LEZIONE 23. Esempio Si consideri la matrice (si veda l Esempio ) A =

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0"

Transcript

1 LEZIONE Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi autovettori Definizione 2311 Siano k = R, C e A k n,n La matrice A si dice diagonalizzabile su k se esistono n autovettori di A linearmente indipendenti Quando, come spesso accade, il campo su cui si lavora è fissato, si parla semplicemente di matrice diagonalizzabile omettendo l indicazione del campo Osservazione 2312 Chiaramente ogni matrice diagonale D è diagonalizzabile! Infatti se λ λ D = λ n allora DE j,1 = λ j E j,1, dunque esistono n autovettori di D linearmente indipendenti, precisamente E 1,1,, E n,1 k n,1 Esempio 2313 Si consideri la matrice (si veda l Esempio 2225) A = R 3,3, è diagonalizzabile: infatti, come visto nell Esempio 2225, A ha idue autovalori ±3 e E A (3) = L( t ( )) R 3,1, E A ( 3) = L( t ( ), t ( )) R 3,1 Si noti che i vettori P 1 = t ( ), P 2 = t ( ) e P 3 = t ( ) sono linermente indipendenti Infatti la matrice avente tali vettori come righe, ha rango 3 Concludiamo che B = (P 1, P 2, P 3 ) è una base di R 3,1 formata da autovettori di A 1 Typeset by AMS-TEX

2 2 231 DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI Sia k = R, C: ricordo che gli autovalori di A k n,n sono le radici λ 1,, λ h k del polinomio caratteristico p A (t) Inoltre ad ognuno degli autovalori λ i k di A rimangono associati due numeri interi non negativi, la sua molteplicità algebrica m a (λ, A) e la sua molteplicità geometrica m g (λ, A) La somma delle molteplicità delle radici di un polinomio è pari al grado del polinomio stesso Quindi, se λ 1,, λ h sono a due e a due distinti, risulta m a (λ 1, A) + + m a (λ h, A) n, e, se vale l uguaglianza, tutte le radici di p A (t) devono essere in k Quindi, se λ 1,, λ h k sono le radici di p A (t), tenendo conto della Proposizione 2222, al massimo possiamo determinare m g (λ 1, A) + + m g (λ h, A) m a (λ 1, A) + + m a (λ h, A) n autovettori linearmente indipendenti Se vale l uguaglianza, tutte le radici λ di p A (t) devono essere in k e si deve avere m g (λ, A) = m a (λ, A) per ognuna di esse In particolare, se o non tutte le radici di p a (t) sono in k oppure se lo sono ma esiste almeno una di esse per cui m g (λ, A) < m a (λ, A), la matrice A non è diagonalizzabile Esempio 2314 Si considerino le matrici di R 3,3 A 1 = , A 2 = Nell Esempio 2226 abbiamo visto che A 1 ha come autovalori i numeri 1 e 2 e che m a (2, A) = 1 = m g (2, A), m a (1, A) = 2 > 1 = m g (1, A) Nell Esempio 2227 abbiamo visto che A 2 ha come unico autovalore in R il numero 0 e che m a (0, A) = 1 = m g (0, A) Invece su C tale matrice ha i numeri 0, 2 + i e 2 i come autovalori e m a (0, A) = 1 = m g (0, A), m a (2 + i, A) = 1 = m g (2 + i, A), m a (2 i, A) = 1 = m g (2 i, A) Concludiamo che A 1 non è diagonalizzabile su R Per quanto riguarda A 2 è evidente che essa non è diagonalizzabile su R Se, invece si pensa a A C 3,3, si verifica facilmente che E A2 (2 + i) = L( t ( 2i i 1 2 )) e E A2 (2 i) = L( t ( 2i i )) Poiché E A2 (0) = L( t ( )) e le tre matrici t ( 2i i 1 2 ), t ( 2i i ), t ( ) sono linearmente indipendenti, segue che A 2, come matrice a coefficienti in C, risulta essere diagonalizzabile Supponiamo che λ 1,, λ h k siano le radici di p A (t) in k a due a due distinte e siano P i E A (λ i ), per i = 1,, h vettori non nulli Se ci fosse una relazione di dipendenza lineare fra tali vettori P 1,, P h uno di loro sarebbe combinazione lineare di quelli che lo precedono (si veda la Proposizione 1628 ii)) Sia q il minimo intero per cui ciò accade:

3 LEZIONE 23 3 allora P q = α 1 P α q 1 P q 1 ed almeno uno fra α 1,, α q 1 deve essere non nullo, altrimenti P q = 0 n,1 Segue che α 1 λ q P α q 1 λ q P q 1 = λ q (α 1 P α q 1 P q 1 ) = da cui si ricava = λ q P q = AP q = A(α 1 P α q 1 P q 1 ) = = α 1 AP α q 1 AP q 1 = α 1 λ 1 P α q 1 λ q 1 P q 1, α 1 (λ q λ 1 )P α q 1 (λ q λ q 1 )P q 1 = 0 n,1 : poiché, per ipotesi, P 1,, P q 1 sono linearmente indipendenti e λ q λ i 0, i = 1,, q 1, segue che deve essere α 1 = = α q 1 = 0 Concludiamo allora che Proposizione 2315 Siano k = R, C e A k n,n Se λ 1,, λ h k sono autovalori a due a due distinti di A e P i E A (λ i ) \ { 0 n,1 }, i = 1,, h, allora i vettori P 1,, P h sono linearmente indipendenti Concludiamo questo paragrafo con il seguente risultato fondamentale Proposizione 2316 Siano k = R, C e A k n,n La matrice A è diagonalizzabile su k se e solo se valgono le due seguenti condizioni: i) tutte le radici di p A (t) sono in k; ii) per ogni radice λ k di p a (t) risulta m a (λ, A) = m g (λ, A) Dimostrazione Se A è diagonalizzabile abbiamo già dimostrato che devono valere le affermazioni i) ed ii) Viceversa supponiamo che esse siano verificate Siano λ 1,, λ h le radici a due a due distinte di p A (t) e sia (P j,1,, P j,mj ) basi di E A (λ j ) per j = 1,, h (quindi m j = m g (λ j, A)) Per ipotesi i vettori P i,j con j = 1,, h e i = 1,, m j sono esattamente Per verificare che m g (λ 1, A) + + m g (λ h, A) = m a (λ 1, A) + + m a (λ h, A) = n B = (P 1,1,, P 1,m1, P 2,1,, P 2,m2,, P h,mh ) è una base di k n,1, basta verificare che tali vettori sono linearmente indipendenti Supponiamo che esista una relazione di dipendenza lineare fra tali vettori, diciamo α 1,1 P 1,1 + + α 1,m1 P 1,m1 + α 2,1 P 2,1 + + α 2,m1 P 2,m2 + + α h,mh P h,mh = 0 n,1 Poiché α j,1 P j,1 + + α j,m1 P j,mj E A (λ j ), per la Proposizione 2236 si dovrebbe avere che α j,1 P j,1 + + α j,m1 P j,mj = 0 n,1, il che è assurdo perché (P 1,j,, P mj,j) è base di E A (λ j )

4 4 231 DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI Chiariamo il motivo per cui si parla di matrici diagonalizzabili Supponiamo che k = R, C e sia A k n,n diagonalizzabile Siano λ 1,, λ n le radici, non necessariamente distinte, di p A (t) (che sono tutte in k per ipotesi) e P j E A (λ j ) autovettori linearmente indipendenti di A Sia P k n,n la matrice avente P j come j esima colonna: allora AP j = λ j P j, j = 1,, n Quindi AP = P D ove D è la matrice diagonale avente nell ordine λ 1,, λ n come entrate diagonali Per costruzione P è invertibile Concludiamo che se A k n,n è diagonalizzabile allora esiste P k n,n invertibile tale che P 1 AP = D sia diagonale Viceversa, se ciò accade, procedendo a ritroso con il ragionamento sopra, si verifica che A è diagonalizzabile, che P ha per colonne n autovettori di A linearmente indipendenti e che l elemento j esimo sulla diagonale di D è esattamente l autovalore corrispondente alla colonna j esima di P Quindi le matrici diagonalizzabili sono tutte e sole le matrici A k n,n per cui esiste P k n,n invertibile tale che P 1 AP sia diagonale Una definizione importante in algebra lineare è la seguente Definizione 2317 Siano A, B k n,n A si dice simile a B, e si scrive A B, se esiste P k n,n invertibile tale che P 1 AP = B Quindi, in base alla definizione di cui sopra, segue che una matrice A k n,n è diagonalizzabile se e solo se è simile ad una matrice diagonale Esempio 2318 Riprendiamo la matrice A dell Esempio A = R 2,2 3 4 Nell Esempio 2224 abbiamo visto che i suoi autovalori sono 2 e 5 e che E A (2) = L( t ( 2 1 )), E A ( 5) = L( t ( 1 3 )) Sia 2 1 P 1 = 1 3 P 1 è invertibile e AP 1 = P 1 D, ovvero P1 1 AP 1 = D, con 2 0 D = 0 5 Allo stesso risultato saremmo arrivati prendendo in luogo della matrice P 1 sopra indicata la matrice 2 2 P 2 = 1 6 Invece presa risulta P 3 = P 1 3 AP 3 = ( 1 )

5 LEZIONE 23 5 Esempio 2319 Riprendiamo la matrice A dell Esempio 2225 A = R 3, Nell Esempio 2225 si è verificato che gli autovalori di A sono ±3 e che si ha E A (3) = L( t ( )), E A ( 3) = L( t ( ), t ( )) Siano P 1 = 1 1 0, P 2 = , P 3 = Per i = 1, 2, 3, le matrici P i sono invertibili e P 1 i AP i = D i, con D 1 = , D 2 = , D 3 = Diagonalizzazione di matrici simmetriche Come visto nel paragrafo precedente, il fatto che una matrice sia diagonalizzabile o meno non può essere, in generale, stabilito a priori ma solo dopo lo studio dei suoi autospazi C è però una classe di matrici la cui diagonalizzabilità è assicurata da un risultato generale di cui omettiamo la dimostrazione e su cui torneremo nelle prossime lezioni Proposizione 2321 Sia A Sim n (R) Allora A è diagonalizzabile su R Si noti che la proposizione precedente assicura la diagonalizzabilità su R, cioè l esistenza di una matrice invertibile P R n,n tale che P 1 AP = D R n,n sia diagonale Esempio 2322 Sia A = Risulta t 1 1 p A (t) = 1 t t = t3 + 3t + 2 = (t + 1) 2 (t 2), Concludiamo che gli autovalori di A sono 1 e 2: inoltre per la Proposizione 2321 m a ( 1, A) = m g ( 1, A) = 2 e m a (2, A) = m g (2, A) = 1

6 6 233 IL TEOREMA DI CAYLEY HAMILTON Per determinare E A ( 1) risolviamo il sistema x y = z 0 Quindi E A ( 1) = L( t ( ), t ( )) Per determinare E A (2) risolviamo il sistema x y = z 0 Quindi E A (2) = L( t ( )) Posto P = risulta P 1 AP = Osservazione 2323 Per renderci conto della potenza della Proposizione 2321 osserviamo che, spesso, è assai difficile determinare esattamente gli autovalori di una matrice: può però essere utile poternme determinare la diagonalizzabilità Per esempio 21 3/ /4 π e /4 e 1 1/11 3/2 π A = è senza dubbio diagonalizzabile perché simmetrica a coefficienti reali 233 Il teorema di Cayley Hamilton Siano k = R, C ed A k n,n : le n matrici I n, A, A 2,, A n2 1, A n2 sono necessariamente linearmente dipendenti poiché dim k (k n,n ) = n 2 Da ciò deduciamo l esistenza di α n 2, α n2 1, α n2 2, α 1, α 0 k tali che Si consideri il polinomio α 0 A n2 + α 1 A n α n2 2A 2 + α n2 1A + α n 2I n = 0 n,n p(t) = α 0 t n2 + α 1 t n α n 2 2t 2 + α n 2 1t + α n 2 k[t] : quanto osservato sopra viene spesso riassunto affermando che A è radice di p(t) o, anche, che p(a) = 0 n,n Poiché le matrici A, A 2,, A n2 1, A n2 non sono arbitrarie ma sono potenze di una stessa matrice, è lecito domandarsi se non esista un polinomio di grado più basso di cui A sia radice: a questa domanda risponde il Teorema di Cayley Hamilton di cui omettiamo la dimostrazione

7 LEZIONE 23 7 Proposizione 2331 Siano k = R, C e A k n,n p A (t) Ciò significa che se Allora la matrice A è radice di p A (t) = ( 1) n t n + a 1 t n 1 + a 2 t n a n 1 t + a n, allora (2332) p A (A) = ( 1) n A n + a 1 A n 1 + a 2 A n a n 1 A + a n I n = 0 n,n Tale osservazione permette di introdurre un nuovo metodo di inversione di matrici Infatti se A è invertibile allora a n = det(a) 0, dunque dall Equazione (2332) otteniamo cioè 1 a n (( 1) n 1 A n 1 a 1 A n 2 a 2 A n 3 + a n 1 I n )A = I n, (2333) A 1 = 1 a n (( 1) n 1 A n 1 a 1 A n 2 a 2 A n 3 + a n 1 I n ) Esempio 2334 Si consideri la matrice a b A = c d Allora p A (t) = t 2 (a + d)t + ad bc, dunque se ad bc 0, segue dalla Formula (2333) che A 1 1 = ad bc ( A + (a + d)i 1 d b 2) = ad bc c a Esempio 2335 Si consideri la matrice A = Abbiamo visto nell Esempio 2225 che p A (t) = (t 3)(t+3) 2 = t 3 3t 2 +9t+27, quindi A ha autovalori ±3 con m a (3, A) = 1 e m a ( 3, A) = 2, in particolare det(a) = 3( 3) 2 = 27, sicché A è invertibile: inoltre abbiamo anche visto che A è diagonalizzabile Per quanto osservato nel paragrafo precedente esiste P R 3,3 invertibile tale che P 1 AP = D = , 0 0 3

8 8 233 IL TEOREMA DI CAYLEY HAMILTON quindi A = P DP 1 da cui si ottiene A 2 = P DP 1 P DP 1 = P D 2 P 1 = P (9I 3 )P 1 = 9P P 1 = 9I 3, perciò A 1 = 1 27 (A2 + 3A 9I 3 ) = 1 9 A = Ricordo che una matrice A k n,n si dice nilpotente se A N = 0 n,n per qualche intero positivo N Un altra interessante conseguenza del Teorema di Cayley Hamilton è il seguente Corollario 2336 Sia k = R, C A k n,n è nilpotente se e solo se ha 0 come unico autovalore e m a (0, A) = n Dimostrazione A k n,n ha 0 come unico autovalore e m a (0, A) = n se e solo se t n divide il polinomio caratteristico p A (t) di A cioè se e solo se p A (t) = ( 1) n t n Supponiamo allora che sia p A (t) = ( 1) n t n Per la Proposizione 2321 segue allora che 0 n,n = p A (A) = ( 1) n A n, cioè A è nilpotente Viceversa supponiamo che esista un intero positivo N tale che A N = 0 n,n Questa è un uguaglianza su k C Se λ C è una qualsiasi radice di p A (t), allora λ è un autovalore di A vista come matrice ad entrate complesse, dunque esiste X C n,1 \{ 0 n,1 } tale che AX = λx Moltiplicando ambo i membri di tale identità per A N 1 otteniamo allora che 0 n,n = A N X = λ N X da cui segue che λ = 0 è l unica radice in C di p A (t), necessariuamente con molteplicità n Esempio 2337 Si consideri la matrice A = Si ha 2 t 5 8 p A (t) = 1 4 t t = t3, quindi A 3 = 0 3,3

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

LEZIONE 17. B : kn k m.

LEZIONE 17. B : kn k m. LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare

Appunti di Algebra Lineare Appunti di Algebra Lineare Indice 1 I vettori geometrici. 1 1.1 Introduzione................................... 1 1. Somma e prodotto per uno scalare....................... 1 1.3 Combinazioni lineari e

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Esercizi su Autovalori e Autovettori

Esercizi su Autovalori e Autovettori Esercizi su Autovalori e Autovettori Esercizio n.1 5 A = 5, 5 5 5 Esercizio n.6 A =, Esercizio n.2 4 2 9 A = 2 1 8, 4 2 9 Esercizio n.7 6 3 3 A = 6 3 6, 3 3 6 Esercizio n.3 A = 4 6 6 2 2, 6 6 2 Esercizio

Dettagli

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f). Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 3 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 31 Prodotti scalari Definizione 311 Sia V SV(R) Un prodotto scalare su V è un applicazione, : V V R (v 1,v 2 ) v 1,v 2 tale che: i) v,v = v,v per ogni v,v V ; ii)

Dettagli

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2)) Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Teoremi di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio euclideo

Teoremi di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio euclideo Teoremi di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio euclideo Appunti al corso di Algebra Anno accademico 23-24 1 Prodotti diretti. Siano M e N due moduli sullo stesso anello A, non necessariamente

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

Numeri complessi e polinomi

Numeri complessi e polinomi Numeri complessi e polinomi 1 Numeri complessi L insieme dei numeri reali si identifica con la retta della geometria: in altri termini la retta si può dotare delle operazioni + e e divenire un insieme

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Determinante e inversa di una matrice

Determinante e inversa di una matrice CPITOLO 6 Determinante e inversa di una matrice Esercizio 6.. Calcolare il determinante delle seguenti matrici: 3 3 = B = 0 3 7 C = 0 D = 0 F = 0 0 3 4 0 3 4 3 Esercizio 6.. Calcolare il determinante delle

Dettagli

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara Esercizi di Algebra Lineare Claretta Carrara Indice Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 1 1. Soluzioni 3 Capitolo. Rette e piani 15 1. Suggerimenti 19. Soluzioni 1 Capitolo 3. Gruppi, spazi e

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Equazioni alle differenze finite (cenni).

Equazioni alle differenze finite (cenni). AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza

Dettagli

Particelle identiche : schema (per uno studio più dettagliato vedi lezione 2) φ 1

Particelle identiche : schema (per uno studio più dettagliato vedi lezione 2) φ 1 Particelle identiche : schema (per uno studio più dettagliato vedi lezione ) Funzioni d onda di un sistema composto Sistema costituito da due particelle (eventualmente identiche) H φ q H φ H ψ φ φ stato

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b : Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Approssimazione polinomiale di funzioni e dati

Approssimazione polinomiale di funzioni e dati Approssimazione polinomiale di funzioni e dati Approssimare una funzione f significa trovare una funzione f di forma più semplice che possa essere usata al posto di f. Questa strategia è utilizzata nell

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi (Criterio del rapporto.) Consideriamo la serie a (.) a termini positivi (ossia a > 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a +

Dettagli

GRUPPI TOPOLOGICI. 1 Gruppi Un gruppo è un insieme G, che contiene un elemento distinto e e su cui è definita un operazione binaria

GRUPPI TOPOLOGICI. 1 Gruppi Un gruppo è un insieme G, che contiene un elemento distinto e e su cui è definita un operazione binaria CAPITOLO I GRUPPI TOPOLOGICI 1 Gruppi Un gruppo è un insieme G, che contiene un elemento distinto e e su cui è definita un operazione binaria (1.1) G G (a, b) a b G con le proprietà: (i) a e = e a = a

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

Flusso a costo minimo e simplesso su reti

Flusso a costo minimo e simplesso su reti Flusso a costo minimo e simplesso su reti La particolare struttura di alcuni problemi di PL può essere talvolta utilizzata per la progettazione di tecniche risolutive molto più efficienti dell algoritmo

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 INTRODUZIONE Il problema agli autovalori di un operatore La trattazione del problema agli autovalori di un operatore fatta negli spazi finitodimensionali

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009 ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali v.scudero www.vincenzoscudero.it novembre 009 1 1 Funzioni algebriche fratte 1.1 Esercizio svolto y = x 1 x 11x + 10 (generalizzazione)

Dettagli

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2 NLP -OPT 1 CONDIZION DI OTTIMO [ Come ricavare le condizioni di ottimo. ] Si suppone x* sia punto di ottimo (minimo) per il problema min f o (x) con vincoli g i (x) 0 i I h j (x) = 0 j J la condizione

Dettagli

Rette e piani con le matrici e i determinanti

Rette e piani con le matrici e i determinanti CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.

Dettagli

Richiami di algebra lineare e geometria di R n

Richiami di algebra lineare e geometria di R n Richiami di algebra lineare e geometria di R n combinazione lineare, conica e convessa spazi lineari insiemi convessi, funzioni convesse rif. BT.5 Combinazione lineare, conica, affine, convessa Un vettore

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10 Lecture 20: 28 Maggio 2010 Cycle Monotonicity Docente: Vincenzo Auletta Note redatte da: Annibale Panichella Abstract In questa lezione

Dettagli

Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind

Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind Stefania Gabelli Dipartimento di Matematica, Università degli Studi Roma Tre Note per i corsi di Algebra Commutativa a.a. 2010/2011 1 Indice 1 Preliminari

Dettagli

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t;

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t; CAPITOLO CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA Definizioni Dato un conduttore filiforme ed una sua sezione normale S si definisce: Corrente elettrica i Q = (1) t dove Q è la carica che attraversa la sezione S

Dettagli

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale 4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE Quando si studia una funzione! " #$%&' (funzione reale di variabile reale) è fondamentale conoscere il segno, in altre parole sapere per quali valori di &( #$%&'$è positiva,

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo 5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo X m a (mod n ) Oggetto di questo paragrafo è lo studio della risolubilità di congruenze del tipo: X m a (mod n) con m, n, a Z ed m, n > 0. Per l effettiva

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA

UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA Tutti gli anni, affrontando l argomento della divisibilità, trovavo utile far lavorare gli alunni sul Crivello di Eratostene. Presentavo ai ragazzi una

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

L. Pandolfi. Lezioni di Analisi Matematica 2

L. Pandolfi. Lezioni di Analisi Matematica 2 L. Pandolfi Lezioni di Analisi Matematica 2 i Il testo presenta tre blocchi principali di argomenti: A Successioni e serie numeriche e di funzioni: Cap., e 2. B Questa parte consta di due, da studiarsi

Dettagli

Analisi Matematica I

Analisi Matematica I Analisi Matematica I Fabio Fagnani, Gabriele Grillo Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino Queste dispense contengono il materiale delle lezioni del corso di Analisi Matematica I rivolto agli

Dettagli

Lo Spettro primo di un anello. Carmelo Antonio Finocchiaro

Lo Spettro primo di un anello. Carmelo Antonio Finocchiaro Lo Spettro primo di un anello Carmelo Antonio Finocchiaro 2 Indice 1 Lo spettro primo di un anello: introduzione 5 1.1 Le regole del gioco................................ 5 1.2 Prime definizioni e risultati

Dettagli

Principal Component Analysis (PCA)

Principal Component Analysis (PCA) Principal Component Analysis (PCA) Come evidenziare l informazione contenuta nei dati S. Marsili-Libelli: Calibrazione di Modelli Dinamici pag. Perche PCA? E un semplice metodo non-parametrico per estrarre

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

19. Inclusioni tra spazi L p.

19. Inclusioni tra spazi L p. 19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p

Dettagli

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e

Dettagli

. analisi teorica (studio di esistenza, unicità della soluzione, sensitività rispetto ai dati, regolarità, comportamento qualitativo).

. analisi teorica (studio di esistenza, unicità della soluzione, sensitività rispetto ai dati, regolarità, comportamento qualitativo). 1 Modelli matematici Un modello è un insieme di equazioni e altre relazioni matematiche che rappresentano fenomeni fisici, spiegando ipotesi basate sull osservazione della realtà. In generale un modello

Dettagli

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA Prerequisiti - Impiego di Multipli e Sottomultipli nelle equazioni - Equazioni lineari di primo grado e capacità di ricavare le formule inverse - nozioni base di fisica

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

e l insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni del caso n = 2, si scrive come

e l insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni del caso n = 2, si scrive come Numeri complessi 9 Da questi esempi si può osservare che, facendo le successive potene di un numero complesso, i punti corrispondenti girano attorno all origine. Se inoltre > allora i punti si allontanano

Dettagli

+ t v. v 3. x = p + tv, t R. + t. 3 2 e passante per il punto p =

+ t v. v 3. x = p + tv, t R. + t. 3 2 e passante per il punto p = 5. Rette e piani in R 3 ; sfere. In questo paragrafo studiamo le rette, i piani e le sfere in R 3. Ci sono due modi per desrivere piani e rette in R 3 : mediante equazioni artesiane oppure mediante equazioni

Dettagli

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i NA. Operatore nabla Consideriamo una funzione scalare: f : A R, A R 3 differenziabile, di classe C (2) almeno. Il valore di questa funzione dipende dalle tre variabili: Il suo differenziale si scrive allora:

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

nica Cagliari ) m Viene detto (1) Dal sistema dell energia Un possibile

nica Cagliari ) m Viene detto (1) Dal sistema dell energia Un possibile Viene detto sistema polifase un sistema costituito da più tensioni o da più correnti sinusoidali, sfasate l una rispetto all altra. Un sistema polifase è simmetrico quando le grandezze sinusoidali hanno

Dettagli

B9. Equazioni di grado superiore al secondo

B9. Equazioni di grado superiore al secondo B9. Equazioni di grado superiore al secondo Le equazioni di terzo grado hanno una, due o tre soluzioni, risolvibili algebricamente con formule molto più complesse di quelle dell equazione di secondo grado.

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli. Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it

Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli. Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it 3 4 5 Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it Qualche osservazione preliminare sul Teorema di Pitagora e le terne

Dettagli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli I numeri complessi Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli 1 Introduzione Studiare i numeri complessi può sembrare inutile ed avulso dalla realtà;

Dettagli

Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta

Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Francesco Zumbo www.francescozumbo.it http://it.geocities.com/zumbof/ Questi appunti vogliono essere

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli