Programma del corso di CALCOLO I per Ingegneria Civile A.A

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1 Programma del corso di CALCOLO I per Ingegneria Civile AA LEZIONI SVOLTE Cenni alla costruzione di Q a partire da Z(A) Irrazionalità di 2 Assiomi di campo Assiomi di ordine Il campo Z 5 (tabelline di addizione e moltiplicazione e non esistenza di Z 5+ )(A) Maggiorante, minorante, estremo superiore ed estremo inferiore Assioma di completezza I numeri reali come campo ordinato completo Esistenza della radice quadrata in R(A) Valore assoluto Disuguaglianza triangolare Principio di induzione Esempi: n k=1 k, n k=0 qk, n k=1 k2, disuguaglianza di Bernoulli Proprietà dei coefficienti binomiali Teorema del binomio di Newton Funzioni iniettive suriettive e biettive Inversa di una funzione Composizione di funzioni Funzioni pari e dispari: prodotto e composizione di funzioni pari e dispari Definizione di limite Verifica del limite per: lim x c K = K, lim x c x = c, lim x c x = c (con dimostrazione della disuguaglianza x y x y ), lim x 0 sin x = 0, lim x 0 cos x = 1 Non esistenza del limite per: funzione di Heaviside (1010), funzione di Dirichlet (1011) Teoremi sulle operazioni sui limiti(*) Limiti di funzioni polinomiali e sin x razionali Teorema del confronto lim x 0 = 1 Limite sinistro e destro Condizione x necessaria e sufficiente per l esistenza del limite Definizione di lim x c + f(x) = + (e simili) Funzione continua in un punto Continuità della funzione seno Continuità della somma del prodotto e della composizione di funzioni continue Teorema della permanenza del segno Esempio di una funzione continua sugli irrazionali e discontinua sui razionali (A) Classificazione delle discontinuità Non esistenza di lim x 0 + sin 1 x Funzioni limitate Massimo e minimo di una funzione Teorema di Weierstrass (*) Teorema di esistenza degli zeri(*) Esistenza della radice quadrata di un numero positivo (II dimostrazione) Teorema dei valori intermedi (enunciato e dimostrazione fatti in classe) Velocità media ed istantanea Rapporto incrementale Funzione derivabili e derivata Calcolo della derivata di: f(x) = K, f(x) = x, f(x) = x, f(x) = sin x Continuità della funzioni derivabili Esempio di una funzione continua non derivabile Derivata della somma, del prodotto e del quoziente Derivata della funzione composta (*) Derivata dell inversa (*) Derivata di arcsin, arctan Derivata della funzione x p q Interpretazione geometrica della derivata Equazione della retta tangente Significato del simbolo o- piccolo Caratterizzazione della derivabilità Derivate di ordine superiore Verifica di alcune formule della derivata n-sima di una funzione utilizzando il principio di induzione I teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Fermat, Rolle, Lagrange Caratterizzazione delle funzioni costanti Relazione fra monotonia e segno della derivata Convessità Relazione fra convessità e segno della derivata seconda Problemi di massimo e minimo: problemi isoperimetrici, formula della distanza punto-retta (A), II legge di Snell(A) 1

2 Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui Cuspidi e punti angolosi Grafici di funzioni razionali, con radicali e con il valore assoluto Definizione della funzione log(x) e presentazione delle sue proprietà (vedi dopo per la dimostrazione) Funzioni e x, a x e log a x e loro proprietà Funzioni iperboliche e loro proprietà Regola di de l Hôpital(*) Grafici di log(f(x)), arctan(f(x)), exp(f(x)) a partire dal grafico di f(x) Grafico della funzione inversa Somme integrali di Riemann-Cauchy Calcolo dell area del segmento parabolico Funzioni integrabili secondo Riemann Non integrabilità della funzione di Dirichlet Integrabilità della funzione costante I criterio di integrabilità(*) II criterio di integrabilità (A) Integrabilità delle funzioni continue (*) Integrabilità delle funzioni monotone (A) Metodo di Fermat per x p (A) Integrale definito Proprietà dell integrale definito: linearità (*), additività(*) e monotonia(*) Teorema della media I e II teorema fondamentale del calcolo integrale Tecniche di integrazione: integrali per parti(*) e per sostituzione Integrazione di funzioni razionali in cui il grado del denominatore è al più 3 Integrazioni di polinomi trigonometrici Integrazione delle funzioni 1 ± x 2 attraverso sostituzioni inverse Il logaritmo naturale definito come una primitiva di 1 Proprietà del logaritmo x naturale a partire dalla definizione Integrali impropri Regolarità delle funzioni di segno costante Criterio del confronto asintotico(*) Studio della funzione integrale Polinomio di Taylor o-piccolo e sue proprietà Caratterizzazione del polinomio di Taylor tramite 0-piccolo(*) Sviluppo di sin x, e x 1, cos x, Polinomio di Taylor della funzione 1 x integrale Deduzione dello sviluppo di log(1+x), arctan x Utilizzo della formula di Taylor nel calcolo di limiti di forme indeterminate Suiccessioni numeriche Limite di una successione Esempi Serie numeriche Serie telescopiche e geometriche Serie convergenti, divergenti ed indeterminate Regolarità delle serie a termini di segno costante(*) Condizione necessaria per la convergenza di una serie Criteri di convergenza per serie a termini positivi: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico (*),criterio integrale, criterio del rapporto(*),criterio della radice(*) Serie alternate e criterio di Leibniz(*) Formula di Taylor con il resto di Lagrange(*) Serie di Taylor(A) Dimostrazione che e x, sin x, cos x sono somme della propria serie di 1 Taylor(A) La funzione è sviluppabile solamente in ( 1, 1) (A) Utilizzo della serie 1+x 2 di Taylor per valutare la somma di alcune serie numeriche(a) Numeri complessi Definizione di somma e prodotto Inverso e coniugato Modulo Rappresentazione cartesiana Forma polare Formula di de Moivre Radici n-esime di un numero complesso Giustificazione della formula di Eulero attraverso le serie di potenze (A) (*) dimostrazione non richiesta (A) fatto in classe, ma non presente sul libro di testo (alcuni argomenti si trovano sull Adams) Libro di Testo A Laforgia, Calcolo differenziale ed integrale (Accademica) Altri libro consigliato : Adams, Calcolo differenziale I 2

3 È possibile superare l esame in due modi Modalità di esame Due prove di esonero: il voto finale è dato dalla media pesata dei due esoneri (detto v p il voto peggiore e v m il voto migliore la media pesata è data da v = 1 3 v p v m) La prima prova d esonero è divisa in due parti: 1a) Prova di sbarramento di teoria: 2 domande di teoria che valgono ciascuna 4 punti; si accede alla seconda parte se si conseguono almeno 4 punti 1b) Prova pratica : 3 esercizi che valgono 8 punti ciascuno Si è ammessi alla seconda prova d esonero se la somma dei punteggi della prima e della seconda parte è non inferiore a 18 Nella seconda prova di esonero gli esercizi e la domanda di teoria si svolgono insieme Una prova pratica consistente in quattro esercizi (6 punti per ciascun esercizio) ed una prova di teoria consistente in una sola domanda (6 punti) Per essere ammesso alla prova di teoria lo studente deve ottenere almeno 12/24 Nel caso il punteggio della prova pratica sommato ai punti di bonus dei compitini fosse non inferiore a 18, lo studente può verbalizzare direttamente il voto dopo una breve discussione delle prove scritte I punti di bonus dei compitini non contano al fine del raggiungimento della sufficienza della prova pratica Durante le prove scritte non si possono utilizzare libri, appunti, calcolatrici scientifiche, cellulari etc Gli studenti che hanno ottenuto un voto finale (media pesata dei due esoneri oppure somma dello scritto e della prova di teoria dell appello d esame e dei compitini) non inferiore a 24 possono sostenere un esame orale basato sugli argomenti indicati nel programma con una (A) La maggior parte (ma non la totalità) degli esercizi assegnati rientra in una di queste tipologie: Primo esonero Principio di induzione Verifica del limite Calcolo della derivata a partire dalla definizione Grafico di funzione Problema di massimo e minimo Esistenza degli zeri/invertibilità Secondo esonero Calcolo di un integrale Studio di una funzione integrale Numeri complessi Limite con formula di Taylor/ de l Hopital Carattere /somma di una serie La domanda di teoria consiste nella dimostrazione di un teorema o in una serie di definizioni o in un esempio significativo (per gli studenti non esonerati sono esclusi gli argomenti indicati nel programma con una (A)) 3

4 CALCOLO I (Ingegneria Civile) Prova scritta 7 Febbraio 2011 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Calcolare il seguente integrale (sin x 2) cos x sin 2 x + 3 sin x + 2 dx 2 Calcolare il seguente limite al variare del parametro a x 3 log(1 + 2x) 2x 4 ax 5 lim x 0 + sin x 2 x 2 3 Determinare il carattere della seguente serie: n=1 (n!) 2 n 2n 4 Determinare il numero di zeri della seguente funzione: f(x) = x 5 + x 4 + x 3 + 8x + sin(x 2 + x + 1) giustificando tutti i passaggi per arrivare alla soluzione 4

5 CALCOLO I (Ingegneria Civile) Prova scritta 7 Febbraio 2011 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Calcolare il seguente integrale (e x 2)e x e 2x + 5e x + 6 dx 2 Calcolare il seguente limite al variare del parametro a x 3 (e 2x 1) 2x 4 ax 5 lim x cos x 3 3 Determinare il carattere della seguente serie: n=1 n 2n (2n)! 4 Determinare il numero di zeri della seguente funzione: f(x) = x 7 + x 6 + x x + cos(x 2 + x) giustificando tutti i passaggi per arrivare alla soluzione 5

6 CALCOLO I (Ingegneria Civile) II Prova d esonero 31 gennaio Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Calcolare il seguente integrale (e x 2)e x e 2x + 4e x + 13 dx 2 Calcolare lo sviluppo di MacLaurin all VIII ordine di sin 3 x: (a) utilizzando la formula per il cubo di un polinomio; (b) utilizzando l identit trigonometrica sin 3 x = 3 sin x 1 sin 3x Determinare il carattere della seguente serie: [ ( 3 n 2 + n 3 ] n 2 1) sin n2 + 1 n 3 n=1 Suggerimento: A 3 B 3 = (A B)(A 2 + AB + B 2 ) 4 Rispondere ad uno dei due seguenti quesiti: (a) Il metodo di Fermat per il calcolo dell integrale b a xp dx (8 punti); (b) Il I Teorema fondamentale del calcolo integrale (5 punti) Negli esercizio sul polinomio di Taylor pu risultare utile la seguente formula: (a 1 + a a n ) 3 uguale alla somma di tutti i cubi a 3 i tutti i possibili termini 3a 2 i a j, con i j tutti i possibili termini 6a i a j a k, con i, j, k tutti distinti fra loro (per n = 2 non ci sono termini di questo ultimo tipo, per n = 3 solamente 1 e per n 4 ce ne sono vari) Ad esempio per n = 3 otteniamo: (a 1 + a 2 + a 3 ) 3 = a a a (a 2 1a 2 + a 2 1a 3 + a 2 2a 1 + a 2 2a 3 + a 2 3a 1 + a 2 3a 2 ) + 6a 1 a 2 a 3 6

7 Calcolo I I prova di esonero - 29 novembre 2010 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Senza utilizzare le formule di duplicazione, dimostrare per induzione che per k 0 { D 2k (cos 2 x sin 2 x) = ( 1) k 2 2k (cos 2 x sin 2 x) D 2k+1 (cos 2 x sin 2 x) = ( 1) k+1 2 2k+1 (2 sin x cos x) dove D k f indica la derivata k-esima di f e D 0 f = f 2 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti, l immagine e disegnare il grafico di f(x) = Dedurne il grafico della funzione log(f(x)) 1 x 2 + x Data la parabola di equazione y = x 2 2ax + a 2, siano A e B, rispettivamente il suo punto di ascissa nulla e quello di ascissa 3 Per quale valore di a la corda AB risulta minima? Darne un interpretazione geometrica 7

8 Calcolo I I prova di esonero - 29 novembre 2010 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Senza utilizzare le formule di duplicazione, dimostrare per induzione che per k 0 { D 2k (2 sin x cos x) = ( 1) k 2 2k (2 sin x cos x) D 2k+1 (2 sin x cos x) = ( 1) k 2 2k+1 (cos 2 x sin 2 x) dove D k f indica la derivata k-esima di f e D 0 f = f 2 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti, l immagine e disegnare il grafico di f(x) = Dedurne il grafico della funzione exp(f(x)) 1 x 2 + x Data la parabola di equazione y = x 2 + 4x, condurre sul semipiano delle ordinate positive una retta parallela all asse delle x in modo che, indicate con A e B, le sue intersezioni con la curva, sia massima l area del triangolo OAB, essendo O l origine del sistema di riferimento 8

9 Analisi per le applicazioni all ingegneria Prova scritta - 18 novembre 2010 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Calcolare il seguente limite lim x 0 +(1 + x2 ) 1 cos x 1 2 Determinare per quali x R la serie n=0 (x2 + 2x) n è convergente e calcolarne la somma 3 Risolvere la seguente equazione in campo complesso e disegnare le radici sul piano di Gauss 4 Calcolare il seguente integrale 5 Trattare uno dei seguenti temi (a) : Il teorema di Rolle (b): Il teorema di Fermat z 3 + (2 + i)z 2 + 2iz = x 2 log(x 2 + 2x)dx 9

10 Analisi per le applicazioni all ingegneria Prova scritta del 1/07/2010 Nome e cognome Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Calcolare il seguente limite al variare del parametro a: sin 2 (2x) 4x 2 ax 4 lim x 0 x 6 2 Calcolare il numero di zeri della seguente funzione f(x) = x 7 + x 2 + 5x + cos x 3 Calcolare il seguente integrale x x 2 dx 4 Determinare il carattere della seguente serie n=2 5 Rispondere ad uno dei seguenti quesiti: 1 n log 2 n (a) Il teorema di Lagrange e sue applicazioni; (b) Il II teorema fondamentale del calcolo 10

11 Analisi per le applicazioni all ingegneria Prova scritta - 9 novembre 2009 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Calcolare il seguente limite lim xsin x2 x Determinare il carattere della serie ( n=1 log 5+n 2 n Risolvere la seguente equazione in campo complesso 4 Calcolare il seguente integrale 5 Trattare uno dei seguenti temi 2 1 (z) 4 = z 2 x 3 log(x 2 + 1)dx (a) : Il teorema della permanenza del segno (b): Il I teorema fondamentale del calcolo ) 11

12 Analisi per le applicazioni all ingegneria Prova scritta del 2 luglio 2009 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Determinare il polinomio di Maclaurin al X ordine di 2 Studiare il carattere della seguente serie n=1 x 2 cos(2x 2 ) n 2 + sin n n 4 + n Risolvere la seguente equazione in campo complesso 4 Dimostrare per induzione che (z i) 4 = i π 0 sin 2n xdx = (2n 1)(2n 3) 5 3 π 2n(2n 2) Trattare uno dei seguenti temi (a) : Il logaritmo definito come una una primitiva di 1 x (b): Il I teorema fondamentale del calcolo 12

13 Analisi per le applicazioni all ingegneria Prova scritta del 16 giugno 2009 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Trovare il polinomio di Maclaurin all VIII ordine della seguente funzione f(x) = sin(e x2 1) 2 Determinare la derivata della seguente funzione come limite del corrispondente rapporto incrementale f(x) = x x Calcolare il seguente integrale x arctan xdx 4 Sia x 2 sin 1 f(x) = x se x 0 0 se x = 0 Mostrare che f è derivabile su tutto R, ma che la sua derivata non è continua in 0 5 Enunciare e dimostrare uno fra i seguenti teoremi (a) : Teorema della permanenza del segno (b): Teorema di Lagrange 13

14 Prova di esame del 21 aprile 2009 Analisi per le applicazioni all ingegneria Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Studiare il seguente limite al variare del parametro a lim x 0 exp(x 2 ) 1 ax 2 + x 4 x 2 (cos(2x) 1) 2 Calcolare il seguente integrale π (suggerimento: cos(2t) = 2 cos 2 t 1) π cos xdx 3 Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: z = (i 1) 6 z = 5 z = 1 + i 1 + 3i 4 Enunciare e dimostrare il I teorema fondamentale del calcolo integrale 5 Dimostrare la seguente uguaglianza: n i=0 ( )( ) a b = i n i ( ) a + b con a e b interi positivi tali che a, b n 0 (suggerimento: utilizzare la formula (1 + x) m = m k=0 ( m k ) x k ) n 14

15 Prova di esame del 10 febbraio 2009 Analisi per le applicazioni all ingegneria (12 CREDITI) Nome e cognome Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti Per superare l esame è necessario rispondere correttamente ad almeno uno fra i quesiti 5 e 6 1 Senza calcolare alcuna derivata, determinare lo sviluppo di Taylor centrato in 0 1 al VI ordine di: cos(e 2x2 1) 2 Risolvere le seguenti equazioni in campo complesso: z 3 (1 i)z 2 iz = 0 ( ) 3 z = i 1 + i 3 Calcolare il seguente integrale sin 3 x cos 4 xdx 4 Stabilire il carattere della seguente serie ed eventualmente calcolarne la somma: n=1 1 n(n + 1)(n + 2) 5 Enunciare e dimostrare il primo Teorema fondamentale del Calcolo 6 Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat 1 ie di Maclaurin 15

16 Prova di esame del 28 gennaio 2009 Analisi per le applicazioni all ingegneria Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Calcolare il seguiente limite al variare del parametro a: lim x 0 sin(ax 2 ) x 2 x 2 (cos(2x) e 2x2 ) 2 Calcolare il seguente integrale e x e 2x 1 dx 3 Trovare le radici terze dei seguenti numeri complessi: z = i + 1 z = 8 4 Dimostrare per induzione che per 0 < x < 1 e per ogni n intero positivo si ha (1 x) n < xn 5 Enunciare e dimostrare il teorema della permanenza del segno 16

17 Prova di esame del 28 gennaio 2009 Analisi per le applicazioni all ingegneria 12 CREDITI Nome e cognome Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti IMPORTANTE: Per superare l esame e necessario rispondere correttamente ad almeno uno fra i quesiti 5 e 6 1 [8 punti] Calcolare il seguente limite senza applicare la regola di l Hopital: [ ( )] x 19 lim 1 + sin x + x 2 [6 punti] Calcolare il seguente integrale 3x 2 + x + 1 x(x 2 + x + 1) dx 3 [6 punti] Sia f(x) = (x 10)(x 11)(x 12) In quanti punti si annulla f (x)? (NB giustificate la vostra risposta senza calcolare f (x)) 4 [7 punti] Calcolare (z z) 6 dove z = 2 2i Calcolare i 27, i 51, i 36 e i 111 Risolvere l equazione z 4 = i 5 [3 punti] Enunciare e dimostrare il teorema dell unicità del limite 6 [3 punti] Enunciare e dimostrare il teorema di Weierstrass 17

18 Prova di esame del 17 giugno 2008 Analisi per le applicazioni all ingegneria Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Discutere il seguente limite al variare del parametro a sin 2x 2x ax 3 lim x 0 x(cos x e x2 2 ) 2 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti, l immagine e disegnare il grafico di f(x) = x + 1 x2 + 3 x 4 3 Dimostrare per induzione che per x > 1 e per ogni n intero positivo si ha (1 + x) n 1 + nx 4 Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle; mostrare, con opportuni controesempi, che se una delle tre ipotesi non è soddisfatta la conclusione potrebbe non essere verificata 5 Calcolare il seguente integrale 1 x 2 + x + 1 dx 18

19 Prova di esame del 10 aprile 2008 Analisi per le applicazioni all ingegneria Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 (6 punti) Dedurre dallo sviluppo di Taylor centrato nell origine delle funzioni sin x e e x quello della funzione f(x) = sin(e x2 1) fino al sesto ordine Dedurne un approssimazione di sin(e 0,25 1) 2 (7 punti) Dimostrare per induzione che per n 1 ed m n si ha n k=m ( ) k = m ( ) n + 1 m (7 punti) Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e gli eventuali asintoti della seguente funzione x 2 + x 3 x (6 punti) Calcolare π 2 0 sin xdx sin 2 x + cos x (6 punti) Il Teorema della permanenza del segno 19

20 Prova di esame del 29 gennaio 2008 Analisi per le applicazioni all ingegneria Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 (8 punti) Calcolare il seguente limite lim x 0 x [ ( tan t t 2)] dt x 2 (6 punti) Calcolare le seguenti radici di numeri complessi 7 i, 3 2 2i 3 (7 punti) Provare che per x > 0 si ha 1 x + 1 < log ( ) < 1 x x 4 (6 punti) Calcolare 9 4 dx x (6 punti) Il Teorema di Rolle con dimostrazione ed almeno una applicazione A 20

21 Analisi per le Applicazioni all ingegneria Prova scritta - 19 novembre 2007 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 Provare per induzione che per n 1 si ha n n (3n)! (suggerimento: potete utilizzare il fatto che ( n) n 3 per ogni n N) 2 Studiare il seguente limite 3 Studiare la seguente serie lim x n=1 x 3 5 x 1 + x sin n + n 2 n 4 cos n Risolvere la seguente equazione e rappresentare le soluzioni sul piano complesso 5 Sia L(x) = x 1 z 2 z = z 1dt, x > 0 Mostrare che per x, y > 0 si ha L(xy) = L(x) + L(y) t 21

22 Prova di esame del 4 settembre 2007 Analisi per le applicazioni all ingegneria Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Mostrare per induzione che l espressione esplicita della successione X(n) definita per ricorrenza da X(n) = X(n 1) + αx(n 1) R, X(0) = X(α > 0) è data da X(n) = X(1 + α) n (1 + α)n 1 R α Si fissi n = N e si determini R imponendo X(N) = 0 Calcolare lim R α 0 + Dare una possibile interpretazione delle formule presentate 2 Studiare il carattere della seguente serie 3 Studiare la seguente funzione + n=3 1 n log log n f(x) = x x x 2 + x Dedurne (senza calcolare alcun integrale) il grafico della funzione F (x) = x 4 Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange 0 f(t)dt 22

23 Prova scritta del 9 luglio 2007 Analisi per le applicazioni all ingegneria Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 (a) Disegnare la regione {z C : 0 < z < 3, π < arg(z) < π } e individuare la 4 3 sua immagine tramite la trasformazione w = 1 z 2 Sia (b) Utilizzando il fatto che z = 1 3i è una radice del polinomio P (z) = z 4 4z z 2 16z + 16 decomporlo in polinomi irriducibili reali F (x) = x 0 t 5 e t2 dt Trovare l espressione esplicita di F e, senza utilizzarla, trovare F (x 2 ) lim x 0 x 12 3 Studiare la convergenza della seguente serie + n=1 ( 1) n n2 + 1 n 3 + 3n 4 Dimostrare che n k=0 ( ) n a k b n k = (a + b) n k 23

24 Prova scritta del 13 giugno 2007 Analisi per le applicazioni all ingegneria Nome e cognome Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Calcolare le radici del polinomio z 4 +1 e disegnarle sul piano complesso Dedurne una decomposizione di tale polinomio come prodotto di due polinomi reali (irriducibili) Mostrare inoltre che se z è una radice di un polinomio a coefficienti reali allora anche z è radice 2 Risolvere il seguente problema di Cauchy { y = 1 y 2 Attenzione: 1 y 2 0 y(0) = 0 3 Senza calcolare l integrale, determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti, la convessità di f(t) = t 1 x 2 4 x 3 + x dx Disegnare inoltre un grafico di f compatibile con l analisi effettuata 4 Dimostrare che sin x lim x 0 x = 1 A 24

25 Prova scritta del 5 settembre 2006 Analisi per le applicazioni all ingegneria Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Dimostrare per induzione che, per ogni n N, si ha n ( ) n + 2 k(k + 1) = 2 3 k=1 2 Determinare lo sviluppo di Taylor (centrato in x 0 = 0) di f(x) = x + 3 x 2 + 3x + 2, specificando l intervallo di convergenza Determinare inoltre f (12) (0) 3 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti, l immagine e disegnare il grafico di f(x) = x + 2 x2 + 2x + 4 Dedurne il grafico della funzione exp(f(x)) e di arctan(f(x)) 4 Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per i limiti 25

26 Prova scritta del 14 giugno 2006 Analisi per le applicazioni all ingegneria Nome e cognome Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Dimostrare per induzione che per ogni n N si ha π/2 dove m!! = m(m 2)(m 4) 1 0 sin 2n+1 (x)dx = (2n)!! (2n + 1)!!, 2 Stabilire l insieme di convergenza della seguente serie di potenze + n=0 (2n)! (n 2 + 1)(n!) 2 xn 3 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti, l immagine e disegnare il grafico di f(x) = x2 1 x 3 + 6x Dedurne il grafico della funzione exp(f(x)) e di log(f(x)) 4 Definire la serie di Fourier di una funzione regolare a tratti fornendo almeno un esempio significativo 26

27 Prova scritta del 19 aprile 2006 Analisi per le applicazioni all ingegneria Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Dimostrare per induzione che per ogni n N si ha n k=0 1 k k + 30 = n + 1 5n Dopo aver determinato la costante c che rende continua la seguente funzione, scriverne la sua serie di Taylor, precisando in quale intervallo lo sviluppo è valido { sin(2x 2 ) 2x x6 f(x) = se x 0 x 10 c se x = 0 Calcolare inoltre f (16) (0) 3 Senza calcolare l integrale, determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, l esistenza di eventuali asintoti, la convessità di f(x) = x 2 t 5 t 2 + 2t 2 dt Disegnare inoltre un grafico della funzione compatibile con l analisi effettuata 4 Si dimostri che sin x lim x 0 x = 1 27

28 Prova di esame del 2 febbraio 2006 Analisi per le applicazioni all ingegneria 1 Calcolare (se esiste) il seguente limite lim log x π x π ( cos x) Determinare il carattere della seguente serie + n=50 1 ( n 5) 10 n 6 sin n 3 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, l esistenza di eventuali asintoti della seguente funzione integrale (non è richiesto lo studio della convessità) x (t 2)(t 3) F (x) = t(t3 + 1) dt Disegnare un grafico di F compatibile con l analisi effettuata 4 Enunciare e dimostrare il primo teorema fondamentale del calcolo integrale 1 A 28

29 Prova di esame del 10 aprile 2008 Introduzione all analisi matematica Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 (6 punti) Dedurre dallo sviluppo di Taylor centrato nell origine delle funzioni sin x e e x quello della funzione f(x) = sin(e x2 1) fino al sesto ordine Dedurne un approssimazione di sin(e 0,25 1) 2 (7 punti) Dimostrare per induzione che per n 1 ed m n si ha n k=m ( ) k = m ( ) n + 1 m (7 punti) Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e gli eventuali asintoti della seguente funzione Dedurne un grafico di exp(f(x)) 4 Il Teorema della permanenza del segno x 2 + x 3 x

30 Calcolo I (Ingegneria Civile) 7 CREDITI Prova scritta - 29 gennaio 2009 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti (6 punti) Mostrare per induzione che per n 1 ed m n si ha n k=m ( ) k = m ( ) n + 1 m + 1 (6 punti) Calcolare il seguente integrale: x 3 log(2x)dx (6 punti) Studiare il seguente limite al variare del parametro a lim x 0 e ax2 1 + x 2 x(sin(3x) 3x) (8 punti) Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione ( ) x + 1 f(x) = log x 2 3 x + 1 (4 punti) Il I teorema fondamentale del calcolo 30

31 Calcolo I (Ingegneria Civile) Prova scritta - 10 novembre 2008 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti (6 punti) Sia f(x) = n k=0 a kx k (con a n 0) un polinomio di grado n Mostrare per induzione che a l = f (l) (0) per l = 0, 1,, n l! (6 punti) Calcolare il seguente integrale: x 2 arctan(1 + 2x)dx (4 punti) Calcolare e verificare attraverso la definizione il seguente limite x lim x 1 x + 2 (8 punti) Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione f(x) = exp x + 1 x 2 3x + 2 (6 punti) Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti 31

32 Calcolo I (Ingegneria Civile) Prova scritta - 11 giugno 2008 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti (6 punti) Calcolare il seguente integrale sin 5 x cos 8 xdx (6 punti) Dimostrare per induzione che per x > 0 e n 0 e x > 1 + x + x xn n! (8 punti) Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione f(x) = x2 + 2 x 3 x + 5 Dedurne un grafico qualitativo di log(f(x)) (4 punti) Calcolare e verificare tramite la definizione il seguente limite lim x 0 (6 punti) Teorema di esistenza dei valori intermedi x 2 + 2x + 3 x + 5 A 32

33 Calcolo I (Ingegneria Civile) Prova scritta - 11 giugno 2008 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti (6 punti) Calcolare il seguente integrale cos 5 x sin 8 xdx (6 punti) Dimostrare per induzione che per x > 0 e n 0 e x > 1 + x + x xn n! (8 punti) Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione f(x) = x2 + 3 x 4 x + 7 Dedurne un grafico qualitativo di log(f(x)) (4 punti) Calcolare e verificare tramite la definizione il seguente limite lim x 0 x 2 + 4x + 1 x + 2 (6 punti) Utilizzando il teorema della derivata della funzione inversa calcolare D(arcsin x) B 33

34 Calcolo I (Ingegneria Civile) Prova scritta - 7 aprile 2008 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti (6 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy { y = y2 +2y 3 y+4 y(0) = 0 (4 punti) Trovare le soluzioni della seguente equazione e disegnarle sul piano complesso z 3 = 2 + 2i 1 i (8 punti) Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione f(x) = Dedurne un grafico qualitativo di exp(f(x)) x + 3 x 2 x 2 (6 punti) Trovare lo sviluppo di Taylor centrato nell origine fino al sesto ordine di log(cos x) (6 punti) Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo A 34

35 Calcolo I (Ingegneria Civile) Prova scritta - 7 aprile 2008 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti (6 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy { y = y2 +5y 6 y+1 y(0) = 0 (4 punti) Trovare le soluzioni della seguente equazione e disegnarle sul piano complesso z 3 = 1 i 2 + 2i (8 punti) Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione f(x) = x2 x 2 x + 3 Dedurne un grafico qualitativo di exp(f(x)) (6 punti) Trovare lo sviluppo di Taylor centrato nell origine fino al sesto ordine di log(cos(2x)) (6 punti) Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per i limiti B 35

36 Calcolo I (Ingegneria Civile) Prova scritta - 4 febbraio 2008 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 Calcolare il seguente integrale 1 x(x 2 + 1) dx 2 Trovare le soluzioni della seguente equazione z 6 + (1 + i)z 3 + i = 0 3 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione 4 Provare per induzione che f(x) = x + 1 x 2 4x + 3 cos x + cos 3x + + cos(2n 1)x = sin 2nx 2 sin x 5 Enunciare e dimostrare il teorema della permanenza del segno A 36

37 Calcolo I (Ingegneria Civile) Prova scritta - 4 febbraio 2008 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 Calcolare il seguente integrale 1 x 3 1 dx 2 Trovare le soluzioni della seguente equazione z 6 iz = 0 3 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione 4 Provare per induzione che f(x) = x + 3 x 2 3x + 2 sin x + sin 2x + + sin nx = sin nx 2 sin (n+1)x 2 sin x 2 5 Enunciare e dimostrare il teorema della media (del calcolo integrale) B 37

38 Calcolo I (Ingegneria Civile) II Prova di esonero - 29 gennaio 2008 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy { y = 3x 2 y + sin xe x3 y(0) = 1 2 Trovare le soluzioni della seguente equazione 5 z 3 + 2iz 2 + 3z = 0 3 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, l esistenza di eventuali asintoti della seguente funzione integrale x [ ( ) ] t3 8 + t F (x) = 2 1 exp 1 dt t2 9 t 4 + t Disegnare un grafico di F compatibile con l analisi effettuata 4 Trovare lo sviluppo di Taylor centrato in 0 di 5 Trattare uno dei seguenti temi: x + 1 x 2 + 5x + 6 (a) (8 punti) Il metodo di Fermat per l integrale di b 1 xp dx (b) (6 punti) Il teorema fondamentale del calcolo integrale D 38

39 Calcolo I (Ingegneria Civile) I Prova di esonero - 29 novembre 2007 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 Dimostrare per induzione che per n 1 si ha n k=1 k3 k 1 = 3n (2n 1) Calcolare la derivata della seguente funzione come limite del corrispondente rapporto incrementale f(x) = x 2 + 2x 3 (a) Determinare il dominio, il segno, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e tracciare il grafico (non è richiesto lo studio della convessità) della seguente funzione f(x) = x + 5 x 2 x 2 (b) Determinare il più grande intervallo contenente il punto x = 4 su cui la funzione risulti invertibile e trovare l espressione dell inversa 4 Determinare la distanza fra la curva y = x, x 0 e il punto (a, 0), a > 0 (attenzione: bisogna distinguere due casi) 5 Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle A 39

40 Calcolo I (Ingegneria Civile) I Prova di esonero - 29 novembre 2007 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 Dimostrare per induzione che per n 1 si ha n k=1 k4 k 1 = 4n (3n 1) Calcolare la derivata della seguente funzione come limite del corrispondente rapporto incrementale f(x) = x 2 3x 3 (a) Determinare il dominio, il segno, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e tracciare il grafico (non è richiesto lo studio della convessità) della seguente funzione f(x) = x + 1 x 2 2x + 3 (b) Determinare il più grande intervallo contenente il punto x = 6 su cui la funzione risulti invertibile e trovare l espressione dell inversa 4 Determinare la distanza fra la curva y = x 2, x 0 e il punto (0, a), a > 0 (attenzione: bisogna distinguere due casi) 5 Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat B 40

41 Calcolo I (Ingegneria Civile) Prova scritta - 21 novembre 2007 firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 Provere per induzione che per n 1 si ha n n (3n)! (suggerimento: potete utilizzare il fatto che ( n) n 3 per ogni n 1) 2 Senza calcolare alcuna derivata determinare lo sviluppo di Taylor centrato in 0 fino al ventesimo ordine di f(x) = x2 x Determinare il dominio, il segno, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e tracciare il grafico (non è richiesto lo studio della convessità) della seguente funzione ( ) x + 2 f(x) = exp x 2 x 4 Calcolare il seguente integrale e e ex +x dx 5 Enunciare e dimostrare il I teorema fondamentale del calcolo integrale 1 41

42 Prova di esame del 5 settembre 2007 Calcolo I Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Trovare tutte le soluzioni dell equazione e disegnarle sul piano complesso z 3 + z 2 + z = 0 2 Trovare i valori di a e b che rendono il seguente limite finito e calcolarlo lim x ax bx2 1 sin x x 3 3 Calcolare il seguente integrale indefinito cos 4 xdx giustificando tutti i passaggi 4 Studiare la seguente funzione f(x) = x x x 1 x Dedurne (senza calcolare alcun integrale) il grafico della funzione F (x) = 5 Dimostrare l identità ( ) n 1 + k x 0 f(t)dt ( ) n 1 = k 1 ( ) n k 42

43 Prova scritta del 9 luglio 2007 Calcolo I Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Risolvere la seguente equazione in campo complesso e disegnarne le radici sul piano di Gauss z 6 = 2z 4 4z 2 2 Calcolare il seguente integrale 1 0 x 3 arctan x 2 dx 3 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti, l immagine e disegnare il grafico di f(x) = x2 + 3x x 2 3x + 1 Dedurne un grafico approssimato di log(f(x)) 4 Studiare il seguente limite al variare del parametro a log(cos x) ax 2 lim x 0 x 4 5 Dare le definizione formali (in termini di ε, δ etc) di (a) lim x x + 0 f(x) = l (b) lim x + f(x) = (c) lim x f(x) = l A 43

44 Prova scritta del 22 giugno 2007 Calcolo I Firma in caso si acconsenta, n di matricola altrimenti 1 Dimostrare per induzione che n (2k + 1) = (n + 1) 2 k=0 2 Calcolare il seguente integrale 1 0 x + 5 x 2 4 dx 3 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti, l immagine e disegnare il grafico di f(x) = x2 + 1 x Calcolare (se esiste) il seguente limite e sin x e x + x3 6 lim x 0 x 4 5 Dimostrare che 2 è un numero irrazionale B 44

45 Calcolo I (Ingegneria Civile) Prova di esame - 11 aprile 2007 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 Calcolare il seguente integrale π 2 0 sin 3 xe cos x dx 2 Determinare il polinomio di Taylor di ordine n centrato nell origine della seguente funzione x + 1 f(x) = x 2 + 5x + 6 e dedurne f (15) (0) 3 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti, l immagine e disegnare il grafico di f(x) = x + 2 x2 + x + 1 Dedurne un grafico approssimato della funzione exp(f(x)) 4 Risolvere la seguente equazione e rappresentare le soluzioni sul piano complesso 5 Mostrare che L(x) = x 1 1dt soddisfa t z 4 + z = 0 lim L(x) = + e x + L(xy) = L(x) + L(y) 45

46 Calcolo I (Ingegneria Civile) Prova scritta - 15 febbraio 2007 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 Provare per induzione che per n 1 si ha D n [(1 2x) 1 ] = (n)!2 n (1 2x) n 1 2 Verificare tramite la definizione il seguente limite lim x 1 4x 2 x + 1 = 2 3 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, l esistenza di eventuali asintoti della seguente funzione integrale F (x) = x 1 t t 2 t arctan 1 t dt Disegnare un grafico di F compatibile con l analisi effettuata 4 Risolvere la seguente equazione e rappresentare le soluzioni sul piano complesso z 4 + 3z = 0 5 Enunciare e dimostrare il I teorema fondamentale del calcolo integrale A 46

47 Calcolo I (Ingegneria Civile) Prova scritta - 15 febbraio 2007 Acconsento all eventuale inserimento del mio nome nell elenco dei promossi firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti 1 Provare per induzione che per n 1 si ha D n [(1 + x) 1 ] = ( 1) n (n)!(1 + x) n 1 2 Verificare tramite la definizione il seguente limite lim x 1 2 6x 2 x + 2 = 2 3 Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, l esistenza di eventuali asintoti della seguente funzione integrale x t + t 2 F (x) = (1 t 3 1 log + 1t ) dt 2 Disegnare un grafico di F compatibile con l analisi effettuata 4 Risolvere la seguente equazione e rappresentare le soluzioni sul piano complesso z 4 iz = 0 5 Enunciare e dimostrare il II teorema fondamentale del calcolo integrale B 47

48 I Prova di esonero - 1 dicembre 2006 Calcolo I (Ingegneria Civile) Nome e cognome 1 Provere per induzione che per n 1 si ha firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti n (l + 3l 2 ) = n(n + 1) 2 l=1 2 Determinare la derivata della seguente funzione calcolando il corrispondente limite del rapporto incrementale f(x) = x x Determinare il dominio, il segno, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e tracciare il grafico (non è richiesto lo studio della convessità) della seguente funzione f(x) = x2 + 3x x + 1 Dedurne inoltre un grafico approssimato di exp(f(x)) 4 Una regione piana è composta da un rettangolo sormontato da un triangolo equilatero (vedi figura) Sapendo che il perimetro della regione è fissato (= p), trovare le dimensioni dei lati che ne rendono massima l area 5 Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat A 48

49 I Prova di esonero - 1 dicembre 2006 Calcolo I (Ingegneria Civile) Nome e cognome 1 Provere per induzione che per n 1 si ha firmare in caso si acconsenta, scrivere la matricola altrimenti n (2l + l 2 ) = l=1 n(n + 1)(2n + 7) 6 2 Determinare la derivata della seguente funzione calcolando il corrispondente limite del rapporto incrementale f(x) = 1 x Determinare il dominio, il segno, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli eventuali asintoti e tracciare il grafico (non è richiesto lo studio della convessità) della seguente funzione f(x) = x + 2 x Dedurne inoltre un grafico approssimato di log(f(x)) 4 Una regione piana è composta da un rettangolo sormontato da un semicerchio (vedi figura) Sapendo che il perimetro della regione è fissato (= p), trovare le dimensioni dei lati che ne rendono massima l area 5 Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per i limiti B 49

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