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1 LEZIONE Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi autovettori Definizione 2311 Siano k = R, C e A k n,n La matrice A si dice diagonalizzabile su k se esistono n autovettori di A linearmente indipendenti Quando, come spesso accade, il campo su cui si lavora è fissato, si parla semplicemente di matrice diagonalizzabile omettendo l indicazione del campo Osservazione 2312 Chiaramente ogni matrice diagonale D è diagonalizzabile! Infatti se λ λ D = λ n allora DE j,1 = λ j E j,1, dunque esistono n autovettori di D linearmente indipendenti, precisamente E 1,1,, E n,1 k n,1 Esempio 2313 Si consideri la matrice (si veda l Esempio 2225) A = R 3,3, è diagonalizzabile: infatti, come visto nell Esempio 2225, A ha idue autovalori ±3 e E A (3) = L( t ( )) R 3,1, E A ( 3) = L( t ( ), t ( )) R 3,1 Si noti che i vettori P 1 = t ( ), P 2 = t ( ) e P 3 = t ( ) sono linermente indipendenti Infatti la matrice avente tali vettori come righe, ha rango 3 Concludiamo che B = (P 1, P 2, P 3 ) è una base di R 3,1 formata da autovettori di A 1 Typeset by AMS-TEX

2 2 231 DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI Sia k = R, C: ricordo che gli autovalori di A k n,n sono le radici λ 1,, λ h k del polinomio caratteristico p A (t) Inoltre ad ognuno degli autovalori λ i k di A rimangono associati due numeri interi non negativi, la sua molteplicità algebrica m a (λ, A) e la sua molteplicità geometrica m g (λ, A) La somma delle molteplicità delle radici di un polinomio è pari al grado del polinomio stesso Quindi, se λ 1,, λ h sono a due e a due distinti, risulta m a (λ 1, A) + + m a (λ h, A) n, e, se vale l uguaglianza, tutte le radici di p A (t) devono essere in k Quindi, se λ 1,, λ h k sono le radici di p A (t), tenendo conto della Proposizione 2222, al massimo possiamo determinare m g (λ 1, A) + + m g (λ h, A) m a (λ 1, A) + + m a (λ h, A) n autovettori linearmente indipendenti Se vale l uguaglianza, tutte le radici λ di p A (t) devono essere in k e si deve avere m g (λ, A) = m a (λ, A) per ognuna di esse In particolare, se o non tutte le radici di p a (t) sono in k oppure se lo sono ma esiste almeno una di esse per cui m g (λ, A) < m a (λ, A), la matrice A non è diagonalizzabile Esempio 2314 Si considerino le matrici di R 3,3 A 1 = , A 2 = Nell Esempio 2226 abbiamo visto che A 1 ha come autovalori i numeri 1 e 2 e che m a (2, A) = 1 = m g (2, A), m a (1, A) = 2 > 1 = m g (1, A) Nell Esempio 2227 abbiamo visto che A 2 ha come unico autovalore in R il numero 0 e che m a (0, A) = 1 = m g (0, A) Invece su C tale matrice ha i numeri 0, 2 + i e 2 i come autovalori e m a (0, A) = 1 = m g (0, A), m a (2 + i, A) = 1 = m g (2 + i, A), m a (2 i, A) = 1 = m g (2 i, A) Concludiamo che A 1 non è diagonalizzabile su R Per quanto riguarda A 2 è evidente che essa non è diagonalizzabile su R Se, invece si pensa a A C 3,3, si verifica facilmente che E A2 (2 + i) = L( t ( 2i i 1 2 )) e E A2 (2 i) = L( t ( 2i i )) Poiché E A2 (0) = L( t ( )) e le tre matrici t ( 2i i 1 2 ), t ( 2i i ), t ( ) sono linearmente indipendenti, segue che A 2, come matrice a coefficienti in C, risulta essere diagonalizzabile Supponiamo che λ 1,, λ h k siano le radici di p A (t) in k a due a due distinte e siano P i E A (λ i ), per i = 1,, h vettori non nulli Se ci fosse una relazione di dipendenza lineare fra tali vettori P 1,, P h uno di loro sarebbe combinazione lineare di quelli che lo precedono (si veda la Proposizione 1628 ii)) Sia q il minimo intero per cui ciò accade:

3 LEZIONE 23 3 allora P q = α 1 P α q 1 P q 1 ed almeno uno fra α 1,, α q 1 deve essere non nullo, altrimenti P q = 0 n,1 Segue che α 1 λ q P α q 1 λ q P q 1 = λ q (α 1 P α q 1 P q 1 ) = da cui si ricava = λ q P q = AP q = A(α 1 P α q 1 P q 1 ) = = α 1 AP α q 1 AP q 1 = α 1 λ 1 P α q 1 λ q 1 P q 1, α 1 (λ q λ 1 )P α q 1 (λ q λ q 1 )P q 1 = 0 n,1 : poiché, per ipotesi, P 1,, P q 1 sono linearmente indipendenti e λ q λ i 0, i = 1,, q 1, segue che deve essere α 1 = = α q 1 = 0 Concludiamo allora che Proposizione 2315 Siano k = R, C e A k n,n Se λ 1,, λ h k sono autovalori a due a due distinti di A e P i E A (λ i ) \ { 0 n,1 }, i = 1,, h, allora i vettori P 1,, P h sono linearmente indipendenti Concludiamo questo paragrafo con il seguente risultato fondamentale Proposizione 2316 Siano k = R, C e A k n,n La matrice A è diagonalizzabile su k se e solo se valgono le due seguenti condizioni: i) tutte le radici di p A (t) sono in k; ii) per ogni radice λ k di p a (t) risulta m a (λ, A) = m g (λ, A) Dimostrazione Se A è diagonalizzabile abbiamo già dimostrato che devono valere le affermazioni i) ed ii) Viceversa supponiamo che esse siano verificate Siano λ 1,, λ h le radici a due a due distinte di p A (t) e sia (P j,1,, P j,mj ) basi di E A (λ j ) per j = 1,, h (quindi m j = m g (λ j, A)) Per ipotesi i vettori P i,j con j = 1,, h e i = 1,, m j sono esattamente Per verificare che m g (λ 1, A) + + m g (λ h, A) = m a (λ 1, A) + + m a (λ h, A) = n B = (P 1,1,, P 1,m1, P 2,1,, P 2,m2,, P h,mh ) è una base di k n,1, basta verificare che tali vettori sono linearmente indipendenti Supponiamo che esista una relazione di dipendenza lineare fra tali vettori, diciamo α 1,1 P 1,1 + + α 1,m1 P 1,m1 + α 2,1 P 2,1 + + α 2,m1 P 2,m2 + + α h,mh P h,mh = 0 n,1 Poiché α j,1 P j,1 + + α j,m1 P j,mj E A (λ j ), per la Proposizione 2236 si dovrebbe avere che α j,1 P j,1 + + α j,m1 P j,mj = 0 n,1, il che è assurdo perché (P 1,j,, P mj,j) è base di E A (λ j )

4 4 231 DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI Chiariamo il motivo per cui si parla di matrici diagonalizzabili Supponiamo che k = R, C e sia A k n,n diagonalizzabile Siano λ 1,, λ n le radici, non necessariamente distinte, di p A (t) (che sono tutte in k per ipotesi) e P j E A (λ j ) autovettori linearmente indipendenti di A Sia P k n,n la matrice avente P j come j esima colonna: allora AP j = λ j P j, j = 1,, n Quindi AP = P D ove D è la matrice diagonale avente nell ordine λ 1,, λ n come entrate diagonali Per costruzione P è invertibile Concludiamo che se A k n,n è diagonalizzabile allora esiste P k n,n invertibile tale che P 1 AP = D sia diagonale Viceversa, se ciò accade, procedendo a ritroso con il ragionamento sopra, si verifica che A è diagonalizzabile, che P ha per colonne n autovettori di A linearmente indipendenti e che l elemento j esimo sulla diagonale di D è esattamente l autovalore corrispondente alla colonna j esima di P Quindi le matrici diagonalizzabili sono tutte e sole le matrici A k n,n per cui esiste P k n,n invertibile tale che P 1 AP sia diagonale Una definizione importante in algebra lineare è la seguente Definizione 2317 Siano A, B k n,n A si dice simile a B, e si scrive A B, se esiste P k n,n invertibile tale che P 1 AP = B Quindi, in base alla definizione di cui sopra, segue che una matrice A k n,n è diagonalizzabile se e solo se è simile ad una matrice diagonale Esempio 2318 Riprendiamo la matrice A dell Esempio A = R 2,2 3 4 Nell Esempio 2224 abbiamo visto che i suoi autovalori sono 2 e 5 e che E A (2) = L( t ( 2 1 )), E A ( 5) = L( t ( 1 3 )) Sia 2 1 P 1 = 1 3 P 1 è invertibile e AP 1 = P 1 D, ovvero P1 1 AP 1 = D, con 2 0 D = 0 5 Allo stesso risultato saremmo arrivati prendendo in luogo della matrice P 1 sopra indicata la matrice 2 2 P 2 = 1 6 Invece presa risulta P 3 = P 1 3 AP 3 = ( 1 )

5 LEZIONE 23 5 Esempio 2319 Riprendiamo la matrice A dell Esempio 2225 A = R 3, Nell Esempio 2225 si è verificato che gli autovalori di A sono ±3 e che si ha E A (3) = L( t ( )), E A ( 3) = L( t ( ), t ( )) Siano P 1 = 1 1 0, P 2 = , P 3 = Per i = 1, 2, 3, le matrici P i sono invertibili e P 1 i AP i = D i, con D 1 = , D 2 = , D 3 = Diagonalizzazione di matrici simmetriche Come visto nel paragrafo precedente, il fatto che una matrice sia diagonalizzabile o meno non può essere, in generale, stabilito a priori ma solo dopo lo studio dei suoi autospazi C è però una classe di matrici la cui diagonalizzabilità è assicurata da un risultato generale di cui omettiamo la dimostrazione e su cui torneremo nelle prossime lezioni Proposizione 2321 Sia A Sim n (R) Allora A è diagonalizzabile su R Si noti che la proposizione precedente assicura la diagonalizzabilità su R, cioè l esistenza di una matrice invertibile P R n,n tale che P 1 AP = D R n,n sia diagonale Esempio 2322 Sia A = Risulta t 1 1 p A (t) = 1 t t = t3 + 3t + 2 = (t + 1) 2 (t 2), Concludiamo che gli autovalori di A sono 1 e 2: inoltre per la Proposizione 2321 m a ( 1, A) = m g ( 1, A) = 2 e m a (2, A) = m g (2, A) = 1

6 6 233 IL TEOREMA DI CAYLEY HAMILTON Per determinare E A ( 1) risolviamo il sistema x y = z 0 Quindi E A ( 1) = L( t ( ), t ( )) Per determinare E A (2) risolviamo il sistema x y = z 0 Quindi E A (2) = L( t ( )) Posto P = risulta P 1 AP = Osservazione 2323 Per renderci conto della potenza della Proposizione 2321 osserviamo che, spesso, è assai difficile determinare esattamente gli autovalori di una matrice: può però essere utile poternme determinare la diagonalizzabilità Per esempio 21 3/ /4 π e /4 e 1 1/11 3/2 π A = è senza dubbio diagonalizzabile perché simmetrica a coefficienti reali 233 Il teorema di Cayley Hamilton Siano k = R, C ed A k n,n : le n matrici I n, A, A 2,, A n2 1, A n2 sono necessariamente linearmente dipendenti poiché dim k (k n,n ) = n 2 Da ciò deduciamo l esistenza di α n 2, α n2 1, α n2 2, α 1, α 0 k tali che Si consideri il polinomio α 0 A n2 + α 1 A n α n2 2A 2 + α n2 1A + α n 2I n = 0 n,n p(t) = α 0 t n2 + α 1 t n α n 2 2t 2 + α n 2 1t + α n 2 k[t] : quanto osservato sopra viene spesso riassunto affermando che A è radice di p(t) o, anche, che p(a) = 0 n,n Poiché le matrici A, A 2,, A n2 1, A n2 non sono arbitrarie ma sono potenze di una stessa matrice, è lecito domandarsi se non esista un polinomio di grado più basso di cui A sia radice: a questa domanda risponde il Teorema di Cayley Hamilton di cui omettiamo la dimostrazione

7 LEZIONE 23 7 Proposizione 2331 Siano k = R, C e A k n,n p A (t) Ciò significa che se Allora la matrice A è radice di p A (t) = ( 1) n t n + a 1 t n 1 + a 2 t n a n 1 t + a n, allora (2332) p A (A) = ( 1) n A n + a 1 A n 1 + a 2 A n a n 1 A + a n I n = 0 n,n Tale osservazione permette di introdurre un nuovo metodo di inversione di matrici Infatti se A è invertibile allora a n = det(a) 0, dunque dall Equazione (2332) otteniamo cioè 1 a n (( 1) n 1 A n 1 a 1 A n 2 a 2 A n 3 + a n 1 I n )A = I n, (2333) A 1 = 1 a n (( 1) n 1 A n 1 a 1 A n 2 a 2 A n 3 + a n 1 I n ) Esempio 2334 Si consideri la matrice a b A = c d Allora p A (t) = t 2 (a + d)t + ad bc, dunque se ad bc 0, segue dalla Formula (2333) che A 1 1 = ad bc ( A + (a + d)i 1 d b 2) = ad bc c a Esempio 2335 Si consideri la matrice A = Abbiamo visto nell Esempio 2225 che p A (t) = (t 3)(t+3) 2 = t 3 3t 2 +9t+27, quindi A ha autovalori ±3 con m a (3, A) = 1 e m a ( 3, A) = 2, in particolare det(a) = 3( 3) 2 = 27, sicché A è invertibile: inoltre abbiamo anche visto che A è diagonalizzabile Per quanto osservato nel paragrafo precedente esiste P R 3,3 invertibile tale che P 1 AP = D = , 0 0 3

8 8 233 IL TEOREMA DI CAYLEY HAMILTON quindi A = P DP 1 da cui si ottiene A 2 = P DP 1 P DP 1 = P D 2 P 1 = P (9I 3 )P 1 = 9P P 1 = 9I 3, perciò A 1 = 1 27 (A2 + 3A 9I 3 ) = 1 9 A = Ricordo che una matrice A k n,n si dice nilpotente se A N = 0 n,n per qualche intero positivo N Un altra interessante conseguenza del Teorema di Cayley Hamilton è il seguente Corollario 2336 Sia k = R, C A k n,n è nilpotente se e solo se ha 0 come unico autovalore e m a (0, A) = n Dimostrazione A k n,n ha 0 come unico autovalore e m a (0, A) = n se e solo se t n divide il polinomio caratteristico p A (t) di A cioè se e solo se p A (t) = ( 1) n t n Supponiamo allora che sia p A (t) = ( 1) n t n Per la Proposizione 2321 segue allora che 0 n,n = p A (A) = ( 1) n A n, cioè A è nilpotente Viceversa supponiamo che esista un intero positivo N tale che A N = 0 n,n Questa è un uguaglianza su k C Se λ C è una qualsiasi radice di p A (t), allora λ è un autovalore di A vista come matrice ad entrate complesse, dunque esiste X C n,1 \{ 0 n,1 } tale che AX = λx Moltiplicando ambo i membri di tale identità per A N 1 otteniamo allora che 0 n,n = A N X = λ N X da cui segue che λ = 0 è l unica radice in C di p A (t), necessariuamente con molteplicità n Esempio 2337 Si consideri la matrice A = Si ha 2 t 5 8 p A (t) = 1 4 t t = t3, quindi A 3 = 0 3,3

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