Prof. Fernando D Angelo. classe 5DS. a.s. 2007/2008. Nelle pagine seguenti troverete una simulazione di seconda prova su cui lavoreremo dopo le

Transcript

1 Pro. Frnando D Anglo. class 5DS. a.s. 007/008. Nll pagin sgunti trovrt una simulazion di sconda prova su cui lavorrmo dopo l vacanz di Pasqua. Pr mrcoldì 6/03/08 guardat il problma 4 i qusiti L parti in color rosso indicano argomnti ch ancora non sono stati svolti: in qusta as sono da tralasciar.

2 Lico Scintiico Statal "Albrt Einstin" Alunno Via G. Parini, PIOVE DI SACCO Class 5DS Vriica scritta di Matmatica (simulazion a prova) Data 0 Marzo 008 Problma N 1. È assgnata la unzion a 1 + b (1) y = con a R, b R { 0, } a) Si trovino i valori di a b tali ch la curva γ graico dlla unzion intrschi l ass y nl 1 punto = ( 0, ) A prsnti un massimo rlativo nl punto P di ascissa = ; ( ) b) Dtta la unzion ch si ottin insrndo nlla (1) i valori trovati al punto (a), la si studi (si chid in particolar di studiar la drivata prima sconda) si tracci il graico dll curva γ ch ssa rapprsnta; c) Si trovi l quazion dlla parabola δ con ass di simmtria paralllo all ass dll y avnt il vrtic nl punto P passant pr l origin l quazion dlla rtta t tangnt al graico dlla unzion nl suo punto di massimo; si dtrmini poi l ara dlla rgion inita di piano dlimitata dalla parabola δ dalla rtta t dalla rtta = 1; d) Si calcoli il valor mdio dlla unzion Problma N. 1 ( ) nll intrvallo I = [, 1] = a1 y + c1 Si considri la trasormazion t : si dtrminino i paramtri a1, c1, b, c y = + b y + c sapndo i punti trasormati di A(1,0), C(-1,-) sono rispttivamnt i punti A (1,-), C (1, ). a) Si studi la trasormazion trovata si dtrminino gli vntuali punti uniti l vntuali rtt unit; b) Si calcolino il rapporto tra i primtri il rapporto tra l ar di triangoli A B C ABC ch si corrispondono nlla trasormazion ssndo B(-3,0); c) Si dtrminino poi: l quazion dlla parabola γ 1, con ass di simmtria paralllo all ass y, passant pr i punti A, B, C; l quazion dlla circonrnza γ passant pr i punti A, B, C, d) si vriichi ch sono tangnti in A B; ) Si calcoli il volum dl solido gnrato da una rotazion complta attorno all ass dlla rgion di piano dlimitata dalla parabola dall du rtt tangnti alla parabola in A B; ) Si dtrmini l quazion dlla curva γ 3 in cui si trasorma mdiant la trasormazion T la circonrnza γ si calcoli l ara dlla rgion di piano ch ssa racchiud.

3 Problma N Scritta l quazion dlla circonrnza γ passant pr l origin O dgli assi cartsiani, tangnt in O alla rtta + y = 0 il cui cntro appartin alla rtta 3 5y + = 0, si considri la smicirconrnza γ 1 posta nl smipiano y.. Tracciata la rtta r di quazion y = m, sia P il suo punto di intrszion con γ 1 divrso da O, H la proizion di P sul diamtro di γ 1. Esprimr la unzion : (m) = OH + PH dtrminar il valor di m pr cui la unzion assum il suo valor massimo, limitatamnt al problma gomtrico. 3. Studiar la unzion y = (m) trovata nl punto prcdnt m R rapprsntarla in un sistma di assi cartsiani. 4. Calcola l ara dll du parti in cui la circonrnza γ dtrminata in prcdnza è suddivisa dalla rtta r corrispondnt al valor di m ch rnd massima la unzion y = (m). Problma N Scritta l quazion dlla circonrnza γ passant pr l origin O dgli assi cartsiani, tangnt in O alla rtta + y = 0 il cui cntro C appartin alla rtta 3 5y + = 0, si considri la smicirconrnza γ 1 posta nl smipiano y. 6. Tracciata la rtta r di quazion y = m, sia P il suo punto di intrszion con γ 1 divrso da O, H la proizion di P sul diamtro di γ 1. Esprimr la unzion : (m) = OH + PH dtrminar il valor m* pr cui la unzion assum il suo valor massimo, limitatamnt al problma gomtrico. 7. Studiar la unzion y = (m) trovata nl punto prcdnt m R rapprsntarla in un sistma di assi cartsiani. 8. In rlazion al valor m* trovato in prcdnza si considri il cono Γ ottnuto dalla rotazion complta dl triangolo OHP attorno alla bisttric dl I III quadrant; si calcolino volum suprici total dl tronco di cono ottnuto scando il cono Γ con un piano prpndicolar alla bisttric dl I III quadrant passant pr il cntro dlla circonrnza γ.

4 Lico Scintiico Statal "Albrt Einstin" Alunno Via G. Parini, PIOVE DI SACCO Class 5DS Vriica scritta di Matmatica (simulazion a prova) Data 0 Marzo 008 Qustionario Si rapprsnti, in un ririmnto cartsiano, il graico dlla unzion γ : = y = + (si 4 chid in particolar di individuar vntuali massimi minimi rlativi punti di lsso). Si calcoli poi l ara dlla rgion inita di piano dlimitata dal graico dlla unzion dalla tangnt nll origin alla curva γ.. Si nunci dimostri il Torma di Lagrang. Dopo avr vriicato s il torma è applicabil alla unzion sgunt nll intrvallo indicato y = 8 1 I = [ 3, 6] Si dtrminino l vntuali asciss di punti di Lagrang. 3. Si studi il sgunt sistma linar paramtrico: ( k + ) + ky z = 1 y + kz = k y + z = k ngli vntuali casi in cui risulti compatibil si dtrminino l soluzioni. 4. Si nunci il Torma di D L Hôpital lo si applichi nl calcolo dl sgunt limit vriicando ch sussistano l ipotsi dl torma: lim >+ 3 ( ) 5. Applicando la dinizion si vriichi il sgunt limit + 1 lim = 1 > 1 6. Si nunci il Torma di Roll. Dtrminar pr la unzion ch sgu il punto o i punti ch vriicano il Torma di Roll dopo avr vriicato ch sussistono, nll intrvallo indicato, tutt l condizioni richist dal Torma: 3 y = 1 I = [ 3, 0] 7. Si rapprsnti, in un ririmnto cartsiano, la rgion piana così dinita: + y y 3 0 y > 0

5 8. Fornir un smpio di unzion () dinita drivabil su tutto R con un unico punto di massimo rlativo in (0; 3) d un unico punto di minimo rlativo in (; 1). 9. Sia ABC un triangolo quilatro P un punto di AB. Dtt D d E l proizioni di P su AC BC, dimostrar ch il quadrato dlla somma di PD PE sta al quadrato di AB com 3 sta a Dtrminar i valori di paramtri a, b pr i quali la unzion: ( ) ( a + b) = ln < 1 1 risulti continua drivabil in R. Si studi la unzion assgnando ai paramtri a, b i valori trovati. 11. Dtrminar i valori di paramtri a, b, c pr i quali la unzion: ( ) ( a + b) = ln c < 1 1 risulti continua drivabil in R inoltr sussista la rlazion 1 ( ) d =