1 Valore assoluto di un numero. 2 Potenze ad esponente intero e loro proprietà. 3 Esercizi sulle potenze ad esponente intero

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1 Vlore ssoluto di un nuero Potenze d esponente intero e loro proprietà Esercizi sulle potenze d esponente intero Rdice qudrt di un nuero rele (positivo o nullo) Esercizi sulle rdici qudrte ed ppliczioni reltive Vlore ssoluto di un nuero Il vlore ssoluto di nuero è ugule l nuero stesso se il nuero è positivo o nullo,è ugule ll'opposto del nuero se il nuero é negtivo: SE 0 SE 0 Ad esepio: 7 7, 0 0,,..,. Molte clcoltrici scientifiche progrili hnno un tsto specifico (indicto con o con ABS) per deterinre il vlore ssoluto di un nuero. Proprietà: Il vlore ssoluto dell so di due nueri è inore o ugule dell so dei vlori ssoluti dei due nueri. Il segno di uguglinz è vero solo qundo i due nueri reli hnno lo stesso segno, oppure qundo leno uno dei due nueri è nullo. Ecco lcuni esepi: 8 8 e 8. In questo cso risult:. ( ) e 8. In questo cso risult: ( ). ( ) ( ) 8 8 e 8. In questo cso risult: ( ) ( ). Il vlore ssoluto dell differenz di due nueri è inore o ugule dell so dei vlori ssoluti dei due nueri. L diostrzione di quest proprietà f riferiento ll precedente. Inftti si h: ( ). Il vlore ssoluto del prodotto di due nueri è ugule l prodotto dei vlori ssoluti dei due nueri. L diostrzione di quest proprietà f riferiento ll rdice qudrt e si trov nel prgrfo. In ogni cso è di fcile verific con esepi nuerici. R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

2 (0) Il vlore ssoluto del rpporto di due nueri è ugule l rpporto dei vlori ssoluti dei due nueri. L diostrzione di quest proprietà f riferiento ll rdice qudrt e si trov nel prgrfo. In ogni cso è di fcile verific con esepi nuerici. Potenze d esponente intero e loro proprietà Un potenz è un'espressione del tipo:, ; in generle:... dove è un nuero rele. Vocolrio: fttori è l potenz è l se dell potenz è l'esponente dell potenz Ad esepio: 8. Qui è l potenz, è l se dell potenz, è l'esponente dell potenz e 8 è il vlore nuerico dell potenz. Proprietà: n n () Il prodotto di due potenze, venti l stess se, è un'ltr potenz vente per se l stess se e per esponente l so dei due esponenti. Forul certente vlid qundo e n sono nueri nturli. Ad esepio: 7 fttori fttori 7 fttori n n () Il rpporto di due potenze, venti l stess se, è un'ltr potenz vente per se l stess se e per esponente l differenz dei due esponenti. Anche quest forul è certente vlid qundo e n sono nueri nturli ed n. Ad esepio: 0 0 () Un potenz con esponente nullo è ugule. Quest'ulti conclusione è suggerit dl secondo esepio ftto per l proprietà (). Inoltre, lo stesso esepio port d estendere l vlidità dell forul () l cso in cui gli esponenti ed n sono nueri interi R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

3 (positivi e negtivi), in qunto, essendo il prodotto di due nueri reciproci uguli, si h, d esepio:. Allor, ponendo l definizione, si vree pplicndo l ( ) 0 forul (): () Generlizzndo, si può porre l definizione (), in qunto consistente con le proprietà () () e ():. Ad esepio: L vlidità delle forule (), (), () e (), llor, si può estendere d esponenti pprtenenti ll'insiee Z dei nueri interi. () L potenz, di dto esponente, del prodotto di due nueri è ugule l prodotto delle potenze dei due nueri con l'esponente dto. L proprietà () si può giustificre così: fttori fttori fttori dove i puntini tr i due segni '=' stnno rppresentre l'ppliczione successiv dell proprietà couttiv e di quell ssocitiv. Ad esepio: 6 9 (6) L potenz, di dto esponente, del rpporto di due nueri è ugule l rpporto delle potenze dei due nueri con l'esponente dto. L proprietà (6) si può giustificre così: R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

4 Ad esepio: fttori fttori (7) L potenz di un potenz è un'ltr potenz vente per se n n l se dell pri potenz e per esponente il prodotto degli esponenti. L proprietà (7) si può giustificre così: n n fttori fttori fttori fttori... n fttori Ad esepio, risult: oppure: n n fttori oppure: Le potenze trovno un'ppliczione iportnte, specie nelle scienze pplicte quli l fisic e l chiic, per l scrittur dei nueri in notzione scientific. Questo signific che un nuero viene scritto coe prodotto di un nuero copreso tr e 0 (0 escluso) per un'opportun potenz di 0: = 0 n ( <0) Ad esepio: = 0 (velocità dell luce nel vuoto in k/s) =.0 8 (distnz edi Terr-Sole in K) 0.0 = = =.0-9 (rggio edio, in c, dell'too d'idrogeno) R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

5 L prte decile del nuero si chi ntiss (e può vere un o piú cifre decili, dette cifre significtive), l'esponente n di 0 esprie l'ordine di grndezz del nuero. Il nuero delle cifre significtive con cui si esprie il nuero esprie nche il livello di precisione (o sepliceente l precisione) con cui si è isurto. Riprendendo uno degli esepi precedenti sull velocità dell luce nel vuoto, si può scrivere quest coe: 0 k/s (un sol cifr significtiv: ) oppure.000 k/s ( cifre significtive:, 0, 0) e l second scrittur è utorizzt solo se l precisione dell isur effettut lo consente. Le proprietà viste sulle potenze possono llor così rissuersi ( ed n sono interi pprtenenti, quindi, Z): n n n 0 n n n Esercizi sulle potenze d esponente intero Clcolre: ) 7 ) - (-) d) (-) -6 e) (-) - f) (-) - g) 7 0 h) i) j) - k) l) Scrivere sotto for di potenz con esponente intero i seguenti nueri: ) 8 ) 7 6 d) 0.00 e) 0000 f) g) 0. h) i) j) k) -0 l) ) -0. n) -79 o) p) - q) 6 r) Scrivere in notzione scientific i seguenti nueri: ) 00 ) d) 0.00 e) f) Clcolre le potenze indicte: ) () ) () - () d) f) 9 g) e) h) i) j) R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

6 Espriere le seguenti espressioni sotto for di potenz di un prodotto o di un rpporto opportuni: ) 8 ) 0. 7 d) 0. e) Clcolre le seguenti espressioni (espriendo il risultto sotto for di potenz di un nuero intero o di un frzione): ) ) d) 0 e) 7 Espriere sotto for di potenz di un o piú lettere, che espriono nueri reli non nulli: ) ) d) e) f) g) z h) 8 Eseguire, con l'usilio di un clcoltrice tscile, i clcoli indicti dei nueri espressi in notzione scientific, espriendo il risultto ncor in notzione scientific e con l ntiss vente cifre decili: ) ) d) e). 70 f) g) h) Clcolre, in notzione scientific e con due cifre decili nell ntiss, il volue edio di un too d'idrogeno (r =.0-9. Spendo che il suo nucleo h un rggio edio di circ 0 - c, clcolre nche il volue del nucleo ed il rpporto tr il volue dell'too e quello del suo nucleo. Riflessioni (fisiche? filosofiche?) 0 Clcolre il volue dell Terr, supponendo che si un sfer perfett e spendo che il suo rggio edio è ugule 6.70 k. Rdice qudrt di un nuero rele (positivo o nullo) Se si vuole risolvere un'equzione del tipo:, llor si verific suito che e, il che signific che = - e = sono soluzioni dell'equzione dt. Si può nche dire che l rdice qudrt di è :. Generlizzndo, si può dre l seguente definizione: R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

7 0 0 L rdice qudrt di un nuero positivo o nullo è quel nuero positivo o nullo che elevto l qudrto dà il nuero dto. è l rdice qudrt di ( 0) è il siolo di rdice qudrt è il rdicndo Si ette che ogni nuero rele (positivo o nullo) è il qudrto di un'ltro nuero rele. Dll definizione di rdice qudrt risult nche che l'operzione di rdice qudrt è l'operzione invers di elevento l qudrto, in qunto:. Se é un nuero rele qulunque (negtivo, nullo o positivo) si deve scrivere: non h soluzioni in qunto l so di due nueri positivi non può essere ugule zero! ( ) in qunto l rdice qudrt di un nuero è definit positiv o null. L'equzione R può essere risolt coe segue: L'equzione 0 R 0 non h soluzioni in qunto l so di due nueri positivi non può essere ugule zero. Oppure si può riscrivere l'equzione precedente coe e dire che un nuero positivo non può essere ugule d un nuero negtivo! Proprietà dell rdice qudrt: ( e sono due nueri reli positivi o nulli) Il prodotto delle rdici qudrte di due nueri positivi è ugule ll rdice qudrt del prodotto dei due nueri. L proprietà si 'diostr' verificndo che sono uguli i qudrti di entri i eri: Così, d esepio: (o nche perchè: ) R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

8 ( è un nuero positivo o nullo e è un nuero positivo) Il rpporto delle rdici qudrte di due nueri positivi è ugule ll rdice qudrt del rpporto dei due nueri. Anche quest proprietà si 'diostr' verificndo che sono uguli i qudrti di entri i eri: Così, d esepio: Rdice qudrt: definizione e proprietà 0, 0, ( ) ( 0) Alcuni prodotti notevoli utili R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

9 Rzionlizzzione Con quest espressione si intende l'insiee di operzioni d effetture per fr scoprire delle rdici qudrte dl denointore di un frzione ( volte, per lcuni tipi prticolri di operzioni, si richiede di fre nche il contrrio, cioé fr scoprire le rdici qudrte dl nuertore di un frzione dt). Alcuni esepi illustrernno coe isogn procedere in entri i csi: 9 8 h h h h h h h h h h h R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

10 Rdicli doppi Con questo terine si indicno delle espressioni contenenti rdici qudrti del tipo: 0,, o, in generle, del tipo:, dove e sono nueri reli tli che ciscun rdice i senso (cioè il rdicndo rispettivo si positivo o nullo). Per i rdicli doppi, vle l seguente relzione: che sdoppi un rdicle doppio nell so di due rdicli doppi! Qulcuno penserà: questi tetici sono proprio tti... Può cpitre. M, se - è un qudrto perfetto, llor il secondo ero dell'ulti relzione, in effetti, è l so di due rdicli seplici. Allor l relzione è utile e isogn ringirsi i cttivi pensieri sui tetici! L verific dell relzione (che è vlid in ogni cso) si effettu fcilente elevndo o i eri l qudrto ed effettundo tutte le seplificzioni possiili. Inftti si h: Avendo ottenuto risultti uguli, l relzione è verifict. Seguono lcuni esepi di ppliczione dell relzione: R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

11 Per il rdicle doppio conviene pplicre l relzione in qunto - = è un qudrto perfetto. Inftti si h:... 6 Per il rdicle doppio conviene pplicre l relzione in qunto - = è un qudrto perfetto. Si h llor: 0... Per il rdicle doppio 7 0 l scoposizione è conveniente (perchè?) ed iedit in qunto si h: 7 0 Per il rdicle doppio l relzione non è di lcun utilità in qunto non è un qudrto perfetto. Diostrzione di due proprietà sul vlore ssoluto di due nueri Il vlore ssoluto del prodotto di due nueri è ugule l prodotto dei vlori ssoluti dei due nueri. Inftti si h:. Il vlore ssoluto del rpporto di due nueri è ugule l rpporto dei vlori ssoluti dei due nueri. Inftti si h: Approssizione dell rdice qudrt di un nuero L rdice qudrt di un nuero positivo dto risult un nuero estto solo qundo il rdicndo è un qudrto perfetto; in tutti gli ltri csi è un nuero decile illiitto e non periodico (cioè un nuero irrzionle). Anche se esistono degli lgoriti (procedienti di clcolo) che in line di principio consento di trovre l rdice qudrt con l precisione che si vuole, in prtic questo cost tepo e lvoro; inoltre, non sepre si h R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

12 isogno di un nuero eccessivo di cifre decili. Per questo ci si ccontent di un precisione liitt che dipende dl contesto del prole che si st risolvendo. Per esepio, volendo clcolre, non essendo il nuero un qudrto perfetto, si cercno innnzitutto due interi il cui qudrto si rispettivente inore e ggiore di. Questi interi sono e, in qunto < e < ; dunque risult: < <. Allor si è individuto l'intervllo [,] (l cui piezz è ugule - = ) cui pprtiene. Si può igliorre l precisione ll pri cifr decile cercndo fr tutti i nueri.,.,...,.9 due i cui qudrti sino uno inore e l'ltro ggiori di. Con l'usilio di un tvol nueric (o con un clcoltrice elettroni si vede suito che questi due nueri sono.7 e.8, in qunto (.7) =.89 (< ) e (.8) =. ( > ). Dunque:.7 < <.8 Allor si è individuto l'intervllo [.7,.8] (l cui piezz è = 0.) cui pprtiene. Allo stesso odo si trov in terzo intervllo [.7,.7] (l cui piezz è = 0.0) cui pprtiene. Coe si vede l'piezz degli intervlli divent sepre piú piccol, n no che si iglior l precisione, in odo d vere intervlli incpsulti uno nell'ltro. Oggi l'uso delle clcoltrici elettroniche tscili h reso osolet l ricerc dei successivi intervlli incpsulti l cui interno si trov il vlore nuerico dell rdice qudrt di un nuero. Ciò nonostnte, è iportnte che lo studente ne pprezzi il vlore fortivo! Esercizi sull rdici qudrte e ppliczioni reltive Coe sree possiile, con un clcoltrice tscile sprovvist di tsto di vlore ssoluto, clcolre il vlore ssoluto di un nuero? Clcolre: ) ) f) d) 0. 0 e) 0. 0 g) 6 h) i) 0 Portre fuori dl segno di rdice tutto il possiile: ) 8 ) d) e) 0. R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

13 f) g) 7 h) i) j) c 9 d Eseguire le operzioni indicte e seplificre i risultti: ) 8 ) d) g) Clcolre: e) f) h) i) ) ) d) e) f) g) h) i) 6 Sdoppire in rdicli seplici (ove possiile): ) ) 6 d) 7 e) f) g) 9 h) 7 7 Rzionlizzre il denointore: ) ) e) f) 7 h) i) 7 k) l) 7 g) j) ) d) 7 8 Rzionlizzre il denointore: ) ) e) f) g) d) h) 9 Rzionlizzre il nuertore: ) ) d) e) f) Rzionlirrre il nuertore: ) ) Eseguire i clcoli indicti e seplificre ove possiile: R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

14 ) e) ) d) f) Con il etodo degli intervlli incpsulti clcolre (con cifre decili estte): ) ) d) e) 7 f) 80 g). h) 7. Metodo di Crdno per il clcolo dell rdice qudrt di un nuero Crdno, tetico del quttrocento, vev escogitto un etodo ingegnoso per clcolre l rdice qudrt di un nuero ggiore di. A grndi linee, con terinologi e sioli oderni, il rgionento di Crdno er questo: Dto un nuero N (>), se è il ssio intero il cui qudrto è inore di N, si può scrivere: N dove è l prte decile dell rdice qudrt di N (è 0 < ). Elevndo l qudrto o i eri dell'ulti relzione, si h: N N N N N L'ulti relzione è un relzione ricorrente (?!?) che consente di ricvre prtendo d un vlore inizile di = 0; i successivi vlori di così clcolti fornirnno un prte decile dell rdice qudrt di N sepre piú precis. Ad esepio, si d clcolre. Ponendo (qui N = e = ) ed pplicndo l'ulti reltione (coincindo d 0 = 0), si h:, che fornisce un vlore pprossito per eccesso 0. 7, che fornisce un vlore pprossito per difetto 7. ; 0. 7, che fornisce un vlore pprossito per eccesso. 7; , che fornisce un vlore pprossito per difetto. 7;... Coe si vede i vlori pprossiti per difetto e per eccesso di si lternno e convergono verso. Utilizzndo il etodo precedente, clcolre, con cifre decili estte: ) ) 7 R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte

15 Metodo di Newton per il clcolo dell rdice qudrt di un nuero Esiste un etodo per il clcolo dell rdice qudrt di un nuero che è olto piú 'rpido' (nel senso che consente di ottenere piú rpidente un nuero ggiore di cifre decili estte) del precedente. Se N è il nuero di cui si vuole l rdice qudrt e N, si us l forul: N 0, (*) dove 0 è un prio vlore pprossito dell rdice qudrt di N. Il procediento continu usndo l forul N. In questo odo, l successione dei vlori 0,,,...'tende' (si vvicin, converge) rpidente l vlore 'vero'. Ad esepio, con N = e prendendo 0 =, si h: dove solo l'ulti cifr decile non è corrett. 0 Un giustificzione dell forul ricorrente (*) potree essere quest: sino 0 e due vlori pprossiti dell rdice qudrt di N; dunque l loro differenz è piccol ed il qudrto dell loro differenz è ncor piú piccolo tnto d poter ritenere che si pprossitivente ugule zero: 0 0 N N N N Utilizzndo il etodo precedente, clcolre, con leno cifre decili estte: ) ) 7 R. SANTORO: Potenze e rdici qudrte