Aspetti dell informazione

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1 Aspetti dell informazione Quando abbiamo a che fare con informazione di qualunque tipo distinguiamo: contenuto (messaggio/significato) rappresentazione (codifica/significante) supporto materiale Il numero dieci 10 (dieci nella numerazione araba) X (dieci nella numerazione romana) 10

2 Significato e significante Pane Cane Analogico/digitale: una definizione Analogico: basato sulla similitudine tra la rappresentazione e l'informazione rappresentata Digitale: basato su una rappresentazione simbolica di informazioni discrete

3 Esempi Orologio a lancette/ orologio a cifre il disco di vinile/ il CD La fotocamera tradizionale/quella digitale il telefono tradizionale/ la linea ISDN Codifica di informazioni (discrete) A = alfabeto = insieme finito di simboli = {a,b,c, } stringa = sequenza finita di simboli di A esempio: aabcedc è una stringa di n = 7 simboli codifica: funzione che associa in modo 1-1 (iniettivo) una stringa su A ad ogni informazione informazioni codifica A* = insieme di tutte le stringhe su A

4 Esempio: codifica binaria A = {0,1} La lampadina è Siamo in spenta accesa primavera estate autunno inverno Quante informazioni posso rappresentare con stringhe di lunghezza n su un alfabeto di k simboli? Esempio A = { } Quante sono le stringhe di lunghezza n se A ha k simboli? Data la stringa s = x 1 x n-1 esistono k stringhe della forma x 1 x n-1 y con y A

5 perciò se le stringhe di lunghezza n-1 sono m, allora quelle di lunghezza n sono m k. Facendo variare n: n = 1 allora k n = 2 allora k k n = 3 allora k k k in generale le stringhe di lunghezza n saranno: k k (n volte) = k n In conclusione: con un alfabeto di k simboli posso rappresentare k n informazioni con stringhe di lunghezza n Esercizio L alfabeto A = { } : quante informazioni posso codificare con stringhe di lunghezza 5? 4 5 = 1024

6 Rappresentazione delle informazioni all interno dei computer I computer usano una codifica binaria. L alfabeto e costituito da soli due simboli, indicati convenzionalmente con 0 e 1 L entità minima di informazione (0 e 1) prende il nome di bit (binary digit - cifra binaria). Mediante un bit possiamo rappresentare due informazioni Le ragioni di questa scelta sono prevalentemente di tipo tecnologico, infatti i due simboli corrispondono a: due stati di polarizzazione di una sostanza magnetizzabile; i due stati di carica elettrica di una sostanza al passaggio/non passaggio di corrente attraverso un cavo conduttore; al passaggio/non passaggio di luce attraverso un cavo ottico etc...

7 Unità di Misura: bit, Byte, 1 bit = stringa su {0,1} di lunghezza unitaria 1 byte = stringa su {0,1} di lunghezza 8 1 KB = 2 10 = 1024 byte 1 MB = 2 20 =1024 Kbyte (un milione di byte circa) 1 GB = 2 30 =1024 Mbyte (un miliardo di byte circa) 1 TB = 2 40 =1024 Gbyte (mille miliardi di byte circa) Codifica binaria Con una sequenza di n bit possiamo rappresentare 2 n informazioni Viceversa: se devo rappresentare k> 1 informazioni diverse, quanti bit sono necessari? Ho bisogno di un numero di bit n tale che 2 n k Questo numero è log 2 k

8 k log 2 k Esercizio Quanti bit sono necessari per codificare i giorni della settimana? E i giorni del mese?

9 Soluzione I giorni della settimana sono 7: ho bisogno di 3 bit I giorni del mese sono al massimo 31: ho bisogno di 5 bit La codifica dei caratteri Dobbiamo rappresentare le lettere dell alfabeto {a,b,c, A,B,C, %, &, (, ), 0,1,2,3,.,;?+,-*,...} L insieme di simboli comunemente usati nell alfabeto anglosassone, incluse le cifre numeriche, lettere maiuscole e minuscole, simboli di punteggiatura, parentesi e operatori aritmetici, può essere codificato usando 7 bit (2 7 = 128) Il metodo di codifica più diffuso tra i produttori di hardware e di software prende il nome di codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange)

10 La codifica dei caratteri: Il codice ASCII NUL SO FS SOH SI GS STX DLE RS ETX DC US EOT DC SP ENQ DC ! ACK DC " BEL NAK # BS SYN $ HT ETB % NL CAN & VT EM ' NP SUB ( CR ESC ) La codifica dei caratteri: Il codice ASCII * G : H , ; I < J = K / > L ? M N A O B P C Q D R E S F T

11 La codifica dei caratteri: Il codice ASCII U c q V d r W e s X f t Y g u Z h v [ i w \ j x ] k y ^ l z _ m { ` n a o } b p ~ DEL Il codice ASCII Sebbene 7 bit siano sufficienti per codificare l insieme di caratteri di uso comune, il codice ASCII standard utilizza 8 bit, il primo dei quali è sempre 0 Codici ASCII con 1 iniziale sono utilizzati per codificare caratteri speciali, ma la codifica non è standard. Codifica della parola cane c a n e

12 Problema inverso: decodifica quale testo è codificato da una data sequenza? si divide la sequenza in gruppi di otto bit (un byte); si determina il carattere corrispondente ad ogni byte i l P o. Osserva che: La decodifica è possibile (e facile) perchè i caratteri sono codificati con stringhe binarie di lunghezza costante

13 Altri formati ECBDIC formato alternativo a 8 bit UNICODE nuovo standard a 16 bit contiene simboli per la maggiorparte degli alfabeti esistenti (compreso arabo, giapponese, etc ) MSWINDOWS codifica proprietaria della Microsoft simile a UNICODE Esercizio Un testo di 400 caratteri occupa 1600 bit, quanti caratteri puo avere al massimo l alfabeto?

14 Soluzione Ogni carattere occupa 1600/400 = 4 bit, quindi con 4 bit posso codificare sino a 2 4 = 16 caratteri Codifica di un documento Un documento può essere formattato: i caratteri hanno una dimensione, uno stile, un font il testo può essere giustificato, avere margini, tabulazioni, centrature, incolonnato etc. Tutte queste caratteristiche possono venire codificate e memorizzate insieme al testo formato solo-testo (text-only) rimuove tutte le informazioni di formattazione aggiuntive

15 Rappresentazione dei numeri Il codide ASCII codifica anche le cifre decimali la codifica ASCII è troppo costosa in spazio: 24 = non è possibile usare direttamente le codifiche ASCII per le operazioni aritmetiche: Esempio: Numero ASCII = e Rappresentazione dei numeri La numerazione decimale utilizza una notazione posizionale basata sul numero 10. La sequenza 234 rappresenta il numero 2 x x x 10 0 La notazione posizionale può essere utilizzata in qualunque altro sistema di numerazione (con base diversa da 10)

16 Sistemi di numerazione Ogni numero può essere rappresentato in qualunque base B > 1 Fissata una base B > 1 c n c n-1 c 1 c 0 dove ciascun c i < B, rappresenta il numero r = c n B n + c n-1 B n c 1 B 1 + c 0 B 0 Basi usate comunemente Base decimale B = 10: cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Base binaria B=2: cifre 0,1 Base ottale B=8: cifre 0,1,2,3,4,5,6,7 Base esadecimale B=16: cifre 0,1,,9,A,B,C,D,E,F

17 Sistema di numerazione binaria Nel caso binario la sequenza c n c n-1 c n-2... c 1 c 0 (ogni c i è la cifra 0 o la cifra 1 ) rappresenterà il numero c n x 2 n + c n-1 x 2 n c 1 x 2 1 +c 0 x 2 0 La sequenza 1011 in base 2 denota il numero 1 x x x x 2 0 = 11 (in base 10) Per evitare ambiguità si usa la notazione = Esempio: numero rappresentazione binaria

18 Metodo di conversione da base 10 a base 2 Dato k = c n x 2 n + c n-1 x 2 n c 1 x 2 1 +c 0 x 2 0 siano m il quoziente di k diviso 2 e r il resto, hai che m = c n x 2 n-1 + c n-1 x 2 n c 1 x 2 0 r = c 0 k = 2m + c 0 c 0 {0,1} è l ultimo bit (il meno significativo) ripeti il procedimento su m determinando in questo modo gli altri bit, fino a che m non e piu divisibile. Esempio = = = = = = = 22 10

19 Esercizio Esercizio: convertire in binario il numero 37 soluzione: = = Aritmetica binaria = 0 con riporto = 1 con riporto = 1 con riporto = 0 con riporto = =

20 Esercizio Calcola Soluzione risultato = = 32

21 Limiti della rappresentazione di numeri Consideriamo la base dieci: con 3 cifre decimali si possono rappresentare i numeri compresi tra 0 e 999, il numero successivo (1000) richiede una quarta cifra Se si vuole rappresentare 1000 con 3 cifre decimali si ha un problema di overflow, ossia si esce dal numero di cifre destinato alla rappresentazione, e si genera un errore perché il numero non può essere rappresentato Poiché il numero 999 può essere scritto come (ossia ), possiamo enunciare la seguente regola: con N cifre decimali si possono rappresentare i numeri da 0 a 10 N -1 Consideriamo la base due: con tre cifre binarie si possono rappresentare i numeri compresi tra 0 e (ossia 8-1), possiamo enunciare la seguente regola: con N cifre binarie si possono rappresentare i numeri da 0 a 2 N -1

22 Overflow nelle operazioni = 011 = = 100 = *** ERRORE: OVERFLOW *** (non può essere codificato con tre bit) Questo problema può essere osservato anche con la rappresentazione decimale = 11 *** ERRORE: non basta una sola cifra Standard per numeri interi Numeri piccoli: 1byte <= 255 Interi: 2-4byte <= 2 32 Interi lunghi: 4-8byte <= 2 64

23 Rappresentazione di numeri razionali in virgola mobile (floating point) Rappresentazione di numeri razionali, esempio 12,5 Abbiamo che 12,5 = 125/10 = 125 * 10-1 = 1250/100 = 1250 * 10-2 possiamo quindi rappresentare 12,5 con la coppia (125, -1) Si adotta una rappresentazione dei numeri razionali (con segno) del tipo segno mantissa base esponente

24 Rappresentazione di numeri grandi Esempio: supponiamo di avere a disposizione solo 2 bytedi dover memorizzare (non si può: 2 16 ~ ) O si usano più byte o si sacrifica la precisione, adottando una rappresentazione in virgola mobile = (2.307 x ) = = (2.307 x 10 4 ) Se siamo disposti a trascurare l'ultimo addendo (7.130), possiamo memorizzare il numero dedicando i primi 4 bit all'esponente (il 4 di 10 4 ) e i restanti 12 bit al moltiplicatore (mantissa) 1 BYTE 2 BYTE ESPONENTE MANTISSA

25 Codifica standard a 32 bit 1 bit per il segno dell esponente 1 bit per il segno della mantissa 8 bit per il valore assoluto dell esponente 22 bit per il valore assoluto della mantissa Uso di hardware specializzato per operazioni con floating point: coprocessore matematico Esempio: rappresentazione dei razionali (con base 10) x x x x Numeri Negativi rappresentabili Numeri Positivi rappresentabili

26 Esercizio Supponi di avere 1 bit per segno mantissa 1 bit per segno esponente 2 bit per esponente e 8 bit per mantissa m e i numeri siano scritti in base 10 come m* 10 e quali sono il minimo e il massimo numero positivo e negativo rappresentabili? osservare le lacune: alcuni numeri non sono rappresentabili Fissando il numero complessivo di bit si hanno due scelte: Meno bit per l esponente, più bit per la mantissa: maggiore precisione intervallo piccolo dei numeri rappresentabili (numeri densi) Più bit per l esponente, meno per la mantissa: minore precisione, intervallo grande dei numeri rappresentabili (numeri sparsi)