Campo elettrico e potenziale di un disco uniformemente carico

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1 Campo elettico e poteniale di un disco unifomemente caico q S densità supeficiale di caica Consideo l anello di aggio e spessoe d calcolo l anello sommo sugli anelli ho due integaioni dq da πd d Σ anello d πd anello 4ε R ( ) 3 4ε ( ) 3 ( ) ( )d d 3

2 Ricodiamo che 3 - m d dx x m x dx x m m Alloa toviamo ( ) ( ) ( ) R R disco R disco 4 ε ε ε Pe R ε infinito disco piano Pe piano un campo è quello di disco il vicino al infinito piano disco ε

3 Passiamo oa al calcolo del poteniale d ( R) d dq R ( ) ε πd ( ) ( ) d ε ( ) R Pe R Pe R ε

4 Campo elettico ceato da una caica unifomemente distibuita su di un piano conduttoe infinito (s > ) Le linee di foa del campo elettico sono al piano caico Pendiamo come supeficie gaussiana un cilindo che attavesa la supeficie caica ed è ad essa e calcoliamo il flusso totale Φ Φ Φ S Infine toviamo ( S ) Φ ( sup.lat. ) S S ε ε q S Il campo elettico sulla supeficie di un conduttoe non dipende dalla distana dal piano: campo unifome

5 Consideiamo oa una lamina infinita isolante unifomemente caica con densità s > Il campo elettico è alla lamina ed è uscente La supeficie gaussiana che consideiamo è sempe un cilindo alla supeficie stessa Le linee di foa intesecano la supeficie gaussiana da una pate all alta Φ Φ Φ S ( S ) Φ ( S ) Φ ( sup.lat. ) S ε q S S S e quindi ε Il isultato vale pe punti a distana finita dalla lamina

6 Consideiamo oa due piaste conduttici unifomemente caiche e con caica opposta con densità s s, il campo elettico è nullo all inteno delle due piaste e appena al di fuoi di esse vale ε pe la piastaconcaica positiva ε pe la piastaconcaicanegativa Notiamo che il campo elettico è uscente dalla piasta con caica positiva ed entante nella piasta con caica negativa Se oa avviciniamo le due piaste dobbiamo combinae i due campi elettici

7 Nella ona abbiamo ε ε Nella ona toviamo 3 Nella ona 3 infine è ε ε ε ε ε In conclusione abbiamo ceato un campo elettico unifome confinato nello spaio compeso ta le due lamine conduttici. Notiamo che passando attaveso ad una supeficie caica il campo subisce una discontinuità pai a s/e, popietà sempe valida

8 saminiamo il poteniale associato ad un dipolo elettico Deteminiamo il poteniale del dipolo nel punto P, esso saà la somma del poteniale dovuto alla caica positiva e - dovuto alla caica negativa q q q P P P TOT 4 4 ) ( ) ( ) ( πε πε Nella ealtà i dipoli sono molto piccoli e quindi possiamo assumee che >> d, alloa cos 4 cos d q d ϑ πε ϑ cos 4 p ϑ πε

9 Oa che abbiamo deteminato il poteniale del dipolo elettico, possiamo calcolae il campo elettico del dipolo in ogni punto dello spaio usando le coodinate polai e q u q u p q q P p cosϑ 3 ds dϑ ϑ ϑ psin ϑ 3

10 Note sull enegia poteniale Analiiamo oa l enegia poteniale associata ad un sistema di più caiche. Fino a qui abbiamo palato di U solo pe una caica q che si tova in un campo elettico geneato da alte caiche, oa ci chiediamo invece qual è l enegia poteniale del sistema di caiche che genea il campo. Costuiamo il nosto sistema di caiche, pendendo ciascuna caica e potandola dall infinito alla sua posiione finale, (le caiche sono in quiete sia all infinito che nella posiione finale f) U ( U ) f U L f Il sistema più semplice è quello costituito da due caiche q e q. Pendiamo la caica q e la potiamo dall infinito alla sua posiione finale f, pe fae questo non vaiamo alcuna enegia poteniale in quanto non abbiamo ancoa un campo elettico e quindi non facciamo lavoo

11 Pendiamo oa la caica q che si tova in quiete all infinito e la potiamo alla posiione finale f situata ad una distana da q. Abbiamo bisogno di applicae una foa F -q che compia il lavoo L necessaio a costuie il sistema, al temine del pocesso il sistema ha icevuto enegia (il lavoo fatto) e l ha immagainata sotto foma di enegia poteniale sempio 4 πε qq U q ogliamo deteminae l enegia poteniale elettostatica del sistema di caiche appesentato in figua d cm, q q, q -4q, q 3 q, q 5 nc

12 Sappiamo già che pe posiionae la caica q non dobbiamo compiee alcun lavoo, quindi potiamo la caica q a distana d da q qq L U d Pendiamo oa q 3 e la potiamo a distana d sia da q che da q, pe fae ciò dobbiamo compiee due lavoi in quanto abbiamo due campi, quello geneato da q e quello geneato da q, petanto qq3 qq3 L L3 L3 U3 U 3 d d L enegia poteniale elettostatica del sistema così costuito saà la somma delle enegie elettostatiche accumulate nel sistema duante la sua costuione qq qq3 qq3 U U U3 U 3 d d d

13 q U 7 4 πε d mj L enegia poteniale elettostatica negativa indica che il sistema si ompe solo se dall esteno gli si fonisce un enegia pai a 7 mj, si dice anche che il sistema è legato L enegia poteniale elettostatica così calcolata non dipende dall odine con cui vengono consideate le caiche, ma solo dalle inteaioni fa le coppie di caiche, inteaioni che vanno consideate una volta sola pe coppia. L enegia poteniale elettostatica appatiene al sistema di caiche U i< j q q i ij j