IL TEOREMA DI UNICITA PER 1 FLUIDI INCOMPRESSIBILI, PERFETTI,ETEROGENEI

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1 IL TEOREMA DI UNICITA PER 1 FLUIDI INCOMPRESSIBILI, PERFETTI,ETEROGENEI di DARIO GRAFFI, Bologna (Italia) 1. In una Nota pubblicata due anni fa (1) ho tabilito il teorema di unicitil per le'equazioni dei fluidi compreibili barotropici, ovviamente corredate da opportune condizioni iniziaie al contorno; l'anaiogo teorema per i fluidi incompreibili rientra, qome cao particolare, in una mia ricerca del 1930 (2). In tutti queti lavori ho pero uppoto il fluido.omogeneo, qui intenoo trattare il cao del fluido eterogeneo" pero per:6etto e con denitil variabiie con continuitil. Dimotrero cioe il teorema: le equazioni del moto dei fluidi incompreibili, perfetti, eterogenei, determinano in modo univo,co i valori della velocitd V, della denitd p, della preione p (quet'ultima a meno di una funzione arbi-' tnaria del tempo) in ogni punto P di un dominio limitato (D) e in ógni itante t poitivo, qu:alora iano aegnate: a) pa ogni t le forze di maa come funzione di p, P, t, funzione con derivata limitata; ripetto a p; b) all'itante iniziale i valori di p e v in tutto (D); c) in ogni itante poitivo ulla uperficie cj che limita (D) V. Ji. ('ñ verore normale a cj diretto vero l'eterno di (D), V. Ji indica ovviamente il prodotto calare fra v ed Ji) e dove qujeta grandezza e negativa (cioe dove il fluido entra in (D)) anche le altne componenti di vela denitrl p. Le v, p,p i uppoogono regolari, cioe finite e continue con derivate prime, ripetto al tempo ed alle coordinate, limitate in tutto (D) e per ogni t compreo fra zero e T dove T e un nu'"' (1) D. GRAFFI, II teorema di 1tnidtd nella dinantica dei fluidi compl e ibili. Journal of Rational Meehanie and Analyi, vol. 2, 1953, (") D. GRAFFI, Sulla teoria della propagazione del calore pel' convezione natw'ale, Rend. Lincei, (6), XII, 1930, pp

2 -74- mero poitivo e del reto arbitrario. Inoltr.e, conforme all'eperienza, i uppone la P empre e dovunque poitiva. Il teorema di unicita riulta valido anche e (D) e illimitato purche i pongano alcune condizioni di convergenza all'infinito. 2. Le equazioni del moto dei fluidi perf.etti, incompreibili, non omogenel, ono: 015 dv _. - Pót+P dp v=-gradp+f(p,p,t) (1) divv=o op l Tt + grad p. 13=0 dove F(p, P, t) indica la forza di maa; ~~ v il vettore otoodv nuto applicando a v l' omografia veuoriale dp' o e i vuole il vettore ottenuto eeguendo il prodotto di compoizione fra il tenore ~~ e il vettore v. La econda equazionedel itema (1) e, ovviamente, quelladi continuita, l'ultima equazione eprime l'invarianza della denita di una determinata particella di fluido. Ció poto, i upponga, per aurdo, che il itema (1) ammetta due oluzioni rappreentate ripettivamente da p, p, v 'e p + P1' p + Pi> , ambedue regolari e oddifacenti alie tee condizioni iniziali ed al contorno. Sara perció, in tutto (6) e per ogni itanoo poitivo 13 1, ñ=o, inoltre 13 1 =0, P1 =0, dove V. ñ<o, '15 1 =0, P1 =0 in tutto (D) per t=o. AlIora, ponendo nella (1) in luogo di p, p, v ripettivamente p + P1' , P + P1' i ouengono altre equazioni da cuí ottraoendo le analoghe di (1), dopo ovvi paaggi, i ha: (2) =-- gracl P1 + F(p + P1' P, t) - F(p, P, t)

3 -75 - (3) divv 1 =0 (4) 0;: +gradpl' (v+v 1 ) +gradp. Vi =0. CiD poto,i moltiplichi calarmente per Vi ogni termine di (2) e i integri il riultato ottenuto u tuitto il volume S del dominio (D). Dopo emplici calcoli i ottiene: (5) - f gradpl.vl ds + J[F(p + Pi> P, t) -F(p, P, t)]. Vi ds. 8 8 Ora tenendo preente ( 4) e che Vi' n e nullo u (j i ha: (6) J grad Pi. Vi ds = f div (Pi Vi) ds = f Pi Vi. Ti ds = O. 8 8 a Inoltre, ricordando alcuni riultati della prima Nota citata (preciamente le formule (13), (14), (15), (16), (17) e (19» i. ha che, e t e minore T poitivo arbitrario, la omma dei termini non nulli a econdo membro di (5) e inferiore ad un numero poitivo che per comodita indicheremo con M, moltipli-. 2 cato per l' integrale eteo ad S di P1 2 + V 1 2 Si ha coi: (7) ;l J P V1 2 ds < M JP12 + V1 2 ) ds. 8 8

4 -76 - IntegrJando la (7) da zero a t e detto m> l'etremo inf.eriore di P per P in (D) e t neli'intervalio (O, T) i ha: (8) f V1 2 ds < ~f dt J O!:J (P1 2 +V1 2 ) ds. 3. Si moltiplichi ora la (4) per P1e iintegriancora u tutto S. Si ottiene: (9) ~ 1tf P1 2dS =- Jp1gr.adP1.(V+l\)dS- Jp1grad P.v1dS. Ora, detto N il m:~imo di grad P empre per P in (D) e per t ID (O,T) i ha: (10) f P1 grad p. v1 ds < ~ f (P1 2 +V1 2 ) ds. Si ha poi, tenendo preente (3) e la ecónda di (1): (11) - jp1grad P1(v+v1)dS=- ~ f div(pi 2 (v +v 1))dS=!:J - ~ f P12(ii+ v 1) Tido<O perche dove Pi e divera da zero (v + v 1 ). Ti e poitiva o nulia. Si ha aliora, otituendo (10) in (9), tenendo preente (11) e poi integrando da a t: (12) J P12dS <N f dt J(P12+V1 2 ) ds. o oromando ora (12) con (8) i ha ubito: t a

5 -77 - da cui, ragionando come nella prima Nota citata (3), i ha che l'integrale al primo membro di queta equazione e nuilo per ogni t poitivo minore di T, oia, per l'arbitrar.ieta di T, par ogni t. Allora, con ragionamenti ben no ti, i deduce ubito Pl e Vl identicamente nulli per ogni punto di (D) e per ogni i:.. tante poitivo. Dalla (2) i ha poi grad Pl = O cioe Pl vale 'una funzione del tempo, pero indipendente dalle coordinate. Il teorema di unicita e percio completamente provato e i elellde anche a domini illimitati purche i ammettano al cune condizioni di convergenzaall'infinito, ad e. infiniteima di ordine uperiore a 3/2 la diffene.nza fra p, P e v ed i valori aegnati per 'quete grandezze all'infinito. 4. Un eempio di fluido incompreibile eterogeno e fornito.(la un liquido che contieilie una otanza diciolta con concentrazione variabile in ogni uo punto. Infatti e i tracura la diffuione della otanza diciolta le equazioni che reggono il moto del liquido ono appunto le (1). E' da notare che e i uppone il liquido omogeneo di elenita Po la denita del fluido vale 'Po(l + e) e e e la concentrazione (e e i tracurano le variazioni di volume dovute alie variazioni di e), icche il grad~ente di p e proporzionale a quello di c. Quindi, e non i tracura la diffuione, biogna aggiungere al econdo membro dell'ultima equazione di (1) un termine proporzionaleallaplaciano di -p con coefficiente di proporzionalita cotante e poitivo. Collo teo procedimento uato nei numeri precedenti non a.r.ebbe difficile dimotrare che il teoi1ema di unicita vale anche in queto cao, purche i ammetta aegnata, in ogni itanbe en tutta la uperficie che limita (D), la denita del fluido. (") Cioe applicando il le=a di Gronwall. Cfr. G. SANSONE, Eq1tazioni differenziali nel call1po real e, Zanichelli, Bologna, 1948, vol. 1 Q, p. 30.