Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

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1 Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale di in una qualsiasi legge che faccia corrispondere ad ogni elemento uno e un solo elemento Per indicare che è una funzione di in si scrive o anche. Notazioni e terminologia: Immagine di x: E l elemento associato a tramite la funzione. Controimmagine di y: E l elemento che ha come immagine, tramite la funzione, l elemento. E l insieme, detto anche insieme di definizione della funzione. Se non è meglio specificato il Dominio coincide con il più grande insieme di numeri reali per i quali la scrittura ha senso (ossia coincide con il Campo di esistenza della funzione) E l insieme costituito da tutte le immagini di tramite Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Proprietà specifiche di alcune funzioni Definizione di Funzione Suriettiva: Si dice che una funzione è suriettiva quando ogni elemento di è immagine di almeno un elemento di Esempio) La funzione non è suriettiva su tutto, poiché i numeri negativi non sono immagine di alcun numero reale. Definizione di Funzione Iniettiva: Si dice che una funzione è iniettiva se fa corrispondere, ad elementi distinti di elementi distinti di. La funzione iniettiva gode dunque della seguente proprietà: per ogni coppia di elementi e di da segue (o in modo analogo per ogni coppia di elementi e di da segue.) Esempio) La funzione non è iniettiva su tutto, poiché numeri opposti hanno la medesima immagine. 1

2 Definizione di Funzione Biiettiva: Si dice che una funzione e suriettiva. è biiettiva se è, allo stesso tempo, una funzione iniettiva Esempio) La funzione, e in generale tutte le funzioni lineari, sono biiettive. Esercizio) Stabilire se le seguenti funzioni sono iniettive, suriettive, biiettive. Definizione di Funzione Inversa: Sia una funzione iniettiva. Si dice funzione inversa la funzione Esempio) La funzione ammette come funzione inversa. Esempio) La funzione ammette come funzione inversa in. Esercizio) Stabilire se le seguenti funzioni sono invertibili e scrivere una formula esplicita per le funzioni inverse, se esistono, specificando il loro dominio. Definizione di Funzione Limitata: Si dice che una funzione è limitata superiormente (o inferiormente) in se esiste tale che (o Una funzione è detta limitata se è limitata superiormente e inferiormente. Si può osservare che la funzione è limitata se e solo se lo è l insieme costituito dalle sue immagini ossia se tale insieme ammette estremo superiore e inferiore. Esempio) Per l insieme si ha e Esempio) Per l insieme si ha e N.B. L estremo inferiore e/o superiore di un insieme non è necessariamente un elemento di tale insieme. Nel caso in cui inf (o il sup) appartenga all insieme allora va a coincidere con il minimo globale (o il massimo globale). Esercizio) Determinare se le seguenti funzione sono limitate (inferiormente e/o superiormente) nell insieme indicato. 2

3 Definizione di Funzioni Pari, Dispari, Periodica: Una funzione si dice: pari se risulta: ; dispari se risulta: periodica se esiste tale che Esempio) La funzione è pari su tutto ; la funzione è dispari su tutto la funzione è periodica di periodo. Osservazioni) Il grafico sul piano cartesiano di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine; il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse delle ordinate. Definizione di Funzioni Monotone: Sia una funzione definita su un insieme che contenga almeno due punti. Quando per ogni coppia di punti e di risulta: la funzione si dice crescente in ; la funzione si dice decrescente in ; la funzione si dice non decrescente in ; la funzione si dice non crescente in ; Grafici di funzioni elementari Funzione costante: retta parallela all asse x ) ( equazione di una Andamento: E monotona non crescente e monotona non decrescente Proprietà: Non è iniettiva, né suriettiva Simmetrie: E pari 3

4 Funzione lineare: ( equazione di una retta, con a coefficiente angolare e b ordinata del punto di intersezione con l asse y ) Proprietà: E biiettiva Simmetrie: E dispari solo se non è mai pari Andamento: E monotona crescente. Proprietà: E biiettiva Simmetrie: E dispari solo se non è mai pari Andamento: E monotona decrescente. Funzione quadratica: ( equazione di una parabola con asse parallelo all asse y, c rappresenta l ordinata del punto di intersezione della parabola con l asse y) (concavità verso l alto) (concavità verso il basso) Vertice: Proprietà: Né iniettiva, né suriettiva Simmetrie: E pari solo se non è mai dispari Andamento: E decrescente per è crescente per è punto di ordinata minima Vertice: Proprietà: Né iniettiva, né suriettiva Simmetrie: E pari solo se non è mai dispari Andamento: E crescente per è decrescente per è punto di ordinata massima 4

5 Funzione di proporzionalità inversa: ( equazione dell iperbole equilatera ) Proprietà: E biiettiva ( come funzione da in Proprietà: E biiettiva ( come funzione da in Simmetrie: E dispari Simmetrie: E dispari Andamento: E decrescente Andamento: E crescente Funzione omografica: con ( equazione di una iperbole con gli assi paralleli agli assi cartesiani ) Proprietà: E biiettiva ( come funzione da in Simmetrie: E simmetrica rispetto al punto Andamento: E monotona crescente o decrescente 5

6 Funzione esponenziale: Proprietà: E biiettiva (come funzione da in Proprietà: E biiettiva (come funzione da in Simmetrie: Non è pari né dispari Simmetrie: Non è pari né dispari Andamento: E monotona crescente Andamento: E monotona decrescente Funzione logaritmica: Def. Si chiama logaritmo in base di, con e, l esponente che si deve dare alla base per ottenere l argomento. (ossia Proprietà: E biiettiva (come funzione da in Proprietà: E biiettiva (come funzione da in Simmetrie: Non è pari né dispari Simmetrie: Non è pari né dispari Andamento: E monotona crescente Andamento: E monotona decrescente 6

7 Grafici di funzioni deducibili da funzioni elementari Traslazione di un grafico parallelamente all asse x: Il grafico della funzione si ottiene traslando di un segmento di lunghezza il grafico di : verso l alto se verso il basso se Traslazione di un grafico parallelamente all asse y: Il grafico della funzione si ottiene traslando di un segmento di lunghezza il grafico di : verso sinistra se verso destra se 7

8 Simmetria di un grafico rispetto all asse y: Il grafico della funzione si ottiene simmetrizzando il grafico di rispetto all asse delle x. 8

9 Simmetria di un grafico rispetto all asse y: Il grafico della funzione si ottiene simmetrizzando il grafico di rispetto all asse delle y. Valore assoluto ( o modulo) di una funzione: Il grafico della funzione si ottiene tracciando il grafico della funzione e quindi simmetrizzando rispetto all asse delle x solo le parti di grafico che si trovano al di sotto dell asse delle x. 9

10 Valore assoluto ( o modulo) dell incognita di una funzione: Il grafico della funzione si ottiene tracciando il grafico della funzione nel semipiano delle x positive e simmetrizzando tale grafico rispetto all asse y per ottenere il grafico nel semipiano delle x negative. Dilatazione di un grafico parallelamente all asse x: Il grafico della funzione si ottiene dal grafico di contraendolo o dilatandolo (a seconda che parallelamente all asse x. sia maggiore di 1 o compreso tra 0 e 1) nel rapporto 1 a 10

11 Dilatazione di un grafico parallelamente all asse y: Il grafico della funzione si ottiene dal grafico di dilatandolo o contraendolo (a seconda che sia maggiore di 1 o compreso tra 0 e 1) nel rapporto 1 a parallelamente all asse y. Esercizi: Rappresentare i grafici delle seguenti funzioni elementari o da esse deducibili. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. Partendo dal grafico della funzione a. b. c. d. e. tracciare i grafici delle seguenti funzioni: 11

12 Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su Lezione 2: Introduzione allo studio di funzioni non elementari e da esse non deducibili Passaggi da svolgere: 1. Determinazione e rappresentazione del dominio della funzione; 2. Studio delle simmetrie e dell eventuale periodicità di una funzione; 3. Studio del segno della funzione e sua rappresentazione grafica; 4. Ricerca delle eventuali intersezioni con gli assi cartesiani e loro rappresentazione; 5. Calcolo e rappresentazione dei limiti di una funzione (ricerca degli asintoti orizzontali, obliqui); 6. Individuazione di eventuali punti di discontinuità e loro classificazione (ricerca asintoti verticali); 7. Studio della monotonia della funzione tramite l analisi del segno della derivata prima; 8. Ricerca di massimi e minimi assoluti e relativi; 9. Studio della concavità della funzione tramite l analisi del segno della derivata seconda. 10. Ricerca dei flessi di una funzione. 12

13 1.Determinazione e rappresentazione del dominio della funzione; Per determinare il dominio di una funzione occorre ricordare che: Le operazioni di somma, differenza e prodotto sono sempre possibili; (pertanto le funzioni razionali intere hanno come dominio). La divisione è possibile solo se il divisore è diverso da zero; pertanto le funzioni fratte hanno come dominio tutti i numeri tranne quelli che annullano il denominatore. L operazione di estrazione di radice è sempre possibile se l indice della radice è un numero naturale dispari, mentre se l indice è un numero naturale pari è possibile solo se il radicando è positivo o nullo. Il logaritmo di un numero, con base positiva e diverso da 1, esiste solo quando tale numero è positivo. Riassumendo: Funzione Dominio 2.Studio delle simmetrie; Per lo studio delle simmetrie e della periodicità è sufficiente verificare le relazioni date dalla definizione: Definizione di Funzioni Pari, Dispari, Periodica: Una funzione si dice: pari se risulta: ; dispari se risulta: periodica se esiste tale che 3.Studio del segno; Per lo studio del segno di una funzione bisogna risolvere la disequazione 4. Intersezioni con gli assi cartesiano; Le intersezioni con gli assi, se esistono, si trovano risolvendo i seguenti sistemi: 13

14 Esercizi: Trovare dominio, simmetrie, segno e intersezioni con gli assi delle seguenti funzioni: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. 14

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