Metodi di Ottimizzazione mod. Modelli per la pianificazione delle attività

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1 Metod d Ottmzzazone mod. Modell er la anfcazone delle attvtà Paolo Dett Dartmento d Ingegnera dell Informazone e Scenze Matematche Unverstà d Sena Metod d Ottmzzazone mod. Modell er la anfcazone delle attvtà Il corso ha lo scoo d fornre le tecnche er la formulazone e la soluzone d roblem d ottmzzazone dscreta, con alcazon a roblem d anfcazone temorale d attvtà. htt://www.d.uns.t/~dett/modpanattvtamod2.htm Docent: Paolo Dett, Marco Pranzo Contatt: htt://www.d.uns.t/~dett/ htt://www.d.uns.t/~ranzo/ Oraro d rcevmento su auntamento

2 Programma Introduzone a roblem d schedulng. Problem d Schedulng a macchna sngola. Problem d schedulng a macchne arallele. Flow-sho. Modell d Programmazone Lneare Intera. Metod esatt ed eurstc er l calcolo della soluzone. Rlassamento Lagrangano Defnzone d rogetto. Il roblema del calcolo della durata d un rogetto. Defnzon, modell e metod d soluzone er roblem d Resource Contraned Project Schedulng (RCSP). Metod esatt e arocc eurstc er l RCPSP. Utlzzo d software d ottmzzazone avanzat (CPLEX). Test e materale ddattco Dsense ed esercz: - Aunt su roblem d schedulng - Artcolo sullo schedulng d macchne arallele - Aunt sul Rlassamento Lagrangano - Dsense sulla gestone de rogett - Esercz sulla gestone de rogett - Lucd delle lezon e dsense (dsonbl durante lo svolgmento del corso). Test d arofondmento: Pnedo, M., Schedulng, 1995, Wley. Banco, L., Carama, M., Metod quanttatv er l Project Management, 2006, Hoel.

3 Prova d esame La rova d'esame revede una rova scrtta ed una orale. Al termne del corso, rma dell'aello uffcale, s svolge una rova scrtta che comrende esercz e domande d teora. A seconda del voto conseguto nella rova, essa dà drtto a suerare l'esame o a sostenere un orale "rdotto". Problem d Schedulng Per Problema d Schedulng s ntende un roblema decsonale n cu l fattore temo è vsto come rsorsa (scarsa) da allocare n modo ottmo a determnate attvtà (lavor e/o oerazon).

4 Problem d Schedulng Sono dat: Un nseme d attvtà (lavor, jobs): ognuna costtuta da una o ù oerazon Un nseme d rsorse (macchne, machnes) che devono essere utlzzate er esegure lavor Schedulng delle oerazon Scelta de tem d nzo e fne d ogn oerazone su ogn macchna

5 Un camo d alcazone: Organzzazone della roduzone PRODOTTO che cosa ch ORGANIZZAZIONE PROCESSO come FLUSSO DI PRODUZIONE COORDINAMENTO PIANIFICAZIONE SCHEDULING quando Problem d Schedulng Esem Nell'ndustra meccanca, centr d lavorazone devono effettuare lavorazon (taglo, fresatura, torntura) su var ezz che vengono montat su centr stess. Dverse oerazon rchedono tem dvers, e/o dvers t d utensl, che ossono comortare un certo temo er la rconfgurazone (set-u) delle macchne. Uno de roblem che s consderano n questo ambto consste nel determnare l'ordnamento de ezz su centr n modo da termnare tutte le lavorazon rma ossble.

6 Problem d Schedulng Esem Uno de comt d un sstema oeratvo è quello d dsclnare l'accesso alla CPU de dvers rogramm d calcolo. Cascun rogramma uò avere una certa rortà. L'obettvo tco del sstema oeratvo è quello d gestre l'nseme de rogramm n modo tale da mnmzzare l temo comlessvo d attesa de rogramm, tenendo conto della loro mortanza relatva (converrà rvlegare rogramm a rortà ù elevata). In questa artcolare alcazone, l sstema oeratvo otrà eventualmente decdere d nterromere cert rogramm er consentre l comletamento d altr. Questa modaltà oeratva rende l nome d reemton. Problem d Schedulng Esem In un'offcna d carrozzera, v sono quattro stazon, dedcate rsettvamente a messa n forma, rbatttura, verncatura, essccatura a forno. In cascuna stazone è attvo un oerao, che uò lavorare su una sola autovettura alla volta. In una data gornata d lavoro, devono essere rarate un certo numero d autovetture, cascuna delle qual rchede l servzo da arte d alcune stazon, n un dato ordne (ad esemo non s uò rverncare la carrozzera rma d avere aggustato le art danneggate). Il roblema consste nel gestre le vare oerazon n modo da termnare tutte le lavorazon nel mnor temo ossble.

7 Classfcazone de roblem d schedulng Caratterzzazone delle rsorse (macchne) e dell ambente roduttvo: macchna sngola macchne arallele! dentche! scorrelate! unform Flow sho Job sho Macchna sngola LAVORI M

8 Macchne arallele M 1 LAVORI M 2 M 3 Macchne arallele

9 Macchne n lnea (Flow sho) LAVORI M 1 M 2 M m Esemo M 1 M 2 IN OUT

10 Esemo M 1 M 2 IN OUT Job sho LAVORI M 1 M 2 M 3

11 Job sho Classfcazone de roblem d schedulng Caratterzzazone de lavor: temo d rocessamento j ( hj se dende dalla macchna h su cu è eseguto) data d consegna (duedate o deadlne) d j data d rlasco (release date) r j eso del lavoro (rortà) w j

12 Classfcazone de roblem d schedulng Altre caratterstche: Temo d set-u tra due lavor s j (ad es. er la rconfgurazone delle macchne) Preemton. In cert cas è consentto nterromere un job er ermettere l'esecuzone d un lavoro ù urgente. Il roblema n questo caso s dce reemtve. Vncol d recedenza. In molt cas esstono vncol d recedenza tra tas d un job (come accade ne cas del flow sho o del job sho), o tra dvers job. Schedulng delle oerazon Consderamo: 3 lavor e 3 macchne. Ogn lavoro è costtuto da una sequenza d oerazon. Obettvo: Termnare tutt lavor nel mnor temo ossble. Job Sequenza delle oerazon oerazone(macchna, temo) J 1 (M 1,10) (M 2,5) (M 3,6) J 2 (M 2,5) (M 1,8) - J 3 (M 1,2) (M 3,10) (M 2,4)

13 Dagramma d Gantt Job Sequenza Oerazon J 1 (M 1,10) (M 2,5) (M 3,6) J 2 (M 2,5) (M 1,8) - J 3 (M 1,2) (M 3,10) (M 2,4) M M M Dagramma d Gantt Job Sequenza Oerazon J 1 (M 1,10) (M 2,5) (M 3,6) J 2 (M 2,5) (M 1,8) - J 3 (M 1,2) (M 3,10) (M 2,4) M M M

14 Msure d restazone su lavor Dato l lavoro con release date e duedate: temo d comletamento del lavoro C temo d attraversamento F C r Lateness L C d Tardness T max{ 0, C d } Earlness E max{ 0, d C } Lavor n rtardo U 1 se C > d U 0 se C d Lateness (Rtardo) L (C ) Rtardo del lavoro : L C -d L > 0 C - d L < 0 antco d rtardo C d : temo d consegna (duedate) er l lavoro

15 Msure d restazone del sstema somma de tem d comletamento (esata): Σ (w ) C flow tme totale (esato): Σ (w )F massma Lateness: L max max L massma Tardness: T max max T Tardness totale (esata): Σ (w ) T maesan: C max max C numero d lavor n rtardo Σ U Msure d restazone Equvalenza tra msure n 1 L n 1 C n 1 d n 1 F n ( r ) d 1

16 Msure d restazone Una sol. che mnmzza L max mnmzza anche T max (ma, n generale, non è vero l vceversa): T max max max max{ T1,..., Tn,0} { max{ L1,0 },...,max{ Ln,0 } { L,..., L,0} max{ L,0} 1 n max Notazone a tre cam Nella descrzone de roblem d schedulng s utlzza una notazone sntetca a tre cam: a b c a: dentfca l sstema d macchne (1macchna sngola, Pmacchne arallele dentche, Fflow sho, JJob sho). b: le eventual caratterstche artcolar (reemton, r release date, d due date, recrecedenze). c: la funzone obettvo del sstema.

17 Notazone a tre cam 1 rec C P C max F reemton w T Schedulng su sngola macchna Problema: un nseme d n lavor devono essere esegut da una macchna Iotes: tutt lavor sono dsonbl dall nzo (r 0); ogn lavoro uò avere un eso w Obettvo: mnmzzare la somma (esata) de tem d com. Σ (w )C

18 Schedulng su sngola macchna (caso w 0) Descrzone del roblema Un nseme d n lavor deve essere eseguto su una macchna Dat I tem d rocessamento, 1,,n, del lavoro sulla macchna sono not. Obettvo Sequenzare lavor sulla macchna n modo da mnmzzare la somma de tem d comletamento. mn Σ C Gantt del Sequenzamento Sequenza S n o 1 o2 o 3 C 1 C 2 C 3 o4 C 4 o n C n temo C n Σ : temo d comletamento totale (maesan) Obettvo del sstema: mn Σ C

19 Algortmo d soluzone n S o 1 C 1 o2 o 3 C 2 C 3 o4 C 4 o n C n temo Suonamo che 2 < 1 Algortmo d soluzone n S o 1 C 1 o2 o 3 C 2 C 3 o4 C 4 o n C n temo se 2 < 1 allora scambando le o. 1 e 2 s ha C 2 < C 1 e C 1 C 2 C 2 C 1 < C 2 C n S o 2 C 2 o1 1 3 o 3 o 4 C 1 C 3 C 4 o n C n temo

20 Algortmo d soluzone: Regola SPT (shortest rocessng tme frst) SPT: sequenza rma lavor che hanno temo d esecuzone ù ccolo La regola SPT consente d mnmzzare la somma de tem d comletamento Σ C d n lavor su una macchna e qund d rsolvere all ottmo l roblema 1 C Algortmo d soluzone: Regola SPT (shortest rocessng tme frst) SPT: sequenza rma lavor che hanno temo d esecuzone ù ccolo Comlesstà dell algortmo (er n lavor): O( nlogn)

21 Esemo Lavor Sequenza ottma (5, 4, 1, 3, 2) Schedulng su sngola macchna (caso w non null ) Descrzone del roblema Un nseme d n lavor devono essere esegut su una macchna Dat I tem d rocessamento, 1,,n, del lavoro sulla macchna sono not. Peso w, 1,,n, assocato ad ogn lavoro. Obettvo Sequenzare lavor sulla macchna n modo da mnmzzare: mn Σ w C

22 Algortmo d soluzone: Regola WSPT (weghted shortest rocessng tme) WSPT: sequenza rma lavor che hanno l ù ccolo raorto: w Consente d mnmzzare la somma esata de tem d comletamento Σw C Comlesstà dell algortmo (er n lavor): O( nlogn) Dmostrazone dell ottmaltà della regola WSPT Sa / w > / w consderamo due cas: 1. Il lavoro è sequenzato subto doo C f. ob. A B ( w B w w e C ( A A ) A w ) w w ( A w ) D D J J S A C C

23 Dmostrazone dell ottmaltà della regola WSPT 2. Il lavoro è sequenzato subto doo C' f. ob. B ( w A B w w e C' ( A ) A w A ) w w ( A w ) D J J S A C C C Dmostrazone dell ottmaltà della regola WSPT J J S A C C J J S A C C C

24 Sa / w > / w consderamo due cas: 1. Il lavoro è sequenzato subto doo Dmostrazone dell ottmaltà della regola WSPT D w w w A w w B D A w A w B ob f A C A C ) ( ) ( ) (.. e 2. Il lavoro è sequenzato subto doo D w w w A w w B A w A w B ob f A C A C ) ( ) ( ) (.. ' e ' Se / w > / w allora w > w.(2)..(1). 0.(2)..(1). ob f ob f w w ob f ob f > > Dmostrazone dell ottmaltà della regola WSPT

25 Esemo Lavor w /w Sequenza ottma (4, 5, 1, 2, 3) Schedulng su sngola macchna Problema: un nseme d n lavor devono essere esegut da una macchna Iotes: tutt lavor sono dsonbl dall nzo (r 0) ad ogn lavoro è assegnata una data d consegna d Obettvo: mnmzzare la massma Lateness mn L max

26 Lateness (Rtardo) Rtardo del lavoro r : L r C r -d r L r (C r ) L r > 0 C r - d r L r < 0 antco d r rtardo C r d r : temo d consegna (due date) dovuto er l lavoro r Obettvo: mnmo rtardo massmo (mn L max ) L j L C d j d C j d C L L max max r L r

27 Regola EDD (Earlest due date) EDD: sequenza lavor n ordne d due date non decrescente Consente d mnmzzare l massmo rtardo (lateness) mn L max EDD mn max {L } J J S C d C d > d S J J d C d C C

28 Regola EDD S : J J d C d C C d > d C C C < C max (L, L ) max (C d, C - d ) C - d C - d max (C - d, C - d ) max (L, L ) Regola EDD Dat lavor j 1...j n S hanno le seguent date d consegna: d 1 d 2 d 3 d 4 d n

29 Regola EDD j 1 j 2 j 3 j 4 j n d 1 d 2 d 3 d 4 d n s sequenzano lavor nello stesso ordne delle due date Esemo Lavor d Sequenza ottma (2, 3, 4, 1, 5)

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