INTEGRAZIONE NUMERICA

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1 INTEGRAZIONE NUMERICA ANALISI SPERIMENTALE DEGLI ERRORI Prof. Michele Impedovo 1. Itroduzioe Il lavoro seguete è stato svolto i ua quita classe di liceo scietifico tradizioale. Sia data ua fuzioe ƒ cotiua su u itervallo [a, b]; si cosideri il problema di approssimare l'itegrale defiito b x dx. I := ƒ ( ) a I tre classici metodi di itegrazioe umerica (metodo dei rettagoli, metodo dei trapezi, metodo di Simpso o delle parabole) corrispodoo all'approssimare u arco della curva y=ƒ(x) co fuzioi poliomiali rispettivamete di grado 0 (segmeti paralleli all'asse x), di grado 1 (segmeti o paralleli all'asse y), di grado (archi di parabola). I tre metodi hao i comue il puto di parteza: si divide l'itervallo [a, b] i itervalli di ugual ampiezza x:= b a mediate i puti di suddivisioe a, a+ x, a+ x,, a+ x=b e di cosegueza si approssima I come somma di termii I A 1 +A + +A. Al tedere di all'ifiito tali somme (che chiameremo rispettivamete R, T, P ) covergoo allo stesso limite I. Il problema che ci poiamo è il seguete: l'errore commesso dalle varie approssimazioi E(R, ) := R I E(T, ) := T I E(P, ) := P I varia al variare di ; più precisamete tede a zero al tedere di all'ifiito. Qual è la relazioe che lega E a? Cercheremo sperimetalmete ua risposta, lavorado su u esempio preciso: π 0 ( ) si x dx= 1.. Metodo dei rettagoli Il metodo dei rettagoli cosiste ell'approssimare ciascu A k utilizzado u rettagolo di base x e altezza ƒ(x k ), dove x k appartiee all'itervallo [a+(k 1) x, a+k x]. Possiamo scegliere ad esempio come x k l'estremo destro di ogi itervallo (la letteratura aglosassoe chiama rightbox questo metodo). Allora l'approssimazioe R di I è data da. R := x ƒ ( a+ k x) k = 1

2 L'algoritmo che implemeta tale approssimazioe è il seguete. Per aalizzare sperimetalmete gli errori al variare di compiliamo iazitutto la seguete tabella, scegliedo diversi valori per (4, 8, 1, 16, 0), calcolado le corrispodeti approssimazioi R e gli errori E = R 1. Soo tutte approssimazioi per eccesso, dato che ƒ(x) è crescete. Costruiamo ora il grafico dei puti (, E ). Il rettagolo di visualizzazioe è [0, 0] [0, 0.]. Come si vede gli errori, al crescere di, si dispogoo su ua curva regolare, che a prima vista sembra ua poteza egativa di. Quale? Cerchiamo il miglior fit dei ostri puti co ua fuzioe poteza, cioè ua fuzioe del tipo x A x B. Il fit è covicete. Sperimetalmete abbiamo trovato che l'errore dell'approssimazioe R è circa

3 E = 0.7, cioè è proporzioale a 1/. Se ci fidiamo di questo risultato dobbiamo cocludere che per approssimare la terza cifra decimale di I, cioè affiché sia E < < deve essere almeo > Metodo dei trapezi Il metodo dei trapezi cosiste ell'approssimare ciascu A k utilizzado il trapezio di altezza x e a k 1 x ƒ a+ k x. Allora l'approssimazioe T di I è data da ( ) basi ƒ + ( ) e ( ) x 1 T := ƒ ( a) +ƒ ( b) + ƒ ( a+ k x) k= 1 L'algoritmo è il seguete. Per aalizzare il comportameto degli errori al variare di operiamo el modo già visto, costruedo la tabella e il grafico dei puti (, E ). Il rettagolo di visualizzazioe è [0, 0] [0, 0.014]. Soo tutte approssimazioi per difetto, dato che ƒ(x) ha la cocavità verso il basso. Gli errori sembrao ora schiacciarsi più rapidamete a zero. Come prima, ipotizziamo come fit ua fuzioe poteza, che dovrebbe avere ora u espoete miore.

4 Il fit è covicete. L'errore dell'approssimazioe T è circa 0. E =, cioè è proporzioale a 1/. Sulla base di questo risultato cocludiamo che per approssimare la terza cifra decimale, cioè affiché sia E < < deve essere almeo > Metodo di Simpso (delle parabole) Il metodo delle parabole cosiste ell'approssimare l'arco di curva y=ƒ(x) compreso tra i puti di ascisse a+(k 1) x, a+k x, a+(k+1) x utilizzado l'arco di parabola passate per tali puti. Teorema. L'approssimazioe P di I, co pari, è data da x P := ƒ ( a) +ƒ ( b) + 4 ƒ ( a+ ( k + 1) x) + ƒ ( a+ ( k) x) k= 0 k= 1 Dimostrazioe. Calcoliamo iazitutto l'area S sottesa da ua fuzioe quadratica ell'itervallo [x 0 h, x 0 +h]. Dimostriamo che risulta x + h Ax Bx C dx y = h ( y y 1 + y ), 0 S = ( + + ) x0 h dove y 0 =ƒ(x 0 h), y 1 = ƒ(x 0 ), y = ƒ(x 0 +h). Per semplificare, utilizziamo u sistema di riferimeto i cui x 0 =0. 4

5 Allora h Ax Bx C dx = S = ( + + ) h Ax Bx + + Cx h h = Ah h + Ch = ( Ah + 6C ). Impoedo che la parabola passi per i puti ( h, y 0 ), (0, y 1 ), (h, y ) abbiamo y 0 = Ah Bh+C, y 1 = C, y = Ah +Bh+C da cui y 0 +4y 1 +y = Ah +6C. e quidi h S = ( Ah + 6C ) = h ( y y 1 + y ). Dobbiamo ora sommare tutti i cotributi delle parabole passati per i puti di ordiata y 0, y 1, y, y, y, y 4, y, y 1, y. Risulta duque h S = (( y0 + 4y1+ y) + ( y + 4y+ y4) + + ( y + 4y 1+ y) ) h y + 4 y + y + 4 y + y + + y + 4 y + y = ( ) da cui la tesi. L'algoritmo è il seguete Come prima, costruiamo tabella e grafico dei puti (, E ). Il rettagolo di visualizzazioe è [0, 0] [0, ]. 5

6 Gli errori si schiacciao a zero molto più rapidamete che ei due casi precedeti. Acora, ipotizziamo come fit ua fuzioe poteza. Il fit è covicete. L'errore dell'approssimazioe P è circa 0.05 E =, 4 cioè è proporzioale a 1/ 4. Sulla base di questo risultato cocludiamo che per approssimare la terza cifra decimale, cioè affiché sia E < < deve essere solamete >. 5. Coclusioi Volutamete o soo state svolte cosiderazioi teoriche sulla maggiorazioe dell'errore elle tre approssimazioi. Le aalisi hao portato comuque a risultati che, sotto opportue ipotesi di regolarità della fuzioe ƒ(x), soo corretti (dipedeza da 1/, da 1/, da 1/ 4 ), come si può cotrollare su qualuque testo di Aalisi Numerica. Tuttavia lo scopo dell'attività è stato u altro: sfruttare ambieti diversi (calcolo, programmazioe, grafico, tabella, fittig) per arrivare ad osservare e capire ua regolarità (ua legge, ua fuzioe) che lega due gradezze; i questo caso lega E (la differeza tra l'itegrale e la sua approssimazioe) a (il umero di suddivisioi dell'itervallo [a, b]). Più che l'aalisi degli errori i ua itegrazioe umerica lo scopo vero di tale attività è stato ivitare gli studeti a formulare cogetture sull'esisteza e sulla forma di ua fuzioe. I u certo seso tale attività è didatticamete più produttiva della dimostrazioe dei relativi teoremi: è più covicete: il grafico dei puti (, E ) realizza ua forte esperieza matematica, che spige i modo aturale a descrivere il mutuo comportameto di due gradezze; è più abbordabile: sia dal puto vista teorico (la dimostrazioe dei teoremi o è baale ed è solitamete trascurata ache ei corsi uiversitari) sia dal puto di vista umerico (occorre maggiorare il valore assoluto delle derivate di ordie superiore di ƒ(x), cosa o facile, se o i casi molto semplici). è più geerale: coivolge aspetti cocettuali ed operativi diversi, cerca u risultato aziché assumerlo; i u certo seso è u esempio di attività che vuole adare ella direzioe diametralmete opposta rispetto a quella prescrittiva che tato ha uociuto all'isegameto della matematica. I risultati, per ora, soo cofortati. 6

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