INTEGRAZIONE NUMERICA
|
|
- Lelia Corsi
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 INTEGRAZIONE NUMERICA ANALISI SPERIMENTALE DEGLI ERRORI Prof. Michele Impedovo 1. Itroduzioe Il lavoro seguete è stato svolto i ua quita classe di liceo scietifico tradizioale. Sia data ua fuzioe ƒ cotiua su u itervallo [a, b]; si cosideri il problema di approssimare l'itegrale defiito b x dx. I := ƒ ( ) a I tre classici metodi di itegrazioe umerica (metodo dei rettagoli, metodo dei trapezi, metodo di Simpso o delle parabole) corrispodoo all'approssimare u arco della curva y=ƒ(x) co fuzioi poliomiali rispettivamete di grado 0 (segmeti paralleli all'asse x), di grado 1 (segmeti o paralleli all'asse y), di grado (archi di parabola). I tre metodi hao i comue il puto di parteza: si divide l'itervallo [a, b] i itervalli di ugual ampiezza x:= b a mediate i puti di suddivisioe a, a+ x, a+ x,, a+ x=b e di cosegueza si approssima I come somma di termii I A 1 +A + +A. Al tedere di all'ifiito tali somme (che chiameremo rispettivamete R, T, P ) covergoo allo stesso limite I. Il problema che ci poiamo è il seguete: l'errore commesso dalle varie approssimazioi E(R, ) := R I E(T, ) := T I E(P, ) := P I varia al variare di ; più precisamete tede a zero al tedere di all'ifiito. Qual è la relazioe che lega E a? Cercheremo sperimetalmete ua risposta, lavorado su u esempio preciso: π 0 ( ) si x dx= 1.. Metodo dei rettagoli Il metodo dei rettagoli cosiste ell'approssimare ciascu A k utilizzado u rettagolo di base x e altezza ƒ(x k ), dove x k appartiee all'itervallo [a+(k 1) x, a+k x]. Possiamo scegliere ad esempio come x k l'estremo destro di ogi itervallo (la letteratura aglosassoe chiama rightbox questo metodo). Allora l'approssimazioe R di I è data da. R := x ƒ ( a+ k x) k = 1
2 L'algoritmo che implemeta tale approssimazioe è il seguete. Per aalizzare sperimetalmete gli errori al variare di compiliamo iazitutto la seguete tabella, scegliedo diversi valori per (4, 8, 1, 16, 0), calcolado le corrispodeti approssimazioi R e gli errori E = R 1. Soo tutte approssimazioi per eccesso, dato che ƒ(x) è crescete. Costruiamo ora il grafico dei puti (, E ). Il rettagolo di visualizzazioe è [0, 0] [0, 0.]. Come si vede gli errori, al crescere di, si dispogoo su ua curva regolare, che a prima vista sembra ua poteza egativa di. Quale? Cerchiamo il miglior fit dei ostri puti co ua fuzioe poteza, cioè ua fuzioe del tipo x A x B. Il fit è covicete. Sperimetalmete abbiamo trovato che l'errore dell'approssimazioe R è circa
3 E = 0.7, cioè è proporzioale a 1/. Se ci fidiamo di questo risultato dobbiamo cocludere che per approssimare la terza cifra decimale di I, cioè affiché sia E < < deve essere almeo > Metodo dei trapezi Il metodo dei trapezi cosiste ell'approssimare ciascu A k utilizzado il trapezio di altezza x e a k 1 x ƒ a+ k x. Allora l'approssimazioe T di I è data da ( ) basi ƒ + ( ) e ( ) x 1 T := ƒ ( a) +ƒ ( b) + ƒ ( a+ k x) k= 1 L'algoritmo è il seguete. Per aalizzare il comportameto degli errori al variare di operiamo el modo già visto, costruedo la tabella e il grafico dei puti (, E ). Il rettagolo di visualizzazioe è [0, 0] [0, 0.014]. Soo tutte approssimazioi per difetto, dato che ƒ(x) ha la cocavità verso il basso. Gli errori sembrao ora schiacciarsi più rapidamete a zero. Come prima, ipotizziamo come fit ua fuzioe poteza, che dovrebbe avere ora u espoete miore.
4 Il fit è covicete. L'errore dell'approssimazioe T è circa 0. E =, cioè è proporzioale a 1/. Sulla base di questo risultato cocludiamo che per approssimare la terza cifra decimale, cioè affiché sia E < < deve essere almeo > Metodo di Simpso (delle parabole) Il metodo delle parabole cosiste ell'approssimare l'arco di curva y=ƒ(x) compreso tra i puti di ascisse a+(k 1) x, a+k x, a+(k+1) x utilizzado l'arco di parabola passate per tali puti. Teorema. L'approssimazioe P di I, co pari, è data da x P := ƒ ( a) +ƒ ( b) + 4 ƒ ( a+ ( k + 1) x) + ƒ ( a+ ( k) x) k= 0 k= 1 Dimostrazioe. Calcoliamo iazitutto l'area S sottesa da ua fuzioe quadratica ell'itervallo [x 0 h, x 0 +h]. Dimostriamo che risulta x + h Ax Bx C dx y = h ( y y 1 + y ), 0 S = ( + + ) x0 h dove y 0 =ƒ(x 0 h), y 1 = ƒ(x 0 ), y = ƒ(x 0 +h). Per semplificare, utilizziamo u sistema di riferimeto i cui x 0 =0. 4
5 Allora h Ax Bx C dx = S = ( + + ) h Ax Bx + + Cx h h = Ah h + Ch = ( Ah + 6C ). Impoedo che la parabola passi per i puti ( h, y 0 ), (0, y 1 ), (h, y ) abbiamo y 0 = Ah Bh+C, y 1 = C, y = Ah +Bh+C da cui y 0 +4y 1 +y = Ah +6C. e quidi h S = ( Ah + 6C ) = h ( y y 1 + y ). Dobbiamo ora sommare tutti i cotributi delle parabole passati per i puti di ordiata y 0, y 1, y, y, y, y 4, y, y 1, y. Risulta duque h S = (( y0 + 4y1+ y) + ( y + 4y+ y4) + + ( y + 4y 1+ y) ) h y + 4 y + y + 4 y + y + + y + 4 y + y = ( ) da cui la tesi. L'algoritmo è il seguete Come prima, costruiamo tabella e grafico dei puti (, E ). Il rettagolo di visualizzazioe è [0, 0] [0, ]. 5
6 Gli errori si schiacciao a zero molto più rapidamete che ei due casi precedeti. Acora, ipotizziamo come fit ua fuzioe poteza. Il fit è covicete. L'errore dell'approssimazioe P è circa 0.05 E =, 4 cioè è proporzioale a 1/ 4. Sulla base di questo risultato cocludiamo che per approssimare la terza cifra decimale, cioè affiché sia E < < deve essere solamete >. 5. Coclusioi Volutamete o soo state svolte cosiderazioi teoriche sulla maggiorazioe dell'errore elle tre approssimazioi. Le aalisi hao portato comuque a risultati che, sotto opportue ipotesi di regolarità della fuzioe ƒ(x), soo corretti (dipedeza da 1/, da 1/, da 1/ 4 ), come si può cotrollare su qualuque testo di Aalisi Numerica. Tuttavia lo scopo dell'attività è stato u altro: sfruttare ambieti diversi (calcolo, programmazioe, grafico, tabella, fittig) per arrivare ad osservare e capire ua regolarità (ua legge, ua fuzioe) che lega due gradezze; i questo caso lega E (la differeza tra l'itegrale e la sua approssimazioe) a (il umero di suddivisioi dell'itervallo [a, b]). Più che l'aalisi degli errori i ua itegrazioe umerica lo scopo vero di tale attività è stato ivitare gli studeti a formulare cogetture sull'esisteza e sulla forma di ua fuzioe. I u certo seso tale attività è didatticamete più produttiva della dimostrazioe dei relativi teoremi: è più covicete: il grafico dei puti (, E ) realizza ua forte esperieza matematica, che spige i modo aturale a descrivere il mutuo comportameto di due gradezze; è più abbordabile: sia dal puto vista teorico (la dimostrazioe dei teoremi o è baale ed è solitamete trascurata ache ei corsi uiversitari) sia dal puto di vista umerico (occorre maggiorare il valore assoluto delle derivate di ordie superiore di ƒ(x), cosa o facile, se o i casi molto semplici). è più geerale: coivolge aspetti cocettuali ed operativi diversi, cerca u risultato aziché assumerlo; i u certo seso è u esempio di attività che vuole adare ella direzioe diametralmete opposta rispetto a quella prescrittiva che tato ha uociuto all'isegameto della matematica. I risultati, per ora, soo cofortati. 6
SUCCESSIONI DI FUNZIONI
SUCCESSIONI DI FUNZIONI LUCIA GASTALDI 1. Defiizioi ed esempi Sia I u itervallo coteuto i R, per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R. Il simbolo f } =1 idica ua successioe di fuzioi, cioè l applicazioe
DettagliAnalisi Matematica I modulo Soluzioni prova scritta preliminare n. 1
Aalisi Matematica I modulo Soluzioi prova scritta prelimiare 1 Corso di laurea i Matematica, aa 004-005 9 ovembre 004 1 (a) Calcolare il seguete limite: **A***** Soluzioe Si ha ( + log ) ( + log ) lim
DettagliAnalisi Matematica Soluzioni prova scritta parziale n. 1
Aalisi Matematica Soluzioi prova scritta parziale. 1 Corso di laurea i Fisica, 018-019 3 dicembre 018 1. Dire per quali valori dei parametri α R, β R, α > 0, β > 0 coverge la serie + (!) α β. ( )! =1 Soluzioe.
Dettagli1. Converge. La serie è a segno alterno. Non possiamo usare il criterio di assoluta convergenza, perché
Soluzioi.. Coverge. La serie è a sego altero. No possiamo usare il criterio di assoluta covergeza, perché log log a = > + e il fatto che la serie i valore assoluto diverge o permette di trarre coclusioi
DettagliRISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI
RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI L itelletto, duque, che o è la verità, o comprede mai la verità i modo così preciso da o poterla compredere (poi acora) più precisamete, all ifiito, perché sta alla
DettagliIPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe 5A Tecnico Agrario. Lezione di martedì 10 novembre 2015 (4 e 5 ora) Disciplina: MATEMATICA
IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe A Tecico Agrario Lezioe di martedì 0 ovembre 0 (4 e ora) Disciplia: MATEMATICA La derivata della fuzioe composta Fuzioe composta Df(g())f (g())g () Questa
DettagliEsercitazione n 3. 1 Successioni di funzioni. Esercizio 1: Studiare la convergenza in (0, 1) della successione {f n } dove f n (x) =
Esercitazioe 3 Successioi di fuzioi Esercizio : Studiare la covergeza i (0, ) della successioe {f } dove f (x) = metre Sol.: Si verifica facilmete che lim f (x) = 0 x (0, ) lim sup f (x) = lim = + (0,)
DettagliLe successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u allevameto! Si
Dettagli5. Derivate. Derivate. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivate di funzioni composte e di funzioni inverse
Di cosa parleremo Le derivate costituiscoo, per la maggioraza degli studeti, l argometo più semplice di questa parte dell aalisi matematica. I questo capitolo e daremo il cocetto assieme al sigificato
DettagliESERCIZI SULLE SERIE
ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare
DettagliAnalisi Matematica II
Corso di Laurea i Matematica Aalisi Matematica II Esercizi sulla covergeza uiforme e sulle serie di fuzioi/poteze Versioe del 28//206 Esercizi tratti dal Giusti Esercizio Giusti 3. e 3.3) Calcolare il
DettagliSerie di potenze / Esercizi svolti
MGuida, SRolado, 204 Serie di poteze / Esercizi svolti Si cosideri la serie di poteze (a) Determiare il raggio di covergeza 2 + x (b) Determiare l itervallo I di covergeza putuale (c) Dire se la serie
DettagliSoluzioni degli esercizi di Analisi Matematica I
Soluzioi degli esercizi di Aalisi Matematica I (Prof. Pierpaolo Natalii) Roberta Biachii 6 ovembre 2016 FOGLIO 1 1. Determiare il domiio e il sego della fuzioe ( ) f(x) = arccos x2 1 x + 1 π/3. 2. Dimostrare,
Dettagli1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti
6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo
Dettagliy f x x x 1 0;1 y 1 (l equazione deve essere invariante per trasformazioni x x, f x ax x 1 0;1 f x x x 1 0;1 S x dx x % f x ax bx cx d x 0;1
Esame di Stato 8 Problema ; y f x x x L equazioe della curva che descrive il profilo sull itera mattoella si ottiee simmetrizzado tale fuzioe rispetto agli assi e all origie (ovviamete o è l equazioe di
DettagliMETODI NUMERICI CON ELEMENTI DI PROGRAMMAZIONE ESERCIZI DI AUTOVALUTAZIONE Ingegneria Aerospaziale A.A. 2015/2016
METODI NUMERICI CON ELEMENTI DI PROGRMMZIONE ESERCIZI DI UTOVLUTZIONE Igegeria erospaziale /6 ESERCIZIO Si cosiderio le segueti successioi dipedeti dal parametro reale Stabilire quate e quali di esse covergoo
Dettaglia n (x x 0 ) n. (1.1) n=0
Serie di poteze. Defiizioi Assegati ua successioe {a } di umeri reali e u puto x dell asse reale si dice serie di poteze u espressioe del tipo a (x x ). (.) Il puto x viee detto cetro della serie e i umeri
DettagliOttavio Serra La costante C di Eulero-Mascheroni e la funzione Gamma. 1. =
Ottavio Serra La costate C di Eulero-Mascheroi e la fuzioe Gamma la costate C di Eulero Mascheroi è defiita come il limite della seguete successioe: [] a = +/+/3+ +/ log(+) Il termie a è la differeza tra
DettagliPrecorso di Matematica, aa , (IV)
Precorso di Matematica, aa 01-01, (IV) Poteze, Espoeziali e Logaritmi 1. Nel campo R dei umeri reali, il umero 1 e caratterizzato dalla proprieta che 1a = a, per ogi a R; per ogi umero a 0, l equazioe
Dettagli( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) LE DERIVATE ( ) ( ) (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 1. GENERALITÀ
LE DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe A) Ituitiva. La derivata, a livello ituitivo, è u operatore tale che: a) ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe; b) obbedisce alle segueti regole di derivazioe: () D a
DettagliDef. R si dice raggio di convergenza; nel caso i) R = 0, nel caso ii)
Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi : Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale. -Si cosiglia vivamate di fare gli esercizi del testo. Cap. 9.5 - Serie di poteze,
DettagliEsame di Stato - Liceo Scientifico Prova scritta di Matematica - 21 giugno Problema 1 Soluzione a cura di L. Tomasi
Esame di Stato - Liceo Scietifico Prova scritta di Matematica - giugo 08 Problema Soluzioe a cura di L. Tomasi Soluzioe Puto Co riferimeto all esempio semplice del mauale d uso della macchia che colora
DettagliRichiami sulle potenze
Richiami sulle poteze Dopo le rette, le fuzioi più semplici soo le poteze: Distiguiamo tra: - poteze co espoete itero - poteze co espoete frazioario (razioale) - poteze co espoete reale = Domiio delle
DettagliEsercizi di Analisi II
Esercizi di Aalisi II Ao Accademico 008-009 Successioi e serie di fuzioi. Serie di poteze. Studiare la covergeza della successioe di fuzioi (f ) N, dove f : [, ] R è defiita poedo f (x) := x +.. Studiare
Dettagli(a 0, a 1, a 2,..., a n,...) (0, a 0 ), (1, a 1 ), (2, a 2 ),... (1, 3, 5, 7,...) Lezione del 26 settembre. 1. Successioni.
Lezioe del 26 settembre. 1. Successioi. Defiizioe 1 Ua successioe di umeri reali e ua legge che associa a ogi umero aturale = 0, 1, 2,... u umero reale - i breve: e ua fuzioe N R; si scrive ella forma
DettagliProblema 1 - soluzione a cura di E. Castagnola e L. Tomasi, con l uso della calcolatrice grafica TI-Nspire CX (non CAS)
Esame di Stato - Liceo Scietifico Prova scritta di Matematica - giugo 8 Problema - soluzioe a cura di E. Castagola e L. Tomasi, co l uso della calcolatrice grafica TI-Nspire CX (o CAS) Soluzioe ) Co riferimeto
DettagliY557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO. 3 lim
Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIETIFICO PIAO AZIOALE DI IFORMATICA CORSO SPERIMETALE Tema di: MATEMATICA (Sessioe ordiaria 2002) QUESTIOARIO 1 Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media
DettagliProva scritta del 9/1/2003
Prova scritta del 9//00 Soluzioe degli esercizi N. Le quattro serie proposte soo a termii positivi. Per studiare la covergeza delle serie a termii positivi è possibile utilizzare uo dei segueti criteri
DettagliCorsi di laurea in fisica ed astronomia Prova scritta di Analisi Matematica 2. Padova,
Corsi di laurea i fisica ed astroomia Prova scritta di Aalisi Matematica Padova, 8.8.08 Si svolgao i segueti esercizi facedo attezioe a giustificare le risposte. Delle affermazioi o motivate e giustificate
DettagliEsercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim.
Esercizi svolti. Calcolare i segueti iti: a log + + c ± ta 5 + 5 si π e b + si si e d + f + 4 5 g + 6 4 6 h 4 + i + + + l ± + log + log 7 log 5 + 4 log m + + + o cos + si p + e q si s e ta cos e u siπ
DettagliCosa vogliamo imparare?
Cosa vogliamo imparare? risolvere i modo approssimato equazioi del tipo f()=0 che o solo risolubili i maiera esatta ed elemetare tramite formule risolutive. Esempio: log( ) 1= 0 Iterpretazioe grafica Come
DettagliCalcolo I - Corso di Laurea in Fisica - 31 Gennaio 2018 Soluzioni Scritto
Calcolo I - Corso di Laurea i Fisica - Geaio 08 Soluzioi Scritto Data la fuzioe f = 8 + / a Calcolare il domiio, puti di o derivabilità ed asitoti; b Calcolare, se esistoo, estremi relativi ed assoluti.
DettagliSoluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5.
60 Roberto Tauraso - Aalisi Calcolare la somma della serie Soluzioi + 3 R La serie può essere riscritta el modo seguete: + 4 3 9 Il umero può essere raccolto fuori dal sego di sommatoria: + 4 3 9 Si tratta
DettagliSERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c)
SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Calcolare la somma delle segueti serie telescopiche: a) b). Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergeza) che le segueti serie o covergoo: a) c) ) log
DettagliEquazioni differenziali
Equazioi differeziali Defiizioe 1 Si chiama equazioe differeziale u tipo particolare di equazioe fuzioale, ella quale la fuzioe icogita compare isieme ad alcue sue derivate, ossia u equazioe ella quale,
DettagliESAME DI MATEMATICA I Modulo di Analisi Matematica Corso 3 Anno Accademico 2008/2009 Docente: R. Argiolas
ESAME DI MATEMATICA I Modulo di Aalisi Matematica Corso Ao Accademico 8/9 Docete: R Argiolas Cogome Matricola Febbraio 9 ore 9 Aula C Nome Corso voto Esercizio Assegata la fuzioe f ( arcta a Si determii
Dettaglik=0 f k(x). Un altro tipo di convergenza per le serie è la convergenza totale e si dice che la serie (0.1) converge totalmente in J I se
Serie di fuzioi Sia I R, per ogi k N, data la successioe di fuzioi (f k ) k co f k : I R, cosideriamo la serie di fuzioi (0.) f k () k=0 e defiiamo la successioe delle somme parziali s () = k=0 f k().
DettagliSoluzioni degli esercizi del corso di Analisi Matematica I
Soluzioi degli esercizi del corso di Aalisi Matematica I Prof. Pierpaolo Natalii Roberta Biachii & Marco Pezzulla ovembre 015 FOGLIO 1 1. Determiare il domiio e il sego della fuzioe ( ) f(x) = arccos x
DettagliProposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri.
Laboratorio di Matematica, A.A. 009-010; I modulo; Lezioi II e III - schema. Limiti e isiemi aperti; SB, Cap. 1 Successioi di vettori; SB, Par. 1.1, pp. 3-6 Itori sferici aperti. Nell aalisi i ua variabile
Dettagli0.1 Esercitazioni V, del 18/11/2008
1 0.1 Esercitazioi V, del 18/11/2008 Esercizio 0.1.1. Risolvere usado Cramer il seguete sistema lieare x + y + z = 1 kx + y z = 0 x kz = 1 Soluzioe: Il determiate della matrice dei coefficieti è (k 2)(k
DettagliRicorrenze. 3 1 Metodo iterativo
3 Ricorreze 31 Metodo iterativo Il metodo iterativo cosiste ello srotolare la ricorreza fio ad otteere ua fuzioe dipedete da (dimesioe dell iput). L idea è quella di reiterare ua data ricorreza T () u
DettagliEsame di Stato - Liceo Scientifico Prova scritta di Matematica - 21 giugno Problema 1 Soluzione a cura di L. Tomasi
Esame di Stato - Liceo Scietifico Prova scritta di Matematica - giugo 8 Problema Soluzioe a cura di L. Tomasi Soluzioe Puto Co riferimeto all esempio semplice del mauale d uso della macchia che colora
Dettaglile dimensioni dell aiuola, con le limitazioni 0 x λ λ
PROBLEMA a) idicate co e co che e esprime l area è: le dimesioi dell aiuola, co le limitazioi 0 A( )., la fuzioe Per la ricerca del massimo si studia il sego della derivata prima Si ha: 0 / / A' ( ). Si
DettagliNon presenta difficoltà concettuali il passaggio dalle equazioni lineari a coefficienti costanti del secondo ordine a quelle di ordine maggiore.
Le equazioi differeziali lieari di ordie > a coefficieti costati. No preseta difficoltà cocettuali il passaggio dalle equazioi lieari a coefficieti costati del secodo ordie a quelle di ordie maggiore.
Dettagliv = ( v 1,..., v n ).
Lezioe del 21 ovembre. Sistemi lieari 1. Spaio vettoriale R Sia u itero positivo. ssatoمح Cosideriamo lلاiisieme R delle ple ordiate di umeri reali u (u 1, u 2,..., u ), u i R. Al posto di pla ordiata
DettagliInsiemi numerici. Sono noti l insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, }, l insieme dei numeri interi relativi:
Isiemi umerici Soo oti l isieme dei umeri aturali: N {1,, 3,, l isieme dei umeri iteri relativi: Z {0, ±1, ±, ±3, N {0 ( N e, l isieme dei umeri razioali: Q {p/q : p Z, q N. Si ottiee questo ultimo isieme,
DettagliSi estendono, in modo non banale, le operazioni di somma e prodotto da Q ad R; con queste operazioni R e un campo.
1 Numeri reali 1.1 Numeri reali Per umero reale itediamo u qualsiasi umero decimale, co u umero di cifre dopo la virgola fiito o ifiito, periodico o o periodico; possiamo pesare u umero decimale co u umero
DettagliLe successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto!
Dettagli(x log x) n2. (14) n + log n
Facoltà di Scieze Matematiche Fisiche e Naturali- Aalisi Matematica A (c.l.t. i Fisica) Prova parziale del 8 Novembre 20 Svolgere gli esercizi segueti. Studiare il domiio ed il comportameto della serie
DettagliRisoluzione del compito n. 3 (Febbraio 2018/2)
Risoluzioe del compito. 3 (Febbraio 08/ PROBLEMA a Determiate le soluzioi τ C dell equazioe τ iτ +=0. { αβ =4 b Determiate le soluzioi (α, β, co α, β C,delsistema α + β =i. c Determiate tutte le soluzioi
DettagliFunzioni continue. Definizione di limite e di funzione continua. Esercizio 1. x 0, 1 x 2, 3
Fuzioi cotiue Defiizioe di limite e di fuzioe cotiua Esercizio. Dire quali delle segueti fuzioi soo cotiue. f : 0,, 3, f 0,, 3 Plot Piecewise,,,,, 0, 3.0 0.8 0.6 0.4 0. f è cotiua. Ifatti, fissiamo y [0,].
Dettagli2.5 Convergenza assoluta e non
.5 Covergeza assoluta e o Per le serie a termii complessi, o a termii reali di sego o costate, i criteri di covergeza si qui visti o soo applicabili. L uico criterio geerale, rozzo ma efficace, è quello
DettagliAnalisi Matematica A e B Soluzioni prova scritta n. 4
Aalisi Matematica A e B Soluzioi prova scritta. 4 Corso di laurea i Fisica, 17-18 3 settembre 18 1. Scrivere le soluzioi dell equazioe differeziale ( u u + u = e x si x + 1 ). 1 + x Soluzioe. Si tratta
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2005 CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria Tema di MATEMATICA - 23 giugno 2005
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 005 CORSO DI ORDINAMENTO Sessioe ordiaria Tema di MATEMATICA - 3 giugo 005 Svolgimeto a cura del prof. Luigi Tomasi (luigi.tomasi@libero.it) RISPOSTE AI QUESITI DEL
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi 2/II
Politecico di Milao Igegeria Idustriale Aalisi /II Test di autovalutazioe. Sia S = ( artg +. (a Stabilire se la serie data coverge assolutamete. (b Stabilire se la serie data coverge.. Sia L lo spazio
DettagliNUMERI REALI Mauro Saita Versione provvisoria. Settembre 2012.
NUMERI REALI Mauro Saita maurosaita@tiscaliet.it Versioe provvisoria. Settembre 2012. Idice 1 Numeri reali. 1 1.1 Numeri aturali, iteri, razioali......................... 1 1.2 La scoperta dei umeri irrazioali.........................
DettagliSerie di Fourier / Esercizi svolti
Serie di Fourier / Esercizi svolti ESERCIZIO. da Si cosideri la fuzioe f : R R, periodica di periodo e data ell itervallo (, ] se
DettagliSUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 1
SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. Successioi RICHIAMI Ua successioe di elemeti di u isieme X è ua fuzioe f: N X. E covezioe scrivere f( ) = x, e idicare le successioi mediate la ifiitupla ordiata delle
DettagliSviluppi di Taylor. Andrea Corli 1 settembre Notazione o 1. 3 Formula di Taylor 3. 4 Esempi ed applicazioni 5
Sviluppi di Taylor Adrea Corli settembre 009 Idice Notazioe o Liearizzazioe di ua fuzioe 3 Formula di Taylor 3 4 Esempi ed applicazioi 5 I questo capitolo aalizziamo l approssimazioe di ua fuzioe regolare
DettagliA.S ABSTRACT
ILLUSIONI GEOMETRICHE E NUMERI DI IBONACCI A.S. 00-0 GUGLIELMO SACCO (C) ENRICO IZZO (C) ABSTRACT I questo articolo vegoo messe i luce alcue "illusioi" geometriche elle quali giocao u ruolo chiave le proprietà
DettagliMatematica - Ingegneria Gestionale - Prova scritta del 25 giugno SOLUZIONI - (a n ) 1 + n ha limite + 1 = cos(πn) 1 cos(πn) )
Matematica - Igegeria Gestioale - Prova scritta del 5 giugo 007 - SOLUZIONI -. Si idichio le frasi corrette PUNTI: /-/0 per ogi domamda). se a := + cosπ) a ) è limitata iferiormete cosπ) se a := a ) è
DettagliREGRESSIONE LINEARE E POLINOMIALE
REGRESSIONE LINEARE E POLINOMIALE Nota ua tabella di dati relativi alle osservazioi di due gradezze X e Y, è aturale formulare ipotesi su quale possa essere ua ragioevole fuzioe che rappreseti o che approssimi
DettagliSOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 2015/16, FOGLIO 2. se x [n, 3n]
SOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 05/6, FOGLIO Sia f : R R defiita da f x { se x [, 3] 0 altrimeti Studiare la covergeza putuale, uiforme e uiforme sui compatti della successioe f e della
DettagliSERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.
SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....
DettagliEsercitazione n 4. 1 Serie di Taylor. Esercizio 1: Verificare che la funzione. f(x) = 0 se x = 0
Esercitazioe 4 1 Serie di Taylor Esercizio 1: Verificare che la fuzioe f(x) { e 1/x se x 0 0 se x 0 pur essedo C o è sviluppabile i serie di Taylor i x 0. Sol.: Determiiamo le derivate di f: 0 f (0) lim
DettagliTrasmissione del calore con applicazioni numeriche: informatica applicata
Corsi di Laurea i Igegeria Meccaica Trasmissioe del calore co applicazioi umeriche: iformatica applicata a.a. 17/18 Teoria Parte I Prof. Nicola Forgioe Dipartimeto di Igegeria Civile e Idustriale E-mail:
DettagliCorso di ordinamento Liceo della Comunicazione- Sessione ordinaria - a.s
Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO LICEO DELLA COMUNICAZIONE Tema di: MATEMATICA a s 9- Corso di ordiameto Liceo
Dettagli11 Simulazione di prova d Esame di Stato
Simulazioe di prova d Esame di Stato Problema Risolvi uo dei due problemi e 5 dei quesiti i cui si articola il questioario I u sistema di riferimeto cartesiao ortogoale è assegata la seguete famiglia di
DettagliEsercizi svolti su successioni e serie di funzioni
Esercizi svolti su successioi e serie di fuzioi Esercizio. Calcolare il limite putuale di f ) = 2 +, [0, + ). Dimostrare che o si ha covergeza uiforme su 0, + ), metre si ha covergeza uiforme su [a, +
DettagliQuarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4
Quarto Compito di Aalisi Matematica Corso di laurea i Iformatica, corso B 5 Luglio 016 Soluzioi Esercizio 1 Determiare tutti i umeri complessi z tali che z = 3 4 i. Soluzioe. Scrivedo z = a + bi, si ottiee
Dettaglia) la funzione costante k. Sia k un numero reale e consideriamo la funzione che ad ogni numero reale x associa k: x R k
ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI ( E NON) E LORO GRAFICI (*) a) la fuzioe costate k. Sia k u umero reale e cosideriamo la fuzioe che ad ogi umero reale x associa k: x R k Tale fuzioe è detta fuzioe costate k;
DettagliCorsi di laurea in fisica ed astronomia Prova scritta di Analisi Matematica 2. Padova,
Corsi di laurea i fisica ed astroomia Prova scritta di Aalisi Matematica Padova, 5.7.08 Si svolgao i segueti esercizi facedo attezioe a giustificare le risposte. Delle affermazioi o motivate e giustificate
Dettagli15 - Successioni Numeriche e di Funzioni
Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 15 - Successioi Numeriche e di Fuzioi Ao Accademico 2013/2014 M Tummiello, V Lacagia,
DettagliSERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI
SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioi di Aalisi Matematica per i corsi di Laurea i Igegeria Chimica e Igegeria per l Ambiete e il Territorio dell Uiversità di Bologa. Ao Accademico
DettagliMatematica I, Limiti di successioni (II).
Matematica I, 05102012 Limiti di successioi II) 1 Le successioi elemetari, cioe α, = 0, 1, 2, α R), b, = 0, 1, 2, b R), log b, = 1, 2, b > 0, b 1), si, = 0, 1, 2,, cos, = 0, 1, 2,, per + hao il seguete
DettagliANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 22/11/2013. = a 24 24! log(1 + x) = ( 1) = (24!) 1 24 = 23!. e x2 dx. x 2n
ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 22//23 Esercizio Calcolare la 2esima derivata del logaritmo el puto. Risposta Si tratta di calcolare d 2 dx 2 log( + x) x= = a 2 2! dove a 2 è il termie di idice
DettagliEsame di Stato di Liceo Scientifico- Sessione ordinaria 2003 Corso Sperimentale P.N.I. Tema di MATEMATICA
L.Lecci\Sol. Problema 2\Esame di Stato di Liceo Scietifico\Sess. Ordiaria\Corso P.N.I.\ao23 Esame di Stato di Liceo Scietifico- Sessioe ordiaria 23 Corso Sperimetale P.N.I. Tema di MATEMATICA Problema
DettagliPROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2013
PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 3 Prova scritta del 6//3 Esercizio Suppoiamo che ua variabile aleatoria Y abbia la seguete desita : { hx e 3/x, x > f Y (y) =, x, co h opportua costate positiva.
DettagliCorso Propedeutico di Matematica
POLINOMI RICHIAMI DI TEORIA Defiizioe: u poliomio ( o fuzioe poliomiale) ella variabile x di grado a coefficieti reali ha la forma A = a0 + a1x + + a 1 x, dove a 0, a 1,..., a soo umeri reali assegati
Dettagli1.10 La funzione esponenziale
6. Risolvere le segueti disequazioi: (i) x + x + 3 2; (ii) x + 2 x > ; (iii) 4x 2 < x 3; (iv) 3x 2 > x 2 3; (v) x 2x 2 > 2x 2 ; (vi) x 3 x 2 > x. 7. Provare che per ogi a R si ha maxa, 0} = a + a 2, mia,
DettagliAnalisi Matematica 1 Matematica
Aalisi Matematica 1 Matematica Secodo Compitio Luedì 30 Geaio 01 VERSIONE A Esercizio 1 (8 puti) Sia α R u parametro e si cosideri la serie di poteze complessa z. i) Calcolare il raggio di covergeza R
DettagliSerie numeriche. Esercizi
Serie umeriche. Esercizi Mauro Saita, aprile 204. Idice Serie umeriche.. Serie a termii defiitivamete positivi..............................2 Serie a termii di sego altero.................................
Dettagli2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33)
Defiizioe di umero reale come allieameto decimale co sego. Numeri reali positivi. Numeri razioali: defiizioe e proprietà di desità Numeri reali Defiizioe: U umero reale è u allieameto decimale co sego,
Dettagli4 - Le serie. a k = a k. S = k=1
4 - Le serie E veiamo ad uo degli argometi più ostici (ma ache più iteressati) dell aalisi: le serie. Ricordiamo brevemete cos è ua serie e cosa vuol dire covergeza per ua serie. Defiizioe 1. Data ua successioe
DettagliMatematica - Ingegneria Gestionale - Prova scritta del 25 gennaio 2006
Matematica - Igegeria Gestioale - Prova scritta del 5 geaio 6. Per ogua delle segueti serie si idichi se la serie coverge assolutamete ( AC ), coverge ma o coverge assolutamete ( C ) oppure o coverge (
DettagliStatistica 1 A.A. 2015/2016
Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 21 Misura della dipedeza di u carattere
Dettagli1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge.
Le successioi A parole ua successioe é u isieme ifiito di umeri disposti i u particolare ordie. Piú rigorosamete, ua successioe é ua legge che associa ad ogi umero aturale u altro umero (ache o aturale):
DettagliAlcune applicazioni della diseguaglianza tra la media geometrica e la media aritmetica
Alcue applicazioi della diseguagliaza tra la media geometrica e la media aritmetica Giulio C. Barozzi Uiversità di Bologa barozzi@ciram.uibo.it . Iiziamo co u semplice problema: tra tutti i rettagoli di
DettagliIntroduzione all Analisi di Fourier. Prof. Luigi Landini Ing. Nicola Vanello. (presentazione a cura di N. Vanello)
Itroduzioe all Aalisi di Prof. Luigi Ladii Ig. Nicola Vaello (presetazioe a cura di N. Vaello) ANALII DI FOURIER egali tempo cotiui: egali periodici egali aperiodici viluppo i serie di Itroduzioe alla
DettagliStatistica Corso Base (Serale) Dott.ssa Cristina Mollica
Statistica Corso Base (Serale) Dott.ssa Cristia Mollica cristia.mollica@uiroma1.it Idici di posizioe Esercizio 1: Data la seguete distribuzioe uitaria del carattere X 4 2 4 2 6 4 0 4 0 2 4 4 (1) calcolare
Dettagli169. Segmenti paralleli
169. Segmeti paralleli Matematicamete.it UMERO 17 APRILE 01 Bruo Sachii bruosachii@yahoo.it Suto y ta x k b a ta ak x R cos ak Si utilizza il sistema: di ua grade famiglia di superfici. Lo scopo di questo
DettagliIngegneria Aerospaziale. Corso di Analisi Matematica 1. Compito del 3 giugno 2008 SOLUZIONE
Igegeria Aerospaziale. Corso di Aalisi Matematica. Compito del 3 giugo 8 SOLUZIONE. Se a := 3 + 3 domada. idicare quali delle segueti affermazioi soo vere puti /- a a a è itata; b a ha ite; c a ha ua sottosuccessioe
DettagliSerie numeriche e di funzioni - Esercizi svolti
Serie umeriche e di fuzioi - Esercizi svolti Serie umeriche Esercizio. Discutere la covergeza delle serie segueti a) 3, b) 5, c) 4! (4), d) ( ) e. Esercizio. Calcolare la somma delle serie segueti a) (
DettagliMetodi di valutazione delle prestazioni di rete
Metodi di valutazioe delle prestazioi di rete Prof. Ig. Carla Raffaelli Cofroto di diversi approcci Parametri di cofroto: precisioe requisiti di poteza di calcolo requisiti di memoria facilita' di approccio
DettagliLezioni del Corso di Fondamenti di Metrologia Meccanica
Facoltà di Igegeria Lezioi del Corso di Fodameti di Metrologia Meccaica A.A. 005-006 Prof. Paolo Vigo Idice. Frequeza e Probabilità. 3. Curva di Gauss 4. Altre Distribuzioi Frequeza e Probabilità Me spiego:
DettagliSuccessioni di funzioni
Successioi di fuzioi Successioi di fuzioi: covergeza putuale Defiizioe Sia I u isieme di umeri reali e sia ua successioe di fuzioi reali defiite i I : I R, I R. Si dice che Cioè f : I R, risulta coverge
DettagliProva scritta di Analisi Matematica I 15/09/2010
Prova scritta di Aalisi Matematica I VO 5/09/00 ) Data la fuzioe f ( ) + a) disegare il grafico illustrado i passaggi fodametali b) Euciare e dimostrare il Teorema di Rolle e se possibile applicarlo a
Dettagli7. Interpolazione e integrazione
7. Iterpolazioe e itegrazioe I questa Nota faremo u breve ceo al problema dell iterpolazioe di ua fuzioe e del calcolo degli itegrali defiiti. Per approfodimeti si riamada alle Refereze [7.1- [7.3]. 7.1
DettagliEsercizi sulle successioni
Esercizi sulle successioi 1 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 2 3. a := 2 + 3 3 7 2 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 0. a := 4 + 3 3 5 + 7
DettagliSiamo interessati a studiare la convergenza della serie e porremo come al solito:
SERIE DI POTENZE Soo particolari serie di fuzioi, i cui termii soo moomi, evetualmete traslati: f (x) co f (x) =a (x x 0 ), a R, x 0 R, ossia dove a (x x 0 ) = a 0 + a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 ) 2 +... x
Dettagli