The pillars of mathematical analysis. The elementary functions (I pilastri dell analisi matematica. Le funzioni elementari) è presente su

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2 The pillars of mathematical analysis. The elementary functions (I pilastri dell analisi matematica. Le funzioni elementari) è presente su Zentralblatt MATH, il suo codice identificativo è Zbl ed è classificato appartenente ai seguenti MSC: A09 97I20.

3 Giuseppina Anatriello I pilastri dell analisi matematica Le funzioni elementari

4 Copyright MMXV Aracne editrice int.le S.r.l. via Quarto Negroni, Ariccia (RM) (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: agosto 2015

5 Indice Prefazione 7 1 Le funzioni elementari Grafici funzioni elementari Funzione potenza ad esponente reale Funzione esponenziale Funzione logaritmo Altre funzioni Il limite Limiti delle funzioni elementari Proprietà funzione potenza esponente reale e limiti Propietà funzioni esponenziale e limiti Proprietà funzioni logaritmo e limiti Definizione di limite di funzioni monotone Limiti funzioni monotone in punti interni Continuità in un punto Teorema sui limiti delle funzioni composte di funzioni monotone Limiti funzioni potenza ad esponente naturale e radice Limiti delle funzioni trigonometriche Operazioni tra limiti Definizione di limite in termini di intorni La struttura di ˆR Teorema delle operazioni tra limiti Teorema sui limiti delle funzioni composte anche mediante operazioni

6 6 Indice 8 INDICE 3 Ordini di infinito e di infinitesimo Infiniti e infinitesimi e le f. elementari Infiniti Infinitesimi Principi di eliminazione Principio di eliminazione sugli ordini di infinito Principio di eliminazione sugli ordini d infinitesimo Limiti notevoli Limite notevole funzioni potenza Limite notevole funzioni logaritmo Limite notevole funzioni esponenziale Limite notevole funzione seno Limite notevole funzione coseno Linearizzazione del grafico Linearizzazione delle funzioni elementari Retta tangente al grafico Differenziabilità Derivata Approssimazioni di ordine superiore Teorema di de l Hôpital Formula di Taylor... 84

7 Prefazione Questo volume è un estratto del volume Fondamenti di Analisi Matematica: dalle funzioni elementari al calcolo differenziale, (Aracne, 2014). In questa trattazione si propone un originale percorso attraverso il quale classici concetti del Calcolo vengono fatti risalire a proprietà individuabili nelle funzioni elementari. Napoli, Aprile 2015 Giuseppina Anatriello 5 7

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9 Capitolo 1 Le funzioni elementari Daremo per note la definizione dell espressione potenza a b nel campo numerico dei reali e le dimostrazioni di tutte le proprietà algebriche delle potenze( 1 ). Attraverso le funzioni potenza ad esponente reale, esponenziale e logaritmo (che chiameremo funzioni elementari) le proprietà algebriche delle potenze danno luogo a proprietà che sono leggibili su rappresentazioni grafiche nel piano cartesiano euclideo. Assumeremo date le rappresentazioni grafiche che utilizzeremo, con le loro convenzioni classiche. Esse sono provenienti da un opportuna trattazione algebrico geometrica, su cui non ci soffermeremo, deducibile dal lavoro svolto in [1] ma che conduce comunque alle comuni convenzioni in uso. 1 Ricordiamo, per comodità del lettore, le proprietà algebriche delle potenze più importanti: 1. k α k β = α+β ; 2. k α : k β = k α β ; 3. (k α ) β = k α β. Aggiungiamo che, volendo dare significato all esponente 0, l unica posizione ammissibile è: a 0 =1. 9 9

10 10 I pilastri dell'analisi matematica 10 CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI 1.1 Proprietà algebriche delle funzioni elementari nei grafici Cominciamo a sottolineare che: 1. le proprietà algebriche delle potenze fanno sì che le rappresentazioni grafiche delle funzioni elementari si presentino come deformazioni di linee rette (rappresentate sull asse x) in curve. 2. l insieme di definizione di ogni funzione elementare induce sull insieme rappresentativo del grafico nel piano cartesiano un ordinamento rispetto a cui il grafico è un insieme continuo secondo il significato geometrico che questo termine ha riferito alla retta. Questa proprietà prenderà il nome di continuità (globale) della funzione e troverà una sua espressione analitica attraverso un percorso che svilupperemo. La prima classe di funzioni che andremo a trattare sono le funzioni potenza ad esponente reale( 2.) Funzione potenza ad esponente reale La funzione f(x) = x α, con α R, è detta funzione potenza di esponente α. Nella figura che segue sono rappresentati a sinistra i grafici tipo di una funzione potenza con esponente reale positivo, nei casi esponente maggiore e esponente minore di 1, a destra è rappresentato un grafico tipo del grafico di una funzione potenza con esponente reale negativo. 2 Ricordiamo che algebricamente la definizione di potenza ad esponente reale viene data a partire da quella di potenza naturale.

11 i. Le funzioni elementari GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI 11 Sulle rappresentazioni grafiche si legge che: 1. il dominio è ]0, + [, 2. l insieme delle immagini è ]0, + [ 3. vale la proprietà di continuità, 4. le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente o strettamente decrescente, e quindi ogni funzione appartenente alla classe delle funzioni potenza è invertibile. Dalle proprietà delle potenze si desume che l inversa di x α è x 1/α. Al grafico di ciascuna delle funzioni appartiene il punto di coordinate (1, 1), poiché 1 α =1, ovvero: (1, 1) G x α, α R. Funzione potenza ad esponente reale positivo Nella figura che segue a sinistra è rappresentato un grafico tipo di una funzione potenza con esponente maggiore 1 e a destra un grafico tipo di una funzione potenza con esponente compreso tra 0 e 1.

12 12 I pilastri dell'analisi matematica 12 CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI Dai grafici si evince che l ordinamento delle ascisse è sempre lo stesso di quello delle ordinate; questa proprietà, che è soddisfatta da ogni funzione x α, con α>0, è detta di monotonia di tipo strettamente crescente. Abitualmente si pone 0 α =0, per cui si può considerare (0, 0) G x α e in tal caso diventa: x α : [0, + [ [0, + [. Figura 1.1: Grafico funzione x α, con 0 <α<1 Nella rappresentazione grafica della funzione potenza con esponente contro tra 0 e 1 (vedi figura 1.1) si può leggere la proprietà: x α > x, se 0 <x<1( 3 ). 3 Infatti la rappresentazione grafica della funzione si trova al di sopra della bisettrice per gli x<1 e la bisettrice è formata da punti che hanno per coordinate

13 i. Le funzioni elementari GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI 13 Sempre dallo stesso grafico si legge: x α < x, se x>1( 4 ). Figura 1.2: Grafico funzione x α, con α>1 Nel rappresentazione grafica della funzione potenza x α per α>1 (vedi figura 1.2) si può leggere la proprietà: Inoltre si legge sullo stesso grafico: x α < x, se 0 <x<1( 5 ). x α > x, se x>1( 6 ). In generale, considerate due funzioni potenza x α e x β, con α>β>0, si ha 1. x α <x β, se x<1, 2. x α >x β, se x>1. le coppie (x, x) e il grafico della funzione x α dalle coppie (x, x α ). 4 Infatti il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice per gli x>1. 5 Infatti per gli x<1 il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice. 6 Infatti il grafico della funzione si trova al di sopra della bisettrice per gli x>1.

14 14 I pilastri dell'analisi matematica 14 CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI La proprietà si possono leggere nel piano cartesiano (vedi grafici nella figura seguente), Notiamo che in tutti i casi per esponente γ>δ>0 il grafico x γ si trova al di sotto del grafico di x δ prima del punto di intersezione (1, 1) e al di sopra dello stesso dopo (1, 1), quindi i due grafici invertono la posizione reciproca in corrispondenza del punto (1, 1). Funzione potenza ad esponente reale negativo Per α<0 la rappresentazione del grafico della funzione è del tipo rappresentato nella figura seguente( 7 ): Se α< 1 si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportato a sinistra nella figura precedente, se 1 < α < 0 si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportato a destra. 7 Ricordiamo che vale la seguente relazione x α = ( 1 x) α.

15 i. Le funzioni elementari GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI 15 Come si osserva dalle rappresentazioni grafiche, le funzioni esaminate sono definite in ]0, + [ e l insieme delle immagini è ]0, + [, quindi: x α : ]0, + [ ]0, + [ Inoltre, le funzioni soddisfano la proprietà che l ordinamento delle ordinate di punti del grafico è l opposto di quello delle relative ascisse. Questa proprietà prende il nome di monotonia di tipo strettamente decrescente. Considerate ora due funzioni potenza x α e x β, se 0 >α>βrisulta: 1. x α <x β per x<1 2. x α >x β per x>1 Di seguito è rappresentata la reciproca posizione dei grafici di due funzioni potenza ad esponente reale negativo a sinistra con β<α< 1 a destra con 1 <β<α< Funzione esponenziale La funzione f(x) =a x, con a = 1e a>0, è detta funzione esponenziale di base a. Nella figura seguente a sinistra è rappresentato un grafico tipo di una funzione esponenziale con base a maggiore di 1 a destra è rappresentato un grafico tipo di una funzione esponenziale con base a, con 0 <a<1.

16 16 I pilastri dell'analisi matematica 16 CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI Sulle rappresentazioni grafiche si legge che: 1. il dominio è ], + [, 2. l insieme delle immagini è ]0, + [, 3. vale la proprietà di continuità, 4. le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente per a>1 e strettamente decrescente per 0 <a<1, e quindi ogni funzione appartenente alla classe delle funzioni esponenziale è invertibile. La funzione inversa di a x si denota con log a x e si chiama logaritmo in base a. Notiamo che da a 0 =1( 8 ) segue: (0, 1) G a x a R + {1}. Sottolineiamo che per una proprietà delle potenze il grafico di una funzione esponenziale a x è simmetrico rispetto all asse delle y al grafico della funzione esponenziale con base reciproca (1/a) x, ovvero i grafici di due funzioni esponenziali con base reciproca, a x e (1/a) x, sono sempre simmetrici rispetto all asse delle ordinate. Infatti: 8 Ora si comprende anche che la scelta a 0 è l unica che rende il grafico della funzione esponenziale un continuo.

17 i. Le funzioni elementari GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI 17 per la proprietà delle potenze (a b ) c =(a c ) b = a bc, si ha: ( ) x 1 a x =(a x ) 1 =(a 1 ) x = a Osserviamo poi esplicitamente che: se a>1, allora 0 < 1/a < 1, mentre se 0 <a<1 allora 1/a > 1. Di seguito sono rappresentate a sinistra la reciproca posizione dei grafici di una funzioni esponenziale con base a, con a>1, e la retta y =1,a destra la reciproca posizione dei grafici di una funzione esponenziale con base a, con 0 <a<1, e la retta y =1. Considerate ora le funzioni esponenziali a x e b x, se b>a>1 risulta: quando x>0, b x >a x ; quando x<0, b x <a x. Considerate le funzioni esponenziali a x e b x, se 1 >a>brisulta: quando x>0, a x <b x ; quando x<0, a x >b x. Le proprietà algebriche scritte sopra si leggono sui grafici. Di seguito sono rappresentate a sinistra la reciproca posizione dei grafici di due funzioni esponenziali con basi maggiori di 1 e a < b, a destra la reciproca posizione dei grafici di due funzioni esponenziali con basi minori di 1 con a>b

18 18 I pilastri dell'analisi matematica 18 CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI Funzione logaritmo Abbiamo in precedenza osservato che una funzione esponenziale a x è invertibile e che la sua funzione inversa viene chiamata funzione logaritmo di base a e si denota con il simbolo log a x( 9 ). Risulta quindi: a log a x = x, x ]0, + [ e log a (a x )=x, x R I grafici di una funzione logaritmo sono ricavabili dalla funzione di cui rappresentano l inversa per simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Nella figura seguente a sinistra è rappresentato 9 Per ovvi motivi la base a di un logaritmo è un numero reale positivo diverso da 1, come lo è la base di un esponenziale. Le proprietà algebriche dei logaritmi si ricavano da quelle delle potenze e sono: log a (bc) = log a b + log a c con b c R + log a (b/c) = log a b log a c con b c R + log a b K = K log a b con K R log a b log a 1 = 0 = 1/ log b a Inoltre vale la seguente formula per il cambiamento della base: log a b = log c b log c a con c R + {1} Osservazione 1.1. Volendo conoscere tra quali interi è compreso il logaritmo di un numero si procede come nell esempio log 2 5: 2 2 < 5 < 2 3 quindi 2 < log 2 5 < 3

19 i. Le funzioni elementari GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI 19 un grafico tipo di una funzione logaritmo con base a maggiore di 1 a destra è rappresentato un grafico tipo di una funzione logaritmo con base a con 0 <a<1. Sulle rappresentazioni grafiche si legge che: 1. il dominio è ]0, + [; 2. l insieme delle immagini è ], + [; 3. vale la proprietà di continuità; 4. le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente se a<1 o strettamente decrescente se 0 <a<1. Notiamo che essendo: (0, 1) G a x a R + {1} risulta (1, 0) G loga x a R + {1}. Una funzione log a x, con 0 <a<1, interseca in un unico punto la bisettrice del primo quadrante, ovvero: a R + \{1} / 0 <a<1,! x R + / log a x = x.

20 20 I pilastri dell'analisi matematica 20 CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI Figura 1.3: Confronto grafici funzioni logaritmo con basi maggiori di Altre funzioni Funzione potenza ad esponente naturale Nella figura seguente a sinistra è rappresentato un grafico tipo di una funzione potenza f(x) =x n, con esponente naturale pari n, a destra è rappresentato un grafico tipo di una funzione potenza f(x) =x n, con esponente naturale dispari n. Ricordiamo che x n rappresenta il prodotto n fattori uguali ad x e quindi l espressione ha senso per una qualsiasi base x reale, e infatti sulla rappresentazione grafica si legge che il dominio della funzione è R =], + [. Per n pari: I due rami del grafico della funzione sono simmetrici rispetto all asse delle ordinate, quindi la funzione è pari. Infatti, per n pari, per la