Analisi numerica di una turbina eolica ad asse verticale

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1 FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA AERONAUTICA TESI DI LAUREA MAGISTRALE Analisi numerica di una turbina eolica ad asse verticale Laureando: Giampaolo Cetraro Matricola Relatore: Prof. Fausto Gamma Correlatore: Ing. Roberto Liberatore Anno Accademico

2 I N D I C E 1 Introduzione Generatori eolici Turbina Savonius Turbina Darrieus Obiettivo della tesi 10 2 Aerodinamica di una VAWT a portanza Descrizione qualitativa del flusso Potenza del vento Modello dei tubi di flusso per un rotore Darrieus 23 3 Le equazioni del moto dei fluidi Equazioni di conservazione Equazione di continuità Conservazione della quantità di moto Condizioni al contorno e iniziali Circolazione e vorticità Cenni sulla modellizzazione della turbolenza Equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds Modello k-ε Large Eddy Simulation Turbolenza di parete 41 4 VAWT a geometria variabile Turbina a geometria variabile: la GiampTurbina Generalità sulle simulazioni numeriche Validazione del codice numerico Geometria e griglia di calcolo Risultati sperimentali Risultati numerici 57 5 Prestazioni della GiampTurbina Avvio in configurazione Savonius Configurazione Darrieus a regime Simulazioni a differenti velocità del vento 87 6 Conclusioni 94 BIBLIOGRAFIA 97 1

3 E L E N C O D E I S I M B O L I α Angolo di attacco [ ] c corda del profilo [m] C D Coefficiente di resistenza [ ] C L Coefficiente di portanza [ ] C m Coefficiente di momento [ ] C p Coefficiente di potenza [ ] D Diametro esterno della turbina [m] H Altezza della turbina [m] R Raggio esterno del rotore [m] Re Numero di Reynolds lv /ν [ ] s Solidità Nc/D [ ] St Numero di Strouhal (o frequenza ridotta) ωc/2v [ ] U Velocità del vento in corrispondenza del rotore [m/s] V Velocità del flusso indisturbato [m/s] V rel Velocità relativa del profilo [m/s] Γ Circolazione [ m 2 /s ] λ Tip Speed Ratio ωr/v [ ] ṁ Portata [Kg/s] µ Viscosità assoluta (o dinamica) [Pa s] µ Γ Valor medio della circolazione [ m 2 /s ] ν Viscosità cinematica µ/ρ [ m 2 /s ] Ω Vorticità [ s 1 ] ω Velocità angolare del rotore [rad/s] P w Potenza specifica del vento 1 2 ρv3 [ W/m 2 ] 2

4 ρ Densità [ Kg/m 3 ] θ Azimut, posizione angolare della pala della turbina [ ] u, u i In grassetto sono indicate le quantità vettoriali e in carattere normale le quantità scalari ACRONIMI HAWT VAWT CFD DNS RANS DES LES 6-DOF RBM PIV LDV NACA Horizontal Axis Wind Turbine Vertical Axis Wind Turbine Computational Fluid Dynamics Direct Numerical Simulation Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations Detached Eddy Simulation Large Eddy Simulation Six Degree Of Freedom Rigid Body Motion Particle Image Velocimetry Laser Doppler Velocimetry National Advisory Committee for Aeronautics 3

5 1 I N T R O D U Z I O N E Il vento è il movimento dell aria nell atmosfera tra zone ad alta pressione e a bassa pressione, causate da un irregolare riscaldamento della superficie terrestre da parte del sole. Quando l aria sulla superficie calda si riscalda, sale creando una zona di bassa pressione. L aria dalle zone di alta pressione fluisce verso l area di bassa pressione, creando il vento. Per questo motivo il vento è chiamato energia solare indiretta. L energia eolica è il prodotto della conversione dell energia cinetica del vento in altre forme di energia. Attualmente viene per lo più convertita in energia elettrica tramite una centrale eolica, mentre in passato l energia del vento veniva utilizzata immediatamente sul posto come energia motrice per applicazioni industriali e pre-industriali. Prima tra tutte le energie rinnovabili per il rapporto costo/produzione, è stata anche la prima fonte energetica rinnovabile usata dall uomo. Il vento varia nel tempo di intensità e direzione, e il potenziale di un sito eolico è generalmente valutato come funzione della media annuale della velocità del vento. Il vento varia con l altitudine e la velocità del vento è spesso influenzata dalle caratteristiche del terreno come i pendii. La variazione della velocità del vento con l altitudine è dovuta all attrito tra l aria e la superficie della terra (strato limite atmosferico). Tutte le stazioni metereologiche riportano la velocità del vento ad un altezza standard di 10 m dal terreno. Il vento vicino le increspature del terreno accelera per superare il pendio, quindi rallenta (e spesso diventa un flusso molto turbolento) nella parte lontana dal pendio. Nonostante la pesante crisi finanziaria, il 2008 è stato un anno record per l energia eolica, con oltre MW di nuova potenza installata in tutto il mondo, pari alla potenza generata da 27 centrali nucleari con una potenza media di 1000 MW. Negli anni precedenti la nuova potenza installata è stata rispettivamente di MW (2007), 15000MW (2006) e di MW (2005). Questa crescita esponenziale ha portato ad avere già alla fine del 2008, una potenza cumulata totale di oltre MW, pari ad oltre l 1, 5% del fabbisogno mondiale di energia 1, e si prevede che già alla fine di questo anno, si possa arrivare a sfiorare la quota Evoluzione del settore dell energia eolica 1 Dati del report 2008 della World Wind Energy Association (http://www.wwindea. org) 4

6 1.1 GENERATORI EOLICI 5 del 2%. Con questi alti tassi di crescita, si stima che ogni tre anni, si possa incrementare di 1 punto percentuale la copertura del fabbisogno mondiale di energia tramite questa fonte di energia pulita, che anno dopo anno arriverà a conquistare una sempre maggiore quota mondiale. Solo in Europa nel 2008 la quota di nuova potenza eolica installata è stata superiore agli altri tipi di generazione. Le statistiche effettuate dall European Wind Energy Association mostrano come il 36% della nuova potenza installata sia eolica, superando le altre tecnologie (gas, carbone, energia nucleare). Grazie ai recenti sviluppi tecnologici l energia eolica inizia ad essere economicamente vantaggiosa. Il costo di installazione è relativamente basso (circa 1, 5 per Watt), se raffrontato ad altre tecnologie come ad esempio il fotovoltaico (circa 5 per Watt). Al 2004, secondo l International Energy Agency, il costo medio di produzione dell energia eolica sarebbe compreso tra 0, 04-0, 08 /kwh, anche se stime più recenti indicherebbero un costo ancora inferiore che farebbe presupporre nel breve termine un costo di 0, 03 /kwh del tutto concorrenziale rispetto ai costi dell energia generata da fonti convenzionali (negli ultimi dieci anni la riduzione del costo di produzione di energia da fonti eoliche si è attestata sul 30%-50% e si prevede che la tendenza rimanga costante). Costi dell eolico 1.1 GENERATORI EOLICI Lo sfruttamento dell energia del vento, relativamente semplice e poco costoso, è attuato tramite macchine eoliche divisibili in due gruppi ben distinti in funzione del tipo di modulo base adoperato definito generatore eolico. Si hanno quindi i convenzionali generatori con asse di rotazione orizzontale Horizontal Axis Wind Turbine (HAWT) e i generatori eolici ad asse verticale Vertical Axis Wind Turbine (VAWT). Entrambi i tibi di generatore richiedono una velocità minima del vento (cut-in) di 3-5 m/s ed erogano la potenza di progetto ad una velocità del vento di m/s. Ad elevate velocità (20-25 m/s, velocità di cut-off ) l aerogeneratore viene bloccato dal sistema frenante per ragioni di sicurezza. Il bloccaggio può avvenire con veri e propri freni che bloccano il rotore, o con metodi che si basano sul fenomeno dello stallo, "nascondendo le pale al vento". I giri al minuto dell aerogeneratore sono molto variabili come lo è la velocità del vento; ma la frequenza di rete deve essere costante a 50 Hz, perciò i rotori vengono collegati a una gear-box che rende costanti i giri in uscita. La cinematica del generatore

7 1.1 GENERATORI EOLICI 6 (a) Ad asse orizzontale (b) Ad asse verticale Figura 1.1: Generatori eolici eolico è caratterizzata da bassi attriti, surriscaldamento ridotto e un costo di manutenzione pressoché nullo. La crescente consapevolezza nei confronti della sostenibilità ambientale di case e città ha portato alla promozione di sistemi di conversione di energia per l ambiente urbano, nell ambito del microeolico. Minieolico Piccolo eolico, o minieolico, è considerata la produzione di energia elettrica da fonte eolica realizzata con l utilizzo di generatori di altezza inferiore a 30 metri. Gli aerogeneratori possono essere al servizio di una utenza isolata non collegata alla rete elettrica o connessi sia per una autoproduzione in scambio che per la fornitura di energia alla rete. La differenza con il grande eolico risiede oltre che nella dimensione delle macchine nella possibilità di operare economicamente con regimi di vento inferiori a quelli richiesti dalle enormi macchine industriali. Dal momento che il vento ha come caratteristica la grande incostanza, gli impianti elettrici con componenti di generazione eolica, possono essere affiancati alla rete elettrica nazionale come fonti o clienti dell energia, oppure nel caso si desideri la totale autonomia, possono essere affiancati al fotovoltaico, a generatori diesel, o al mini-idroelettrico. Uno dei risultati dello sviluppo di queste soluzioni è la ricomparsa di generatori eolici ad asse verticali. Nell ambiente urbano una VAWT presenta diversi vantaggi rispetto al più comune generatore ad asse orizzontale: Interesse per i generatori eolici ad asse verticale per uso domestico L incostanza rende necessario affiancare l eolico ad altre fonti

8 1.1 GENERATORI EOLICI 7 basse emissioni sonore migliore estetica dovuta alla sua tridimensionalità indipendenza dalla direzione del vento migliori prestazioni per flussi che arrivano di traverso (Mertens et al., 2003) (nel caso in cui la turbina venga installata sopra il tetto di un abitazione, il flusso viene deviato dall edificio dal basso verso l alto) Una VAWT è un tipo di macchina eolica contraddistinta da una ridotta quantità di parti mobili nella sua struttura, il che le conferisce un alta resistenza alle forti raffiche di vento, e la possibilità di sfruttare qualsiasi direzione del vento senza doversi riorientare continuamente. È una macchina molto versatile, adatta all uso domestico come alla produzione centralizzata di energia elettrica nell ordine di GigaWatt. Gli aerogeneratori tradizionali hanno, quasi senza eccezioni, l asse di rotazione orizzontale. Questa caratteristica è il limite principale alla realizzazione di macchine molto più grandi di quelle attualmente prodotte: i requisiti statici e dinamici che bisogna rispettare non consentono di ipotizzare rotori con diametri molto superiori a 100 m e altezze di torre maggiori di 180 m. Queste dimensioni, per altro, riguardano macchine per esclusiva installazione off-shore. Le macchine on-shore più grandi hanno diametri di rotore di 70 m e altezze di torre di 130 m. In una macchina siffatta il raggio della base supera i 20 m. La velocità del vento cresce con la distanza dal suolo: questa è la principale ragione per la quale i costruttori di aerogeneratori tradizionali spingono le torri a quote così elevate. La crescita dell altezza, insieme al diametro del rotore che essa rende possibile, sono la causa delle complicazioni statiche dell intera macchina, che impone fondazioni complesse e costose e strategie sofisticate di ricovero in caso di improvvise raffiche di vento troppo forte. Macchine eoliche ad asse verticale sono state concepite e realizzate fin dal La sostanziale minore efficienza rispetto a quelle con asse orizzontale (30%) ne ha di fatto confinato l impiego nei laboratori. L unica installazione industriale oggi esistente è quella di Altamont Pass in California, realizzata dalla FloWind nel Negli ultimi tempi, tuttavia, si è cercato di ottimizzare molto queste macchine, rendendole molto competitive: taluni asseriscono che gli ultimi prototipi, funzionando in molte più ore l anno rispetto a quelle ad asse orizzontale hanno un rendimento complessivo maggiore. Limiti di aerogeneratori convenzionali

9 1.1 GENERATORI EOLICI 8 (a) pianta (b) configurazione elicoidale Figura 1.2: Turbina Savonius Di seguito vengono descritti le due principali configurazioni di turbine eoliche ad asse verticale: la turbina Savonius e la turbina Darrieus Turbina Savonius La turbina a vento Savonius è un tipo di turbina a vento ad asse verticate, utilizzata per la conversione di coppia dell energia del vento su un albero rotante. Inventata dall ingegnere finlandese Sigurd J. Savonius nel 1922, e brevettata nel 1929, è una delle turbine più semplici. Dal punto di vista aerodinamico si tratta di un dispositivo a rotore composto da due o tre pale di forma semicilindrica che lavorano a resistenza. Come si può vedere dalla Figura 1.2, la configurazione a due pale, vista in sezione orizzontale, appare come una figura ad S. La pala curva accoglie e sfrutta il vento che la spinge e lascia più facilmente sfuggire il vento che contrasta nella fase opposta. In altri termini le pale trovano meno resistenza quando si muovono contro il vento che quando si muovono con il vento, la differenza di resistenza induce la turbina di Savonius a girare. Il modello originale è stato concepito spaziando le due pale semicilindriche in modo che e D = 1 3 (dove D è il diametro del cilindro virtuale che le contiene), ma si è visto che si ottengono migliori prestazioni con un rapporto e D = 1 6. Di basso impatto visivo e facilmente integrabile negli edifici senza snaturarne l estetica, la turbina di Savonius è poco rumorosa, prende avvio a deboli velocità di vento presentando una coppia elevata, sebbene variabile in modo sinusoidale nel corso Pregi e difetti

10 1.1 GENERATORI EOLICI (a) pianta (3 pale) (b) configurazione a 5 pale Figura 1.3: Turbina Darrieus della rotazione. Tuttavia le turbine più evolute, derivate dalla Savonius, hanno pale elicoidali in grado di omogenizzare la coppia di torsione durante un giro completo. L impatto visivo rapportato a dimensioni importanti rende la turbina Savonius poco adatto alle grandi produzioni di energia di un parco eolico. Essendo dispositivi a resistenza aerodinamica, le turbine di Savonius, a parità di ingombro, sfruttano la forza del vento meno efficacemente di quelle a portanza e di quelle ad asse orizzontale. Inolte gran parte del rotore di una Savonius è vicino al suolo, dove la velocità del vento è più bassa Turbina Darrieus La turbina Darrieus è costituita da un numero di profili alari disposti verticalmente su un albero rotante. Questo design venne brevettato da Georges Jean Marie Darrieus, un ingegnere aeronautico francese nel La configurazione Darrieus è teoricamente efficiente come un elica se la velocità del vento è costante, ma ha il grande difetto di non autoavviarsi. Nella versione originale della configurazione Darrieus, i profili sono disposti simmetricamente e con un angolo di calettamento nullo. Quando il rotore gira, il profilo avanza nell aria alla velocità tangenziale di rotazione. A questa velocità si somma vettorialmente la velocità del vento, creando un angolo d attacco per il profilo. Questo genera una portanza la cui proiezione in direzione tangenziale fornisce la coppia che fa ruotare la turbina nella direzione in cui già sta ruotando. Uno dei problemi da tener presente quando si pensa al design di una turbina Darrieus è che l angolo d attacco varia durante la rotazione, quindi ogni pala genera il massimo della portanza (e 9

11 1.2 OBIETTIVO DELLA TESI 10 Figura 1.4: Configurazione Troposkein quindi della coppia) in due punti durante una rotazione: questo produce un andamento sinusoidale della coppia. In particolare, quasi tutte le turbine Darrieus hanno dei modi di risonanza, che ad una certa velocità angolare, possono essere eccitati e causare intensi sforzi sulla struttura o addirittura il suo danneggiamento. Per questo motivo, molte turbine Darrieus hanno freni meccanici o sistemi di controllo della velocità per controllare la velocità angolare. Inoltre, poiché la maggior parte della massa del rotore è all esterno, invece che vicino al mozzo, come è per le eliche, si hanno degli stress molto intensi generati dalla forza centrifuga. Una soluzione comune per minimizzare questo effetto è curvare le pale come nella configurazione Troposkein (Figura 1.4). 1.2 OBIETTIVO DELLA TESI L obiettivo di questa tesi è proporre un nuovo di tipo di turbina eolica ad asse verticale a geometria variabile di piccola o media potenza. La migliore estetica rispetto agli aerogeneratori convenzionali ad asse orizzontale, renderebbe questa turbina adatta ad un contesto urbano per la produzione domestica di energia elettrica. Inoltre, a parità di potenza, una VAWT, sviluppandosi in altezza, può limitare le dimensioni del diametro del rotore ed essere più compatta rispetto ad una HAWT. Questa caratteristica la renderebbe particolarmente adatta ad affiancare sistemi di generazione tradizionale negli aeroporti: in un suolo aperto il vento ha la caratteristica di non essere frenato da edifici o vegetazione e la turbina avrebbe un efficienza migliore, allo stesso tempo la forma compatta permetterebbe di installare le turbine La forma compatta della turbina, la rende adatta alla generazione elettrica negli aeroporti

12 1.2 OBIETTIVO DELLA TESI 11 in serie, aumentando così la quantità di potenza disponibile per l aeroporto, e comunque con un impatto visivo per il traffico aereo decisamente inferiore rispetto ad una serie di HAWT. L idea alla base del progetto è quella di sfruttare l elevata coppia fornita dalla configurazione Savonius per avviare la turbina e successivamente trasformarla in configurazione Darrieus per sfruttare l elevata efficienza che si avrebbe ad un alto numero di giri. L esposizione del lavoro è articolata come segue: NEL SECONDO CAPITOLO viene descritta a livello qualitativo l aerodinamica di una turbina Darrieus e viene proposto il modello dei tubi di flusso per stimare con un leggero codice di calcolo le prestazioni di massima di una turbina Darrieus. NEL TERZO CAPITOLO vengono fornite le equazioni fluidodinamiche e i modelli di turbolenza che saranno usati nel programma CFD Star-CCM+ della CD-Adapco per simulare il comportamento di un flusso incomprimibile intorno alla turbina progettata e valutarne le prestazioni. NEL QUARTO CAPITOLO viene presentato il progetto della turbina a geometria variabile e vengono riportati i risultati della validazione del codice numerico per un turbina Darrieus. NEL QUINTO CAPITOLO vengono riportati i risultati delle simulazioni numeriche effettuate sulla turbina a geometria variabile in configurazione di avvio e in configurazione a regime. NEL SESTO CAPITOLO, infine vengono tratte le conclusioni sui risultati raggiunti da queste prime simulazioni preliminari e vengono proposti gli sviluppi futuri degli studi da effettuare per ottimizzare le prestazioni della versione finale della turbina.

13 2 A E R O D I N A M I C A D I U N A VA W T A P O R TA N Z A Il grande vantaggio di una VAWT è la capacità di mantenersi in rotazione indipendentemente dalla direzione del vento. Però rispetto ad una più convenzionale HAWT, poiché l asse di rotazione di una VAWT è perpendicolare al flusso d aria che la investe (Figura 1.3), l aerodinamica che si sviluppa è molto più complessa. Infatti durante la rotazione, sulle pale si realizzano elevati angoli d attacco e il flusso che investe le pale sottovento è disturbato dalla scia dell asse e delle pale sopravento. I parametri fondamentali per caratterizzare il funzionamento di una turbina eolica sono tip speed ratio λ: esprime il rapporto tra la velocità tangenziale della pala e la velocità del flusso indisturbato V λ = Rω V numero di Reynolds: gruppo adimensionale proporzionale al rapporto tra le forze d inerzia e le forze viscose Re = V c ν coefficiente di potenza C p : rappresenta la frazione di energia del vento trasformata in energia utile dalla turbina. In Figura 2.1 viene riportato il tipico andamento del C p in funzione del tip speed ratio λ per un fissato numero di Reynolds. 2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO Una delle grosse difficoltà per le pale di una VAWT è quella di dover operare in un ampio intervallo di angoli d attacco. Quando la turbina parte da una velocità di rotazione nulla, le pale possono addirittura trovarsi in una situazione di flusso inverso, invece durante la rotazione l angolo d attacco locale α varia in funzione della posizione angolare θ della pala (Figura 2.2). Angolo d attacco 12

14 2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 13 Figura 2.1: Coefficiente di potenza di una VAWT a V = 10 m/s V ω V rel α T 180 L ω R V R L V θ D ω R V rel α T Vrel α T 0 ω R L V Figura 2.2: Variazione dell angolo di attacco durante la rotazione Al crescere della velocità di rotazione, il massimo angolo di attacco raggiungibile diminuisce (Figura 2.3): maggiore è la velocità di rotazione, minore sarà l influenza della velocità del flusso indisturbato sulla velocità effettiva vista dalla pala. Inoltre poiché nella parte sopravento le pale sottraggono energia al flusso e lo rallentano, le pale nella parte sottovento avranno un angolo d attacco minore, in quanto sarà minore la velocità locale del vento che si somma alla velocità tangenziale delle pale. Generalmente, raggiunto un certo angolo d attacco, il flusso Superstallo

15 2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 14 Figura 2.3: Variazione dell angolo di attacco in funzione di θ sul dorso di un profilo tenderà a separarsi. La separazione inizia al bordo d uscita e si sposta in avanti al crescere dell angolo. Aumentando ulteriormente l angolo il punto di separazione si sposta in avanti fino a raggiungere il bordo d attacco: questo fenomeno viene chiamato superstallo. Se il profilo è in superstallo, questa condizione viene mantenuta per una frazione di tempo, anche se l angolo d attacco diminuisce, formando un ciclo di isteresi. In Figura 2.4 è riportato il comportamento in superstallo di un profilo NACA 0018, qui si vede come il superstallo inizia a α = 21 e il ciclo di isteresi si mantiene fino ad α = L angolo al quale si verifica il superstallo dipende dal numero di Reynolds e dalla curvatura del bordo d attacco. Questo fenomeno ha una forte influenza negativa sulle prestazioni del profilo, perché durante il ciclo di isteresi la portanza si riduce sensibilmente e la resistenza rimane elevata. Sui profili che hanno una rapida variazione di angolo di attacco si verifica invece il fenomeno dello stallo dinamico. L effetto di questo repentino cambiamento è un isteresi sulla portanza, sulla resistenza e sul momento aerodinamico. Lo stallo dinamico è caratterizzato dal rilascio di vortici controrotanti dalla superficie a bassa pressione del corpo portante. La turbina eolica di tipo Darrieus è particolarmente sensibile allo stallo dinamico, poiché la variazione di angolo di incidenza è ampia, specialmente a bassi tip speed ratio. Poiché le pale nella sezione sottovento sono influenzate dalla scia prodotta dalle pale sopravento è importante capire bene il fenomeno dello stallo Stallo dinamico

16 2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 15 Figura 2.4: Caratteristiche di superstallo per un profilo NACA 0018 dinamico e della relativa scia, poichè ad esso è associato un aumento di rumore, di vibrazioni aeroelastiche e di fatica per il profilo. La prima visualizzazione dello stallo dinamico di una VAWT è stato fatto da Brochier et al. (1986). Gli esperimenti sono stati fatti in un canale d acqua, con tecnica LDV e bolle di idrogeno ad un numero di Reynolds di variando il tip speed ratio da 1 a 8. La turbina era di tipo Darrieus con due profili NACA La visualizzazione per λ = 2, 14 è riportata in Figura 2.5a e 2.5b. Il primo vortice si forma al bordo d attacco del profilo, un secondo vortice, rotante in direzione opposta, nasce dal bordo d uscita; insieme formano una struttura caratteristica di due vortici controrotanti, che traslano verso il basso fino a incontrare il secondo profilo. Poiché gli angoli di incidenza sono maggiori per bassi tip speed ratio, in queste condizioni lo stallo dinamico è presente in maniera più rilevante. Dalla Figura 2.6 possiamo vedere come per λ = 1 i vortici controrotanti sono di dimensioni maggiori, e che comunque la struttura dei vortici risulta indipendente dal tip speed ratio. Ad alti λ, sopra 4, lo stallo dinamico diventa di minor importanza. Gli studi citati mostrano la presenza di una forte asimmetria nelle proprietà del flusso all interno della turbina, infatti le pale attraversano la scia dello stallo dinamico solo durante una parte del ciclo, lavorando in condizioni di flusso fortemente turbolento. Un fattore importante per le prestazioni di piccole turbine è l intervallo dei bassi numeri di Reynolds (< 10 6 ) in cui esse operano (Figura 2.7). In aerodinamica sono stati condotti molti studi per velivoli che operano a numeri di Reynolds superiori a , invece risulta molto difficile e spesso impossibile trovare i Numero di Reynolds

17 2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 16 (a) Visualizzazione del flusso (b) Diagramma schematico Figura 2.5: Visualizzazione dello stallo dinamico per λ = 2, 14 (Brochier et al., 1986) (a) λ = 1 (b) λ = 2 (c) λ = 3 Figura 2.6: Illustrazione schematica dello stallo dinamico per diversi λ (Fujisawa e Shibuya, 2001) dati per profili a bassi numeri di Reynolds. Nelle figure da 2.8 a 2.10 sono mostrati gli effetti del numero di Reynolds sulle caratteristiche aerodinamiche di un profilo, in particolare nella Figura 2.8 si vede come per il profilo NACA 0018 il coefficiente di massima portanza e l angolo di stallo decrescono sensibilmente al diminuire del numero di Reynolds. Sono riportati anche gli effetti del numero di Reynolds sulle prestazioni di una VAWT. Nelle figure 2.9 e 2.10 è stato variato il numero di Reynolds relativo alla corda, variando sia la velocità di rotazione della turbina che la velocità del vento. A bassi numeri di Reynolds è spesso presente una tipica struttura chiamata bolla di separazione laminare. Quando lo strato limite laminare non è più in grado di seguire il contorno del profilo a Bolla di separazione laminare

18 2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 17 Figura 2.7: Variazione del numero di Reynolds per V = 10 m s Figura 2.8: Effetti del numero di Reynolds sulla curva di portanza di un profilo NACA 0018 (Jacobs e Sherman, 1937) causa del gradiente avverso di pressione, e le instabilità aerodinamiche non si sono sviluppate sufficientemente per avviare la transizione turbolenta, si verifica la separazione dello strato limite. A questo punto il flusso può diventare turbolento e riattaccarsi al profilo, formando la cosidetta bolla di separazione laminare. Questo fenomeno va ad alterare la forma del flusso intorno al profilo, riducendone le prestazioni e addirittura in alcuni casi la bolla può estendersi oltre il bordo d uscita del profilo perché il gradiente di pressione avversa è troppo elevato per far si che lo strato turbolento possa riattaccarsi. Studi condotti da Migliore et al. (1980) mostrano come le caratteristiche aerodinamiche di un profilo sono differenti se il flusso che lo investe è curvilineo oppure rettilineo. Poiché in Curvatura virtuale

19 2.1 DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL FLUSSO 18 Figura 2.9: Influenza del numero di Reynolds su una turbina Sandia di 5 metri (Sheldahl et al., 1980) Figura 2.10: Influenza del numero di Reynolds su un rotore Sandia di 2 metri (Paraschivoiu, 2002)

20 2.2 POTENZA DEL VENTO 19 Figura 2.11: Cameratura virtuale dovuta a un flusso curvilineo (Migliore et al., 1980) una VAWT il profilo ruota, un profilo simmetrico si comporta come un profilo con curvatura e angolo di attacco investito da un flusso rettilineo (Figura 2.11). L influenza di un campo di velocità curvilineo sulle caratteristiche aerodinamiche dipendono molto dal rapporto tra corda e raggio c/r. Se questo rapporto cresce, l influenza del flusso curvilineo aumenta. Una curvatura virtuale causa uno spostamento verso l alto della curva di portanza e introduce un momento aerodinamico. Un angolo di incidenza virtuale invece causa lo spostamento verso sinistra della curva di portanza. Il preciso effetto di questi fenomeni sulle prestazioni di una VAWT devono essere ancora studiati accuratamente. 2.2 POTENZA DEL VENTO Per poter studiare le caratteristiche di una turbina eolica e valutare l energia che essa può produrre è utile prima considerare l energia del vento che si ha a disposizione e capire quanta di questa energia può essere effettivamente sfruttata dalla turbina. L energia cinetica del vento è data da P w = 1 2ṁV2 Considerando che la portata può essere espressa come ṁ = ρv A l equazione dell energia cinetica diventa P w = 1 2 ρv3 A Generalmente nel settore eolico si considera la potenza per unità di superficie, quindi la potenza specifica, data da P w = P w A = 1 2 ρv3

21 2.2 POTENZA DEL VENTO 20 Figura 2.12: Volume di controllo La potenza erogata dalla turbina è data da P t (θ) = F(θ)V(θ) = T(θ)ω(θ) É possibile valutare l efficienza di una turbina introducendo il coefficiente di potenza, definito come il rapporto tra la potenza della turbina e la potenza del vento C p = P t P w (2.1) La massima energia che è possibile ricavare da una turbina eolica è fornita dalla legge di Betz, una teoria per le macchine a fluido sviluppata da Albert Betz nel 1920; il valore noto come limite di Betz, rappresenta la massima energia che si potrebbe ricavare con un rotore infinitamente sottile da un fluido che scorre ad una fissata velocità. Al fine di calcolare l efficienza massima di un rotore sottile, lo si immagini sostituito da un disco che spilli energia dal fluido che lo attraversa. Ad una certa distanza a valle di questo disco, il fluido che lo ha attraversato fluisce con una velocità minore di quella a monte. Le ipotesi alla base di questa teoria sono: 1. Il rotore non possiede mozzo, ossia è un rotore ideale, con un infinito numero di pale e con attrito pari a 0. Limite di Betz 2. Il flusso in entrata e in uscita dal rotore ha direzione assiale. 3. Il flusso è incomprimibile. La densità rimane costante, e non vi è trasferimento di calore dal rotore al fluido e viceversa. Applicando l equazione di continuità al volume di controllo (Figura 2.12), possiamo esprimere la portata come ṁ = ρa 1 v 1 = ρsv = ρa 2 v 2 dove v 1 è la velocità a monte del rotore, v 2 è la velocità a valle, e v è la velocità in corrispondenza del rotore; A 1, A 2 e S sono

22 2.2 POTENZA DEL VENTO 21 le aree in corrispondenza delle tre sezioni considerate. La forza esercitata dal vento sul rotore può essere scritta come F = ma = m dv dt = ṁ V = ρsv(v 1 v 2 ) Il lavoro fatto dalla forza può essere scritto in forma differenziale come Potenza e lavoro de = Fdx e la potenza contenuta nel fluido è P = de dt = Fdx dt = Fv Ora sostituendo l espressione della forza F calcolata precedentemente, avremo P = ρsv 2 (v 1 v 2 ) Un altro modo per calcolare la potenza, è tramite l energia cinetica. Applicando l equazione di conservazione dell energia al volume di controllo abbiamo che P = E t = 1 2ṁ(v2 1 v2 2 ) Sostituendo l espressione della portata avremo che P = 1 2 ρsv(v2 1 v2 2 ) Poichè le espressioni per la potenza calcolate nei due modi devono valere contemporaneamente, possiamo confrontarle P = 1 2 ρsv ( v 2 1 v2 2) = ρsv 2 (v 1 v 2 ) Da questa uguaglianza è chiaro come la velocità v in corrispondenza del rotore sia la media della velocità a monte e a valle, infatti ovvero 1 2 (v2 1 v2 2 ) = 1 2 (v 1 v 2 )(v 1 + v 2 ) = v(v 1 v 2 ) v = 1 2 (v 1 + v 2 ) Ricordando la definizione del coefficiente di potenza (2.1), possiamo ottenere questo valore partendo dall espressione della potenza basata sull energia cinetica e sostituendoci l espressione della velocità in corrispondenza del rotore Coefficiente di potenza

23 2.2 POTENZA DEL VENTO 22 Figura 2.13: Coefficiente di potenza; l asse orizzontale rappresenta il rapporto v 2 v 1, l asse verticale è il coefficiente di potenza C p. P = 1 2ṁ(v2 1 v2 2 ) = 1 2 ρsv ( v 2 1 ) 1 v2 2 = 4 ρs (v 1 + v 2 ) ( v 2 1 ) v2 2 ( = 1 ( ) 2 ( ) ( ) ) 3 v2 v2 v2 4 ρsv (2.2) v 1 Differenziando P rispetto a v 2 v 1 per una fissata velocità del fluido v 1 e una fissato valore dell area S, possiamo ottenere il massimo valore di P. Dalla Figura (2.13) vediamo come il massimo di P si ottiene quando v 2 v 1 = 1 3, sostituendo questo valore nell espressione (2.2), abbiamo che la massima potenza ottenibile è v 1 P max = ρsv3 1 Se consideriamo che la potenza del vento è P w = 1 2 ρsv3 1, abbiamo che il coefficiente di potenza massimo sarà C p = P max P w = = Questo è il risultato fondamentale della teoria di Betz: da tutta l energia del vento disponibile, il massimo valore teorico che una turbina può ottenere corrisponde al 59.3%. Attualmente le migliori turbine in commercio hanno valori del coefficiente di prestazione compreso tra v 1

24 2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN ROTORE DARRIEUS 23 flusso indisturbato a monte θ θ La velocitá U rimane costante all interno della circonferenza ω 6 tubi di flusso separati da un θ uniforme flusso stabilizzato lontano a valle Figura 2.14: Tubi di flusso 2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN RO- TORE DARRIEUS Viene qui riportato un semplice modello matematico per avere una prima stima sulle prestazioni di una turbina Darrieus con pale dritte. Il presente modello è basato sull equazione di conservazione della quantità di moto; è noto che questo modello non è in grado di descrivere correttamente il campo di flusso intorno alla turbina, ma è lo strumento più largamente usato in campo industriale. Questo perché i risultati in termini di potenza sono confrontabili con quelli disponibili in letteratura e inoltre il codice di calcolo relativo a questo modello è semplice e veloce. Nel modello dei tubi multipli di flusso (Strickland, 1975), il flusso del vento sul rotore è diviso in diversi tubi come mostrato in Figura Assumiamo le seguenti ipotesi: la sezione trasversale del tubo rimane inalterata tra monte e valle del rotore anche se ci aspettiamo che si espanda a causa del rallentamento del flusso; la traiettoria del vento rimane parallela al tubo di flusso, anche se ci aspettiamo che sia leggermente deviata quando riceve il colpo dalla pala rotante. Queste due ipotesi sul campo fluidodinamico assai poco realistiche, permettono di ottenere un semplice modello di calcolo, ma fortunatamente con un accuratezza accettabile.

25 2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN ROTORE DARRIEUS 24 Il vento a monte del rotore ha velocità uniforme V. In ogni tubo, la velocità del vento comincia a decrescere da V in maniera differente fino a quando non raggiunge il semicerchio superiore della turbina dove la velocità sarà U. Assumiamo che la velocità U rimanga costante all interno della circonferenza del rotore, anche se realisticamente ci aspettiamo che qui la velocità diminuisca. Dopo aver lasciato il semicerchio inferiore, la velocità del vento continua a diminuire sempre in maniera differente fra tubo e tubo. Infine lontano dal rotore la velocità si stabilizza. Per ogni tubo di flusso, la variazione di velocità è determinata dall equazione di Bernoulli (considerando il limite di Betz). Ogni tubo di flusso subisce una perdita continua di quantità di moto e due impulsi di forze aerodinamiche per ogni giro. La diminuzione di quantità di moto del vento al interno della circonferenza del rotore può essere calcolata se è nota la velocità U. Inoltre le forze aerodinamiche che agiscono sulla pala (per ogni posizione e per una fissata velocità angolare) possono essere ricavate dalle tabelle di portanza e resistenza dei profili. Per calcolare la velocità U, il modello dei tubi di flusso eguaglia la variazione di quantità di moto con le forze aerodinamiche. Più precisamente, le componenti delle forze aerodinamiche in direzione del vento vengono eguagliata alla variazione di quantità di moto. In un tubo di flusso, la forza agisce solo quando la pala transita nel tubo (una volta a valle e una volte a monte) e per il resto (la maggior parte del tempo), le forze sono nulle. Quindi, il modello dei tubi di flusso fa una media di tutte queste forze (zero e due impulsi non nulli) per trovare un valore medio, che possiamo assumere che agisca sul tubo durante tutta una rivoluzione. Il campo di velocità semplificato può essere calcolato quando la velocità U è nota. Di conseguenza si possono calcolare le forze aerodinamiche che agiscono sulla pala in ogni possibile posizione angolare. Infine questi valori vengono mediati per trovare la coppia media e la potenza per ogni giro. Di seguito si riportano le equazioni dei tubi multipli per un rotore Darrieus con pale dritte. Al fine di poter facilmente confrontare risultati per diverse geometrie della turbina, invece di risolvere direttamente rispetto a U, è comodo normalizzare la U rispetto a una variabile meno diretta ma più vantaggiosa, il fattore di induzione definito come Fattore di induzione a = 1 U V La variazione di quantità di moto in un tubo di flusso è q = ρ (HR θ sin θ) U 2 ( V U )

26 2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN ROTORE DARRIEUS 25 asse tangenziale U sin θ U U cos θ velocitá relativa α ωr asse normale Resistenza Portanza θ Figura 2.15: Velocità e forze agenti sul profilo dove HR θ sin θ è la sezione frontale di un tubo di flusso. Normalizzando la variazione di quantità di moto ) q U C q = = 4 (1 U = 4a (1 a) 1 2 ρv2 (HR θ sin θ) V V Notare che questa relazione è valida solo per a < 0.5. La velocità relativa del profilo (Figura 2.15) è data da V rel = (U sin θ) 2 + (U cos θ + ωr) 2 Normalizzando la velocità si ha ( ) V rel U 2 ( U = sin θ + V V = V cos θ + ωr V ((1 a) sin θ) 2 + ((1 a) cos θ + λ) 2 L angolo d attacco è dato da ) 2

27 2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN ROTORE DARRIEUS 26 U tan α = U cos θ + ωr = U V sin θ U V cos θ + ωr V ( ) (1 a) sin θ α = tan 1 (1 a) cos θ + λ I coefficienti di forza normale e tangenziale C norm = C L cos α C D sin α C tang = C L sin α C D cos α dove C L e C D sono i coefficienti di portanza e resistenza del profilo con angolo d attacco α. Il valore istantaneo di spinta in direzione del vento per un singolo profilo ad un certo θ è F = 1 2 ρv2 rel (Hc) ( C norm sin θ C tang cos θ ) La spinta mediata nel tempo che agisce su un tubo di flusso per N pale e due volte per giro F = N 1 2 ρv2 rel (Hc) ( C norm sin θ C tang cos θ ) θ π 2 Normalizzando per ottenere il coefficiente di spinta in un tubo di flusso C F = ( F Nc = 1 2 ρv2 (HR θ sin θ) D ) ( Vrel V ) 2 ( 2 C norm C ) tang π tan θ Da questa equazione possiamo definire un importante parametro per le turbine eoliche: la solidità s = Nc D Il valore del fattore di induzione deve essere trovato numericamente con degli algoritmi iterativi. Si assegna un primo valore di tentativo e con questo valore si calcolano i valori di velocità normalizzata, angolo d attacco, coefficiente di portanza, di resistenza, di forza normale e tangenziale. Successivamente si calcola il coefficiente di spinta generato dalle forze aerodinamiche e quello derivato dalla variazione di quantità di moto del vento. Se il fattore di induzione di primo tentativo è corretto, i coefficienti

28 2.3 MODELLO DEI TUBI DI FLUSSO PER UN ROTORE DARRIEUS 27 di spinta saranno uguali, altrimenti si assegna un altro valore e si ripetono i calcoli. Normalmente il fattore di induzione cade nell intervallo 0 < a < 0.5, quindi il primo valore di tentativo va scelto in questo range per ridurre il numero di iterazioni. Una volta che il fattore di induzione viene trovato per ogni tubo, si può calcolare il coefficiente di coppia e di momento nel modo seguente. Il momento istantaneo di una singola pala ad un certo θ è M = 1 2 ρv2 rel (ch) C tang R La coppia media del rotore per N pale e per una rivoluzione completa è M = N 2m [ 1 i=1 2 ρv2 (ch) C rel tang R ] 2m dove m è il numero dei tubi di flusso e 2m il numero dei θ Poiché la distribuzione di coppia (o di forza tangenziale) è simmetrica tra le posizioni sopravento e sottovento, la sommatoria può essere dimezzata M = N 2m [ 1 i=1 2 ρv2 (ch) C rel tang R ] m Infine, il coefficiente di momento sarà dato da ( ) [ ( ) m V 2 2 ] rel M Nc i=1 C m = 1 2 ρv2 (DH) R = V Ctang D m e il coefficiente di potenza da C p = C m λ

29 3 L E E Q U A Z I O N I D E L M OTO D E I F L U I D I Il moto di un mezzo continuo è governato dai principi della meccanica e della termodinamica classica. Esso è rappresentato mediante le equazioni esprimenti le leggi della conservazione della massa, della quantità di moto e dell energia. Nell applicazione di questi principi ci si avvale della descrizione Euleriana del moto in un sistema di riferimento Galileiano (assoluto). Il punto di vista Euleriano fissa una data posizione x, y, z ed osserva, al trascorrere del tempo, quel che accade in tale posizione. Le variabili indipendenti sono quindi le coordinate x, y, z (in notazione compatta x i ) ed il tempo t. Le proprietà caratteristiche del mezzo fluido sono considerate quindi come funzioni dello spazio e del tempo nel sistema di riferimento. Il mezzo fluido è ritenuto continuo: questa assunzione implica che esistono le derivate di tutte le variabili dipendenti; in altre parole, proprietà locali come la velocità sono definite come medie su elementi grandi se comparati con la struttura microscopica del fluido, ma abbastanza piccoli in confronto alla scala dei fenomeni macroscopici. Ciò permette di descriverli con l uso del calcolo differenziale. Per tenere conto della natura reale e turbolenta del flusso il fluido è considerato viscoso e si introducono modelli ad una o più equazioni per simulare le interazioni turbolente. 3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE Equazione di continuità o di conservazione della massa Il principio di conservazione della massa, nel caso del moto di un fluido, si esprime dicendo che resta invariata nel tempo la massa contenuta in un volume che si muove insieme al fluido. Si scrive quindi dm dt = d ˆ ρdv = 0 (3.1) dt V(t) Applichiamo ora il teorema del trasporto di Reynolds. Questo permette di determinare la derivata temporale dell integrale di 28

30 3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 29 una certa quantità A(x i, t) esteso ad un volume arbitrario che si muove con il fluido. Nel caso generale si scrive ˆ ˆ ˆ d A AdV = dt V(t) V(t) t dv + Au nds (3.2) S(t) Bisogna ora applicare all integrale superficiale della 3.2 il teorema della divergenza ˆ ˆ a uds = adv S Il teorema della divergenza stabilisce che il flusso di un vettore uscente da una superficie chiusa è uguale all integrale della divergenza del vettore stesso, esteso al volume racchiuso. Abbiamo così Osservando che ˆ ˆ d AdV = dt V(t) V(t) (Au) = (u ) A + A u V { } A t + (Au) dv (3.3) ed utilizzando l espressione della derivata sostanziale si ottiene da dt = A + (u ) A (3.4) t ˆ ˆ { } d da AdV = dt V(t) V(t) dt + A u dv (3.5) La derivata sostanziale di una grandezza fisica esprime la variazione totale nel tempo della grandezza stessa percepita da un osservatore solidale al moto della particella fluida. Nell espressione 3.4 possiamo individuare due termini a secondo membro; il primo, detto derivata locale, esprime a livello fisico la variazione nel tempo della grandezza in un punto fissato; il secondo termine, detto derivata convettiva, equivale alla variazione temporale dovuta al movimento dell elemento fluido da un punto all altro di un campo fluido dove le proprietà del flusso sono diverse nello spazio. Riprendendo la 3.1 nella forma 3.3 o nella forma 3.5 e, inserendo per la generica A(x i, t) la densità ρ, risulta che devono essere nulli gli integrali a secondo membro qualunque sia il volume di

31 3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 30 integrazione V(t) ; devono essere quindi identicamente nulli gli integrandi ρ + (ρu) = 0 (3.6) t oppure in forma equivalente dρ + ρ u = 0 (3.7) dt La 3.6, o la 3.7, costituisce l equazione di continuità per un fluido. La forma in cui è espressa la 3.6, viene chiamata conservativa; la forma della 3.7 è detta non conservativa. Nel caso in cui dρ/dt = 0, la 3.7 fornisce La 3.8, essendo u = 0 u i x i = 0 (3.8) Flusso incompressibile 1 dv V dt = divu = u ci dice che la velocità di variazione relativa del volume della particella fluida è nulla. Il flusso è quindi incompressibile. Si noti che non è necessario che il campo di densità sia uniforme per un flusso incompressibile, quello che è richiesto è che la densità dell elemento fluido non vari nel tempo quando si muove nello spazio. Infatti la densità è in generale funzione della temperatura oltre che della pressione: per esempio, il flusso in un oceano può essere considerato incompressibile anche se la densità dell acqua non è uniforme a causa della stratificazione. Flussi compressibili possono essere approssimati come incompressibili se il numero di Mach è inferiore a Equazione della conservazione della quantità di moto L equazione della quantità di moto applicata alla massa contenuta in un certo volume di fluido, che si muove con esso, si scrive dq dt = F e (3.9) dove F e è la risultante delle forze esterne di massa (ad es. la gravità, la forza centrifuga) e di quelle di superficie, come gli sforzi dovuti al fluido esterno e agenti sulla superficie S si contorno. La 3.9 diventa allora d dt ˆ V(t) ˆ ρudv = V(t) ˆ ρfdv + T nds (3.10) S(t)

32 3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 31 dove f è la forza di volume che si esercita per unità di massa e T è il tensore degli sforzi. Tale tensore permette di descrivere gli sforzi attorno ad un punto nelle varie direzioni possibili: esso è un tensore a nove componenti scalari (a tre componenti vettoriali rispetto alle tre direzioni degli assi coordinati prescelti). Va sottolineato che T è un tensore simmetrico per cui T ij = T ji, cosicché le nove componenti si riducono a sei quantità indipendenti. Occorre ora esprimere il principio di conservazione della quantità di moto per un volume che non varia nel tempo, cioè un volume fisso nello spazio (formulazione Euleriana). Ciò può essere semplicemente realizzato esprimendo le derivate temporali degli integrali sul volume materiale V(t) mediante il teorema del trasporto di Reynolds. Trasformiamo così il primo membro e il secondo termine del secondo membro della 3.11 in modo che vi appaiano soltanto integrali di volume, come è il primo termine a secondo membro. Se poi applichiamo il teorema della divergenza ˆ ˆ T nds = divt dv all integrale superficiale avremo ˆ V S V { ρ du dt ρf T } dv = 0 (3.11) Dovendo valere la 3.11 per qualsiasi volume di integrazione, l integrando deve essere identicamente nullo, quindi ρ du dt = ρf + T Passando dall espressione vettoriale a quella delle componenti ed introducendo la simbologia della somma introdotta da Einstein, o notazione indiciale 1 ρ du i dt = ρf i + x j T ij (3.12) dove u i è la componente i-esima della velocità istantanea, ρ è la densità, T ij è il tensore degli sforzi e f i è la componente i-esima della forza di volume per unità di massa. Dalle ipotesi fatte il fluido è di tipo Newtoniano e a comportamento isotropo. Per i fluidi Newtoniani le componenti del tensore degli sforzi sono funzioni lineari delle componenti delle velocità Fluido Newtoniano 1 In ogni prodotto, l indice ripetuto implica una somma rispetto allo stesso indice per i valori 1, 2, 3. Quello non ripetuto può assumere uno qualsiasi dei valori 1, 2, 3.

33 3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 32 di deformazione. Per le componenti del tensore degli sforzi si dimostra che T ij = 2µε ij per i j (3.13) T jj = ( p + λ u) + 2µε jj (senza somma su j) (3.14) Dalla 3.14 risulta che nel caso generale i tre sforzi normali sono diversi tra loro, e la loro media non coincide con la pressione. Nelle 3.13 e 3.14 µ è la viscosità dinamica che riteniamo costante, ed ε ij sono le componenti del tensore delle deformazioni. La relazione tra sforzi e velocità di deformazione si scrive T ij = 2µε ij (p + 23 ) µ u δ ij (3.15) dove p è la pressione termodinamica e δ ij è il delta di Kronecker δ ij = { 1 per i = j 0 per i j Nella 3.14 il termine λ u descrive l effetto della viscosità dovuto alla variazione di volume di una particella fluida. I due coefficienti di viscosità λ e µ sono legati tra loro dalla relazione Essendo per i gas poliatomici µ = λ µ 0 < µ µ possiamo scrivere λ = 2 3 µ (3.16) La quantità µ, detta bulk viscosity o viscosità di massa, descrive la differenza esistente, e dovuta alla viscosità, tra sforzo normale medio e pressione in un fluido in espansione. In altre parole, supponendo di avere una massa di gas viscoso che si espande rapidamente (se u > 0), il suo comportamento coincide con quello di un gas non viscoso a pressione p inferiore. Si dimostra infatti che è p = p µ divu Questo significa che un gas viscoso, sottoposto a pressione decrescente nel tempo, si espande meno rapidamente di un gas non viscoso sottoposto alla stessa legge temporale delle pressioni esterne a parità delle altre condizioni.

34 3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 33 La 3.15 è detta equazione costitutiva. Come si vede, per i fluidi isotropi Newtoniani, essa dipende dai due coefficienti di viscosità λ e µ e, in virtù della 3.16, dal solo coefficiente µ. A questo punto se introduciamo nella 3.12 l equazione costitutiva 3.15 e le componenti del tensore di deformazione ε ij = 1 ( ui + u ) j 2 x j x i otteniamo le equazioni di Navier-Stokes in forma differenziale ρ du i dt = ρf i p + (λ u) + { ( ui µ + u )} j x i x i x j x j x i (3.17) L ultimo termine della 3.17 può essere scritto µ 2 u i + µ u + µ ( ui + u ) j x i x j x j x i Nel caso in cui µ e λ possono essere ritenuti costanti la 3.17 diventa così ρ du ( ) i dt = ρ ui t + u u i j x j = ρf i p + µ 2 u i + (λ + µ) ( u) (3.18) x i x i La 3.18 può essere scritta in forma vettoriale ricordando però che la somma (λ + µ) è, per via della 3.16, pari a µ/3 ρ du dt = ρf p + µ 2 ū + µ ( u) (3.19) 3 e nel caso in cui il fluido sia incompressibile ( u = 0), la 3.19 diventa ρ du dt = ρf p + µ 2 u Una conseguenza di assumere l ipotesi di flusso incompressibile è che non c è un equazione di stato per la pressione, a differenza del caso di flusso compressibile. Quindi non c è un equazione indipendente per la pressione, ma deve essere ottenuta dall equazione di continuità e della quantità di moto. Inoltre se si assume che la viscosità sia costante, allora l equazione dell energia risulta disaccoppiata da quella di continuità e della quantità di moto e nella nostra trattazione può essere tralasciata.

35 3.1 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE Condizioni al contorno e condizioni iniziali L equazione di continuità, e l equazione della quantità di moto, equivalente a tre equazioni scalari, costituiscono per un flusso incompressibile un sistema di quattro equazioni differenziali nelle incognite u, v, w, p. Esse possono essere risolte, analiticamente o numericamente, con opportune condizioni al contorno. In realtà la soluzione analitica delle equazioni di Navier-Stokes presenta in generale difficoltà insormontabili, principalmente per il fatto che le equazioni stesse sono alle derivate parziali e non lineari. Da questo risulta l importanza e la necessità dell impiego di solutori numerici che possono sfruttare la velocità di calcolo e la precisione del calcolatore elettronico. La risoluzione del sistema necessita della specifica delle condizioni al contorno, e delle condizioni iniziali. Sono proprio queste condizioni che decidono le soluzioni da ottenere dalle equazioni di governo. Su ciascuna linea o superficie di confine del dominio di calcolo è necessario specificare appropriate condizioni. Dato che le equazioni di Navier-Stokes sono di tipo ellittico nel caso incompressibile, la loro soluzione necessita della specificazione di due condizioni al contorno per ogni coordinata, ed una condizione iniziale (tranne che per la pressione per la quale il valore si ricava, senza l imposizione di condizioni esplicite, a meno di una costante). L ellitticità delle equazioni implica il fatto che una variazione del valore di una condizione al contorno in un punto qualsiasi del bordo modifica istantaneamente la soluzione in tutto il dominio di calcolo Circolazione e vorticità In fluidodinamica è detta circolazione il valore della circuitazione (ovvero l integrale di linea) di un campo di velocità lungo un percorso chiuso C Γ = u dl C La circuitazione, ovvero l integrale del prodotto scalare della velocità con l ascissa curvilinea, equivale alla proiezione della velocità, punto per punto, sulla curva. Definendo la vorticità Ω come il rotore della velocità Ω = u la circolazione può essere espressa, con il teorema del rotore, anche in funzione della vorticità Γ = u dl = ( u) ds = Ω nds S S S

36 3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 35 con l ipotesi che il percorso chiuso, indicato questa volta con S, sia il contorno di una superficie S orientata. Si è indicato con n il versore normale alla superficie diretto verso l osservatore che vede S girare in senso antiorario. Quindi la vorticità può anche essere interpretata come la circuitazione della velocità per unità di superficie in un punto del flusso. Nei fluidi incomprimibili la vorticità nasce solo in presenza di contorni solidi e deriva dalla necessità che ha il fluido di soddisfare la condizione di aderenza, ossia di non scorrere sulla parete. Infatti la velocità relativa tra fluido e contorno solido è considerata nulla e le particelle a diretto contatto con la parete vi aderiranno, mentre quelle appena più distanti avranno un certa velocità relativa non nulla. In un fluido incomprimibile la vorticità rappresenta la risultante delle azioni viscose agenti su una particella fluida. Se questa grandezza è zero, l equazione che ne regola il moto è identica a quella di un fluido non viscoso, ma questo non vuol dire che le azioni viscose siano nulle, bensì che è nulla solo la loro risultante. 3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TUR- BOLENZA Nel campo di applicazione delle turbine eoliche, il flusso è sempre turbolento. Questo significa che il moto del fluido è stocastico, non stazionario e tridimensionale. Per queste ragioni, il moto turbolento ed i fenomeni di trasferimento di calore e di massa con esso associati sono estremamente difficili da descrivere e da predire in maniera teorica. Di seguito vengono riportati alcuni modelli matematici per descrivere i fenomeni turbolenti e largamente usati in campo industriale nelle simulazioni numeriche Equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds Le equazioni di Navier-Stokes mediate (RANS) sono equazioni di Navier-Stokes dove le grandezze risultano non più istantanee, ma mediate in un certo periodo di tempo, sufficientemente piccolo rispetto ai fenomeni che si vogliono seguire, sufficientemente grande rispetto ai disturbi della turbolenza. Per molte applicazioni pratiche, la sola conoscenza delle grandezze medie può essere sufficiente per la soluzione del problema. Questo approccio consente una notevole riduzione dei tempi di

37 3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 36 calcolo, poiché le scale del moto medio sono molto più grandi di quelle delle fluttuazioni turbolente. In effetti un moto turbolento può essere considerato come la sovrapposizione di un moto medio e di un moto fluttuante nel tempo. Usando la decomposizione di Reynolds per la velocità e la pressione u i = ū i + u i e p i = p i + p i (dove i valori sopralineati indicano i valori medi e quelli con l apice le fluttuazioni), sostituendole nelle equazioni di Navier- Stokes e mediando nel tempo le equazioni di Navier-Stokes stesse, si ottiene per un flusso incompressibile [ ūi ρ t + ū ] jū i = ρ f i + x j x j ū j x j = 0 [ pδ ij + µ ( ūi + ū ) ] j ρu x j x i u j i dove ρu i u j τr ij rappresenta il tensore degli sforzi di Reynolds. L effetto di questo termine è in genere prevalente rispetto al tensore degli sforzi viscosi. In definitiva un moto turbolento può essere descritto dalle stesse equazioni usate per il moto laminare, purché si sostituiscano alle grandezze istantanee i valori mediati nel tempo e si includano gli sforzi turbolenti aggiuntivi. Per la presenza delle 6 nuove incognite rappresentate dalle componenti del tensore degli sforzi di Reynolds, le due equazioni di conservazione non costituiscono un sistema chiuso che permetta di determinare i campi di pressione media e velocità media. Nelle RANS è pertanto necessaria l assunzione di un modello che leghi in modo fisicamente consistente il tensore degli sforzi di Reynolds alla storia globale del campo di velocità media, in modo da consentire la chiusura delle equazioni. I modelli di turbolenza a due equazioni sono fra i più comuni. Modelli come il k-ε e il k-ω sono diventati dei modelli standard per l industria e sono i più usati per molti tipi di problemi ingegneristici. Per definizione, i modelli a due equazioni includono due equazioni in più per rappresentare le proprietà turbolente del flusso, in questo modo si tiene conto degli effetti di evoluzione come la convezione e la diffusione di energia turbolenta. Spesso una della variabili trasportate è l energia cinetica turbolenta k. La seconda variabile trasportata dipende dal tipo di modello adottato. Le scelte più comuni sono la dissipazione turbolenta ε, o la dissipazione specifica ω. La seconda variabile può essere pensata come la variabile che determina la scala della turbolenza (spaziale o temporale), invece la prima variabile k determina l energia nella turbolenza. Modelli di turbolenza a due equazioni

38 3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 37 La base per tutti i modelli a due equazioni è l ipotesi di Boussinesq, che assume che il tensore degli stress di Reynolds τ R ij, è proporzionale al tensore degli sforzi S ij, e può essere scritto come Ipotesi di Boussinesq per la viscosità turbolenta τ ij = 2µ t S ij ρkδ ij Dove µ t è una proprietà scalare chiamata viscosità turbolenta e viene ricavata a partire dalle due due variabili trasportate. L ultimo termine viene incluso per modellizzare il flusso incomprimibile e per assicurare che venga rispettata la definizione di energia cinetica turbolenta k = u i u i 2 La stessa equazione può essere scritta più esplicitamente come ( ρu i u j = µ ui t + u ) j + 2 x j x i 3 ρkδ ij L ipotesi di Boussinesq è allo stesso tempo il punto forte e debole dei modelli a due equazioni. Questa ipotesi è una enorme semplificazione che permette di pensare agli effetti della turbolenza sul flusso principale allo stesso modo come la viscosità molecolare influisce su un flusso laminare. Questa ipotesi permette anche di introdurre intuitivamente delle variabili scalari turbolente, come l energia turbolenta e la dissipazione, e di metterle in relazione con variabili più intuitive come l intensità turbolenta e la scala spaziale della turbolenza. L intensità della turbolenza è definita come I u ū dove u è il valore efficace delle fluttuazioni di velocità e ū è la velocità principale (mediata alla Reynolds). Se l energia cinetica turbolenta k è nota, u può essere calcolata come 1 2 u 3 (u 2 x + u y 2 + u z 2 ) = 3 k Il punto debole dell ipotesi di Boussinesq è che in generale non è sempre valida. Non c è niente che ci dice che il tensore degli stress di Reynolds deve essere proporzionale al tensore degli sforzi. Questo è vero per semplici flussi come strati limiti dritti o onde, ma in flussi complessi, come flussi con grandi curvature, o flussi fortemente accelerati o decelerati l ipotesi di Boussinesq non è più valida.

39 3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA Equazioni di trasporto per il modello k-ε standard Per l energia cinetica turbolenta k si ha t (ρk) + (ρku i ) = x i x j Per la dissipazione ε si ha t (ρɛ) + (ρɛu i ) = x i x j [( µ + µ ) ] t k σ k x j + P k + P b ρɛ Y M + S k [( µ + µ ) ] t ɛ σ ɛ x j + C 1ɛ ɛ k (P k + C 3ɛ P b ) C 2ɛ ρ ɛ2 k + S ɛ La viscosità turbolenta viene modellizzata come µ t = ρc µ k 2 Il termine di produzione di energia cinetica turbolenta P k è dato da P k = ρu i u j u j = µ t S 2 x i dove S è il modulo del tensore dello sforzo definito come ɛ S 2S ij S ij P b è l effetto del galleggiamento dato da P b = βg i µ t Pr t T x i dove Pr t è il numero di Prandtl turbolento per l energia e g i è la componente della forza gravitazionale in direzione i. Per il modello standard il valore di Pr t è 0, 85. Il coefficiente di dilatazione termica β è definito come β = 1 ( ) ρ ρ T Le costanti del modello sono C 1ɛ = 1.44, C 2ɛ = 1.92, C µ = 0.09, σ k = 1.0, σ ɛ = 1.3 p

40 3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA Large Eddy Simulation La Large Eddy Simulation (LES) è una tecnica largamente usata per simulare flussi turbolenti. Nella sua teoria del 1941, Kolmogorov introdusse l idea che le scale più piccole della turbolenza fossero universali (simili per ogni flusso turbolento) e che esse dipendono solo dalla dissipazione ε e dalla viscosità cinematica ν. Invece le grandi scale dipendono dalla geometria del dominio. Questa caratteristica permette di risolvere esplicitamente i vortici più grandi e calcolare implicitamente i vortici più piccoli usando un modello di scala di sottogriglia (SGS model) Matematicamente, si può pensare di separare il campo di velocità in una parte da risolvere esplicitamente e una di sottogriglia. La parte del campo da risolvere rappresenta le grandi strutture vorticose, mentre la parte di sottogriglia rappresenta le piccole scale, i cui effetti sul campo fluidodinamico vengono inclusi attraverso un modello di sottogriglia. Formalmente, si può pensare di filtrare una funzione con un nucleo di convoluzione G ˆ ũ i (x) = G(x ξ)u i (ξ)dξ, e quindi scomporre la velocità in u i = ũ i + u i dove ũ i è la parte filtrata e u i è il campo di sottogriglia. Partendo dalle equazioni di Navier-Stokes per un flusso incomprimibile in assenza di forze di massa ρ du dt = p + µ 2 u u i t + u u i j = 1 p + x j ρ x i x j ( ν u ) i x j Sostituendo la decomposizione u i = ũ i + u i e p = p + p e quindi filtrando le equazioni, l equazione risultante da l equazione del moto per il campo filtrato ũ i t + ũ ũ i j = 1 p + ( ν ũ ) i + 1 τ ij x j ρ x i x j x j ρ x j Abbiamo assunto che l operazione di filtraggio e di derivazione sono commutative; in generale non è vero, ma possiamo pensare che gli errori associati con questa ipotesi sono molto piccoli. Il termine aggiuntivo τ ij / x j deriva dai termini non lineari di convezione, dovuti al fatto che u j u i x j ũ j ũ i x j

41 3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 40 e quindi τ ij = ũ i ũ j ũ i u j Analogamente si ricavano le equazioni per il campo di sottogriglia. Il modello di turbolenza di sottogriglia di solito assume l ipotesi di Boussinesq e cerca di calcolare la parte deviatorica degli stress di sottogriglia imponendo che τ ij 1 3 τ kkδ ij = 2µ sgs S ij dove S ij è il tensore degli sforzi per il campo filtrato definto come S ij = 1 ( ũi + ũ ) j 2 x j x i e µ sgs è la viscosità turbolenta di sottogriglia. Sostituendo nelle equazioni filtrate di Navier-Stokes, otteniamo ũ i t + ũ ũ i j = 1 p + ( ) [ν ] ũ i + νsgs x j ρ x i x j x j dove abbiamo usato l ipotesi di incompressibilità per semplificare l equazione e la pressione è modificata perché include il termine τ kk δ ij /3. Nel modello di Smagorinsky, la viscosità turbolenta di sottogriglia viene modellizzata come Modello di Smagorinsky µ sgs = ρ (C s ) 2 S Dove la lunghezza di filtraggio è presa pari a = (Volume) 1 3 e S = 2S ij S ij Quindi la viscosità totale sarà data da µ eff = µ mol + µ sgs Le costanti di Smagorinsky hanno di solito valori pari a C s = Le difficoltà legate all uso del modello LES, in particolare nelle regioni di parete, ha portato allo sviluppo di modelli ibridi che cercano di combinare le proprietà migliori delle RANS e della LES in una singola strategia di soluzione. Il modello Detached Eddy Simulation (DES) cerca di risolvere le regioni di parete utilizzando le Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations (RANS), e il resto del campo fluidodinamico con la LES. Detached Eddy Simulation

42 3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA Turbolenza di parete Lo strato limite turbolento può essere considerato composto da tre diversi strati in cui il profilo di velocità è sensibilmente differente: il sottostrato laminare (inner layer), dominato dalla diffusione molecolare, in quanto sono nulle o molto piccole le fluttuazioni di velocità e quindi gli sforzi di Reynolds e il profilo di velocità è lineare; lo strato esterno (outer layer) nel quale sono preponderanti gli sforzi turbolenti; lo strato di sovrapposizione (overlap layer o log law region) nel quale il profilo della velocità media mostra un andamento logaritmico. Risultati sperimentali e numerici hanno evidenziato come all interno dello strato limite turbolento la velocità u possa essere messa in relazione con la distanza dalla parete y attraverso l uso di parametri adimensionalizzati y + e u + definiti da y + = yu ν e u + = u u dove u è la velocità d attrito definita come u = con τ w sforzo a parete pari a τ w = h τw ρ ( ) dp dx y=0 Il parametro y + è simile ad un numero di Reynolds locale, quindi il suo valore determina l importanza relativa del contributo viscoso e del contributo turbolento nello sforzo di taglio. Per valori di y + minori di 50 esiste un forte contributo della viscosità molecolare allo sforzo di taglio. Per valori di y + maggiori di questo contributo diventa trascurabile. Alla parete, la condizione di aderenza impone che la velocità sia nulla, quindi lo sforzo di Reynolds si annulla e lo sforzo alla parete τ w è dovuto interamente al contributo viscoso. Nella zona immediatamente adiacente alla parete, gli sforzi sono totalmente dovuti agli sforzi viscosi. Questo strato è chiamato sottostrato viscoso, ed è molto sottile, con un basso valore di y + (y + < 5). Lo sforzo di taglio è praticamente costante e uguale allo sforzo di Inner layer

43 3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 42 Figura 3.1: Profilo di velocità nel viscous sublayer e nel log-layer taglio alla parete τ w. In questa zona esiste una relazione lineare tra i due parametri adimensionali u + e y + u + = y + Nella log law region (y + > 30) gli effetti della viscosità molecolare sono trascurabili e c è equilibrio tra la produzione e la dissipazione di energia cinetica turbolenta. In questo strato vale la relazione u + = 1 κ ln ( y +) + C Log law region dove κ è la costante di Von Karman (0.38 < κ < 0.42) e C è un altra costante ottenuta sperimentalmente ( 5.1) e inversamente proporzionale alla rugosità della parete. In Figura 3.1 è mostrato il confronto tra la legge logaritmica e una simulazione numerica diretta. Si può notare la perfetta rispondenza tra le due curve per valori di y + > 30. Figura 3.2: Schema riassuntivo delle regioni di un flusso di parete (Pope, 2000) La regione tra il sottostrato viscoso e la log-law region è detta buffer layer. Questa è la regione di transizione tra la parte del flusso dominata dalle forze viscose e quella dominate dalla viscosità

44 3.2 CENNI SULLA MODELLIZZAZIONE DELLA TURBOLENZA 43 turbolenta. Nel buffer layer i valori di y + sono compresi tra 5 e 30. La zona esterna, con valori di y + maggiori di 50, è una zona nella quale gli effetti della viscosità sono quasi interamente trascurabili rispetto a quelli della viscosità turbolenta. In Figura 3.2 è proposto uno schema riassuntivo delle regioni che contraddistinguono un flusso di parete. Lo strato esterno

45 4 VA W T A G E O M E T R I A VA R I A B I L E Come accennato nell introduzione le due configurazioni principali di turbine eoliche ad asse verticale sono la Savonius e la Darrieus. Queste due configurazioni hanno principio di funzionamento aerodinamico differente: la prima lavora a resistenza, la seconda a portanza. Questa sostanziale differenza è il motivo per cui le prestazioni e il range di velocità in cui esse operano è molto differente. La Savonius lavora a bassi tip speed ratio, ha il grande vantaggio di avviarsi da sola e mantenersi in rotazione anche a basse velocità vento, ma ha prestazioni molto basse ad alte velocità di rotazione. Al contrario la Darrieus ha ottime prestazioni ad alti numero di giri, ma ha il grande difetto che non è in grado di autoavviarsi. Dal grafico del coefficiente di potenza in funzione di λ (Figura 4.1) si vede come la configurazione Savonius abbia un massimo per λ = 1, ovvero ha ottime prestazioni a basse velocità di rotazione, più precisamente a velocità tangenziali uguali alla velocità del vento, mentre la configurazione Darrieus ha un massimo per λ = 5-6, cioè ad alte velocità di rotazione. Inoltre la configurazione Savonius ha elevati valori di coppia all avvio, a differenza della Darrieus che a basse velocità ha valori di C p negativi e non è quindi in grado di autoavviarsi. Figura 4.1: Andamento del coefficiente di potenza in funzione di λ per diverse tipologie di turbine eoliche 44

46 VAWT A GEOMETRIA VARIABILE 45 Figura 4.2: VAWT ibride a geometria fissa Per cercare di abbinare le caratteristiche positive dei due tipi di turbine esistono in commercio delle turbine ibride (Figura 4.2) a geometria fissa. I problemi legati a questa soluzione sono generalmente fenomeni di interferenza aerodinamica che compromettono le prestazioni della Darrieus esterna. Gli studi condotti da Wakui et al. (2005) su turbine ibride confermano che questa configurazione non è la soluzione migliore per ottimizzare le prestazioni. In Figura 4.3 si vede come per λ 4 il coefficiente di potenza della turbina ibrida è minore del singolo contributo fornito dalla Darrieus, infatti ad alti λ la Savonius, oltre a generare interferenza aerodinamica per la Darrieus, produce una potenza negativa che riduce le prestazioni totali. Configurazioni ibride Figura 4.3: Prestazioni di una VAWT ibrida

47 4.1 TURBINA A GEOMETRIA VARIABILE: LA GIAMPTURBINA 46 (avvio.u3d) Figura 4.4: GiampTurbina in configurazione di avvio 4.1 TURBINA A GEOMETRIA VARIABILE: LA GIAMP- TURBINA Da queste considerazioni nasce l idea di creare una VAWT con un semplice meccanismo di variazione di geometria che permetta di sfruttare al massimo le potenzialità dei due diversi tipi di configurazioni. Si è pensato di realizzare un turbina Darrieus con all interno una Savonius a scomparsa in modo da evitare i fastidiosi fenomeni di interferenza aerodinamica e evitare che ad un alto numero di giri la Savonius sottragga potenza alla turbina. (Figura ). Poichè la funzione principale della Savonius sarebbe quella di avviare tutta la turbina o di permettere il funzionamento a basse velocità in condizione di vento debole, si è pensato di realizzarla in materiale facilmente ripiegabile (tessuto tipo tenda o vela) e una volta raggiunta la minima velocità che permette alla Darrieus di mantenersi in rotazione, la Savonius si avvolgerebbe intorno ad una sua estremità (Figura 4.5). Quindi il braccio del telaio che sostiene la pala della Darrieus non è perpendicolare alla pala come nelle convenzionali configurazioni Darrieus a geometria fissa, ma è semicircolare, in quanto è anche la guida che permette alla vela di mantenere la forma della Savonius. I vantaggi di questa soluzione sarebbero: 1 Se si legge questo documento su una versione di Acrobat superiore alla 7, queste immagini sono modelli 3D con cui si può interagire col mouse.

48 4.1 TURBINA A GEOMETRIA VARIABILE: LA GIAMPTURBINA 47 (intermedio.u3d) (regime.u3d) (a) intermedia (b) a regime Figura 4.5: Configurazioni della GiampTurbina 1. evitare i fenomeni di interferenza aerodinamica a regime tipici delle configurazioni ibride, 2. mantenere un semplice meccanismo di variazione di geometria, 3. si può ottimizzare la Darrieus a regime nella sua migliore configurazione pulita, in quanto viene portata in rotazione dalla Savonius che scompare avvolgendosi su se stessa quando viene raggiunta una determinata velocità di rotazione, 4. può essere una turbina di facile realizzazione tecnica e larga diffusione. Lo studio preliminare di questa turbina è stato condotto con l aiuto del software commerciale di simulazione numerica fluidodinamica Star-CCM+. Per ridurre il tempo di calcolo è stato analizzato il comportamento solo di una sezione di turbina. Lo studio è stato principalmente aerodinamico e la turbina è stata analizzata solo in configurazione di avvio e in configurazione a regime. Gli obiettivi che si volevano raggiungere con le simulazioni numeriche sono stati IN CONFIGURAZIONE DI AVVIO assegnata una velocità del vento, calcolare la coppia e vedere qual è la massima velocità angolare raggiungibile; IN CONFIGURAZIONE A REGIME con la stessa velocità del vento in ingresso, valutare se, assegnata come velocità di rotazione iniziale la velocità raggiunta dalla Savonius, la configurazione Darrieus è in grado di accelerare ulteriormente e calcolare la coppia fornita.

49 4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERICHE 48 Ovviamente prima di procedere alle simulazioni di nostro interesse è stato necessario validare il codice con dei risultati sperimentali. Per la configurazione Savonius la validazione era stata già effettuata da Di Paolo (2007) nella sua tesi di laurea, per la configurazione Darrieus sono state fatte delle simulazioni in 2D confrontando i risultati numerici con gli esperimenti di Simão Ferreira et al. (2007a). 4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERI- CHE Il software utilizzato per le simulazioni fluidodinamiche è Star- CCM Il metodo di calcolo utilizzato è il metodo ai volumi finiti che consiste in: 1. divisione del dominio di calcolo in volumi di controllo discreti utilizzando una griglia di calcolo, 2. integrazione delle equazioni di governo del flusso su ogni volume di controllo per determinare le equazioni algebriche per le variabili incognite (velocità, pressione); l integrazione porta ad equazioni discrete che comportano comunque la conservazione di ogni grandezza nel singolo volume di controllo, 3. linearizzazione delle equazioni discretizzate e soluzione del sistema di equazioni per produrre valori aggiornati delle variabili. L assunzione che il fluido sia un continuo implica che esistono le derivate di tutte le variabili dipendenti. In altre parole, proprietà locali come la densità e la velocità sono definite come medie su elementi grandi se comparati con la struttura microscopica del fluido, ma abbastanza piccoli in confronto alla scala dei fenomeni macroscopici. Ciò permette di descriverli con l uso del calcolo differenziale. Per tenere conto della natura reale e turbolenta del flusso, il fluido è considerato viscoso e si farà uso di modelli di turbolenza appropriati a seconda della configurazione della turbina. Si riporta di seguito le impostazioni sul modello fisico comuni a tutte le simulazioni effettuate. Modello fisico Flusso incompressibile ad 1 atm ( Pa) e 25 C con densità costante ρ = kg/m 3 e viscosità dinamica µ = Pa s. Star-CCM+ permette di stabilire

50 4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERICHE 49 una pressione detta operativa per evitare errori di troncamento in simulazioni a basso numero di Mach. Il codice sottrae la pressione operativa dalla pressione assoluta e usa nei calcoli la pressione relativa. La relazione che lega pressione assoluta p abs, pressione operativa (ambiente) p a e pressione relativa p rel è p abs = p a + p rel Tutte le pressioni inserite e calcolate nelle simulazioni in Star-CCM+ sono in termini di pressione relativa p rel. Modello temporale instazionario implicito: risolvere le equazioni di governo discretizzate in maniera implicita fornisce un margine di stabilità maggiore e permette di avere numeri di Courant 2 maggiori dell unità. In questo modo si possono avere time-steps più grandi e velocità di convergenza relativamente maggiori. Poiché il sistema di equazioni è non-lineare, è richiesta una soluzione iterativa per ogni time-step. Il numero di iterazioni va scelto manualmente, in maniera empirica, ovvero assicurandosi che dopo il ciclo di iterazioni di ogni time-step, i residui abbiano un valore piuttosto modesto (al massimo < 10 2 ). Generalmente time-step piccoli implicano che la soluzione cambi di poco da un time-step all altro e quindi saranno necessarie meno iterazioni interne, ci sarà quindi un valore ottimo fra la grandezza del time-step e il numero di iterazioni interne per avere l accuratezza desiderata. Segregated flow model: questo modello, adatto ai flussi incomprimibili, risolve le equazioni del flusso (una per ogni componente della velocità e una per la pressione) in modo disaccoppiato. Il legame tra le equazioni di quantità di moto e conservazione della massa è ricavato con un approccio predizione-correzione. Il profilo di velocità all interno dello strato limite turbolento è differente a seconda se siamo nel sottostrato viscoso o nel loglayer (3.2.4). I modelli di turbolenza dei codici numerici tengono presente queste differenze e possono pertanto essere divisi in modelli di tipo Low-Reynolds number (low-y + ) e High-Reynolds number (high-y + ). I primi fanno affidamento sulle celle localizzate in prossimità della parete e poste all interno del sottostrato Trattamento a parete 2 Il numero di Courant è un parametro che vincola la scelta del time-step. É definito come C = u t x

51 4.2 GENERALITÀ SULLE SIMULAZIONI NUMERICHE 50 viscoso (y + < 5). Per tali modelli apposite funzioni tengono conto della transizione dalla zona dominata dagli sforzi viscosi alla zona dominata dagli effetti turbolenti: l utilizzo di questi modelli permette pertanto di risolvere completamente la struttura dello strato limite, ma al tempo stesso è richiesto un elevato numero di celle. I modelli di tipo High-Reynolds number sono invece solitamente associati all utilizzo di mesh meno fitte in prossimità delle pareti con il primo strato di celle a parete localizzate all interno della regione logaritmica (y + > 30). Le informazioni sulle condizioni di flusso per tali celle sono fornite dalle wall function. Esse sono rappresentate da un set di relazioni matematiche utilizzate per ottenere le condizioni al contorno per le equazioni di conservazione: il modello di turbolenza risulta pertanto valido solo all esterno del sottostrato viscoso e quest ultima zona non viene risolta esplicitamente. In tutte le simulazioni è stato usato il trattamento a parete all-y + che è un modello ibrido che cerca di emulare l high-y + per mesh rade e il low-y + per mesh più fitte. Inoltre questo modello è stato formulato per dare soluzioni soddisfacenti per mesh di risoluzione intermedia, cioè quando il centro della cella cade nel buffer layer dello strato limite. Le condizioni al contorno assegnate per tutte le serie di simulazioni sono le seguenti Condizioni al contorno e iniziali Il valore di velocità per ogni simulazione viene fissato nella sezione di ingresso (velocity inlet) come condizione al contorno e in tutto il dominio come condizione iniziale. La pressione viene fissata nella sezione di uscita (pressure outlet) come condizione al contorno e in tutto il dominio come condizione iniziale, per tutte le simulazione la pressione nella sezione di uscita è pari a 1 atm ( Pa). Per gli elementi del dominio che rappresentano profili, assi e vele si assegna la condizione di wall. Questa condizione equivale ad imporre le condizioni di impermeabilità ed aderenza del fluido alla parete (no-slip). Nelle simulazioni 3D si assume che le sezioni superiore, inferiore e laterali siano piani di simmetria. Star-CCM+ attribuisce flusso nullo a tutte le grandezze di trasporto attraverso un piano di simmetria, non esiste cioè flusso convettivo (la componente della velocità normale al piano è nulla) e neanche flusso diffusivo (i gradienti normali al piano, di tutte le variabili sono nulli). Dato che non esiste sforzo di taglio sul piano di simmetria, quest ultimo può essere interpretato come una parete senza attrito (slip wall).

52 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 51 Per inizializzare i modelli di turbolenza vanno specificati anche i valori iniziali di intensità della turbolenza (3.2.1) e del turbulent viscosity ratio, un parametro adimensionale dato dal rapporto tra la viscosità turbolenta µ t e la viscosità dinamica del fluido µ tvr = µ t µ Per flussi di nostro interesse questo parametri assume valori compresi tra 1 e 10. Nel nostro caso è stato assegnato un valore pari a 10, invece per l intensità turbolenta è stato assegnato il valore iniziale di 0, VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO PER LA CONFIGURAZIONE DARRIEUS La difficoltà maggiore nel simulare numericamente il comportamento di una turbina Darrieus è rappresentare in modo ottimale il fenomeno instazionario dello stallo dinamico. Come dimostrato anche dalle simulazioni numeriche di Simão Ferreira et al. (2007b), il modo migliore per validare i risultati numerici con quelli sperimentali è confrontare la vorticità nell area del rotore, in quanto si confronta direttamente il comportamento del flusso, piuttosto che le forze e i momenti totali che sono un integrale sul profilo delle forze aerodinamiche di pressione e d attrito, quindi un effetto del campo fluidodinamico. Per questi confronti si useranno i risultati sperimentali ottenuti con la tecnica Particle Image Velocimetry (PIV) da Simão Ferreira et al. (2008). Una volta validati i risultati per questa configurazione, si procederà alla simulazione di una turbina Darrieus con quattro profili equispaziati e successivamente si inserirà nella geometria anche la Savonius già analizzata da Di Paolo (2007) Geometria e griglia di calcolo Il modello 2D realizzato rappresenta la sezione centrale di una VAWT con una singola pala di allungamento infinito. Il dominio di calcolo (Figura 4.6) è costituito da due pareti orizzontali distanti 1, 25 m con al centro una turbina Darrieus dal diametro di 0, 4 m con una singola pala. Il rotore è costituito da un profilo NACA0015 di corda 0, 05 m e dall asse di 0, 05 m di diametro. La sezione di inlet e di outlet sono poste rispettivamente a 10D

53 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO a monte e 14D a valle del rotore per consentire un completo sviluppo della scia. (a) dominio fluido (b) turbina Figura 4.6: Geometria della configurazione di validazione (le misure riportate sono in m) Il dominio è stato discretizzato in 3 sottogriglie di elementi poligonali (Figura 4.7) con una mesh più fitta in corrispondenza del profilo per avere un dettaglio maggiore nella descrizione della scia. (a) mesh del dominio fluido (b) mesh del rotore (c) mesh del profilo Figura 4.7: Mesh della configurazione di validazione Per simulare la rotazione del rotore, la Mesh Rotore e Profilo ruotano con velocità angolare costante e costituiscono la regione Rotante, mentre la Mesh Fluido rimane fissa. 52

54 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 53 Il profilo NACA0015 è stato generato con Xfoil e discretizzato con 160 punti. In Tabella 4.1 sono riassunte le caratteristiche della mesh. Regioni Fluido Rotante Rotore Profilo x (m) 0, 008 0, 004 0, 002 n. celle celle totali Contorni inlet lati outlet asse profilo facce spessore celle quadrilatere (m) Tabella 4.1: Caratteristiche della mesh di validazione Risultati sperimentali La simulazione vuole rappresentare le condizioni di flusso a Re = con λ = 2, quindi velocità del flusso entrante pari a V = 7, 5 m/s e velocità angolare della turbina pari a ω = 75 rad/s (11, 93 giri/s). In Figura 4.8 sono mostrati i risultati sperimentali per questo regime ottenuti da Simão Ferreira et al. (2008). Possiamo vedere come il flusso sia caratterizzato da un forte rilascio di vorticità dal bordo d attacco, dove si stacca un vortice che ruota in senso orario (vorticità negativa) e dal bordo d uscita, dove si forma una scia che tende a ruotare verso l alto a causa della depressione generata sul dorso dal distacco dello strato limite. La validazione della simulazione sarà effettuata confrontando il campo di vorticità in prossimità del profilo per le posizioni angolari 3 comprese tra θ = 90 e θ = 113 ; questa scelta è giustificata dalla presenza in queste posizioni dell evoluzione della vorticità rilasciata dal bordo d attacco. In queste due posizioni azimutali si ha che: a θ = 90 la vorticità rilasciata dal bordo d attacco si estende in una regione lunga circa una corda; invece la scia al bordo d uscita è di piccola entità (Figura 4.9). a θ = 113 la scia rilasciata al bordo d uscita si è estesa sul dorso del profilo a causa della bassa pressione e la vorticità positiva (antioraria) si è posta tra il profilo e la vorticità di bordo d attacco precedentemente rilasciata. I risultati sperimentali a disposizione per i confronti sono costituiti dal valor medio della circolazione in prossimità del 3 θ = 0 corrisponde alla posizione del profilo sotto all asse in direzione parallela a V

55 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 54 (a) evoluzione della vorticità negativa (oraria) generata dal bordo d attacco per λ = 2 a 90, 108, 133 e 158 (b) evoluzione della vorticità positiva (antioraria) generata dal bordo d uscita Figura 4.8: Risultati sperimentali con tecnica PIV profilo nelle posizioni angolari di θ = 90,98,103,108 e 113. Questo valor medio è relativo al vortice rilasciato dal bordo d attacco quando esso è chiaramente separato dalla superficie del profilo. Il contorno del vortice è determinato dalle zone a vorticità nulla. In Figura 4.10 sono riportate le strutture vorticose di 3 delle 30 misure istantanee acquisite ad ogni giro della turbina e usate per calcolare la media della vorticità in una determinata

56 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 55 Figura 4.9: Campo di vorticità a θ = 90 posizione angolare. La vorticità è adimensionalizzata rispetto alla corda e alla velocità tangenziale della pala Ω = Ωc λv Sebbene la struttura del vortice assomiglia a un vortice convenzionale con un nucleo centrale di vorticità che decresce radialmente, questa descrizione non è del tutto corretta. Infatti possiamo notare due sostanziali differenze tra la vorticità media e la vorticità istantanea: il contorno del vortice definito dalle zone a vorticità nulla non è sempre lo stesso; ci sono diverse strutture vorticose più piccole (zone più scure) nelle misure istantanee invece dell unico vortice presente nella misura mediata. Questi piccoli vortici hanno intensità e posizione diversa per ogni campione. Nonostante queste differenze, la media spaziale effettuata per ogni singolo istante nell area del vortice, e la media effettuata sui 30 istanti allo stesso azimut convergono allo stesso risultato. I valori ottenuti sperimentalmente sono mostrati in Figura 4.11 dove

57 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 56 (a) vorticità istantanea in 3 rotazioni differenti (b) vorticità mediata su 30 campioni Figura 4.10: Risultati sperimentali della distribuzione di vorticità a θ = 113 in ordinata è rappresentata la circolazione 4 adimensionalizzata rispetto alla corda e alla velocità tangenziale della pala µ Γ = µ Γ cλv 4 Ricordiamo che la circolazione è una grandezza derivata dalla vorticità e può essere espressa (3.1.4) come l integrale di superficie della vorticità Γ = S Ω nds

58 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 57 Circolazione adimensionale Risultati sperimentali Laminare k-ε DES Azimut θ [ ] Figura 4.11: Media della circolazione istantanea Risultati numerici I modelli fisici, oltre a quelli presentati in 4.2, che sono stati usati per le simulazioni di validazione sono Modello bidimensionale nello spazio Modello instazionario implicito: per queste simulazioni si adotterà un time-step pari a t 0 = 1 ω 1 = π = 2, s in modo che per ogni time-step il rotore ruota di un grado. Successivamente si modificherà questo valore per verificare la sensibilità del modello ad un infittimento del time-step. Il termine diffusivo viene discretizzato al secondo ordine. Rigid Body Motion Il modello RBM è usato per simulazioni instazionarie dove viene specificato il moto rigido di una porzione di mesh. In particolare, poiché si vuole simulare il comportamento della turbina per λ = 2 e velocità di ingresso V = 7, 5 m/s, la mesh relativa al rotore ruoterà con una velocità angolare di ω = 75 rad/s. Il livello di instazionarietà di questo flusso è determinato dalla frequenza ridotta k o numero di Strouhal, definito come St = ωc 2V

59 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 58 Condizioni iniziali velocità (m/s) 7, 5 pressione (Pa) Condizioni al contorno Inlet Outlet velocità (m/s) 7, 5 pressione (Pa) Tabella 4.2: Condizioni iniziali e al contorno In questo esperimento, poiché V è funzione dell azimut θ, St è definito come St = ωc = ωc 2λV 2ωR = c 2R Per questi esperimenti si ha che St = 0.125, che è un valore tipico dei flussi instazionari. Poiché la scia del profilo e dell asse influiscono sul flusso del profilo nella regione sottovento, è necessario considerare i risultati ottenuti dopo che la turbina ha effettuato qualche giro in modo da avere una scia completamente sviluppata. Tutti i risultati ottenuti sono relativi a posizioni angolari del rotore successive alla fase transitoria dei primi 5 giri. Questa soluzione sarà usata come base per l analisi di sensibilità all infittimento del time-step. I limiti dell hardware e il tempo necessario per il calcolo di una simulazione numerica diretta non consentono l uso di una griglia spazio-temporale abbastanza fitta per calcolare tutte le scale della turbolenza. Con una griglia non troppo fitta, il risultato finale risulta fortemente influenzato dal modello di turbolenza adottato. Poiché il fenomeno dello stallo dinamico di una VAWT a bassi Tip Speed Ratio dipende dalla separazione laminare che si verifica al bordo d attacco, l uso di un modello completamente turbolento può limitare la descrizione della separazione laminare, fornendo una descrizione non corretta del campo fluidodinamico. Per questo motivo sono state effettuate 3 serie di simulazioni con i seguenti modelli: Confronto tra diversi modelli di turbolenza il modello laminare, costituito dalle equazioni di conservazione della massa e della quantità di moto senza equazioni di chiusura; il modello k-ε, dove si considerano per la chiusura del problema due equazioni di trasporto turbolento: una per l energia cinetica turbolenta k ed una per la dissipazione turbolenta ε; la Detached Eddy Simulation, un modello di turbolenza ibrido che usa le RANS per modellizzare le regioni in prossimità delle pareti e la Large Eddy Simulation per le regioni esterne.

60 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 59 Residuals 10 1 Residual 0,1 0,01 0, Iteration Continuity X momentum Y momentum Figura 4.12: Residui per il modello laminare Come si vedrà dai risultati delle simulazioni il modello laminare è in grado di predire la formazione del vortice di bordo d attacco, ma ne sovrastima il valore di circolazione e la forma, il modello k-ε sopprime lo sviluppo della separazione di bordo d attacco e descrive una distribuzione di vorticità che non corrisponde ai risultati sperimentali. La DES fornisce la descrizione del campo fluidodinamico più vicina ai risultati sperimentali. Modello laminare Di seguito si riportano i risultati del campo di vorticità nelle posizioni angolari di θ = 90, 98, 103, 108 e 113. La procedura operativa per calcolare il valore medio della vorticità (e di conseguenza la circolazione) rilasciata dal bordo d attacco, è stata quella di selezionare solamente le celle in prossimità del profilo con vorticità oraria (negativa) e su queste calcolare il valore medio pesato rispetto alla grandezza della cella e moltiplicata per l area totale occupata dal vortice. Dalla Figura 4.12 possiamo vedere come la soluzione giunga a convergenza per ogni time-step con 15 iterazioni, portando i residui ad un valore inferiore a Dalle figure da 4.13 a 4.17 possiamo vedere come il modello laminare riesce a predire la formazione del vortice di bordo d attacco ma non ne descrive esattamente la forma. I valori di circolazione adimensionale hanno un errore rispetto a quelli sperimentali del 6% per θ = 90, ma crescono dal 20% per la posizione a θ = 98 al 25% per θ = 113. L errore risulta troppo elevato per poter ritener valido il modello laminare.

61 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 60 (a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla (c) Modello laminare (d) vorticità nelle celle della mesh Figura 4.13: Campo di vorticità per il modello laminare a θ = 90

62 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 61 (a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla (c) Modello laminare (d) vorticità nelle celle della mesh Figura 4.14: Campo di vorticità per il modello laminare a θ = 98 (a) contorno di vorticità nulla (b) Modello laminare (c) vorticità nelle celle della mesh Figura 4.15: Campo di vorticità per il modello laminare a θ = 103

63 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 62 (a) contorno di vorticità nulla (b) Modello laminare (c) vorticità nelle celle della mesh Figura 4.16: Campo di vorticità per il modello laminare a θ = 108 (a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla (c) Modello laminare (d) vorticità nelle celle della mesh Figura 4.17: Campo di vorticità per il modello laminare a θ = 113

64 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 63 Residuals 10 0,1 Residual 0,001 1E 5 1E 7 1E Iteration Continuity X momentum Y momentum Tke Tdr Figura 4.18: Residui per il modello k-ε (a) Risultato sperimentale (b) Modello k-ε Figura 4.19: Campo di vorticità per il modello k-ε a θ = 90 Modello k-ε Anche per il modello k-ε con 15 iterazioni per ogni time-step i residui relativi alle equazioni di conservazione risultano inferiori a Invece i residui delle equazioni di trasporto dell energia cinetica turbolenta k e della dissipazione ε sono inferiori a (Figura 4.18). Risulta evidente come il modello k-ε non è in grado di predire la formazione del vortice di bordo d attacco e addirittura i valori di vorticità risultano inferiori del 40% rispetto ai risultati sperimentali.

65 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 64 (a) Risultato sperimentale (b) Modello k-ε Figura 4.20: Campo di vorticità per il modello k-ε a θ = 98 (a) contorno di vorticità nulla (b) Modello k-ε Figura 4.21: Campo di vorticità per il modello k-ε a θ = 103 (a) Risultato sperimentale (b) Modello k-ε Figura 4.22: Campo di vorticità per il modello k-ε a θ = 113

66 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 65 (a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla (c) Modello DES (d) vorticità nelle celle della mesh Figura 4.23: Campo di vorticità per il modello DES a θ = 90 Modello DES Il motivo principale che giustifica l utilizzo della DES è l alto costo computazionale che si avrebbe nel risolvere le regioni di parete con la LES. Nel nostro caso per risolvere le regioni di parete è stato adottato il modello Spallart-Allmaras, che è un modello ad una equazione che risolve l equazione di trasporto per una variabile di viscosità modificata nota come variabile di Spalart-Allmaras. Per il modello DES i residui risultano inferiori a 10 2 con 15 iterazioni per ogni time-step. Si nota come i risultati forniti dalla DES sono in grado di fornire una descrizione più accurata dello stallo dinamico. Il massimo dell errore percentuale sulla circolazione nell area del vortice è al massimo dell 8% per θ = 90 e scende al 4% per θ = 103

67 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 66 (a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla (c) Modello DES (d) vorticità nelle celle della mesh Figura 4.24: Campo di vorticità per il modello DES a θ = 98 (a) contorno di vorticità nulla (b) Modello DES (c) vorticità nelle celle della mesh Figura 4.25: Campo di vorticità per il modello DES a θ = 103

68 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 67 (a) contorno di vorticità nulla (b) Modello DES (c) vorticità nelle celle della mesh Figura 4.26: Campo di vorticità per il modello DES a θ = 108 (a) Risultato sperimentale (b) contorno di vorticità nulla (c) Modello DES (d) vorticità nelle celle della mesh Figura 4.27: Campo di vorticità per il modello DES a θ = 113

69 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO In Figura 4.28 e 4.29 si riporta l andamento delle linee di corrente per diverse posizioni angolari dove è possibile vedere la zona di ricircolo a valle del profilo. Figura 4.28: Linee di corrente a θ = 90 Figura 4.29: Linee di corrente a θ = 113 Confronti Per avere un confronto più immediato vengono di seguito riportati i risultati relativi alle tre serie di simulazioni 68

70 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 69 (a) sperimentale (b) laminare (c) k-ε (d) DES Figura 4.30: Confronto tra i modelli di turbolenza usati per θ = 90 (a) sperimentale (b) laminare (c) k-ε (d) DES Figura 4.31: Confronto tra i modelli di turbolenza usati per θ = 98

71 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 70 (a) sperimentale (b) laminare (c) k-ε (d) DES Figura 4.32: Confronto tra i modelli di turbolenza usati per θ = 113 Circolazione adimensionale Risultati sperimentali Laminare k-ε DES Azimut θ [ ] Figura 4.33: Confronto fra i valori di circolazione

72 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 71 Coefficiente di momento Con i risultati ottenuti per le 3 serie di simulazioni è possibile fare alcune osservazioni sui valori del coefficiente di momento della pala durante la rotazione. Il coefficiente di momento è definito come M C m = 1 2 ρλ2 V c 2 2 In Figura 4.34 è riportato il valore istantaneo del C m generato dal profilo durante la quarta e quinta rotazione per i diversi modelli adottati Laminare k-ε DES Coefficiente di Momento Azimut θ [ ] Figura 4.34: Confronto fra i coefficienti di momento per i diversi modelli adottati Le osservazioni che si possono riportare sono le seguenti: 1. a seconda del modello di turbolenza adottato cambia il valore di θ al quale si verifica il massimo della coppia. In particolare si ha θ max = 60 per il modello laminare, θ max = 71 per la DES, θ max = 74 per il modello k-ε. Questi valori influiscono sull angolo di stallo, infatti da semplici considerazioni geometriche (Figura 4.35) si ha che la velocità relativa del profilo è V rel = V 2 (λ2 + 2λ cos θ + 1) e l angolo d attacco relativo è [ ] λv sin θ α = θ arcsin V 2 (λ 2 + 2λ cos θ + 1)

73 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 72 laminare k-ε DES θ max ( ) V rel (m/s) 19, 84 18, 52 18, 82 α stall ( ) 19 22, 8 22 Tabella 4.3: Valore dell angolo di stallo per i diversi modelli di turbolenza Quindi per i diversi modelli si hanno gli angoli di stallo V λv V rel λv α λv sin θ α V rel θ θ β θ λv cos θ V β Figura 4.35: Velocità relativa riportati in Tabella 4.3. I valori ottenuti sono confrontabili con quelli riportati in Figura 2.4 nella pagina 15, ma il modello laminare sottostima il valore di α per il quale si ha la separazione mentre il modello k-ε lo sovrastima. 2. il modello laminare e il modello k-ε, che hanno riportato valori di vorticità lontani da quelli sperimentali, sottostimano il massimo valore del C m 3. il modello laminare prevede un momento positivo anche per le posizioni angolari prossime a θ = 210, cioè quando il profilo si sta muovendo nella stessa direzione della corrente indisturbata. 4. nelle posizioni angolari da θ = 250 a θ = 330 il flusso è fortemente influenzato dalla scia dell asse del rotore, una conseguenza di questo è che i valori relativi a due rotazioni successive sono leggermente diversi fra loro per i modelli turbolenti

74 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 73 Sensibilità alla griglia di calcolo Per il modello DES che riporta i risultati più vicini agli esperimenti sono state fatte altre tre simulazioni per verificarne la sensibilità all infittimento della mesh e del time-step. Una prima simulazione è stata effettuata lasciando invariato il time-step e dimezzando la lunghezza caratteristica della Mesh Profilo (Figura 4.36), quindi riducendo di 4 volte l area di ogni cella. (a) Mesh fitta (b) Mesh di riferimento Figura 4.36: Mesh del profilo più fitta Una seconda simulazione è stata effettuata lasciando inalterata la mesh e dimezzando il time-step, quindi il rotore girava di 1 ogni 2 time-steps, infine l ultima simulazione con Mesh Profilo dimezzata e time-step dimezzato. Le simulazioni con time-step dimezzato sono state effettuate partendo dalla soluzione col timestep di riferimento e facendo girare la simulazione per altri due giri del rotore. I risultati sono riportati nelle figure 4.37 e Si vede come un dimezzamento della grandezza caratteristica della mesh sovrastimi la generazione di vorticità nelle posizione angolari di nostro interesse invece un dimezzamento del time-step non modifica di molto la soluzione. In termini quantitativi il dimezzamento della mesh influisce negativamente sull errore sulla vorticità facendolo aumentare fino al 30%. Dalla Figura 4.38 però possiamo notare come l infittimento della mesh lascia inalterato il massimo valore del C m, e modifica sensibilmente la curva solo nell intervallo da θ = 95 a θ = 160 invalidando i risultati nell intervallo che stiamo analizzando.

75 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 74 (a) Mesh di riferimento (b) mesh dimezzata (c) time-step dimezzato (d) mesh e time-step dimezzati Figura 4.37: Effetto dell infittimento della mesh 6 Risultati sperimentali 0.8 DES riferimento 5 DES riferimento mesh dimezzata 0.6 mesh dimezzata time-step dimezzato Circolazione adimensionale time-step dimezzato mesh e time-step dimezzato Coefficiente di Momento mesh e time-step dimezzati Azimut θ [ ] Azimut θ [ ] Figura 4.38: Confronti della circolazione e del coefficiente di momento Considerazioni finali Il confronto della vorticità nell area del rotore si è rivelato un metodo efficace per validare il codice numerico dei profili in stallo dinamico di una turbina Darrieus, in quanto si descrive direttamente il comportamento del flusso, piuttosto che il suo effetto secondario in termini di integrale di forza aerodinamica che agisce sul profilo. I risultati ottenuti mostrano come il modello

76 4.3 VALIDAZIONE DEL CODICE NUMERICO 75 di turbolenza adottato influenza fortemente la descrizione dello stallo dinamico. Tra i modelli usati, la Detached Eddy Simulation ha fornito i risultati più vicini a quelli sperimentali. Il modello DES non solo è stato in grado di predire la generazione di vorticità e la sua convezione, ma ha dimostrato anche una buona robustezza all infittimento della griglia temporale. Inoltre con queste simulazioni è stata provata l utilità dei dati sperimentali sul campo di velocità acquisiti con tecnica PIV per la validazione. Il coefficiente di momento per due giri consecutivi ha riportato, per valori di θ compresi tra 250 e 330, valori leggermenti diversi a causa dell interazione pala-vortice nella zona sottovento. Questo vuol dire che il trasporto della vorticità deve essere modellizzato correttamente dentro tutto il rotore della turbina, quindi per evitare una eccessiva dissipazione numerica bisogna infittire la mesh non solo nelle vicinanze della pala ma in tutta l area del rotore.

77 5 P R E S TA Z I O N I D E L L A G I A M P T U R - B I N A Per studiare le prestazioni della GiampTurbina è stato usato il modulo aggiuntivo Six Degree Of Freedom (6-DOF). Il modello 6-DOF viene usato per simulazioni instazionarie di un corpo con 6 gradi di libertà, nel nostro caso l unico grado di libertà è la rotazione intorno all asse verticale. Il solutore 6-DOF calcola le forze e i momenti generati dal flusso sul corpo rigido, la pressione e le forze viscose vengono integrate su tutta la superficie del corpo rigido e possono essere aggiunte forze e momenti esterni. Le forze e i momenti che agiscono sul corpo vengono usate per calcolare con le equazioni cardinali la traslazione del centro di massa, la velocità angolare e l assetto del corpo. Di conseguenza il solutore 6-DOF muove i vertici della mesh in accordo con i risultati di spostamento così calcolati. In particolare il modello adottato (6-DOF Embedded Motion Model) calcola il movimento di un oggetto mobile dentro una sfera (nel nostro caso un cilindro). La simulazione include un interfaccia scorrevole interna tra il cilindro e il resto della mesh, permettendo la rotazione del cilindro (Figura 5.1). Questo approccio è utilizzato quando si hanno grandi angoli di rotazione, infatti si può infittire la mesh solo dentro l area del cilindro mobile evitando di infittire tutta la mesh appesantendo i calcoli. Per ridurre i tempi di calcolo è stato scelto di valutare le prestazioni non di tutta la turbina, ma solo di una sezione. Inoltre sempre per ridurre il tempo di calcolo è stato trovato un compromesso tra il numero delle iterazioni per ogni time-step e il valore dei residui, che è stato sempre mantenuto inferiore a Il diametro della turbina e la corda dei profili sono stati lasciati inalterati rispetto alle simulazioni di validazione. In particolare il modello utilizzato ha le seguenti caratteristiche GEOMETRIA MASSA Altezza del rotore H = 15 cm; Diametro della turbina D = 40 cm; 4 pale con profili NACA0015 di corda c = 5 cm; 76

78 PRESTAZIONI DELLA GIAMPTURBINA 77 Per calcolare le caratteristiche, si ipotizza che la turbina sia realizzata in alluminio (ρ Al = 2700 Kg/m 3 ). Per contenere il peso è stato pensato di rendere cavi i profili e gli assi, questa scelta è giustificata anche dal fatto che profili e assi dovranno contenere le vele e il meccanismo di avvolgimento. Con questa geometria la massa della sezione di turbina è m = 0, 3212 Kg; Il momento d inerzia della turbina è pari a I z = 0, 01 Kg m 2. L unica resistenza alla rotazione è data dall inerzia della turbina. In questo studio preliminare è stata fatta solo un analisi aerodinamica, infatti si è trascurata la massa aggiuntiva del sistema di controllo per muovere la vela e sono stati trascurati i momenti resistenti del generatore elettrico e della trasmissione. Figura 5.1: Sezione di GiampTurbina: il cilindro verde racchiude la porzione di mesh solidale alla turbina DOMINIO FLUIDO Il dominio ha la stessa larghezza delle simulazioni di validazione (1, 25 m) (4.3.1) ed è lungo 4, 4 m. In particolare si estende per 3 diametri avanti al rotore e 7 diametri dietro (Figura 5.2): la scelta di ridurre la lunghezza il dominio di calcolo è stata imposta dalla necessità di limitare i tempi di calcolo (a differenza delle simulazioni di validazioni ora le simulazioni sono in 3D), mantenendo un accuratezza accettabile dei risultati numerici.

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