Introduzione.6. 1 Le equazioni fluidodinamiche Descrizione matematica del flusso Equazioni di Eulero 14

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1 INDICE Introduzione.6 1 Le equazioni fluidodinamiche Descrizione matematica del flusso Equazioni di Eulero Sistema completo delle equazioni di Navier-Stokes Turbolenza Modelli di turbolenza Modelli Eddy-Viscosity Modello ad un equazione di Spalart- Allmaras Modello RSM Il codice SU Struttura e classi del codice griglia di calcolo Simulazioni Simulazione con fluido non viscoso Tempi di calcolo e numero d iterazioni Simulazioni con fluido viscoso Griglie di calcolo Tempi di calcolo e numero d iterazioni... 67

2 4 Conclusioni. 69 Bibliografia. 71 Sitografia

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4 Introduzione La fluidodinamica computazionale meglio conosciuta con l acronimo CFD (Computational Fluid Dynamics) è la tecnica che permette di determinare una soluzione numerica per le equazioni che governano un flusso fluido. Il principale utilizzo della CFD è quello di risolvere le equazioni di Navier-Stokes e le equazioni ad esse collegate. La risoluzione per via analitica di queste equazioni è fattibile solamente in casi semplici con flussi laminari, e geometrie semplici (sfere, lastre piane), mentre le risoluzioni di casi reali, in cui compaiono di frequente flussi turbolenti, richiedono per forza un approccio numerico. Esistono quindi diversi metodi per risolvere le equazioni di Navier-Stokes, e generalmente sono operazioni dall'elevato costo computazionale. Dagli anni settanta ad oggi c'è stata una notevole crescita nello sviluppo e applicazione di CFD perché le potenze di calcolo necessarie ad un analisi di questo tipo sono divenute nel corso degli anni di domino pubblico, lo sviluppo a interessato tutti gli aspetti della dinamica dei fluidi che conduce al CFD, diventando uno strumento di modellazione standard ampiamente utilizzato nell'industria in quanto può essere considerato una valida alternativa alla sperimentazione fisica in galleria del vento. Il presente lavoro di tesi si pone l obiettivo di valutare le capacità del software libero SU2, nell ottenere risultati affidabili nella simulazione fluidodinamica. Per avere una valutazione completa si sono effettuate simulazioni con fluido non viscoso che consentano una formulazione Euleriana del problema e una simulazione con fluido viscoso, dove si sono utilizzate le equazioni di Navier-Stokes ed il modello di turbolenza Spalart-Allmaras (SA). In entrambi i casi l oggetto dello studio è stato il profilo NACA0012 con geometria bidimensionale. Una volta ricavati i dati delle simulazioni essi sono stati confrontati con risultati noti e attendibili derivanti da altri codici di simulazione. Il confronto non è stato solo numerico ma si è valutata anche la fisica in gioco. Dai risultati ottenuti, non è possibile verificare quale codice sia migliore rispetto ad altri con lo stesso oggetto di studio, ma si è potuta constatare l attendibilità dei risultati ottenuti da SU2. 6

5 Il software presenta diversi moduli che svolgono compiti diversi, come ad esempio risoluzione delle equazioni, deformazione della mesh e scomposizione del dominio di calcolo. Sono poi presenti programmi scritti in linguaggio Python, che combinano le funzioni dei moduli sopra citati per eseguire lavori più complessi come l ottimizzazione geometrica. Nel Capitolo 1 viene proposto l inquadramento matematico delle equazioni del flusso, con particolare attenzione alle equazioni turbolente e ai modelli di turbolenza. Nel Capitolo 2 viene introdotta la struttura del codice utilizzato e la numerica implementata nelle diverse classi del programma. Nel Capitolo 3 si propongono simulazioni con fluido viscoso e fluido non viscoso, inoltre si analizzano i risultati numerici dei differenti casi e si confrontano con valori di riferimento. 7

6 CAPITOLO 1 1 Le equazioni della fluidodinamica Vengono di seguito introdotte le equazioni di Navier-Stokes complete per un fluido newtoniano. Verrà poi esposta la formulazione delle equazioni mediate alla Favre- Reynolds, focalizzando l attenzione sulla chiusura di queste ultime mediante i modelli di turbolenza. Dopo una breve introduzione sulle varie tipologie di modelli verrà presentato con maggiore dettaglio il modello Spalart-Allmaras, disponibile in SU Descrizione matematica del flusso La fluidodinamica è lo studio del movimento di un numero di atomi o molecole; si suppone quindi che la densità del fluido sia elevata abbastanza da poterlo considerare un continuo. Assunta valida l ipotesi di continuo, le equazioni che regolano la dinamica dei fluidi derivano direttamente dalle seguenti leggi di conservazione[1]: conservazione della massa, conservazione della quantità di moto, conservazione dell energia. La conservazione di una qualsiasi quantità del fluido implica che la variazione totale della stessa, all interno di un volume di controllo arbitrario, sia la somma del flusso netto della quantità attraverso il bordo del volume, delle forze interne e delle eventuali sorgenti e forze esterne agenti sul volume di controllo. Tale volume di controllo Ω è definito come la regione arbitraria di fluido delimitata dalla superficie chiusa Ω e fissa nello spazio (punto di vista euleriano). É possibile definire anche la superficie infinitesima ds e il versore associato normale n, come mostrato nella Figura seguente: 8

7 Figura 1.1 Conservazione della massa La legge di conservazione della massa stabilisce che non si può generare o distruggere massa all interno del sistema fluido. Si consideri quindi il modello di volume di controllo definito in Figura 1.1. In questo caso la quantità conservata è la densità ρ. La variazione temporale della massa all interno del volume di controllo si può esprimere come: Per la determinazione del flusso netto di massa che attraversa il volume si consideri un elemento infinitesimo di superficie ds, e sia υ il vettore velocità del fluido e n il versore normale alla superficie; il flusso di massa che attraversa la superficie ds sarà: -ρ(υ n) dove per convenzione il versore normale è diretto verso l esterno del volume di controllo, quindi il flusso è entrante quando il prodotto scalare υ n è negativo. Questi sono gli unici termini presenti nell equazione di continuità poiché non sono 9

8 presenti sorgenti; per definizione è possibile scrivere: ( ) (1.1) che rappresenta la forma integrale della legge di conservazione della massa, o equazione di continuità. Equazione della quantità di moto È possibile ricavare l equazione partendo dal secondo principio della dinamica: la variazione di quantità di moto è causata dalle forze agenti sull elemento di massa. Sempre facendo riferimento alla definizione di volume di controllo (Figura 1.1), la quantità di moto di un elemento infinitesimo del volume sarà: la cui variazione nel tempo in tutto il volume è : La quantità conservata è la quantità di moto per unità di volume essere espresso come : e il flusso può ( ) con la solita convenzione sulla normale e sul segno del flusso entrante. Le forze agenti sul fluido sono di due tipi: Forze di volume: sono forze che agiscono direttamente sulla massa, come la forza di gravità, di Coriolis o la forza centrifuga e sono definite come forze per unità di volume: ρf e ; 10

9 Forze di superficie: agiscono sul bordo del volume e derivano dalla distribuzione di pressione o dagli sforzi dovuti all attrito e sono forze per unità di superficie. Il contributo delle forze di volume è: Le forze di superficie sono dette sforzi e possono essere divise in due parti, una componente isotropa di pressione e una componente di sforzi viscosi: F s = -pi + σ (1.2) dove I è il tensore identità e σ il tensore degli sforzi viscosi. È ora possibile mettere insieme tutti gli elementi per scrivere l equazione integrale della conservazione della quantità di moto: ( ) ( ) (1.3) Equazione dell energia L equazione dell energia si ricava dal primo principio della termodinamica, il quale stabilisce che la variazione nel tempo dell energia totale all interno del volume di controllo è dovuta al lavoro delle forze agenti sul volume nell unità di tempo e al flusso netto di calore all interno di esso. L energia totale per unità di massa è definita come la somma dell energia interna specifica (e) e dell energia cinetica specifica: (1.4) 11

10 La quantità conservata è l energia totale e, quindi la sua variazione nel volume si può scrivere come: Il flusso attraverso il bordo di Ω è : ( ) con la solita convenzione per la direzione del versore normale. A differenza delle due equazioni precedenti, nell equazione dell energia è presente anche un flusso diffusivo, proporzionale al gradiente della quantità conservata; siccome il flusso diffusivo è definito solo per fluidi a riposo, sarà proporzionale alla sola energia interna: dove è il rapporto tra i coefficienti di calore specifico è il coefficiente di diffusività termica. Questo termine, che rappresenta il flusso di calore dovuto al gradiente termico, può essere espresso più semplicemente nella forma della legge di Fourier : con k coefficiente di conducibilità termica. Il termine di sorgente di volume è composto dal lavoro per unità di tempo delle forze di volume e dal flusso di calore nell unità di tempo dovuto all irraggiamento: Rimane ora solo il contributo delle forze di superficie, che interviene come lavoro nell unità di tempo delle stesse e può essere espresso come: (1.5) 12

11 Unendo tutti i termini precedenti si giunge all equazione dell energia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.6) Solitamente l equazione (1.6) viene proposta in una forma leggermente differente. A questo proposito si introduce l entalpia totale H e la relazione che lega questa variabile termodinamica all energia totale e alla pressione: (1.7) Raccogliendo insieme il flusso di energia e il termine di pressione, utilizzando la (1.7) si può giungere alla forma più comune dell equazione di conservazione dell energia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.8) Si è quindi giunti alla formulazione completa delle equazioni di governo del moto di un fluido. Prima di procedere è necessaria una riflessione su tali equazioni; infatti la forma integrale, detta anche debole, delle leggi di conservazione ha due proprietà fondamentali: 13

12 se non sono presenti sorgenti di volume, la variazione delle quantità conservate dipende esclusivamente dai flussi sul bordo Ω; le equazioni sono valide anche in presenza di discontinuità nel flusso, ad esempio onde d urto o discontinuità di contatto. É evidente che, vista la sua generalità e le proprietà sopra descritte, questa sia la forma più semplice da implementare in un codice fluidodinamico. 1.2 Equazioni di Eulero Le equazioni di Eulero rappresentano una particolare forma semplificata delle equazioni di Navier-Stokes, ottenute nel caso sussista l'ipotesi semplificativa di flusso inviscido, ovvero flusso con viscosità trascurabile. Le equazioni di Eulero sono riportate di seguito nella forma differenziale. ( ) ( ) { [ ( )] Per quanto riguarda le prime due equazioni del sistema, esse descrivono il bilancio della massa (equazione di continuità) e della quantità di moto. In queste equazioni viene inoltre trascurata ogni forma di trasmissione del calore, per cui lo studio del flusso inviscido è puramente fluidodinamico e non termofluidodinamico. 1.3 Sistema completo delle equazioni di Navier-Stokes Nella sezione precedente sono state ricavate le equazioni di bilancio che governano la dinamica dei fluidi, è ora possibile riscriverle tutte in un unico sistema di equazioni, in una forma più generale e con l aggiunta delle relazioni termodinamiche per la chiusura delle equazioni. Inoltre il sistema sarà proposto sia in forma integrale 14

13 che in forma differenziale. A tale proposito si introducono il tensore dei flussi convettivi F c, i tensori dei flussi viscosi divisi in contributo delle forze viscose F v1 e del trasferimento di calore F v2, sia inoltre Q il vettore dei termini sorgenti; allora il sistema completo delle equazioni di conservazione in forma integrale è: [ ( )] ( ) dove U é il vettore delle variabili conservative: { } ( ) mentre i flussi sono definiti come: { } ( ) { } { } ( ) ( ) ( ) Infine i termini sorgente sono: { } ( ) ( ) L equazione rappresenta un sistema di cinque equazioni nelle cinque variabili conservative, ma sono presenti sette incognite: ρ, v, E, p, T. É quindi necessario aggiungere altre due equazioni, che dovranno essere relazioni termodinamiche tra le variabili di stato, per chiudere il problema e inoltre fornire una relazione per la viscosità dinamica μ e una per la conducibilità termica k. Si ricorre quindi alla formulazione per i gas perfetti poiché, in aerodinamica classica, è ragionevole ritenere di lavorare con fluidi che si comportano come se fossero gas caloricamente perfetti. 15

14 Per tali gas la legge di stato è la seguente: p = ρrt (1.14) con R la costante specifica del gas. L entalpia e l energia interna specifiche sono definite come: (1.15) Combinando l equazione (1.7) dell entalpia totale con (1.14) e (1.15) è possibile scrivere la pressione come: ( ) ( ) (1.16) mentre la temperatura si ricava dall equazione di stato. Per il coefficiente di viscosità si utilizza la legge di Sutherland: ( ) (1.17) Dove. Mentre per quanto riguarda il coefficiente di conducibilità termica si ritiene che sia costante in tutto il fluido, tale ipotesi è sicuramente vera per i liquidi, ma è anche usata per l aria, e vale: (1.18) dove Pr rappresenta il numero di Prandtl, che si considera anch esso costante nel fluido e per l aria vale Pr = Si ridefiniscono ora le due componenti dei flussi viscosi raccogliendo la viscosità: { ( ) } { ( ) } (1.19) 16

15 dove τ rappresenta i gradienti di velocità del tensore degli sforzi, ovvero: Definendo: il sistema delle equazioni di governo in forma integrale si riscrive come: [ ( )] (1.20) Ora il bilancio equazioni-incognite risulta soddisfatto a patto di introdurre le corrette condizioni al contorno e iniziali. Applicando il teorema di Gauss è possibile riscrivere l integrale di superficie (il secondo integrale dell equazione (1.20)) in integrale di volume e l equazione (1.20) si può riscrivere in forma differenziale: ( ) (1.21) Per semplicità successiva si riportano le equazioni di governo complete in notazione tensoriale: ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) 17

16 1.4 Turbolenza Le equazioni precedenti descrivono completamente il moto del flusso per qualsiasi numero di Reynolds; nel caso di flussi turbolenti però una teoria analitica semplice non esiste, la speranza è quindi di risolvere le equazioni sfruttando la potenza di calcolo dei moderni computer per il calcolo di quantità interessanti dei flussi turbolenti [3]. L affermazione precedente risulta più chiara riflettendo su alcune proprietà dei flussi turbolenti. In un flusso turbolento, anche con condizioni al contorno costanti, le grandezze scalari e vettoriali che caratterizzano il flusso non sono stazionarie e presentano oscillazioni attorno ad un valor medio. Inoltre l analisi di un flusso turbolento è complicata poiché occorre seguire l evoluzione di fenomeni su scale di tempo e lunghezza molto differenti tra loro. La scelta più comune per l analisi numerica di un flusso turbolento è quindi la risoluzione delle equazioni tramite calcolatore; a questo scopo esistono tre differenti approcci: DNS, LES, RANS. La DNS (Direct Numerical Simulation) consiste nella risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes con una discretizzazione spaziale e temporale tale da risolvere tutte le scale del moto. Tale approccio è concettualmente quello più semplice e fornisce un livello di dettaglio massimo, non vi sono sostanziali perdite di informazione. Bisogna però notare che il costo computazionale è estremamente elevato (cresce come Re 3 ), motivo per il quale, fino agli anni 70, tale approccio era inapplicabile a causa della scarsa potenza di calcolo a disposizione. Un approccio alternativo è dato dalla LES (Large Eddy Simulation) che prevede la rappresentazione, senza approssimazioni, delle scale più grandi della turbolenza, mentre le scale minori sono rappresentate tramite appositi modelli numerici. In pratica le LES risolvono le equazioni del moto per un campo di velocità filtrato rappresentativo delle scale maggiori della turbolenza. Dal punto di vista del costo computazionale, le LES sono una via di mezzo tra la DNS e le RANS; tenendo presente che il costo dipende dalle scale che si vogliono rappresentare, idealmente, a parità di costo computazionale di una DNS, si riesce ad 18

17 ottenere lo stesso livello di dettaglio, cosa praticamente impossibile per le RANS vista la differenza di approccio al problema, come sarà esposto in seguito. Come discusso precedentemente, la maggior parte del costo computazionale di una DNS è richiesto per la rappresentazione delle scale più piccole (o numeri d onda grandi se si fa riferimento allo spazio di Fourier), mentre il maggior contenuto energetico è racchiuso nelle scale più grandi del moto; nella LES la dinamica delle scale maggiori è rappresentata esplicitamente, l influenza delle scale minori è rappresentata da semplici modelli, si evita quindi il costo enorme della rappresentazione delle scale minori della turbolenza. In molte applicazioni ingegneristiche non è necessario il livello di dettaglio di DNS o LES, molto più semplicemente, interessano proprietà macroscopiche, in generale infatti basta la conoscenza dei valori medi delle quantità fluidodinamiche coinvolte. É quindi conveniente in questi casi utilizzare la formulazione RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes equations) che prevede la risoluzione delle equazioni mediate. In particolare si effettua dapprima la scomposizione alla Reynolds delle variabili fluidodinamiche in una parte media ed una fluttuante, poi si procede con la mediazione delle equazioni di Navier-Stokes. L operazione di media delle equazioni produce un termine aggiuntivo detto tensore degli sforzi di Reynolds, che diventa un incognita delle equazioni mediate, per cui il sistema risultante è sottodeterminato. Per pareggiare il conto equazioni-incognite è necessaria l introduzione dei cosiddetti modelli di turbolenza che si dividono in modelli basati sull ipotesi di viscosità turbolenta e altri sulla modellazione diretta del tensore degli sforzi di Reynolds. I vantaggi di questo approccio sono sicuramente il ridotto costo della simulazione, dovuto al fatto che si sta praticamente cancellando tutta la parte fluttuante del moto del fluido; considerare solo i valori medi ha però dei contro. Infatti gli svantaggi principali delle RANS sono dati dal fatto che è limitante considerare solo il campo medio delle variabili fluidodinamiche (si pensi ad esempio alle strutture coerenti che con questo approccio sono del tutto cancellate), inoltre tutti i modelli di turbolenza sono caratterizzati da un certo empirismo, il quale impedisce 19

18 la determinazione a priori di modelli che forniscano previsioni ragionevoli per ogni geometria e condizione di flusso. Di seguito viene riportato il sistema completo delle equazioni Navier-Stokes mediate alla Reynolds-Favre[4]. ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) [ ( )] (1.22) É necessario fornire un interpretazione fisica dei seguenti termini dell equazione: ( ) - diffusione molecolare di calore ( ) - trasporto turbolento di calore ( ) - diffusione molecolare ( ) - lavoro fatto dal tensore degli sforzi di Raynolds-Favre 20

19 1.5 Modelli di turbolenza Le incognite del sistema possono essere determinate tramite i modelli di turbolenza, che si suddividono in due principali tipologie: modelli basati sulla viscosità turbolenta (Eddy-viscosity models) e modelli che si basano sulla scrittura di equazioni differenziali che forniscono direttamente le componenti del tensore, (Reynolds-Stress Models o RSM) Modelli eddy-viscosity Il più grande contributo alla modellazione turbolenta fu fornito da Boussinesq nel 1877; la sua idea si basa sull ipotesi di viscosità turbolenta derivante dall osservazione del fenomeno fisico della turbolenza[4]. Tale ipotesi può essere suddivisa in due parti; la prima è detta ipotesi intrinseca, afferma che la parte anisotropa del tensore degli sforzi di Reynolds: è determinata dal gradiente di velocità media. La seconda è detta ipotesi specifica e stabilisce la relazione tra ( ) (1.23) Dove è la viscosità turbolenta; quest ultima è una quantità scalare positiva che non rappresenta caratteristiche fisiche del fluido, ma è funzione delle condizioni locali dello stesso. In generale l ipotesi intrinseca della viscosità turbolenta non ha validità generale, ma per flussi semplici, in cui i gradienti di velocità media e le caratteristiche turbolente evolvono lentamente, l ipotesi risulta essere ragionevole. Nella pratica l ipotesi viene spesso utilizzata anche al di fuori dei suoi limiti di validità, in questi casi l approccio RANS è ancora la scelta più valida quando si è 21

20 interessati a quantità macroscopiche del flusso dato il basso costo computazionale di questa tecnica. Bisogna ora ricavare un approssimazione del termine di trasporto turbolento di calore; una soluzione comunemente utilizzata è la seguente: ( ) Dove è il coefficiente di conducibilità termica turbolento, definito come: in analogia con il caso laminare. In questa relazione rappresenta il numero di Prandtl turbolento, che in generale si ritiene costante nel fluido e per l aria vale = 0.9. Applicando l approccio appena descritto al sistema di equazioni differenziali il tensore degli sforzi turbolenti è sostituito con una forma del tutto analoga al caso laminare, ovvero: A questo punto l ultimo termine del membro di destra della seconda equazione della (1.22) può essere riscritto come: ( ) ( ) (1.24) dove il coefficiente di viscosità dinamica laminare e quello turbolento: è dato dalla somma tra il coefficiente Allo stesso modo il coefficiente di conducibilità termica k si riscrive come: ( ) 22

21 Data la completa somiglianza alle equazioni di Navier-Stokes non mediate è possibile concludere che la loro versione mediata si può ottenere considerando le incognite del problema come valori medi e sostituendo il coefficiente di viscosità e quello di conducibilità termica con la somma della loro parte laminare più quella turbolenta, non più uniforme in tutto il campo di moto, ottenendo il seguente sistema di equazioni mediate: dove in questo caso le variabili e sono: ( ) (1.25) Questa tecnica, almeno dal punto di vista ingegneristico, è molto comoda poiché richiede solo la determinazione della viscosità turbolenta. Quindi l ipotesi di Boussinesq è la base di tutte le tecniche del prim ordine di chiusura delle equazioni turbolente. Come già detto le limitazioni sono molteplici, ma i risultati, al di fuori del campo di validità delle ipotesi, possono essere migliorati tramite correzioni o utilizzando modelli di viscosità turbolenta non lineare, più complessi e che in questo lavoro non verranno trattati. I modelli eddy-viscosity si suddividono in tre categorie: modelli algebrici, modelli ad una equazione differenziale, modelli a due equazioni differenziali. Di seguito viene descritto un particolare modello ad una equazione differenziale, il modello Spalart-Allmaras, 23

22 1.5.2 Modello ad una equazione di Spalart-Allmaras Questo modello utilizza un equazione di trasporto per la viscosità turbolenta l equazione è stata sviluppata basandosi su considerazioni empiriche, analisi dimensionale e invarianza galileiana. Nell equazione sono presenti tre funzioni empiriche e ben otto coefficienti empirici, che sono stati tarati basandosi su risultati per il mixing-layer 2D, scie e strato limite su lamina piana. Il modello risulta accurato se utilizzato con flussi turbolenti con gradiente avverso ed è ottimizzato per flussi turbolenti su ali e scie ad esse connesse. Ha particolari peculiarità anche dal punto di vista numerico, infatti e un equazione locale che può essere facilmente implementata su strutture multi-blocco o su griglie non strutturate. Inoltre risulta essere un modello robusto, converge velocemente alla soluzione stazionaria e non richiede elevata risoluzione nelle zone vicino parete. La forma differenziale dell equazione, scritta in notazione tensoriale, è la seguente: ( ) ( ), *( ) + - * + ( ) (1.26) I termini di destra dell equazione rappresentano rispettivamente: produzione di viscosità turbolenta, diffusione e dissipazione, distruzione di turbolenza. mentre il termine di produzione si ricava dalla seguente formula: ( ) 24

23 ( ) ( ) ( ) dove S è definita da: ( ) Le altre funzioni empiriche dell equazione sono: ( ) ( ) Infine le costanti sono: ( ) Per poter scrivere le equazioni in un codice a volumi finiti è necessario ricondursi alla forma integrale, che è: ( ) (1.27) dove è il flusso convettivo ed è definito da: solitamente discretizzato tramite schema upwind del primo ordine, mentre il 25

24 flusso viscoso è: dove è il vettore degli sforzi viscosi normali: ( ) Infine il termine sorgente è ( ) [ ] ( ) Sfruttando il teorema di Gauss è possibile riscrivere il secondo integrale dell equazione (1.27) in integrale di volume e ottenere l equazione differenziale: (1.28) Dove rappresenta il flusso viscoso e convettivo, ovvero: Nell equazione è presente la variabile d che rappresenta la distanza dalla parete più vicina; tale variabile è comune nei modelli di turbolenza ed è soluzione dell equazione di Eikonal: (1.29) in questo caso la soluzione d è proprio la distanza dalla superficie. Solitamente si impone come condizione iniziale = 3 5, la stessa condizione si impone solitamente sul contorno di inflow; sul contorno di outflow la variabile turbolenta 26

25 viene semplicemente estrapolata dal dominio. Sulle pareti solide invece si impone nulla e di conseguenza: = Modelli RSM Nei modelli di turbolenza RSM (Reynolds-Stress Models)[1], introdotti per la prima volta da Launder nel 1975, vengono risolte delle equazioni di trasporto modellate per ogni componente del tensore degli sforzi e solitamente si aggiunge anche un equazione aggiuntiva per la dissipazione. Di conseguenza, l ipotesi di viscosità turbolenta non è più necessaria, eliminando uno dei difetti più grandi dei modelli visti in precedenza. Per contro, un aspetto negativo è sicuramente l elevato costo computazionale legato al fatto di dover risolvere diverse equazioni differenziali aggiuntive. L equazione del trasporto del tensore degli sforzi di Reynolds si ottiene dalle equazioni di Navier-Stokes ed è: In questa equazione il termine di convezione del flusso medio e il tensore di produzione,, sono in forma chiusa; devono invece essere forniti modelli per il tensore di dissipazione,, per il tensore legato ai processi distributivi, e per il flusso degli sforzi di Reynolds,. 27

26 CAPITOLO 2 2 IL CODICE SU2 In questo capitolo si esporranno la struttura e i moduli principali del codice Stanford University Unstructured (SU2)[2]. Il codice è stato sviluppato dal Dipartimento di Aeronautica e Astronautica dell Università di Stanford e rappresenta un programma innovativo nell ambito della CFD. Infatti è un software open-source scritto in C++ per la risoluzione di problemi descritti da equazioni alle derivate parziali (PDE), inoltre presenta diversi strumenti (scritti in linguaggio Python) che permettono di eseguire, tra le altre cose, ottimizzazione geometrica o calcolo parallelo. Nonostante il programma sia stato sviluppato per applicazioni di CFD e ottimizzazione geometrica, può essere esteso a qualsiasi problema con differenti equazioni di governo. Il fatto stesso di essere stato concepito come un codice versatile e facilmente generalizzabile, ha obbligato gli sviluppatori a progettare il codice in moduli separati, che rappresentano modelli fisici e procedure differenti. Sempre basandosi su questa filosofia è stato possibile sviluppare sia metodi a volumi finiti (FVM) che ad elementi finiti (FEM), sistemi aggiunti corrispondenti e solutori multifisici capaci di combinare entrambi gli approcci. L utilizzo di classi permette di identificare chiaramente le parti di codice, in modo da poter facilmente modificarle o migliorarle lasciando inalterate le altre funzioni del software. L ultima versione disponibile sul sito è la 3.2[11], ma vengono frequentemente rilasciate versioni beta per sviluppatori. Il programma include numerosi moduli per la risoluzione di sistemi di PDE su griglie non strutturate, che sono, tra gli altri: SU2 CFD: il modulo principale per la risoluzione delle equazioni. SU2 DDC: il modulo che suddivide il dominio per il calcolo in parallelo. SU2 GPC: permette il calcolo della sensitività aerodinamica sulla superficie da ottimizzare proiettando la sensitività su un set ridotto di variabili di design. SU2 MDC: è il modulo che deforma la mesh a seguito di una variazione di geometria. 28

27 2.1 STRUTTURA E CLASSI DEL CODICE Nella sezione successiva sarà descritta l architettura del software e particolare attenzione verrà posta nella descrizione della struttura delle classi ad oggetti. Si farà riferimento al modulo SU2 CFD, che è il modulo principale del programma, ed quello con cui sono state effettuate tutte le simulazioni di seguito riportate, ma molte di queste classi sono utilizzate anche negli altri moduli. CConfig: legge dal file di configurazione (estensione.cfg) la descrizione fisica, matematica e numerica del caso da simulare. COutput: scrive l output della simulazione in un formato che viene specificato dall utente all interno del file di configurazione (Paraview, Tecplot, o.csv). CIntegration: risolve le equazioni di governo richiamando la classe figlia CMultiGridIntegration. Questa classe è richiamata sia se la simulazione viene effettuata su griglia singola che multipla e connette le seguenti sottoclassi: CGeometry, CSolution e CNumerics per effettuare l integrazione in spazio e tempo. Di seguito vengono descritte brevemente le sotto classi del codice. Classe CGeometry Questa classe legge e processa il file della mesh (in formato nativo.su2) e include diverse classi tra cui: CPhysicalGeometry: costruisce la mesh duale, da quella in input, sulla quale si basa la formulazione a volumi finiti. CMultiGridGeometry: crea griglie consecutive sempre meno fitte a partire da quella originale, utilizzate per il multi-grid. CPrimalGrid e CDualGrid: sono le classi che definiscono le caratteristiche geometriche della mesh primaria e duale. 29

28 Classe CSolution In questa classe sono definite le procedure per il calcolo della soluzione; ogni classe figlia rappresenta un solutore per le diverse equazioni di governo. Ad esempio CEulerSolution è il solutore delle equazioni di Eulero e CAdjEulerSolution è il solutore delle equazioni aggiunte di Eulero. Queste sottoclassi ne richiamano diverse altre in CNumerics per discretizzare i vari termini delle equazioni di governo. In generale le sottoclassi di CSolution hanno come classi instanziate: CVariable: è utilizzata per raccogliere le variabili, che dipendono dal tipo di equazioni, in ogni punto della griglia. Una classe figlia può essere ad esempio CNSVariable che raccoglie le variabili del sistema di equazioni di Navier- Stokes. CSparseMatrix: raccoglie i Jacobiani dei flussi e i termini sorgente in matrici sparse per il calcolo implicito. Classe CNumerics È la classe che discretizza i termini delle equazioni di governo utilizzando gli schemi numerici specificati nel file di configurazione. Ad esempio, in un calcolo implicito, questa classe calcola i residui e i Jacobiani in ogni nodo della mesh, utilizzando le variabili presenti in CVariables, passa i risultati a CSolution che a sua volta chiama le funzioni in CSparseMatrix per la risoluzione del sistema lineare. Il codice è stato concepito in modo da rimanere il più generale possibile e può approcciare senza particolari problemi di programmazione a casi multidisciplinari; di conseguenza, le equazioni di Navier-Stokes e l equazione della turbolenza vengono risolte separatamente. Per questo motivo sono necessarie due classi instanziate in CSolution (CNS- Solution e CTurbSolution), così come due classi instanziate in CVariable (CNSVariable e CTurbVariable). 30

29 2.2 GRIGLIA DI CALCOLO Le griglie di calcolo o mesh native, hanno estensione.su2 e sono in formato ASCII. Poiché il codice è scritto per lavorare con griglie non strutturate, sono richieste informazioni sui nodi e sulla connettività degli stessi, sul tipo di elemento tridimensionale, bidimensionale o lineare e infine da quali nodi esso è formato. Nella prima riga del file che definisce la mesh viene dichiarata la dimensione del problema, infatti SU2 può operare sia su mesh bidimensionali che tridimensionali. Nella parte successiva del file sono descritti gli elementi interni nel modo seguente: % %Inner element connectivity % NELEM = dove ogni riga rappresenta la descrizione di un elemento interno. La prima colonna definisce l identificatore del tipo di elemento che viene descritto nella riga (secondo il formato VTK). Seguono poi, i nodi che compongono l elemento descritto e il numero che identifica l elemento costruito. 31

30 Una volta che la connettività è stata descritta, bisogna fornire le coordinate di ogni nodo come esposto di seguito: % %Node coordinates % NPOIN = e e e e e e e e e e e e e e e e 01 7 Dopo la dichiarazione del numero di nodi attraverso la definizione della variabili NPOIN, si passa alla definizione delle coordinate e ad ogni punto viene assegnato il numero che lo identifica. L ultima parte del file è costituita dalla definizione degli elementi dei contorni del dominio di calcolo: NMARK = 2 MARKER TAG = AIRFOIL MARKER ELEMS = Si dichiara prima il numero di contorni nel dominio, che prendono il nome di Markers; per ogni Marker è necessario dichiarare il nome e il numero di elementi da 32

31 cui è costituito. Ancora una volta gli elementi di ogni Marker vengono dichiarati mediante un identificatore che dichiara il tipo di elemento e i punti da cui è costituito l elemento di contorno. 33

32 CAPITOLO 3 3 SIMULAZIONI In questa sezione verranno esposti i risultati ottenuti da due campagne di simulazione una per flusso non viscoso e una per flusso viscoso. Dalle prove effettuate si ricava il valore dei coefficienti di portanza C L e di resistenza C D e si valuta l andamento del residuo dell equazione di continuità in funzione del numero di iterazioni per giudicare se la soluzione stazionaria sia stata, o meno, raggiunta. Il residuo deve essere di almeno di 10-6 per considerare la soluzione a convergenza e, dunque, effettivamente stazionaria. Questi risultati saranno poi confrontati con risultati reperibili in letteratura per effettuare una validazione del codice stesso. Tutte le simulazioni sono state effettuate usando la versione 3.2 del codice SU2 ed un elaboratore dotato di processore Intel (R) core(tm) i3 M GHz con 4 gigabyte di memoria RAM e sistema operativo a 64 bit. I file di configurazione sono stati presi dai casi test diffusi da SU2 e sono specifici per questo tipo di simulazione[10]. 3.1 SIMULAZIONI CON FLUIDO NON VISCOSO L oggetto di questo primo studio è stato quello di effettuare una simulazione bidimensionale su un profilo NACA0012 (figura 3.1) e di confrontare i risultati ottenuti con dati resi disponibili da Hegedus Aerodynamics[9] derivanti da analoghe simulazioni. Nella seguente campagna di simulazione si è ipotizzato un fluido non viscoso, perciò si è utilizzata la formulazione Euleriana delle equazioni di conservazione e si è utilizzata una sola griglia di calcolo la cui frontiera esterna, come si evince dalla figura 3.2, ha forma circolare con raggio pari a 20 corde; la lunghezza della corda del profilo è stata posta pari alla lunghezza unitaria. 34

33 La mesh è composta da elementi triangolari e 5233 punti. Sul bordo d uscita gli elementi sono di dimensioni molto minori rispetto al resto del campo di moto per permettere una migliore accuratezza della simulazione, data la criticità della zona. La figura 3.2 mostra il reticolo di calcolo in prossimità del profilo, mentre la Figura 3.3 mostra il dettaglio della griglia in prossimità del bordo di uscita. Bordo d attacco Dorso Bordo d uscita Ventre Figura 3.1: profilo alare NACA0012 Figura 3.2 : Dimensione del domino di calcolo 35

34 Figura 3.3 : Profilo NACA0012 Figura 3.4 : Bordo d uscita Lo studio si compone di quattro simulazioni effettuate facendo variare l angolo d attacco e il numero di Mach del flusso all infinito. L obiettivo della simulazione è quello di osservare e confrontare i risultati derivanti dalla simulazione con quelli resi disponibili da Hegedus Aerodynamics[9]. Le caratteristiche del flusso all infinito sono le seguenti: Pressione: Pa Temperatura: K SIMULAZIONE CON ANGOLO D ATTACCO DI 0 E MACH 0.5 Questa prima simulazione è caratterizzata da un angolo d attacco nullo e flusso ovunque subsonico; i valori ricavati del coefficiente di portanza e coefficiente di resistenza sono i seguenti: Coefficiente di portanza C L : Coefficiente di resistenza C D :

35 Le Figure 3.5 e 3.6 riportano le isolinee del numero di Mach e della pressione relative alla simulazione effettuata per M = 0.5, AOA = 0ᵒ. Figura 3.5: Distribuzione del Mach; M = 0.5, AOA = 0ᵒ. Figura 3.6: Distribuzione della pressione; M = 0.5, AOA = 0ᵒ. L angolo d attacco nullo porta ad una simmetria delle distribuzioni del modulo della velocità e della pressione tra la parte superiore e quella inferiore del profilo, conseguentemente, la portanza dovrebbe avere valore esattamente nullo. La presenza di errori numerici fa sì che il coefficiente di portanza sia piccolo, ma non esattamente nullo. Inoltre, il flusso in regime subsonico fa sì che non si generi nessun onda d urto su tutto il profilo. 37

36 La soluzione convergente, converge verso lo stato stazionario in quanto l andamento del residuo dell equazione di continuità mostrato in figura 3.7 diminuisce progressivamente fino a -8 (in scala logaritmica). Figura 3.7: Andamento del residuo [RES_0] in funzione del numero d iterazioni. Per valutare l attendibilità del risultato si è effettuato il confronto con la distribuzione del coefficiente di pressione lungo il profilo, ottenuto da SU2 e il medesimo reso disponibile da Hegedus Aerodynamics[figura3.8]. 38

37 Figura 3.8: Confronto tra Cp Da quanto emerge dalla figura 3.8, le due distribuzioni sono pressoché identiche se non per la zona in prossimità del bordo di uscita; questo è dovuto alla chiusura del profilo fornito da Hegedus Aerodynamics che è di poco superiore all unita mentre per SU2 il profilo è unitario. SIMULAZIONE CON ANGOLO D ATTACCO DI 0ᵒ E MACH 0.8 La simulazione presenta lo stesso angolo d attacco delle precedente ma una velocità del flusso maggiore, i risultati sono i seguenti: Coefficiente di portanza C L : Coefficiente di resistenza C D : Dalle figure 3.8 e 3.9 relative alla distribuzione del numero di Mach e della pressione, si nota la presenza di un onda d urto sul dorso e sul ventre del profilo alare. Anche se il flusso indisturbato è in regime subsonico, la deviazione che la corrente subisce, dovuta alla presenza del profilo, porta ad un accelerazione del flusso che raggiunge velocità supersoniche per poi decelerare e ricomprimersi attraverso 39

38 un onda d urto. L angolo d attacco nullo fa sì che, anche in questo secondo caso, il campo di moto sia simmetrico rispetto alla corda del profilo alare. Figura 3.9: Distribuzione del Mach; M = 0.8, AOA = 0ᵒ. Figura 3.10: Distribuzione della pressione; M = 0.8, AOA = 0ᵒ. L andamento del residuo mostrato in figura 3.11, conferma che la soluzione è ottenuta è stazionaria. 40

39 Figura 3.11 : Andamento del residuo [RES_0] rispetto al numero d iterazioni; M = 0.8, AOA = 0ᵒ. Dal confronto fra le due distribuzioni di pressione[figura 3.12] si evince come queste siano pressoché sovrapponibili. Come raffigurato in figura 3.12 l andamento del coefficiente di pressione è decrescente dal bordo d attacco fino a circa il 50% della corda del profilo alare, per poi aumentare repentinamente attraverso l onda d urto. Figura 3.12 : Confronto tra Cp; M = 0.8, AOA = 0ᵒ. 41

40 SIMULAZIONE CON ANGOLO D ATTACCO DI 1.25ᵒ E MACH 0.5 Nel terzo caso considerato, l angolo d attacco maggiore di zero genera un valore di portanza maggiore rispetto ai casi precedenti, inoltre si perde la simmetria che caratterizzava le simulazioni ad angolo d attacco nullo. I risultati ottenuti dalla presente simulazione sono riportati di seguito: Coefficiente di portanza C L : Coefficiente di resistenza C D : Il flusso e subsonico su tutta la superficie del profilo perciò non si crea nessuna onda d onda d urto [figure 3.13 e 3.14]. La soluzione è stazionaria perché i valori del residuo sono prossimi allo zero macchina [figura 3.15]. Figura 3.13: Distribuzione del Mach; M = 0.5, AOA = Figura 3.14: Distribuzione della pressione; M = 0.5, AOA =

41 Figura 3.15: Andamento del residuo [RES_0] rispetto al numero d iterazioni Il confronto dei coefficienti di pressione è riportato in figura 3.16, nella quale si nota l uguaglianza delle due distribuzioni, ad eccezione della zona terminale dove vi è una lieve differenza che presumibilmente è dovuta alla diversa chiusura del profilo alare, con cui Hegedus Aerodynamics ha effettuato le simulazioni. Rispetto ai casi precedenti, nel grafico 3.16 ci sono due curve che sono dovute alla non simmetria della distribuzione della pressione. Figura 3.16: Confronto tra Cp; M = 0.5, AOA =

42 SIMULAZIONE CON ANGOLO D ATTACCO DI 1.25ᵒ E MACH 0.8 La simulazione ha fornito i risultati seguenti: Coefficiente di portanza C L : Coefficiente di resistenza C D : A differenza del caso precedente, relativo ad un angolo di attacco α=0, questa configurazione di flusso, crea due onde d urto di diversa entità. Come si vede dalle figure 3.17 e 3.18 nella parte inferiore del profilo (intradosso) si ha un onda d urto meno intensa rispetto a quella che si crea sull estradosso del profilo. Figura 3.17:Distribuzione del Mach; M = 0.8, AOA = 1.25ᵒ. Figura 3.18: Distribuzione della pressione; M = 0.8, AOA = 1.25ᵒ. 44

43 Anche in questa simulazione si è giunti a valori del residuo [figura3.19] che sono prossimi allo zero macchina. Dunque, la soluzione si può considerare stazionaria. Figura: 3.19: Andamento del residuo [RES_0] rispetto al numero d iterazioni; M = 0.8, AOA = Anche in questa configurazione di flusso si osserva un buon accordo tra le distribuzioni del coefficiente di pressione Cp ottenute nelle due soluzioni messe a confronto, se non per le zone interessate dal salto di pressione. Si nota, infatti, come per Hegedus il salto di pressione è netto, mentre per SU2 la distribuzione dei valori in prossimità dell urto è graduale, soprattutto nel ventre del profilo. Questo è presumibilmente dovuto al minor numero di punti con cui è stata discretizzata la corda del profilo. Infatti, Hegedus Aerodinamics presenta 4097 punti, mentre il profilo usato per la simulazione con SU2 presenta solo 198 punti. 45

44 Figura 3.20: Confronto tra Cp; M = 0.8, AOA = 1.25ᵒ TEMPI DI CALCOLO Nelle simulazioni con fluido non viscoso il tempo necessario ad effettuare un iterazione è di circa un secondo, per un numero totale d iterazioni che va dalle 230 alle 400 iterazioni. Pertanto il tempo necessario per creare una soluzione è di pochi minuti. I ridotti tempi di calcolo sono dovuti alla natura del problema. La formulazione Euleriana del problema, derivante dal fluido non viscoso, è la condizione più semplice per effettuare una simulazione e anche quella che impegna meno il codice dal punto di vista della potenza di calcolo; infatti è necessario un numero ridotto di iterazione per arrivare a valori del residuo dell equazione di continuità molto bassi. 46

45 3.2 SIMULAZIONI CON FLUSSO VISCOSO Alla base di quest analisi vi è l obiettivo di valutare le effettive capacità del codice SU2 nel generare risultati attendibili per flussi viscosi. Per la risoluzione del problema, si utilizzano le equazioni di Navier-Stokes e il modello di turbolenza Spalart-Allmaras (SA). Il profilo bidimensionale scelto è ancora il NACA0012. Si è effettuata una campagna di prove di validazione che ci ha permesso di confrontare i risultati ottenuti dal codice SU2, con quelli forniti dalla National Aeronautics and Space Administration (NASA)[8] la quale, ha raccolto i risultati ottenuti utilizzando sette codici CFD indipendenti. Essi sono: CFL3D (NASA LARC, Stati Uniti d'america), FUN3D (NASA LaRC, Stati Uniti d'america), NTS (NTS, Russia), JOE (Stanford, USA), SUMB (Stanford, USA), TURNS (Stanford / Maryland, USA), e GGNS (Boeing, USA). I primi sei codici hanno usato la stessa griglia di calcolo 897 x 257, mentre il codice GGNS ha utilizzato un reticolo di calcolo di tipo adattativo che, durante la simulazione, modifica la grandezza locale della griglia. Tutti e sette i codici hanno fornito risultati molto simili tra di loro. Le piccole differenze sono presumibilmente dovute a errori di discretizzazione, differenze di convergenza iterativa e differenze di condizioni al contorno. Le simulazioni sono state eseguite in condizioni di flusso stazionario, a parità di condizioni del flusso all infinito (cioè a grande distanza dall oggetto). Facendo variare unicamente l'angolo d attacco. Le condizioni ambientali e di flusso utilizzate per le diverse simulazioni sono le seguenti: Numero di mach 0.15 Pressione Pa Temperatura 273,15 K Numero di Raynolds Per effettuare il confronto, nelle simulazioni con SU2 si sono ricreate le stesse condizioni ambientali e di flusso con cui NASA ha ottenuto i propri valori. Utilizzeremo delle griglie di calcolo caratterizzate da diversa grandezza delle celle, 47

46 allo scopo di analizzare la variabilità dei risultati ottenuti in funzione della risoluzione del reticolo di calcolo. La campagna di prove si compone di tre simulazioni con tre angoli di attacco differenti: 0, 10, e 15 gradi. Per ogni angolo d attacco si sono effettuate due simulazioni, una per ogni tipologia di mesh. I quantitativi d interesse per il confronto sono i seguenti: Coefficiente di portanza C L ad angolo di attacco (α) di 0, 10, e 15 gradi. Coefficiente di resistenza aerodinamica C D ad angolo di attacco (α) di 0, 10, e 15 gradi. Coefficiente di pressione Cp vs x / c ad angolo di attacco (α) di 0, 10, e 15 gradi. Coefficiente di attrito della superficie Cf vs x / c ad angolo di attacco (α) di 0, 10, e 15 gradi GRIGLE DI CALCOLO Di seguito si analizzeranno nel dettaglio le griglie di calcolo con cui sono state effettuate le simulazioni. Esse sono state prese direttamente dal caso test disponibile sul sito ufficiale di SU2 [TestCases/rans/naca0012] e sono le mesh 449 x 129 e 225 x 65. MESH 449 x 129 Questa mesh, mostrata in figura 3.21 è la più grande con cui si effettuano le simulazioni. Essa presenta la classica forma a C ed è formata da punti e elementi quadrilateri con la frontiera esterna del dominio di calcolo posta a 508 corde dal profilo. Il profilo alare, mostrato figura 3.22, ha il bordo d'uscita aguzzo e non tozzo, ed è stato discretizzato con 256 segmenti [figura 3.23]. 48

47 Figura 3.21: Domino di calcolo Figura 3.22: Profilo NACA0012 Figura 3.23: Bordo d uscita 49

48 MESH 225 x 65 La mesh mostrata in figura 3.24 è formata da punti e celle quadrilatere con la frontiera esterna posta 508 corde dal profilo [figura 3.25]. In questa griglia il bordo d uscita è stato discretizzato con 128 segmenti [figura 3.26], ciò determina una minore accuratezza di calcolo rispetto alla griglia precedentemente illustrata. Figura 3.24: Domino di calcolo Figura 3.25 : Profilo NACA0012 Figura 3.26 : Bordo d uscita 50

49 SIMUAZIONI CON ANGOLO D ATTACCO DI 0ᵒ Questa è la simulazione con angolo d attacco nullo; le condizioni di flusso, comuni a tutte le prove fatte, sono state descritte in precedenza. La tabella 3.1 riporta, il valore asintotico del residuo dell equazione di continuità e i valori dei coefficienti di resistenza C D ottenuti con SU2 e delle simulazioni effettuate dalla NASA. Si è omesso il risultato del coefficiente di portanza perché con angolo d attacco nullo anche il C L è nullo. Inoltre, la NASA per le sue simulazioni non diffonde i valori del residuo dell equazione di continuità ma, afferma che tutte le soluzione sono stazionarie. SIMULAZIONI EFFETTUATE CON SU2 α = 0ᵒ CODICI MESH C D RESIDUO (scala logaritmica) SU2 449 x SU2 225 x RIFERIMENTI NASA α = 0ᵒ CODICI MESH CD CFL3D 897 x Soluzione stazionaria FUN3D 897 x Soluzione stazionaria NTS 897 x Soluzione stazionaria JOE 897 x Soluzione stazionaria SUMB 897 x Soluzione stazionaria TURNS 897 x Soluzione stazionaria GGNS 897 x Soluzione stazionaria Tabella 3.1 : Risultati simulazione; AOA = 0ᵒ. I dati riportati in Tabella 3.1 sono riportati in forma grafica in Figura 3.30 Da questa simulazione emerge un primo dato rilevante giacché la simulazione che presenta la migliore convergenza iterativa, cioè quella che più si avvicina alla soluzione stazionaria è quella ottenuta con la mesh 449 x 129 infatti, il residuo scende progressivamente fino a valori di 6 in scala logaritmica come si vede anche dalla figura Nella simulazione con mesh 225 x 65 il valore del 51

50 logaritmo del residuo non arriva a -6 (anche se per poco), ma comunque non vi è una significativa differenza tra i risultati ottenuti con la mesh 449 x 129. Le figure 3.28 e 3.29 riportano le isolinee del numero di Mach e della pressione relative alla simulazione effettuata con griglia 449 x 129. Si nota anche la simmetria che vi è tra la parte superiore e quella inferiore della distribuzione di velocità e pressioni, questo è dovuto al fatto che l angolo d attacco è nullo e di conseguenza la risultante delle forze aerodinamiche in direzione ortogonale al flusso è nulla, ovvero il valore del coefficiente di portanza è nullo. Figura 3.27: andamento del residuo [RES 0] rispetto al numero d iterazioni; AOA = 0ᵒ Figura 3.28: Distribuzione del numero di Mach; AOA = 0ᵒ. 52

51 Figura 3.29 : Distribuzione della Pressione; AOA = 0ᵒ. Dalla tabella 3.2 e dal grafico riportato in figura 3.30 è possibile osservare la differenza di valori tra le simulazioni della NASA (nella tabella 3.2 sono riportati solo i valori estremi) e quelle effettuate con SU2 con le due griglie di calcolo. Nella figura 3.30 il valore 1 in ascissa rappresenta la griglia 897 x 257 con cui la NASA ha ottenuto i propri risultati, mentre con il valore 2 in ascissa viene indicata la griglia più fine con cui si è effettuata la simulazione con SU2, ovvero la griglia 449 x 129 e infine con il valore 4 in ascissa viene indicata la griglia 225 x 65. Da quanto si evince in tabella 3.2 e dalla figura 3.30, con la griglia più fine la differenza è modesta, mentre cresce con la griglia più grossolana (225 x 65). La NASA afferma che per i propri valori di C D, lo scarto massimo passando dal valore più piccolo a quello più grande, è del 4%. Quindi con la griglia 449 x 129 siamo nello scarto che la NASA certifica per le proprie simulazioni. C D (codici NASA) SCARTO % C D ( codice SU2) MIN MAX MIN MAX (mesh 449 x129) (mesh 225 x 65) Tabella 3.2 : Differenze C D tra valori SU2 e NASA; AOA = 0ᵒ. 53

52 Figura 3.30 : Valori del C D in funzione della grandezza della griglia. Per avere una valutazione completa della capacità previsionale del codice SU2 confrontiamo non solo il valore dei coefficienti di portanza e resistenza ma, anche la distribuzione delle forze aerodinamiche lungo il profilo. Nella figure 3.31 viene riportata la distribuzione del coefficiente di pressione Cp lungo il profilo. I valori per SU2 sono ottenuti con mesh 449 x 129 mentre, quelli di riferimento NASA sono stati ottenuti dal codice CFL3D con la mesh 897 x 257. Come vediamo dal grafico 3.31, la distribuzione è pressoché identica ossia i risultati ottenuti con SU2 ricalcano perfettamente quelli ottenuti con CLF3D. 54

53 Figura 3.31: Distribuzione del coefficiente di pressione lungo il profilo; AOA = 0ᵒ. In figura 3.32 viene mostrato il confronto tra l andamento del coefficiente di attrito superficiale Cf ottenuto dal codice SU2 con mesh 449 x 129 e quelli resi noti dalla NASA, ed ottenuti con codice CFL3D e mesh 897 x 257. Come si vede in figura, la sovrapposizione dei due andamenti non è identica come nel caso precedente. Il primo tratto è perfettamente uguale ma dal 30% della corda verso valle vi è aumento del Cf ottenuto con SU2 rispetto a quello di CFL3D. Sarebbe necessario poter effettuare una simulazione con SU2 e la medesima griglia utilizzata dalla NASA per accertare se tale differenza sia imputabile alla risoluzione del reticolo. Figura 3.32 : Distribuzione del coefficiente d attrito lungo il profilo. 55

54 SIMULAZIONI CON ANGOLO D ATTACCO DI 10ᵒ In tabella 3.3 sono riportati i valori di C D e C L e sono presenti anche i valori ottenuti dai sette codici utilizzati per il confronto. Anche i questo caso, la NASA non fornisce i residui dell equazione di continuità, ma afferma che tutte le soluzioni sono stazionarie. In questo caso il valore del coefficiente di portanza non è nullo perché l angolo d attacco è diverso da zero, ovvero la risultante delle forze aerodinamiche in direzione ortogonale al flusso non è nulla. SIMULAZIONI EFFETTUATE CON SU2 α = 10ᵒ CODICI MESH C D C L RESIDUO (scala logaritmica) SU2 449 x SU2 225 x RIFERIMENTI NASA α = 10ᵒ CODICI MESH C D C L CFL3D 897 x Soluzione stazionaria FUN3D 897 x Soluzione stazionaria NTS 897 x Soluzione stazionaria JOE 897 x Soluzione stazionaria SUMB 897 x Soluzione stazionaria TURNS 897 x Soluzione stazionaria GGNS 897 x Soluzione stazionaria Tabella 3.3: Risultati simulazione; AOA = 10ᵒ. In questa simulazione, come quella precedente, la griglia di calcolo più fine, è quella che presenta la migliore convergenza iterativa, nonostante i valori del logaritmo del residuo differiscono per pochi decimi rispetto alla griglia più grossolana. La figura 3.33 mostra l andamento del numero di Mach mentre la figura 3.34 mostra l andamento della pressione. Rispetto al caso precedente non vi è più la simmetria in quanto l angolo d attacco è maggiore di zero quindi l intradosso del profilo è caratterizzata dall alta pressione e bassa velocità, mentre l estradosso si caratterizza 56

55 per una bassa pressione e l alta velocità del fluido. Nella figura 3.37 è mostrato l andamento dei residui per la mesh 449 x 129. Figura 3.35: Distribuzione del numero di Mach; AOA = 10ᵒ. Figura 3.36 : Distribuzione della Pressione; AOA = 10ᵒ. 57

56 Figura 3.37: andamento del residuo [RES 0] rispetto al numero d iterazioni; AOA = 10ᵒ. La tabella 3.4 mostra le differenze relative al coefficiente di resistenza tra i valori NASA e quelli ottenuti con il codice SU2. Invece la tabella 3.5 identifica la differenza tra i coefficienti di portanza. Tutti i valori di scarto sono ottenuti passando dal valore minore a quello maggiore. C D (valori NASA) SCARTO % C D ( codice SU2) MIN MAX MIN MAX (mesh 449 x129) (mesh 225 x 65) Tabella 3.4 : Differenze C D tra valori SU2 e NASA; AOA = 10ᵒ. Nelle figure 3.38 e 3.39 si vede come all aumentare delle dimensioni delle celle della griglia di calcolo, i valori di C D e C L si allontanano dalla soluzione con la mesh più fine, identificata nel grafico 3.38, con il valore 1 in ascissa. La determinazione del coefficiente di resistenza è, in generale più complessa rispetto a quella del C L, infatti le differenze con i valori di riferimento sono maggiori. Ciò dipende dal fatto che la resistenza viscosa dipende dai gradienti della velocità. 58

57 Figura 3.38: Andamento del C D rispetto alla grandezza della mesh. C L (valori NASA) SCARTO % C L ( codice SU2) MIN MAX MIN MAX (mesh 449 x129) (mesh 225 x 65) Tabella 3.5: Differenze C L tra valori SU2 e NASA; AOA = 10ᵒ. Figura 3.39 : Andamento del C L rispetto alla grandezza del mesh. 59

58 All aumentare dell angolo d attacco i valori del coefficiente di resistenza presentano uno scarto maggiore circa 10% per la soluzione con griglia 449 x 129, rispetto al caso in cui l angolo d attacco era nullo. Per quanto riguarda il coefficiente di portanza entrambe le soluzioni di SU2 presentano uno scarto intorno all 1%. Nelle figure 3.40 e 3.41 vengono mostrati l andamento del coefficiente di pressione e quello di attrito superficiale lungo il profilo, ottenuti con il codice SU2 e griglia 449 x 129 e con il codice CFL3D con griglia 897 x 257. Come si vede dalle suddette figure l andamento dei due coefficienti è pressoché identico. Per quanto riguarda la figura 3.41, i valori di Cf generati dal codice CFL3D sono disponibili solo per l estradosso del profilo alare. La figura dimostra in questo caso i due andamenti coincidono perfettamente lungo nell estradosso. Per l intradosso abbiamo solo i valori ottenuti dal codice SU2. Figura 3.40 : Figura 3.40: Distribuzione del coefficiente di pressione lungo il profilo; AOA = 10ᵒ. 60

59 Figura 3.41: Distribuzione del coefficiente d attrito lungo il profilo; AOA = 10ᵒ. 61

60 SIMULAZIONE CON ANGOLO D ATTACCO DI 15ᵒ Questa è la simulazione con angolo d attacco maggiore ed è quella che mette in evidenza le criticità del codice. Difatti, all aumentare dell angolo d attacco diventa sempre più difficile raggiungere la soluzione stazionaria. In tabella 3.5 sono riportati i risultati derivanti da questa simulazione: SIMULAZIONI EFFETTUATE CON SU2 α = 15ᵒ CODICI MESH C D C L RESIDUO (scala logaritmica) SU2 449 x SU2 225 x RIFERIMENTI NASA α = 15ᵒ CODICI MESH C D C L CFL3D 897 x Soluzione stazionaria FUN3D 897 x Soluzione stazionaria NTS 897 x Soluzione stazionaria JOE 897 x Soluzione stazionaria SUMB 897 x Soluzione stazionaria TURNS 897 x Soluzione stazionaria GGNS 897 x Soluzione stazionaria Tabella 3.5: Risultati simulazione; AOA = 15ᵒ. Dalla simulazione emergono dati indicativi sulle differenti mesh e sull affidabilità che le stesse hanno nel generare risultati attendibili. Dai dati riportati nella tabella 3.5 si evince che, con la diminuzione del numero di celle, i coefficienti aerodinamici si allontanano dalla soluzione di riferimento. Anche se i valori dei residui sono in linea con quelli ottenuti dalle simulazioni ad angolo d attacco minore, i valori dei coefficienti C D e C L delle due griglie presentano differenze sostanziali. Pertanto l unica soluzione stazionaria deriva dalla simulazione fatta con la mesh 449 x 129 mostrata in figura

61 Figura 3.42: andamento del residuo [RES 0] rispetto al numero d iterazioni; AOA = 15ᵒ. Infine in figura 3.43 per la griglia 449 x 129 e in figura 3.44 per la griglia 225 x 65 sono riportate le distribuzioni della velocità intorno al profilo alare. Si evidenzia la differenza delle due distribuzioni difatti, sul dorso del profilo vi è un elevata discordanza tra i due campi di moto, mentre per il ventre del profilo le due distribuzioni sono similari. Figura 3.43: Mach (mesh 449 x 129) Figura 3.45: Mach(mesh 225 x 65) 63