x +β 2 x 2 +ε s ottengono dal seguente sstema d equazon: n ˆβ 0 + ˆβ x + ˆβ 2 x 2 = y ˆβ 0 x + ˆβ x 2 + ˆβ2 x 2x = x y ˆβ 0 x 2 + ˆβ x x 2 + ˆβ 2 x 2 2 = x 2y Sccome x = 5460; x x 2 = 49700; x y = ; x 2 = 0; y = 380 x 2 = ; x 2 2 = 3650 x 2y =

11 allora ottenamo ˆβ 0 = 3.5 ˆβ = 0.28 ˆβ 2 =.48 ottenendo qund ŷ = x.48x 2 2. dove R 2 adjusted = SS E/(n p) SS T / (n ) SS E = somma quadrat error = (y ŷ ) 2 SS T = (y ȳ) 2 p = numero parametr regressone Sccome p = 3 (β 0, β, β 2 ), ȳ = 345, ŷ = 56.7, ŷ 2 = 239., ŷ 3 = 77.7, ŷ 4 = allora SS T = e SS E = e d conseguenza: 3. La stma della varanza dell errore è data da: R 2 adjusted = ˆσ 2 = SS E n p = = 59.24