Esercizi di Cinematica

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1 Esercizi di Cinematica Esercizio 1 Due atlete, Alice e Barbara fanno una gara sui 100 metri piani; Alice accelera con accelerazione costante pari a 3 m/s 2 per 3 s, poi si muove di moto rettilineo uniforme. Barbara, invece, accelera con accelerazione costante pari a 2.5 m/s 2 per 4 s, poi si muove di moto rettilineo uniforme. 1) Chi vincera la gara? 2) Con quale distacco (in metri)? Dati del Problema x totale =100m a Alice =3m/ s 2 per 3s a Barbara =2.5m/s 2 per 4 s Le due atlete partono entrambe da ferme; t 0 =0 ;v 0 =0 ; x 0 =0 Soluzione Calcolo velocità massima di Alice che mantiene dall'istante t = 3 s fino al traguardo. v Alice =v o +a t=(0m/ s)+(3 m/ s 2 ) 3s=9 m/s (velocità in funzione del tempo). Calcolo velocità massima di Barbara che mantiene dall'istante t = 4 s fino al traguardo. v Barbara =v o +a t=(0m/ s)+(2.5m/ s 2 ) 4 s=10m/ s (velocità in funzione del tempo). Spazio percorso da Alice nei primi 3 s ) Alice =v 0 t a t 2 =(0 m/ s)+ 1 2 (3 m/ s2 ) (3 s) 2 =13.5m (posizione in funzione del tempo e della velocita iniziale). Spazio percorso da Barbara nei primi 4 s ) Barbara =v 0 t+ 1 2 a t2 =(0 m/s)+ 1 2 (2.5 m/ s2 ) (4 s) 2 =20 m (posizione in funzione del tempo e della velocità iniziale). Spazio ancora da percorrere fino al traguardo: Alice x traguardo, Alice = x totale ( x x 0 ) Alice =100m 13.5m=86.5m

2 Spazio ancora da percorrere fino al traguardo: Barbara x traguardo, Barbara = x totale ) Barbara =100m 20.0m=80m Tempo impiegato da Alice per percorrere 86.5 m t Alice = x traguardo, Alice = (86.5m) v Alice (9 m/ s) 9.6 s Tempo impiegato da Barbara per percorrere 80 m t Barbara = x traguardo, Barbara = (80m) v Barbara (10 m/s) =8 s Alice percorre 100 m in t Alice,100m =3 s+9.6 s=12.6 s Barbara percorre 100 m in t Barbara, 100m =4 s+8 s=12 s Alice taglia il traguardo s piu tardi; in questo intervallo di tempo ha percorso un tratto di lunghezza pari a x distacco =t distacco v Alice =0.6 s 9 m=5.4m Esercizio 2 Due auto, inizialmente distanti 200 m, si stanno venendo incontro; la prima viaggia a 108 km/h e frena con accelerazione in modulo uguale a 4 m/s 2. La seconda auto viaggia a 72 km/h e frena con accelerazione in modulo uguale a 5 m/s 2. Dire se le due auto si scontreranno. Dati del problema d=200 m (distanza iniziale) v 0,1 =108 km/h=( )/3600=30 m/ s

3 a 1 =4 m/s 2 v 0,2 =72km/h=( )/3600=20m/ s a 2 =5m/ s 2 Velocità al termine della frenata v f,1 =v f, 2 =v=0 Dalla definizione di accelerazione: a= v 1 v 0 t 1 t 0 Poiche' il tempo scorre sempre in avanti, il denominatore della definizione di accelerazione e' sempre positivo. Quindi il segno viene dal fatto che, al numeratore sia maggiore o minore di. Se e' maggiore di allora la velocita' aumenta e l'accelerazione e' positiva. Se e' minore di allora la velocita' diminuisce e l'accelerazione e' negativa. Calcoliamo I due spazi di frenata, li sommiamo e li confrontiamo con la distanza di separazione iniziale tra le 2 auto: ) 1 +( x x 0 ) 2 >200 m (le 2 auto si scontrano). ) 1 +( x x 0 ) 2 <200 m (le 2 auto non si scontrano). Soluzione v 2 =v a ( x x 0 ) velocità in funzione della posizione; da questa formula ricavo la posizione. ) 1 = v 2 v a =(0m/s)2 (30m/ s) 2 2 ( 4m/s 2 ) =112.5 m spazio di frenata della prima auto. ) 2 = v2 v a = (0m/ s)2 (20m/s) 2 2 ( 5m/ s 2 ) =40 m spazio di frenata della seconda auto. ) 1 +( x x 0 ) 2 =112.5 m+40m=152.5<200m

4 Le 2 auto non si scontreranno! Esercizio 3 Avete avvistato un pericolo in strada e frenate la vostra auto da 100 km/h a 80 Km/h nello spazio di 88 m con accelerazione costante. (a) Quanto vale l'accelerazione? (b) Per quanto tempo dovete frenare? Dati del problema v 0 =100km/h=( )/3600=27.78m/ s v f =v 1 =v=80km/h=( )/3600=22.22m/ s a= v 1 v 0 t 1 t > decelerazione (-) velocità iniziale > velocità finale Soluzione v 2 =v a ( x x 0 ) velocità in funzione della posizione; da questa formula ricavo l'accelerazione a= v2 2 v 0 2 ) =(22.22 m/s)2 (27.78m/ s) 2 = 1.58 m/s m Tempo di frenata v=v 0 +a t t= v v 0 a m/s m/s = 3.52 s 1.58m/s 2 Esercizio 4 Un'automobile che si muove ad accelerazione costante percorre in 6.0 s una distanza di 60 m. La sua velocità finale è di 16 m/s. (a) Quanto vale la sua accelerazione? (b) Qual'è la sua velocità iniziale?

5 Dati del problema t = 6.0 s x x 0 =60m v=16 m/s Soluzione )=v t 1 2 a t 2 (posizione in funzione del tempo e della velocità finale) 2(x x 0 )= 2(v t)+a t 2 a= 2)+2(v t) 2(60m)+2(16m/ s 6 s) = = 72 =2m/ t 2 (6 s) 2 s2 2 v=v 0 +a t v 0 =v a t=(16m/ s) (2m/ s 2 ) 6s=4m/ s Esercizio 5 Calcolare la velocità scalare media di un atleta per due casi: 1) marcia per 73.2 m a 1.22 m/s poi corsa per altri 3.2m a 3.05 m/s su una pista rettilinea e 2) marcia per 1.00 min a 1.22 m/s e poi corsa per 1.00 min a 3.05 m/s. x 1 =73.2 m; v 1 =1.22m/ s x 2 =3.2m ;v 2 =3.05m/s Soluzione x totale = x 1 + x 2 =73.2 m+3.2 m=76.4m t 1 = x 1 = 73.2m =60 s tempo impiegato per compiere la prima parte della marcia. v m/ s t 2 = x 2 = 3.2m =1.05s tempo impiegato per compiere il secondo intervallo della marcia. v m/s

6 t totale =t 1 +t 2 =60.0 s+1.05m=61.05s v(media)= x totale t totale = 76.4 m s (Soluzione del secondo quesito: 2.14 m/s) Esercizio 6 Il fulmine cade a 1 Km di distanza. Sia la luce che il suono viaggiano di moto rettilineo ed uniforme alla velocità, rispettivamente, di Km/s e 344 m/s. Quanto tempo passa prima di vedere il lampo? E prima di sentire il tuono? v luce = km/ s v suono =344 m/ s 1 km t luce = Km/s s t suono = 1000 m 344 m/ s 2.91 s Esercizio 7 Il 26 Settembre 1993 Dave Munday si gettò giù dalle cascate del Niagara, sul lato canadese, racchiuso in una sfera metallica con un foro di aerazione e precipitò per un altezza di 48 m nelle acque sottostanti. Assumiamo che la velocità iniziale fosse nulla e trascuriamo gli effetti della resistenza dell'aria durante la caduta. Quanto è durato il volo in caduta di Munday? Qual'è la velocità di Munday all'impatto con l'acqua? L'accelerazione di gravità in prossimità della superficie terrestre vale a = -g = -9.8 m/s 2 e il modulo dell'accelerazione è g = 9.8 m/s 2. L'equazioni del moto uniformemente accelerato si applicano nel caso di caduta libera vicino alla superficie della terra (trascurando gli effetti dell'aria). Accorgimenti 1) La direzione del moto è collocata sull'asse verticale y invece che sull'asse x, con la direzione positiva di y rivolta verso l'alto.

7 x = y 2) L'accelerazione in caduta libera risulta negativa, cioè scende lungo l'asse y; così nelle equazioni possiamo sostituire a = -g Soluzione a = -g )=v 0 t a t 2 (posizione in funzione di tempo e della velocità iniziale). ( y y 0 )=v 0 t 1 2 g t 2 ( y y 0 )= 48 m ; il punto di arrivo in acqua si trova a quota -48 m (sotto il livello 0). 48m=(0m/ s 2 ) t 1 2 (9.8 m/ s2 ) t 2 48m=(4.9m/s 2 ) t 2 t 2 = 48m 4.9m/ s ; t=3.1s 2 Velocità di Munday all'impatto con l'acqua: v 2 =v a ( x x 0 ) (velocità in funzione della posizione). v 2 =v g ( y y 0 )=0 (2) (9.8m/ s 2 ) ( 48m) v 31 m/s=110 Km/h Munday sopravvisse al tuffo ma dovette in seguito fronteggiare serie conseguenze legali per la sua azione avventata! Esercizio 8 Un lanciatore di baseball scaglia la palla verticalmente lungo l'asse y con velocità iniziale di 12 m/s.

8 a) Quanto tempo impiega la palla per raggiungere il punto più alto della sua traiettoria? Dati del problema v0 = 12 m/s t= v v 0 a 0 12 m/ s = 9.8 m/ s =1.2 s 2 b) A che altezza arriva rispetto al punto di partenza? v 2 =v a ( x x 0 ) v 2 =v g ( y y 0 ) y= v2 2 v 0 0 (12m/ s)2 = 2 g 2( 9.8m/ s 2 ) =7.3m c) Quanto tempo impiega la palla per raggiungere un punto situato a 5 m sopra il punto di partenza? y=v 0 t 1 2 g t > 4.9t 2 12t+5.0=0 ;t=0.53s,t=1.9 s Moto Circolare Uniforme Una particella si definisce in moto circolare uniforme se si muove su una circonferenza o su un arco di questa a velocità di modulo costante (uniforme). Benchè la sua velocità scalare non vari, la particella accelera! Questo fatto può destare sorpresa, perchè di solito associamo all'accelerazione (la variazione di velocità) un aumento o diminuzione di velocità. Ma v è un vettore, non uno scalare. Se il vettore v cambia anche soltanto anche la sua direzione, si ha una accelerazione, questo è il caso del moto circolare uniforme. Al procedere del moto, i vettori restano costanti in modulo, ma la loro direzione varia continuamente (vedi Fig. 1). La velocità è sempre diretta lungo la tangente al cerchio nello stesso verso del moto. L'accelerazione è sempre diretta radialmente verso il centro. Per questo motivo l'accelerazione associata al moto circolare uniforme è detta accelerazione centripeta (ossia che tende al centro ).

9 a c = v2 r accelerazione centripeta (che tende al centro). r è il raggio della circonferenza e v è la velocità scalare della particella. T = 2 π r v (periodo di rivoluzione, o semplicemente periodo). T è il periodo di rivoluzione o semplicemente periodo del moto in oggetto. In generale si può definire come il tempo necessario a una particella per percorrere un cammino chiuso esattamente una volta. Fig. 1 Vettori velocità e accelerazione per una particella in moto circolare uniforme in senso antiorario. Hanno entrambi intensità costante ma cambiano continuamente direzione. Crediti: Holliday, Resnick e Walker, Fondamenti di Fisica - sesta edizione. Esercizio 2 I piloti di caccia conoscono bene il pericolo di eseguire un cerchio della morte troppo stretto. Dato che il corpo del pilota subisce una forte accelerazione centripeta, con la testa rivolta verso il centro di curvatura, la pressione sanguigna nel cervello cala, portando alla perdita delle funzioni celebrali. Diverse spie di emergenza segnalano al pilota la necessità di moderare l'effetto; quando l'accelerazione centripeta raggiunge 2g/3g il pilota ha la sensazione di pesantezza. Attorno a 4g si perde la percezione dei colori e si stringe il campo visivo come in una galleria. Se l'accelerazione persiste o aumenta, la visione cessa e subito dopo il pilota perde conoscenza, una condizione nota con il termine inglese g-loc (g-induced loss of consciousness). Qual'è l'accelerazione centripeta, in unita g, cui è sottoposta un pilota di F-22 che vola alla velocità di 694 m/s percorrendo un arco di cerchio con raggio di curvatura r = 5.80 Km? Dati del problema v = 694 m/s r = 5.80 Km

10 Soluzione a c = v2 r s)2 =(694m/ =83.0 m/ s2 5800m Con questo valore, il pilota cadrebbe quasi istantaneamente in condizioni di g-loc senza dare il tempo alle spie di avvertirlo. Esercizio 3 Supponendo che l'orbita del moto di rivoluzione terrestre attorno al Sole sia una circonferenza, determinare la velocità e l'accelerazione della Terra. Esercizio 4 Qual è l accelerazione centripeta dovuta alla rotazione della Terra per un oggetto che si trova sull equatore? Dati del problema Raggio della Terra = m periodo di rotazione: 1 giorno = 86400s a c = v2 R =4 π2 R T 2 = m/s 2 Moto Uniformemente Accelerato v=v 0 +a t velocità in funzione del tempo )=v 0 t a t 2 posizione in funzione del tempo v 2 =v a ( x x 0 ) velocità in funzione di posizione )= 1 2 (v 0+v) t posizione in funzione di tempo e velocità (I)

11 )=v t 1 2 a t2 posizione in funzione di tempo e velocità (II) Moto Rettilineo Uniforme Δ x=v Δ t ; Δ t= Δ x v ; v= Δ x Δ t Moto dei Proiettili Definizione: consideriamo ora una particella che si muove in due dimensioni, in caduta libera, con velocita iniziale v0 e accelerazione di gravita g costante diretta verso il basso. Alle particelle in queste condizioni viene dato il nome di proiettili (vedi Fig. 2). Tali possono essere una palla da golf o da tennis, o qualsiasi altro oggetto in caduta libera, ma non possono esserlo un aereoplano o un uccello in volo. Nei problemi trattati, la resistenza dell'aria è trascurabile. v 0, x =v 0 cos(θ 0 ) v 0, y =v 0 sin (θ 0 ) R= v 2 0 g sin(2θ ) 0 Fig. 2 Traiettoria di un proiettile. Crediti: Holliday, Resnick e Walker, Fondamenti di Fisica - sesta edizione. g x 2 y=(tan θ 0 ) x traiettoria parabolica (y = ax+bx 2 ) 2(v 0 cosθ 0 ) 2

12 Nel moto del proiettile il moto orizzontale e il moto verticale sono indipendenti l'uno dall'altro; come dire che nessuno dei due influenza l'altro. Questa circostanza ci consente di scindere il problema di un moto in due dimensioni in due distinti e più semplici moti unidimensionali, uno di moto orizzontale (con accellerazione nulla) e l'altro di moto verticale (con accelerazione costante diretta verso il basso). Due palle da golf La figura 3 è una fotografia stroboscopica di due palle da golf, una lasciata cadere da ferma, l'altra sparata orizzontalmente da una molla. Il loro moto verticale è identico, visto che ciascuna copre la stessa distanza verticale nello stesso intervallo di tempo. Il fatto che una delle due si muova orizzontalmente mentre l'altra cade non ha alcun effetto sul suo moto verticale. Il moto verticale è indipendente da quello orizzontale. Palla di colore rosso in caduta libera. Palla di colore giallo lanciata orizzontalmente. Fig. 3 Unal palla è lasciata cadere da ferma nello stesso istante in cui un'altra è sparata orizzontalmente verso destra. I loro moti verticali sono identici. Crediti: Holliday, Resnick e Walker, Fondamenti di Fisica - sesta edizione. Moto Orizzontale Dal momento che l'accelerazione in direzione orizzontale è nulla, la componente orizzontale vx della velocità rimane invariata e pari a vox durante tutto il moto. Lo spostamento orizzontale (x-x0) dalla posizione iniziale x0 è determinato in ogni istante t nelle equazioni del moto uniformemente accelerato, ponendo a = 0

13 )=v 0 t a t 2 v 0, x =v 0 cos(θ 0 ) )=(v 0 cos(θ o )) t Moto verticale Il moto verticale è quello che di una particella in caduta libera. La caratteristica importante è che l'accelerazione è costante; )=v 0 t a t 2 ( y y 0 )=v 0y t 1 2 g t 2 v 0, y =v 0 sin (θ 0 ) Altre formule per il moto dei proiettili ( y y 0 )=(v 0 sin (θ 0 )) t 1 2 g t2 v y =v 0 sin θ 0 g t v y 2 =(v 0 sin θ 0 ) 2 2g ( y y 0 ) Esercizio 1 Un aereo da soccorso vola a 198 km/h (=55 m/s) alla quota costante di 500 m verso un punto posto sulla verticale di una persona che si dibatte in mare. Il pilota vuole sganciare la capsula salvagente in modo che cada in acqua molto vicina al naufrago. a) sotto quale angolo visuale il pilota dovrebbe sganciare la capsula salvagente? ϕ=arctan x y Esercizio 2 Un pallone viene lanciato con un angolo α = 30 dalla sommità di un palazzo alto 20 m, con v0 = 10m/s. Nello stesso istante, da un punto che si trova a 40 m della base del palazzo, un uomo corre per cercare di prendere il pallone quando questo tocca il suolo. Quale deve essere la velocità dell'uomo per prendere il pallone? Note degli autori: gli esercizi sono liberamente tratti (e adattati) da materiali didattici reperibili in rete o nelle varie biblioteche di Ateneo.